SVD анализ линеаризованного оператора обратной задачи динамической теории упругости для анизотропных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 520.834

А.С. Сердюков

ИНГГ СО РАН, Новосибирск

SVD АНАЛИЗ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ОПЕРАТОРА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

A.S. Serdyukov

Trofimuk Institute of Petroleum Geologu and Geophysics SB RAS (IPGG)

Acad. Koptug av.3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

SVD ANALYSIS OF LINEARIZED INVERSE PROBLEM OPERATOR FOR ELASTOFYNAMIC SYSTEM IN ANISOTROPIC MEDIA

The problem of anisotropic media parameters definition is observed in the work. The problem is linearized. The parameters of the “containing” media C° are expected to be known and

their small disturbances dC0 are searched. We consider two formulations of the inverse problem:

dynamic and kinematic. In the dynamic approach differences between “true” observed wavefield and computed for the current parameter values artificial wavefield are used as the initial data. In the inverse kinematic problem variations of waves travel-times are used. For the both observed approaches the problem adds up to the solution of linear equation DB < dC >= du , where dB is Freshe derivative of initial nonlinear inverse problem operator. On basis of numerical SVD of linear operator dB matrix approximation the analysis of inverse problem solution stable subspaces was made.

Работа посвящена исследованию возможности восстановления параметров анизотропной среды при решении линеаризованной обратной задачи для уравнений теории упругости. Параметры C0 «вмещающей» среды

"У

предполагаются известными и отыскиваются их малые возмущения dC0

Изучены две постановки обратной задачи: динамическая и кинематическая.

Рассмотрим динамическую постановку. Решение прямой задачи описывается уравнениями теории упругости:

2- с дг4 дщ ^ _д_(г дщ г дщ'

^11 я ^13 я Д 44 я 44 Д

1 V ^Х1 ^Х3 J 3 V ^X1 )

3 ы, д

р----------1- = —

dt2 дх

д\ д Р 3 “

д

+ — <Эх,

(г ^+г ь.''

^13 я ^33 д

. дх1 дхз У

(0.1)

V1

-г 0

"у

дг дхх

Внесём малые возмущения в параметры среды: с.. = с° +dc.., р = p0 + dp,

соответствующее решение задачи (0.1) будем искать в виде: u^ = u + du, где du возмущение волнового поля, соответствующее возмущению параметров. Вмещающая среда с параметрами с° предполагается изотропной и

однородной, а малые возмущения dс могут быть произвольными. После

подстановки в уравнения (0.1), отбрасывая величины второго порядка

малости (Борновское приближение), переходя в частотную область, получаем:

( д (

(А + // )V(Vб/г/) + ц Ас/и + рсогс1и = ~

(0.2)

дхі

д

ди

й^С, , —^ + с/С, 11 Эх, 1

ди3

Эх,

Эх,

\

44 /-ч 44 /-ч

Эх3 Эх, ,

Э

Эх

э

Эг/,

Эг/

с1С::^-с1С

Эх3 Эх, ,

Эх.

з V

"13

3 V

Эх,

"33

дх.

з / у

Из уравнения (0.2) получаем линейный оператор, связывающий возмущение параметров с возмущением волнового поля:

сій =

13

ачСіз

а

зз У

/і

ч/зУ

(0.3)

где ^ целевая область, / вектор правой части системы (0.2), а С матрица Грина соответствующей задачи с нулевой правой частью.

В качестве данных для решения обратной динамической задачи используются разность измеренного и рассчитанного волнового поля для текущего значения параметров. Для исследования возможности восстановления анизотропных свойств среды при решении обратной задачи для уравнений теории упругости была выбрана следующая параметризация: сир, съър, сир, с44р, р. Выбор данной параметризации мотивирован тем, что

именно в терминах с записывается закон Гука, а затем и уравнения эластодинамики (0.1). Умножение коэффициентов с на плотность р связано

с тем, что, как было показано, оптимальными параметрами для ВСП в изотропии являются упругие импедансы, а параметры сир, съър, сир, с44р являются «естественным продолжением» оптимальной параметризации на случай анизотропной среды. Кроме этого при такой параметризации рассматривается сразу же общий случай анизотропного возмущения в изотропной среде (не обязательно трансверсально изотропного) что так же является преимуществом.

Рассмотрим следующую систему наблюдений и параметры вмещающей среды изображённые на рис. 1:

Рис. 1

Целевая область показана на рис. 1 прямоугольником. Приёмники располагались так же с шагом 10 м, а значения волнового поля в приёмниках дискретизовалось по частоте с шагом в 1 Ш, для интервала частот соответствующего импульсу Риккера с доминирующей частотой 30 Ш, который был использован в качестве зондирующего сигнала.

Было проведено численное SVD (сингулярное разложение) матричной аппроксимации линейного оператора действующего из пространства неизвестных в пространство данных. DB-.dC du, использовалась процедура CGESVD из библиотеки LAPACK. В каждый из параметров поочерёдно вносилось возмущение (горизонтальный слой от 23 до 26 по оси z), а затем соответствующий вектор из пространства неизвестных проецировался на линейное подпространство, натянутое на первые правые сингулярные вектора для заданного числа обусловленности ( ю 3 ). Были исследованы проекции для разных выносов. Проекции (результаты «восстановления») для выноса источника 400 м. показаны на рис. 3:

Рис. 3

В качестве исходных данных в кинематической задаче используются вариации времён прихода волн. Из уравнений (0.1) следует характеристическое уравнение:

det

С

П-г -

С

-1

Р

Р

С +С

13 44

Р

Г г

х г

С +С

13 44

Р

т г

х г

С С

- + Ь«Г --і

~ 2 х р р .

= 0

(0.4)

где г время прихода волны. Внося возмущения в параметры: с = с" +сК ',

получим возмущение времён прихода: г = г0 + с/г, считая вмещающую среду

изотропной, после подставки в (0.4) получаем для с1т, соответствующего Р-волне выражение:

С1т = -I |[^СП(Г°)4 + с1С31(тУ + 2(^С13 + 2^С44)(г°)2(г°)^о

г“ , (0.5)

где интегрирование ведётся по лучу го в невозмущённой среде. Если вмещающая среда однородна , то го для каждой пары источник-приёмник есть просто прямая, а производные г°,г° равны направляющим косинусам этой прямой. Заметим, что из формулы (0.5) видно, что параметры <1С13 и dC44

связаны друг с другом. Была взята система наблюдений изображённая на рис. 4.

Источники и приёмники брались с одинаковым равномерным шагом, целевая область дискретизовалась с тем же шагом по обеим осям.

Так же как и для динамической задачи был проведён SVD анализ матричной аппроксимации линейного оператора (0.5). Затем строились проекции возмущений параметров (горизонтальный слой от 18 до 22 по глубине) на линейные подпространства, соответствующие старшим сингулярным векторам (число обусловленности ю 3). Результат «восстановления» показан на рис. 5.

Источники, 20 штук

Рис. 4

л

г

Возмущение в С11

С11 СЗЗ С13+2С44

Рис. 5

Из проекций изображённых на рис. 3 и рис. 5 видно, что при решении динамической задачи с вертикальной системой наблюдения (рис.1) хорошо восстанавливаются лишь два параметра среды: рС.33 и /Х'44, а при решении обратной динамической задачи с системой наблюдений такой как на рис.4. восстанавливается лишь один параметр сзз. Таким образом можно сделать вывод что анизотропные свойства сред при вертикальной системе наблюдений практически не восстановимы в рамках исследованных двух подходов.

© А.С. Сердюков, 2010