ВЛИЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЛИНИИ КОНТАКТА НА ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Серия: Физика Вып. 2 (30)

УДК 532.5.032

Влияние движения линии контакта на осесимметричные колебания цилиндрического пузырька

А. А. Алабужев^3, М. И. Кайсинаь

a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1 b Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: alabuzhev@mail.ru

Рассматриваются собственные и вынужденные колебания газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью конечного объёма в цилиндрическом сосуде. В равновесном состоянии пузырек имеет форму цилиндра и ограничен в осевом направлении двумя параллельными твердыми поверхностями. Скорость движения линии контакта пропорциональна отклонению краевого угла от его равновесного значения. Исследована зависимость частот и декрементов затухания собственных колебаний от параметров задачи. Частоты собственных колебаний уменьшаются с увеличением радиуса сосуда и увеличиваются с ростом геометрического параметра. При исследовании вынужденных колебаний обнаружены хорошо заметные резонансные эффекты.

Ключевые слова: динамика контактной линии; собственные колебания; осесимметричные колебания; вынужденные линейные колебания; цилиндрический пузырек

1. Введение

При рассмотрении высокочастотного колебательного движения линии контакта обычно используют эффективное граничное условие [1], допускающее линейную связь между скоростью движения линии контакта и краевым углом:

С = Лк -У С, (1.1)

дЬ

где С - отклонение поверхности от равновесного

положения, Л - феноменологическая постоянная (постоянная Хокинга), к - вектор нормали к твердой поверхности, а равновесный краевой угол предполагается прямым. Отметим, что данное условие описывает два важных предельных случая: фиксированная контактная линия и фиксированный краевой угол при дС' /дЬ = 0 и к - УС = 0 соответственно.

В работе [1] при изучении затухания стоячих волн на поверхности жидкости между двумя вертикальными стенками было показано, что граничное условие (1.1) приводит к затуханию колебаний за исключением двух указанных выше предельных

случаев. Следовательно, затухание связано с взаимодействием движущейся контактной линии с неровностями (шероховатостями) твердой поверхности, а параметр Л зависит от свойств жидкости и поверхности [1-5].

Условие (1.1) использовалось при исследовании колебаний полусферической капли несжимаемой жидкости на подложке [4, 5], полусферического газового пузырька в жидкости конечной глубины на подложке [6], жидкого (капиллярного) моста [7], цилиндрической капли [8] и сжатой капли (имеющей форму фигуры вращения) [9-11].

Условие фиксированной контактной линии, которое является предельным случаем (1.1), использовалось, например, при исследовании собственных колебаний жидкого моста в поле тяжести [12], параметрической неустойчивости полуцилиндрической капли слабовязкой жидкости на подложке [13] и цилиндрической капли [14]. Другой предельный случай (фиксированный контактный угол) рассматривался, например, при изучении колебаний сжимаемой полусферической капли на подложке [15] и цилиндрической капли несжимаемой жидкости при многочастотном воздействии [16].

В работах [17-19] использовалось более сложное граничное условие, учитывающее гистерезис

© Алабужев А. А., Кайсина М. И., 2015

краевого угла [20, 21]. При исследовании движения цилиндрической капли жидкости в переменном электрическом поле [22-24] использовалось модифицированное условие (1.1): скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны удвоенной частоте электрического поля.

В работах [25, 26] изучалась осесимметричная мода собственных колебаний и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька в однородном пульсационном поле давления. Трансляционная мода собственных колебаний такого пузырька исследовалась в [27]. Предполагалось, что внешняя поверхность жидкости свободная, т.е. поверхностное натяжение на внешней поверхности жидкости достаточно мало и им можно пренебречь. Фактически это означает, что внешняя жидкость окружена невесомым газом с постоянным безразмерным давлением, равным единице.

В данной работе продолжаются исследования, начатые в работах [25-27]. Рассматриваются осе-симметричные собственные и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью в замкнутом сосуде конечного объема. Таким образом, в отличие от работ [25-27], внешняя поверхность жидкости ограничена твердой стенкой сосуда. Данная постановка является физически более обоснованной и довольно просто может быть реализована в экспериментальной работе.

2. Постановка задачи

Рассмотрим замкнутый сосуд цилиндрической формы радиуса Я* и высоты Н , заполненный идеальной жидкостью плотностью ре (рис. 1). В сосуде находится газовый пузырек, который в состоянии равновесия имеет форму цилиндра радиусом г0 и высоты Н . Краевой угол между боковой поверхностью пузырька и твердыми плоскостями в равновесии прямой. На систему действует вибрационное поле с амплитудой А и частотой а . Сила вибраций направлена вдоль оси симметрии капли.

Газ в пузырьке считаем невесомым. Состояние газа описывается политропным процессом с показателем политропы п . В работах [6, 18, 25, 27]

было показано, что в этом случае пульсационное давление газа оказывает влияние только на объемную моду собственных колебаний. Следовательно, при исследовании поверхностных мод это давление можно не учитывать, и пузырек ведет себя как капля несжимаемой жидкости.

В силу симметрии задачи будем использовать цилиндрическую систему координат (г ,а ,г ) .

Однако внешнее осесимметричное воздействие возбуждает колебания капли, которые не зависят от азимутального угла а . Следовательно, боковую поверхность пузырька можно описать соотношением: г = г0* + £ (г,€) , где г Л') -

функция, описывающая отклонение поверхности от равновесного положения.

Рис. 1. Геометрия задачи

Выберем в качестве единиц измерения времени РГ Vа , радиальной координаты - г0, осевой координаты - Н , отклонения поверхности - амплитуду колебаний А*, скорости - А* ^¡а"/рег0*3 , давления - А а /г0 2 , где а - коэффициент поверхностного натяжения.

Рассматриваемая система описывается следующими линейными уравнениями (задача линеаризуется по малой относительной амплитуде внешнего воздействия):

р = _ ^ + 1 дЪ

Ар = 0,

г = 1: [р] = С + Ь д2£ , К = ЁРг 1 ] дг2 дЪ дг

г = ±1/2: ^ = ±12, г = 1: г = Я:

( 0, дг

дЪ

дг

д( = 0. дг

(2.1) (2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

где р - потенциал скорости жидкости, р - давление жидкости, £ - отклонение боковой поверхности пузырька от положения равновесия, г = г /г0* , г = г /Н* - безразмерные координаты; квадратными скобками обозначим скачок величины на границе раздела между жидкостью и пузырьком.

Краевая задача (2.1)-(2.5) содержит следующие безразмерные параметры: малую относительную амплитуду е = А /г0 , параметр смачивания

Л, = Л/ урет0/ ст , геометрический параметр b = г0 / h , радиус внешней поверхности R = R0/r* и безразмерную частоту вибраций

* I * I *

rn=rn yjpr /ст .

3. Собственные колебания

Сначала рассмотрим собственные колебания цилиндрического газового пузырька. Как уже отмечалось, в силу характера внешней силы (2.1) будем исследовать только осесимметричное движение. Решение задачи (2.1)-(2.5), за исключение внешней силы, будем искать в виде рядов Фурье по собственным функциям уравнения Лапласа (2.1) . Для потенциала р и отклонения поверхности £ запишем решения следующим образом:

p(r, z,t) = Re (y(r,z)eiat), (3.1)

y{r, z ) =

^ /

=i > Ae > (r)+b: w>(r)) cos (i^nz)+

n=0

+(an° A' (r) + b%&:> (r)) sin ((in +1) nz)),

¿0'> (r) = 1, B0e> (r) = 0, An' (r) = Io (innbr) , > (r) = Ko (innbr), A' (r) = Io ((in +1) nbr) , Bno' (r)= Ko ((in +1) nbr), C(z,t ) = Re (#( z )eiQt), (3.2)

#(z ) = d(e > cos ^ z j + d(o > sin ^ z j + +Z (cn ' cos (innz) + c(n"' sin ((in +1) nz)),

функций относительно смены знака координаты г .

Подставляя решения (3.1), (3.2) в задачу (2.1)-(2.5), получаем спектрально-амплитудную задачу, собственными числами которой являются частоты О собственных колебаний. Из решения этой задачи следует, что собственные числа находятся из следующих уравнений: для четных мод:

§ - л - -1-11 . sin (-11 = о,

1 2b

iQb I 2b

(3.3)

Qe)2 = (4n2n2b2 -1)

a

e)

F(e)

F^) = Bney(1) ^ (R) - A.ey(1),

n n V ' £>(e)' (£>) n V '

one)=a. ) (i)- B. ) (i)

a. y (R)

B. y (R):

( 1 ^ 4 (-l)n+1 b ( 1 N

/о = 2bsin ^2b 1, fmn = nk^isin (2b,

для нечетных мод:

уИ" Q 2gn + sin (_1 ,+

§Q(°°?-Q2 + Sin12b ' +

n=0 - -mn 1

iQb 12b

1

cosl-I = 0,

(3.4)

Q(o)2 = Qn

((2n +1)2 n2b2 -1) oI

f..o) = B.°)((1) A°) (R) - A"y(1) • n n V ' £>(°)' (^>) n W

o<0 = A.° ) (1)- B.0} (1) An°) (R), П П W П V ' £>(°)' (£>)

4 (-1)nb ( 1

—^—-cos

9. =■

где О - частота собственных колебаний, а(е' , а(п°', Ь{°', Ь(е', с(е', с(0', й(е», й(о» - неизвестные амплитуды, г - мнимая единица, 10 , К - модифицированные функции Бесселя. Вид решения (3.2) написан исходя из кинематического условия (2.2), а два первых слагаемых (3.2) являются частным решением условия баланса нормальных напряжений (2.2). Решения (3.1), (3.2) являются суммой четных и нечетных мод собственных колебаний, где под четностью подразумеваем четность

(2n +1)2n2b2 -1 ^ 2b, Здесь Q(ne) , Q(°) - частоты собственных колебаний пузырька с фиксированным краевым углом (т.е. при Я^да ), A") ' (r) = 3A(e) (r ysr ,

A°) ' (r) = dAC) (r)/dr , B(e) ' (r) = dBC) (r)/dr , B(°) ' (r) = SB(°) (r)/Sr , / - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции cos (z / b) по базисным функциям cos (2nnz), 9п - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции sin (z / b) по

базисным функциям б1п ((2п + 1)жг) . Частоты О(пе' и О(п°' обращаются в нуль при значениях геометрического параметра Ь равных 1 / (2жп) и 1 / ((2п +1)ж) соответственно. При меньших значениях Ь квадраты этих частот становятся отрицательными, что соответствует развитию неустойчивости Рэлея (или Рэлея-Плато) для цилиндрического столба жидкости [28-31]. Следовательно, возможное минимальное значение Ь = 1 / ж, что равняется половине длины волны Рэ-леевской неустойчивости.

50 Ре(О)-

40-

302010 0

П=3

П=2

Л

П=1

I I |||||||—I I |||||||—I I |||||||—ГТТТТШ]

0,01 0,1 1 10 х 100

8 —1 !т(О) -6-

2 -

0--Рггт

0,01 0,1 1 10 х 100

б

Рис. 2. Зависимость частоты Ре (О) (а) и коэффициента затухания 1т (О) (б) от Л (Ь = 1, Я = 5 )

Полученные уравнения (3.3), (3.4) качественно похожи на аналогичные уравнения для нахождения частот собственных колебаний цилиндрической капли несжимаемой жидкости [8] и цилиндрического пузырька в жидкости со свободной поверхностью [25] и решались методом секущих.

Уравнения (3.3), (3.4) будут иметь действительные решения только в двух предельных случаях: X = 0 (закрепленная линия контакта) и Л^ж (фиксированный краевой угол). В общем случае эти уравнения имеют комплексные корни, что приводит к затуханию колебаний, которое вызвано диссипацией на линии контакта.

3

Ре(Ц) 2 ■

0

0,01 0,1 1 10 х 100

а

4

1т(О) -

3 -2 -1 -

Ь=0.35

0 — ! ¡1 |Ц||| ! Г|

0,01 0,1 1 10 Л 100

б

24 -,_

Ре(О )-18 -

12 -

6 -

0 -

Ь=1.5

Ь=1

Ь=0.4

0,01 0,1 1 10 л 100

в

15

!т(Ц)

Ь=1.5

10-

5-

0--ТТТ

ТШ|

10 Л 100

0,01 0,1 1

г

Рис. 3. Зависимость частоты Ре (О) (а, в) и коэффициента затухания 1т(О) (б, г) от Л (Я = 5 )

Аналогично работам [25, 27], для удобства будем обозначать частоты четных мод, определяемых уравнением (3.3), О2к (к = 1,2,...), а частоты нечетных мод, которые являются решением уравнения (3.4), Ош+1 ( к = 0,1,2,...). Таким образом, частоты О собственных колебаний с нечетным

а

4

индексом п будут соответствовать нечетным модам (3.4), а с четным п - четным модам (3.3). Зависимости частот и коэффициентов затухания первых мод О , О2, О собственных колебаний от параметра Л показаны на рис. 2.

Частота монотонно уменьшается с увеличением Л (рис. 2а). Эти графики качественно совпадают с аналогичными зависимостями из работ [4, 5, 7, 8, 25, 27]. Отметим, что для Ие (О) строится только

одно решение, сопряженное ему решение (четное относительно оси абсцисс) на графиках не приводится. Наибольшее значение частоты имеет пузырек с закрепленной линией контакта ( Л = 0 ), наименьшее - с фиксированным краевым углом ( Л — ж ). Максимальное затухание достигается при конечных значениях параметра Л (рис. 2б). Как уже отмечалось выше, коэффициент затухания 1т(О) — 0 в предельных случаях Л — 0 и Л —^ ж (рис. 2б).

45 Re(Q, )-

30 15-

I |||||||—ГТТТТШ]—ГТТТТШ]—I I |||||||

0,01 0,1 1 10 х 100

15 ~1

Im(Q2) _

10 -

b=1.5

I I lllíí¡|—I I I lllll|—i i i ■ 1111| i 11II

0,01 0,1 1 10 х 100

б

Рис. 4. Зависимость частоты Re (Q2) (а)

и коэффициента затухания Im (Q2) (б) от

X (R = 5 )

На рис. 3 и 4 приведены частоты и инкременты затухания двух первых мод для трех значений геометрического параметра b . Из графиков следует, что значение частоты (рис. 3а, 4а) растет с b (т.е. с увеличением равновесного радиуса или уменьшением высоты пузырька). Максимальное значение коэффициента затухания тоже увеличивается с ростом b (см. рис. 3б, 3г, 4б).

6 -| Im(Qt)_

4 -

2 -

b=0.32

1 I 1 I 1 I 1 I г I 0 0,5 1 1,5 2 х 2,5

8 -, Im(^) -6 -

4 -

2 -

b=0.6 b=0.8

0 ' I-'-1-'-1-'-1

0 0,4 0,8 1,2 х 1,6

б

b=0.4 b=0.6

8 "1 Im(Q2) -6 -

4 -

2 -

b=0.8

0,4

в

X 1,2

Рис. 5. Зависимость коэффициента затухания 1т (О) монотонного режима от Л

( я = 5;

Действительная часть частоты О обращается в нуль на некотором интервале значений Л (рис. 3 а, 3в). Длина этого интервала зависит от параметра Ь и, с увеличением значений Ь , исчезает. Точке обращение в нуль действительной части частоты О (рис. 3а, 3в) соответствует точка ветвления для коэффициентов затухания (рис. 3б, 3г). Для других частот такую зависимость обнаружить не удалось (рис. 4а). Похожий эффект был обнаружен при изучении осесимметричных собственных колебаний капли несжимаемой жидкости [8]. Отметим, что при изучении трансляционной моды в работах [4, 8, 27] было обнаружено, что основная частота такой моды обращается в нуль начиная с некоторого значения Л = Л . При этом такое характерное значение Л существует при любых значениях Ь . При исследовании азимутальных

0

а

0

а

5

мод собственных колебаний цилиндрической капли [8] было обнаружено, что основная частота любой моды обращается в нуль на некотором интервале значений X начиная с некоторого критического значения геометрического параметра Ь . Величина этого интервала увеличивается с ростом Ь . Появление таких интервалов обусловлено сильным взаимодействием капли с подложкой.

16 ■ Re(n,) 12 ■

1—I—1—I—'—I—1—I

0,2 0,4 0,6 0,8 b 1

2,5 -i

Im(n,) " 2 -

1,5 -

1 -

0,5 -

0-

1-1-1-1-1-1-1

0,2 0,4 0,6 0,8 b 1

б

16 1 Re(n,) -12 -

81 Im(n,) -6 -

I

0,6

~~I-1-1

0,8 b 1

—1—I—1—I—1—I

0,2 0,4 0,6 0,8 b 1

16 -1 Re(n,) 12 -

8 "1 Im(Q,) -6 -

I-1-1-'-1-1-1

0,2 0,4 0,6 0,8 b 1

д

X

1—1—I—1—I—1—I 0,4 0,6 0,8 b 1

На рис. 6 показаны зависимости частоты Ре (Ц) и инкремента затухания 1т (Ц) от геометрического параметра Ь для трех значений X . Отрицательные значения инкремента появляются при Ь < 1/я . Это соответствует возникновению

монотонной неустойчивости, так как Ре (Ц) = 0 .

В сравнении с рис. 6б, на рис. 6г видно, что происходит взаимодействие (пересечение) колебательного и монотонного режимов. Именно такие значения X и Ь соответствуют обращению частоты в нуль.

С увеличением радиуса сосуда значения частот довольно близки, поэтому при конечных Ы можно рассматривать внешнюю жидкость (и соответственно сосуд), как имеющую бесконечный объем (Ы ^да).

4. Вынужденные колебания

По аналогии с решением (3.1)-(3.2) задачи о собственных колебаниях (2.1)-(2.5) для осесим-метричных вынужденных колебаний запишем решения для потенциала р и отклонения поверхности С следующим образом:

p(r ,z,t ) = Re (y(r ,z )eimt),

(4.1)

y(r, z ) =

Рис. 6. Зависимость частоты Ре (Ц) (а,

в, д) и коэффициента затухания 1т (Ц) (б,

г, е) от Ь (Ы ^ да). Монотонный режим -сплошная линия, колебательный режим -пунктирная; а, б - X = 0.4, в, г - X = 0.6, д, е - X = 0.8

Кроме колебательного режима существует и монотонный режим, т.е. когда корни уравнений (3.3), (3.4) только мнимые числа. Эти два режима не взаимодействуют до тех пор, пока частота колебательного режима не обращается в нуль. На рис. 5 построены инкременты затухания монотонного режима для нескольких значений параметра Ь . Из графиков на рис. 5а и 5б видно, что для нечетных мод при малых значениях Ь существуют интервалы значений X , на которых инкремент затухания принимает три разных значения. Для четных мод (рис. 5в) таких интервалов нет при любых значениях параметра Ь .

= i £(a„ Af (r) + bB ) (r)) sin ((2n + 1) nz)

C(z,t) = Re(f(z)eimt) , (4.2)

4(z) = d sin ^z j + gc(°) sin((2n +1) nz).

Легко показать, что действующая внешняя вибрационная сила (2.1) возбуждает только нечетные гармоники, по которым и раскладываются решения (4.1), (4.2).

Подставляя (4.1), (4.2) в задачу (2.1)-(2.5), найдем выражения для неизвестных амплитуд an ,

bn , cn иd :

к , an = т(cn + dgn), (4.3)

n n

B?'(R)

c„ =

" Qí°)2 -®2

gnd +

)2к

h =-

((2n +1) nb) -1

4 (-l)n

(4.4)

(2n +1)

2 2 n

8

4

а

8 -

4 -

4 -

2 -

0

0,4

в

г

4 -

8 -

2 -

4 -

0

0

0,2

е

2

т

X

а2 (_1)п+1 Нпо;

|(° )2

й =

(((2п + 1)жЬ)2 _ 1)(р(п°)2 _а2) _(-1)п а2дп . ( 1

+ 51П1 2Ь

Л ( 1 —ооб —

аЬ I 2Ь

(4.5)

где Н - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции г по базисным функциям б1п((2п +1)жг) .

Полученные амплитуды (4.3)-(4.5) являются комплексными при любом наборе параметров за исключением двух предельных случаев: закрепленной контактной линии ( Л = 0 ) и фиксированного контактного угла (Л —ж). Наличие затухания вызвано лишь условием на линии контакта и не связано с вязкостью. Это приводит к сдвигу фаз между различными пространственными модами колебаний и появлению бегущей волны, распространяющейся по боковой поверхности пузырька вдоль оси симметрии. Отметим также, что, несмотря на знаменатель О(0)2 _®2 , частоты О(0) собственных колебаний цилиндрического пузырька не являются резонансными за исключением предельного случая фиксированного контактного угла. При а — О^0) и конечных значениях Л из (4.5) получаем, что

А = --

О<°)2

(2п +1)2 ж2Ь

5е0|^ 1 + 0(Оп0) _а),

а из (4.4) - сп = О(1).

Кроме этого, существуют такие частоты внешнего воздействия, когда

XX

(_1)п+1 Нп о;

,(о )2

(((2п +1)жЬ)2 - 1)(опо)2-а2)

= 0, (4.6)

т. е. й = 0 и решения (4.1), (4.2) не зависят от постоянной Хокинга Л . В этом случае контактная линия неподвижна и

а2 О<° )2К

((2п +1)2 ж2Ь2 - 1)(О(0)2 -а2)

(4.7)

В предельном случае свободной контактной линии ( Л —ж ) й = 0 и амплитуды сп описываются выражением (4.7). При а — О0 амплитуда п-й гармоники сп начинает неограниченно нарастать и становится существенной даже слабая диссипация.

4 -1

3 -

2 -

1 -

; Л=100

'г-.

I Г\ ' I ч

>г'

-г

25

\ Л=0.001 \ / '¡. / • • X 1 '/ ' :Л

Л=1

I

50

1 I 75 а 100

20 "1 V

15 Ч

10 -

5 -

Л=0.001

Л=1

I

25

12 -1 А,

8 -

4 -

"Г 50

б

Л=100

"1 1 I 75 а 100

Л=1

>

< Л=10

! /Ь. & /

¡V 7-4 . * Ь

-----

0

25

1,6

У

1,2 Ч

1Р

0,8 -

0,4 -

I

50

в

Л=0.001

~~1 1 I 75 а 100

Л=1000.';

Л=100/

Г...........

1 1 I 75 а 100

Рис. 7. Зависимость амплитуды А колебаний капли на твердой поверхности (а), амплитуды Ад в плоскости г = 0.25 (б, в) и краевого угла у (г) от частоты внешнего воздействия а (Ь = 1, Я = 5 )

В противоположном предельном случае (закрепленная контактная линия) решение определяется общими формулами (4.1)-(4.5), однако коэффициенты с и й являются вещественными, т. е. колебания подложки и капли происходят в одной

А

0

0

а

0

0

0

п=0

0

0

г

сп =

фазе. На собственных частотах колебаний пузырька с закрепленной контактной линией Ц , определяемых уравнением (3.4) при X = 0 , амплитуда колебаний обращается в бесконечность.

При произвольных значениях параметра смачивания суммирование рядов (4.1), (4.2) производилось численно. В расчетах удерживалось до 200 членов ряда, обнаружено хорошее согласие результатов при разном количестве слагаемых.

Зависимость амплитуды колебаний поверхности на подложке А, амплитуды А в плоскости г = 0.25 и краевого угла у от частоты а вынуждающей силы приведена на рис. 7 для четырех различных значений параметра смачивания при Ь = 1. Кривые имеют резонансный вид, причем в предельных случаях X —^ 0 и X — да амплитуда колебаний на резонансной частоте бесконечна (рис. 7). Явление линейного резонанса возникает при совпадении частоты вибраций с частотой собственных колебаний (3.4). При конечных значениях параметра смачивания X за счет диссипации при движении контактной линии амплитуда колебаний остается ограниченной. Как уже было показано выше, с увеличением X частота собственных колебаний уменьшается (см. рис. 2-4). Это соответствует сдвигу резонансных пиков в сторону уменьшения значения частоты собственных колебаний при увеличении значения X .

Условие несжимаемости жидкости: а г* << с , где с - скорость звука. Толщина вязкого пограничного слоя I = а , где V* - кинематическая вязкость газа, ve - кинематическая вязкость жидкости. В нашем случае жидкость можно рассматривать невязкой, если I << г*. Напомним, что в данной работе частота имеет масштаб

/р*г* 3 . Например, для пузырька воздуха г* = 1-102 м в воде при нормальных условиях этот масштаб ~ 8.5 Гц. Следовательно, в этом случае безразмерная частота а = 1 соответствует размерной частоте а = 8.5 Гц. Толщина вязкого погранслоя в жидкости I = 3.4-10 4 м; условие несжимаемости выполняется: а г0 = 8.5 -102 м/с, с = 1.5 -103 м/с. Легко показать, что а= 5 соответствует а = 42.5 Гц, а = 20 - а = 170 Гц, а = 50 - а = 425 Гц. Для пузырька радиуса г* = 1-103 м: а= 1 будет соответствовать а = 2.7 -102 Гц, I' = 6.1-105 м, юг* = 2.7 -10"1 м/с. Для пузырька воздуха г* = 1-102 м в глицерине: а = 1 соответствует а = 6.9 Гц, I' = 1.3 -10"2 м, а'г* = 6.9 -102 м/с, с* = 1.9 -103 м/с. Очевидно, что в этом случае толщина вязкого

погранслоя V сравнима с размерами пузырька. Однако, с увеличением частоты I будет уменьшаться, например, при а = 20 - а = 1.4* 102 Гц, Г = 2.9 -10_3 м, а'г* = 1.4 м/с.

1 -|

0,5 -

1-3 A

■2

0

а

-0,5 0 Z 0,5

0,2 -,

Reй)

0,1 -

0 --0,1 -

-0,2"|—'—I—'—I—'—I—'—I -0,5 -0,25 0 0,25 2 0,5

б

4 -1

Reй)

2 -

-2 -

-0,5 -0,25

"1 1 I 0,25 z 0,5

Рис. 8. Распространение волн по поверхности капли ( X = 1, Ь = 1, Ы = 5 ); а - движение гребня (штриховая линия) и его высота (сплошная линия) в зависимости от координаты г : 1 - а = 2, 2 - а = 20; б, в - отклонение поверхности капли для Ь = 0,Т/8,Т/4,3Т/8 (линии 1-4): б - а = 2, в - а = 20

Из приведенных выше оценок следует, что для сильновязких жидкостей (глицерин и пр.) при низких частотах вибраций толщина вязкого пограничного слоя может быть сравнима с размерами пузырька, что противоречит исходным приближениям рассматриваемой задачи. Однако, при высоких частотах такой проблемы нет, а условие несжимаемости жидкости выполняется в

в

большом диапазоне частот вибраций и размеров пузырька.

Выше отмечалось, что существуют «антирезонансные» частоты, при которых нет отклонения линии контакта от ее равновесного положения (см. рис. 7а), а краевой угол у , в этом случае, прямой (рис. 7г). Значения этих частот определяются уравнением (4.6). При резонансных значениях частот (рис. 7а) краевой угол у — 0 (рис. 7г).

Отметим, что у — ж / 2 при Л —ж (за исключением резонансных случаев), что соответствует условию фиксированного краевого угла.

1

ит

0,75 0,5 0,25 0

Г 3 А

-2

- 1

-0,5

4 1 2 -

1 0,5

-0,5

-0,25

"1 1 I 0,25 2 0,5

б

этой части периода ведет себя подобно стоячей волне (рис. 8б). С увеличением частоты (а = 20) вибраций появляются также волны, распространяющиеся от подложек (см. рис. 8а, 8в). Именно появлению этих волн соответствуют разрывы на линиях положения локального максимума (штриховая линия 2, рис. 8а). При равенстве частоты внешнего воздействия «антирезонасной» частоте (см. рис. 7а, 9), линия контакта неподвижна.

Очевидно, что с увеличением частоты внешнего воздействия возбуждаются более высокие моды собственных колебаний. На рис. 8-9, частота подобрана так, что возбуждается первая гармоника. На рис. 10 показано положение гребня волны и его высота для значения частоты а= 50 , при котором возбуждается уже вторая гармоника.

1 -, ит -

0,75 -0,5 -0,25 -

-0,5

4 "1

Г 4 -А

- 3

- 2 - 1

1 0,5

Рис. 9. Распространение волн по поверхности капли (Л = 1, Ь = 1, Я = 5, а = 25.83); а - движение гребня (штриховая линия) и его высота (сплошная линия) в зависимости от координаты г ; б - отклонение поверхности капли для t = 0,Т/8,Т/4,3Т/8 (линии 1-4)

При конечных значениях параметра смачивания вдоль поверхности распространяются капиллярные волны. На рис. 8а в зависимости от времени, измеряемого в долях периода колебаний подложки Т , показано положение гребня волны (штриховая линия) и его высота (сплошная линия). Приведенные кривые соответствуют локальному максимуму, определяемому из условий = 0 , ^ < 0 . На рис. 8б и 8в для четырех последовательных моментов времени показано отклонение поверхности Ре . При малых частотах (а = 2)

уменьшение скорости движения гребня сопровождается заметным ростом его высоты; решение в

-0,5

"1 1 I -0,25 0 0,25 2 0,5

б

Рис. 10. Распространение волн по поверхности капли (Л = 1, Ь = 1, Я = 5 , а = 50); а - движение гребня (штриховая линия) и его высота (сплошная линия) в зависимости от координаты г ; б - отклонение поверхности капли для t = 0,Т/8,Т/4,3Т/8 (линии 1-4)

На рис. 11 показана зависимость амплитуды колебаний поверхности на подложке А , амплитуды А в плоскости г = 0.25 и краевого угла у от частоты вынуждающей силы для четырех различных значений геометрического параметра Ь при Л = 1 . Увеличение значения Ь (т.е. радиальных размеров пузырька) приводит к росту величин частот собственных колебаний и сдвигу резонансных пиков в сторону повышения частоты вибраций.

0

0

а

0

0

0

а

3 -1

2 -

1 -

b=1.5

Л ь=1 ' \ : ; \ I

! / \ |^b=0.5 hi i\b=0.32

1 1 I 1 I 1 I

0 10 20 30 40 ra 50

8-1 Aq

64-

2 -

b=1.5< \

b=1

\ b=0.32

I |—г—I I—I I—I I—I

0 10 20 30 40 ra 50

б

b=0.32 b=0.5 b=1

1,6 -w

У

1,2 H!

I

■ 1?. Г:>

0,8- ö

0,4 -

W \w U

b=1.5

I

25

ra 50

Рис. 11. Зависимость амплитуды А колебаний капли на твердой поверхности (а), амплитуды А в плоскости г = 0.25 (б) и

краевого угла у (в) от частоты внешнего воздействия а (Л = 1, Я = 5 )

5. Заключение

Рассмотрены осесимметричные собственные и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью в замкнутом сосуде. Учитывалась динамика контактной линии: скорость движения контактной линии предполагалась пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного значения. Коэффициент пропорциональности, так называемый параметр смачивания Л (постоянная Хокин-га), характеризует свойства жидкости и материала подложки. Равновесный краевой угол прямой.

При исследовании собственных колебаний обнаружено, что частота основной моды собственных колебаний может обращаться в нуль на некотором интервале значений Л . Длина этого

интервала уменьшается с увеличением геометрического параметра b . Такая зависимость основной частоты осесимметричной моды от параметра X отличается от зависимостей других мод. При изучении трансляционной моды собственных колебаний [4, 8, 27] было обнаружено, что основная частота обращается в нуль, начиная с некоторого значения X . Частота азимутальной моды собственных колебаний [8] обращается в нуль на некотором интервале значений X . Однако этот интервала возникает с некоторого значения b , и ширина этого интервала растет с увеличением значения b . Точке обращения частоты в нуль соответствует точка ветвления значений коэффициента затухания.

Частота каждой моды осесимметричных собственных колебаний монотонно уменьшается с увеличением X и увеличивается с ростом геометрического параметра b . Наименьшую частоту собственных колебаний имеет пузырек с постоянным краевым углом. При малых значениях b возможно развитие неустойчивости Рэлея монотонным образом. Критическое значение b = 1 / я, что соответствует половине длины волны Рэлеевской неустойчивости.

При исследовании вынужденных осесиммет-ричных колебаний было обнаружено явление линейного резонанса. При конечных значениях параметра смачивания X за счет диссипации при движении контактной линии амплитуда колебаний остается ограниченной. В предельных случаях X —^ 0 и X —^ ж амплитуда колебаний на резонансной частоте бесконечна. Найдены «антирезонансные» частоты, при которых нет отклонения линии контакта от равновесного значения.

Значения частот собственных колебаний существенным образом меняются при изменении величины b . В физическом эксперименте, меняя b , например, путем изменения высоты капли h , можно качественно менять поведение пузырька при фиксированном значении частоты вибраций. Наблюдая за боковой поверхностью или отклонением линии контакта от положения равновесия, возможно, удастся определить значение параметра X.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ № 14-07-96017-р-урал-а.

Список литературы

1. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 267-281.

2. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rolley E. Wetting and spreading // Reviews of Modern Physics. 2009. Vol. 81. P. 739-805.

As-

0

а

0

0

0

в

3. van Lengerichal H. B., Steen P. H. Energy dissipation and the contact-line region of a spreading bridge // Journal of Fluid Mechanics. 2012. Vol. 709. P. 111-141.

4. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 6. С. 8-20.

5. Lyubimov D. V., Lyubimova T P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18, 012101.

6. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, 052102.

7. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges // Physics of Fluids A. 1991. Vol. 3, N. 12. P. 2866-2874.

8. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 5. С. 78-86.

9. Алабужев А. А. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли //Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4-3. С. 622-624.

10. Алабужев А. А. Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4(22). С. 7-10.

11. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53, № 1. С. 1-12.

12.Демин В. А. К вопросу о свободных колебаниях капиллярного моста // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 4. С. 28-37.

13. Картавых Н. Н., Шкляев С. В. О параметрическом резонансе полуцилиндрической капли на осциллирующей твердой подложке // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2007. Вып. 1(6). С. 23-28.

14. Алабужев А. А. Влияние вязкости на устойчивость колебаний цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. 2013. № 1. С. 3-5.

15. Иванцов А. О. Акустические колебания полусферической капли // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 3(21). С. 16-23.

16. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Поведение цилиндрической капли при многочастотных вибрациях // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 2. С. 18-28.

17. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, 072104.

18. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. V. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, 102105.

19. Алабужев А. А. Динамика цилиндрической капли с учетом влияния гистерезиса краевого угла // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4(22). С. 3-6.

20. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 267-281.

21. Miles J. W. The capillary boundary layer for standing waves // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 222. P. 197-205.

22. Кашина М. А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. 2014. Т. 1. С. 120-122.

23.Алабужев А. А., Кашина М. А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки - от теории к практике. 2014. № 41. С. 124-128.

24. Кашина М. А., Алабужев А. А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIX Зимняя школа по механике сплошных сред: сборник статей / Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН. Пермь, 2015. С. 105-110.

25. Алабужев А. А. Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7, № 2. С. 151-161.

26. Кайсина М. И. Динамика цилиндрического пузырька в переменном поле давления // Математическое моделирование в естественных науках. 2014. Т. 1. С. 107-110.

27. Алабужев А. А., Кайсина М. И. Трансляционная мода собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2015. Вып. 1(29). С. 35-41.

28. Plateau J.A.F. Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur // Mémoires de lAcadémie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. 1849. Ser. 23. P. 5.

29. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity // Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. 1863. P. 270-285.

30. Rayleigh, Lord. On the instability of jets // Proceeding of London Mathematical Society. 1878. Vol. 10. P. 4-13.

31. Rayleigh, Lord. On the instability of cylindrical fluid surfaces // Philosophical magazine Series 5. 1892. Vol. 34. P. 177-180.

References

1. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 267-281.

2. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rol-ley E. Wetting and spreading. Reviews of Modern Physics. 2009, vol. 81, pp. 739-805.

3. van Lengerichal H. B., Steen P. H. Energy dissipation and the contact-line region of a spreading bridge. Journal of Fluid Mechanics. 2012, vol. 709, pp. 111-141.

4. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Non-axisymmetric oscillations of a hemispherical drop. Fluid Dynamics. 2004, vol. 39, no. 6, pp. 851-862.

5. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate. Physics of Fluids. 2006, vol. 18, 012101.

6. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate. Physics of Fluids. 2008, vol. 20, 052102.

7. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges. Physics of Fluids A. 1991, vol. 3, no. 12, pp. 2866-2874.

8. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the contact-line dynamics on the natural oscillations of a cylindrical droplet. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2007, vol. 48, no. 5, pp. 686-693.

9. Alabuzhev A. A. Vliyanie dinamiki kontaktnoi linii na kolebaniya szhatoi kapli. Vestnik Nezhego-rodskogo universiteta imeni N. I. Lobachevskogo. 2011, no. 4-3, pp. 622-624. (In Russian).

10. Alabuzhev A. A. Vynuzhdennye kolebaniya szhatoi kapli s uchetom dvizheniya kontaktnoi linii. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 4(22), pp. 7-10. (In Russian).

11. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the contact-line dynamics on the oscillations of a compressed droplet. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2012, vol. 53, no. 1, pp. 9-19.

12. Demin V. A. Problem of the free oscillations of a capillary bridge. Fluid Dynamics. 2008, vol. 43, no. 4, pp. 524-532.

13. Kartavih N. N., Shklyaev S. V. O parametrich-eskom rezonanse polucilindricheskoi kapli na os-ciyliruyushei tverdoi podlozhke. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2007, no. 1(6), pp. 2328. (In Russian).

14. Alabuzhev A. A. Vliyanie vyazkosti na ustoichiv-aost' kolebanii cilindricheskoi kapli. Matematich-eskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2013, no. 1, pp. 3-5. (In Russian).

15. Ivantsov A. O. Akusticheskie kolebaniya polusfericheskoi kapli. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 3(21), pp. 16-23. (In Russian).

16. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Behavior of a cylindrical drop under multi-frequency vibration.

Fluid Mechanics. 2005, vol. 40, no. 2, pp. 183192.

17. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop. Physics of Fluids. 2009, vol. 21, 072104.

18. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis. Physics of Fluids. 2011, vol. 23, 102105.

19. Alabuzhev A. A. Dinamika cilindricheskoi kapli s uchetom vliyaniya gisterezisa kraevogo ugla. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 4(22), pp. 3-6. (In Russian).

20. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 267-281.

21. Miles J. W. The capillary boundary layer for standing waves. Journal of Fluid Mechanics. 1991, vol. 222, pp. 197-205.

22. Kashina M. A. Vliyanie peremennogo elektrich-eskogo polya na kolebaniya cilindricheskoi kapli. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2014, no. 1, pp. 120-122. (In Russian).

23. Alabuzhev A. A., Kashina M. A. Kolebaniya cilindricheskoi kapli v peremennom elektrich-eskom pole. Tehnicheskie nauki - ot teorii k prak-tike. 2014, no. 41, pp. 124-128. (In Russian).

24. Kashina M. A., Alabuzhev A. A. Vynuzhdenney kolebaniya v peremennom neodnorodnom el-ektricheskom pole. XIX Zimnyaya shkola po me-hanike sploshnyh sred. Sbornik statei. Institute of Continuous Media Mechanics of UB RAS, Perm, 2015, pp. 105-110. (In Russian).

25. Alabuzhev A. A. Povedenie cilindricheskogo puzyr'ka pod deistviem vibracii. Vychislitel'naya mekhanika sploshnyh sred. 2014, vol. 7, no. 2, pp. 151-161. (In Russian).

26. Kaysina M. I. Dinamika cilindricheskogo puzyr'ka v peremennom pole davleniya. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2014, no. 1, pp. 107-110. (In Russian).

27. Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Translyacionnaya moda sobstvennyh kolebanii cilindricheskogo puzyr'ka. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2015, no. 1(29), pp. 35-41. (In Russian).

28. Plateau J. A. F. Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur.

lAcadémie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. 1849, ser. 23, p. 5. (In French).

29. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity. Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. 1863, pp. 270-285.

68 A. A. Anaôywee, M. H. Kaûcuna

30. Rayleigh, Lord. On the instability of jets. Proceed- 31. Rayleigh, Lord. On the instability of cylindrical

ing of London Mathematical Society. 1878, fluid surfaces. Philosophical magazine. Series 5. vol. 10, pp. 4-13. 1892, vol. 34, pp. 177-180.

Influence of contact line motion on axisymmetric vibrations of a cylindrical bubble

A. A. Alabuzheva,b, M. I. Kaysinab

a Institute of continuous media mechanics UB RAS, Akad. Korolev St., 1, 614013, Perm b Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: alabuzhev@psu.ru

The eigen and forced oscillations of a cylindrical gas bubble surrounded by an incompressible fluid in a cylindrical container. The bubble has a cylindrical shape in equilibrium and is bounded axially by two parallel solid surfaces. Dynamics of contact line is taken into account by an effective boundary condition: velocity of the contact line is assumed to be proportional to deviation of the contact angle from the equilibrium value. Depending on the eigen frequency and damping rates of the parameters of the problem are investigated. Eigen frequency decreases with decreasing container radius and increase with the geometrical parameter. Well-marked resonance effects are found in the study of forced oscillations.

Keywords: dynamic contact line; eigen oscillations; axisymmetric oscillations; forced linear vibrations; cylindrical gas bubble