CC BY
60
АНАЛИЗ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРУГИХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЦЕНАРИЕВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ ВЫНОСНОМ ВСП
Илья Юрьевич Сильвестров
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 3, старший научный сотрудник, тел. (383) 330-27-96, e-mail: [email protected]
Дмитрий Александрович Неклюдов
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 3, старший научный сотрудник, тел.(383) 330-27-96, e-mail: [email protected]
Владимир Альбертович Чеверда
Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 3, заведующий лабораторией, тел. (383) 330-27-96, e-mail: [email protected]
В статье рассмотрена зависимость разрешающей способности и устойчивости обращения полных волновых полей для различных сценариев наблюдений в методе выносного ВСП.
Ключевые слова: обращение полных волновых полей, ВСП, устойчивость,
разрешающая способность.
RESOLUTION AND STABILITY ANALYSIS OF ELASTIC PARAMETERS RECONSTRUCTION FOR DIFFERENT OVSP ACQUISITION SCENARIOS
Ilya Yu. Silvestrov
Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 3 Kuptuga, Novosibirsk 630090, senior researcher, tel. (383) 330-27-96, email: [email protected]
Dmitry A. Neklyudov
Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 3 Kuptuga, Novosibirsk 630090, senior researcher, tel. (383) 330-27-96, email: [email protected]
Vladimir A. Tcheverda
Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 3 Kuptuga, Novosibirsk 630090, head of laboratory, tel. (383) 330-27-96, email: [email protected]
In this paper we consider a methodology which can be used for efficiency analysis of different acquisition scenarios for OVSP survey with applications to full-waveform inversion.
Key words: full-waveform inversion, VSP, resolution, uncertainty, survey design.
1. Введение. В настоящее время всё существеннее сказывается тот факт, что нефтяные месторождения, расположенные в наиболее доступных и изученных районах начинают истощаться. Поиск новых месторождений приходиться вести в районах с весьма сложными геологическими условиями. При этом возникает необходимость применять новые методы регистрации и обработки геофизических данных, которые позволили бы извлекать как можно
более полную и достоверную информацию о строении среды. При разработке новых систем наблюдений и процедур обработки, важным этапом является их теоретическое обоснование: анализ тех возможностей и ограничений, которыми они в принципе обладают. Общепризнано, что одним из самых информативных методов извлечения количественной информации об упругих параметрах среды из сейсмических данных является обращение полных волновых полей (Б’^!). На этапе планирования эксперимента существует возможность перейти к рассмотрению задачи в линеаризованной постановке, где линеаризация производится относительно «правильной» модели. В «правильную» модель закладываются основные характеристики геологического строения интересующего района, а также целевого объекта, свойства которого наиболее интересны при проведении сейсмических исследований. Линеаризованный оператор Б’Ш может быть аппроксимирован матрицей. Фундаментальные свойства решения, математическая взаимосвязь параметров модели с параметрами системы наблюдений содержится в этой матрице, и могут быть детально проанализированы с привлечением хорошо развитого аппарата линейной алгебры [3]. Для этого строится сингулярное разложение (БУО) матрицы Б’^[, на основании которого в общем виде может быть оценено качество решения (его разрешённость и устойчивость) при различных сценариях проведения наблюдений и заданном уровне помех [2]. В данной работе мы применяем подобную методологию применительно к анализу сценариев наблюдений в методе ВСП. Показывается, что при инверсии давления, измеренного в скважине, в принципе, существует возможность восстановления упругих параметров среды. Основным достоинством таких систем наблюдений (использование гидрофонов вместо геофонов) является значительное ускорение работ (т.к. нет необходимости прижимать регистрирующие приборы к стенкам скважины) а, значит, их удешевление. Совместная обработка давления и многокомпонентных данных, в идеале, даёт заметное улучшение устойчивости результата к некоррелированным помехам. Однако отметим, что эти выводы получены в идеализированных условиях, т.к. известно, что для данных ВСП, полученных при измерении давления в скважине, заполненной жидкостью, характерно наличие очень сильных коррелированных помех. Их причина - возникновение трубной волны на границе упругость-жидкость. На данном этапе нами предполагается почти полное их подавление на этапе обработки. При любом сценарии наблюдений наиболее надёжно будет определяться Р-импеданс. Наименее надёжный параметр - плотность.
2. Метод. Теоретической основой предлагаемого подхода является анализ линейного уравнения вида:
Ьт = d, (1)
где Ь-линеаризованный оператор прямой задач, правая часть d представляет собой невязку волновых полей: 1) компонент вектора смещений (в данном случае, двумерного, 2С); 2) давления (Р); 3) совместных данных (2С+Р) ). т - вектор, описывающий искомое возмущение параметров модели.
В настоящей работе мы рассматриваем составную линейную систему:
(2)
здесь Ь(щ) - борновский оператор для фиксированной частоты (ОІ. Будут изучены три случая, когда система (2) состоит из 1) борновских операторов для
Цщ) ґ | Л ^ д (щ) ^
Ь: ; т = •
Ь(щ) и, ч д (щ),
упругости; 2) борновских операторов для нормированных операторов для случая 1) нормальному виду, получим:
давления; 3) одновременно из и 2). Приводя систему (2) к
Ы:
т
= ££(щЖщ), І = 1,..., N
/
(3)
Система (3) играет центральную роль в нашем исследовании. Для её построения в явном виде, необходимо рассчитать матрицы Грина в референтной среде для каждой частоты со1. После построения системы (3) для каждого
конкретного сценария (что делается очень быстро, имея насчитанные матрицы Грина), выполняется её сингулярное разложение. Анализ сингулярного разложения позволяет оценить разрешающую способность и устойчивость результатов инверсии в каждом случае. Далее мы на конкретном примере покажем основные принципы, используемые при решении поставленных задач.
3. Описание модели и системы наблюдений. Фрагмент модели и геометрия наблюдений приведена на рис. 1. Вмещающая среда является вертикально-неоднородной.
Предполагается, что в окрестности скважины
находится малое 2Б возмущение упругих
параметров. Таким образом моделируется локальная
нефтенасыщенная зона в пласте «сухого» песчаника. Относительные возмущения Р- и Б-импедансов (1р, Ь) составляют 1-1.5 %,
возмущение плотности: 46 % (сравнение профилей
Рис. 1. Фрагмент модели и геометрия наблюдений
для вмещающей среды и среды с возмущением представлены на рис. 2). Восстановление параметров производится внутри целевой области X = [15, 550] м, Ъ = [4130, 4190] м. Приёмники расположены в вертикальной скважине от поверхности, Ъ = 0, до забоя, Ъ = = 4 350 м. с равномерным шагом по глубине (мы рассматриваем два случая, Иг = 6 и 12 м.). Источник типа центра расширения расположен на поверхности с выносом 2 130 м. от устья. В качестве функции источника использовался импульс Рикера с доминирующей частотой 60 Гц. В
общем случае расчёт матриц Грина - очень затратная процедура, т.к. необходимо многократно решать прямую задачу (в общем случае, это число равно количеству точек сетки в целевой области). Однако, в данном примере, вмещающая среда не зависит от горизонтальной координаты X. Это означает, что достаточно рассчитать матрицы Грина для одного сечения X = const и далее
выбирать необходимые значения из уже насчитанных массивов. Мы вычисляем матрицы Грина в частотной области с помощью итерационного метода «с почти аналитическим» предобуславливателем, предложенного в [4]. Вектор правых частей d представляет собой
волновое поле, рассеянное на целевом объекте для каждой частоты Wj. d вычисляется как действие соответствующего
борновского оператора на вектор, задающий возмущение модели. Давление рассчитывалось как для упругой формации (т. е. без учёта скважины, заполненной жидкостью) через нормальные компоненты тензора напряжений: P = 0.5 • Sxx + sZZ). Для оценки устойчивости каждого из сценариев наблюдений к помехам, в рассчитанные сейсмограммы вносилась аддитивная помеха (белый гауссовский шум с нулевым мат. ожиданием) с заданным уровнем (40dB по отношению к полной сейсмограмме).
4. Обращение. Для каждого сценария наблюдений строился оператор (3) для набора из 25 частот, равномерно расположенных в интервале [5,125]Гц. с шагом Df = 5 Гц. Далее строилось его SVD разложение, [L*L] = VSV*, где V-ортогональная матрица, столбцы которой (правые сингулярные векторы) являются базисом в пространстве моделей, S = diag(s2) - диагональная матрица, на диагонали которой в убывающем порядке расположены квадраты сингулярных чисел исходной матрицы (2). Искомое возмущение (точнее, его оценка) находится как действие r-псевдообратной матрицы [1] на данные, искажённые помехой: mEST = [LL]+ d = [VS-1V*]d , где r- означает число ненулевых сингулярных чисел, взятых для построения псевдообратной матрицы. Параметр r определяет число обусловленности усечённой системы (cond = s1/sr), т. е. устойчивость решения к помехам и его разрешённость. r - играет роль регуляризирующего параметра.
Успешное решение обратной задачи всегда подразумевает компромисс между разрешённостью результата и его устойчивостью. Улучшение в разрешающей способности может достигаться только за счёт потери
Рис.2: Сечения плотности и импедансов для вмещающей (синим) и возмущённой модели (красным)
устойчивости. При оценке устойчивости, в свою очередь, необходимо учитывать ещё и уровень помех в данных, предполагаемый или измеренный. Для каждого сценария наблюдений, при заданном уровне помехи существует оптимальное значение параметра усечения г-, при котором достигается минимум среднеквадратической ошибки (MSE, англ. mean-squared error) между восстановленными параметрами модели и их правильными значениями. Критерий оценки результатов обращения для различных сценариев был основан на этой величине. Модели, построенные при оптимальном значении г- можно назвать «наилучшими достижимыми моделями». Среднеквадратическая ошибка
представляется как сумма двух слагаемых: MSE = trace[cov mEST ] + |\mTrue - ^m^J2
= U2 + B2. Первое слагаемое - след матрицы ковариации модели описывает дисперсию параметров модели, т.е. устойчивость их определения; второе слагаемое - разрешённость восстановленных параметров (здесь R - означает матрицу разрешающей способности, mTrue - правильное распределение
параметров). Матрицы [cov mEST ] и R строятся при известном SVD линейного
оператора (2). Для иллюстрации эффективности восстановления целевого объекта при различных сценариях наблюдений мы используем величину: KQC = Ul\mTrUe\ + B/\\mTuue\\ = U + B, в некотором смысле близкую к относительной
среднеквадратической ошибке: RRMSE = ^(U/\\mTrue\|)2 + (B/|\mTrue\|)2 . На рис. 3.
приведены значения KQC при восстановлении упругих параметров Ip, Is, р для
различных сценариев наблюдений при фиксированном уровне помех. При этом указывается, какая часть ошибки вызвана неустойчивостью, а какая -разрешающей способностью.
Рис. 3. Величина квс при восстановлении упругих параметров для различных
сценариев наблюдений (указаны цветом). Верхний рисунок соответствует Р-импедансу; средний - Б-импедансу; нижний - плотности
Благодарности
Работа частично поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований, гранты 10-05-00233, 11-05-00947, 11-05-12022 и 12-05-00943.
1. Kostin V., Tcheverda V., R-pseudoinverse for compact operator in Hilbert spaces: existence and stability ^ext]/ Kostin V., Tcheverda V // J. Inverse and Ill-Posed Problems -1995-V.3.-P. 131-148.
2. Lebrun D., Richard V., Mace D. and Cuer M. SVD for multioffset linearized inversion: Resolution analysis in multicomponent acquisition [Текст]/ Lebrun D., Richard V., Mace D., Cuer M.// Geophysics - 2001-V.66 - P. 871-882.
3. Menke, W. Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory [Text] / Menke W.// -1989- 2nd edn, Academic Press, New York.
4. Neklyudov D., Silvestrov I., Tcheverda V., Frequency domain iterative solver for elasticity with semi-analytical preconditioner [Text]/ Neklyudov D., Silvestrov I., Tcheverda V.// 81st SEG Annual Meeting - 2011-extended abstracts - P. 2931 -293 5.
О И.Ю. Сильвестров, Д.А. Неклюдов, В.А. Чеверда, 2012
