Анализ сингулярного разложения линеаризованного оператора динамической теории упругости для сред с поглощением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.834 Е.С. Ефимова

НГУ, ИНГГ СО РАН, Новосибирск.

АНАЛИЗ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО ОПЕРАТОРА ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СРЕД С ПОГЛОЩЕНИЕМ

E.S. Efimova

Novosibirsk State University (NSU)

2 Pirogova Street, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG)

Acad. Koptyug av. 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation

SVD ANALYSIS OF LINEARIZED OPERATOR FOR ELASTIC WAVE EQUATIONS WITH ATENUATION

An inverse problem for 2D elastic wave equations with attenuation is studied in this work. Viscoelasticity is introduced using a generalized standard linear solid model. In order to develop an efficient numerical method for determination of attenuation parameters a singular value decomposition analysis of linearized forward modeling operator was performed. It was shown that attenuation parameters for pressure and shear waves may be reconstructed reliably using surface acquisition system.

ВВЕДЕНИЕ

Моделями сред с поглощением, с достаточно высокой точностью, описываются флюидонасыщенные породы, такие как резервуары углеводородов. При этом поглощающие свойства среды напрямую зависят от состава флюида. Известно, в частности, что газовые резервуары могут характеризоваться аномально высокими поглощающими свойствами. По этой причине разработка эффективных численных методов и алгоритмов определения именно поглощающих свойств среды является в настоящее время объектом множества исследований.

Основным вопросом, встающим прежде всего при разработке таких методов, является принципиальная возможность или невозможность определения поглощающих свойств среды по данным сейсмических наблюдений. Важность этого этапа исследования можно проиллюстрировать, например, известным фактом [9], что для определения плотности среды по отраженным волнам необходимы данные с недостижимо низким в настоящее время уровнем помех. В настоящей работе проводится исследование возможности восстановления поглощающих свойств среды по данным поверхностных наблюдений в рамках обобщенной стандартной модели твердого тела. С этой целью используется аппарат, развиваемый в работах Чеверды и др. [4,7,9] и основанный на анализе сингулярного разложения возникающего оператора прямой задачи. При этом проводится процедура усечения сингулярного спектра и строится проекция искомого решения на сингулярные векторы, отвечающие большим сингулярным числам. Это

позволяет проанализировать качество получаемого численного решения в зависимости от уровня помех во входных данных.

ТЕОРИЯ

Процессы формирования и распространения волн в среде с поглощением можно описать следующей системой (см. [8]):

р1и=^

тг 2(Уи+¥“’)

' де,,(х,т)

аЦ(Х’1) = I ОЦк!(Х’(— Т) Мдт ат’

—ю

где р - плотность, и - вектор скоростей, а - тензор напряжений, е -тензор деформаций, О^ - тензор релаксаций.

Основываясь на обобщенной стандартной модели твердого тела [1, 3, 6] и т -методе [2], в двумерном случае данная система в частотной области примет следующий вид:

да да

¡три =—хх + ^тх~

И X дх да а

¡три = ^х- +

И - дх д-

ди

¡та = ^уи(Х + 2ц)(\+(Ь — Я)тр) — 2ц(\+(Ь — Б)Т)^т— + /^)3(х — X )

хх дг я

и и

¡тахг = (-~х+-^ )М(1+(Ь—я)Т)+/ №(х—хя)

ди

¡та = йми(Х + 2ц)(\+(Ь — Я)тр ) — 2ц(\+(Ь — Б)Т)+ /^)3(х — х ),

дх я

где - параметры Ламе, тр ,Т - параметры поглощения, Ь -количество механизмов, используемых в обобщенной стандартной модели

Ь 1

твердого тела (далее считалось, что Ь = 2) и Я = V-------- . По отношению

,^тт , + 1

1=1 а1

к данной системе будем рассматривать обратную задачу. По информации, записанной в приемниках, расположенных на поверхности земли, о режиме

колебаний и| = иоЬ (х,т), восстановить параметры поглощения Тр,Т.

Предположим, что параметры среды можно представить в виде суммы постоянных составляющих и малых возмущений, позволяющих провести

линеаризацию: тр = тр0 + 8тр ; Т = тя0 + ЗТ . Остальные параметры среды

(плотность и параметры Ламе) предполагаются постоянными, а параметры

поглощения в начальной среде равными нулю: тр = т^ = 0 . При этом

волновое поле может быть представлено в следующем виде: и = и + ди , где

и - волна, распространяющаяся в однородной среде, а ди - компонента,

порожденная малыми возмущениями параметров среды.

Применяя данную линеаризацию и опуская малые второго порядка исходная система перепишется в следующем виде:

Ь

(Л + Ц0 + ц Ад и + т2рди = —(Л + 2 ц)(Ь — V-

1

0 ^0'

‘0

и

21(Зт*^°)—д

дх дг дг

и

21 (д^~^)—I

0 и

дТ (- х0

0

, '¡тт ,+1 1=1 а1

)У(8тр^уы0 ) +

и

дТ (-

д-

и

-0■

х0

х

и

г 0'

д- дх

При этом уравнение распространения волны в однородной среде выглядит следующим образом:

(Л + ц )У^уи0 + цАщ + т2р0Л = —Р(т)-д д(х—х^) .

Нетрудно видеть, что матрица Грина уравнения для возмущений совпадает с матрицей Грина задачи для однородной среды. Таким образом, используя этот факт, а так же явное представление матрицы Грина для однородной среды, мы можем получить формулы, описывающие возмущение волнового поля в зависимости от возмущений параметров

среды: ди(х,т) = | К(х,т,%)дтр(%)с1£ + ^ К2(х,т,£)дТ(%)^% , где Б -

целевая область, в которой параметры среды претерпевают возмущения, % -координаты точки области, по которой ведется интегрирование. При этом К, К2 записываются в явном виде. Или можно переписать эти формулы в

~р —*■ о

операторном виде: ди(т,хг) = БВ(т,хг,%) < (дТ(%),дт (%) > , где БВ -

линеаризованный оператор.

Таким образом, для определения параметров поглощения требуется решить интегральное уравнением первого рода. Наиболее важным аспектом, который необходимо учитывать при разработке численных методов решения подобных уравнений является компактность возникающего линейного оператора и, следовательно, отсутствие у него ограниченного обратного. Заметим, что любой компактный оператор в гильбертовых пространствах допускает сингулярное разложение, отличающееся стремлением к нулю сингулярных чисел, и, как следствие стремление к бесконечности числа обусловленности получающейся при этом матрицы. Следуя работам [4], [7] предлагается анализировать свойства решения с помощью усечения сингулярного разложения. Эта процедура заключается в том, что решение задачи приближается вектором, который является проекцией искомого

решения на линейную комбинацию правых старших сингулярных векторов. При этом число г, привлекаемых сингулярных векторов, контролирует обусловленность задачи и позволяет построить решение с приемлемой точностью.

ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Для анализа сингулярного разложения линеаризованного оператора использовалась модель среды, изображенная на рис. 1. Предполагалось, что приемники располагаются на поверхности Земли с шагом 40м. Целевая область представляет собой квадратную область 1000 х1000 м на глубине 1 000 м от поверхности и покрывалась сеткой 40 х 40 м. На целевую область перпендикулярно падает плоская продольная волна. В качестве зондирующего сигнала использовался импульс Рикера с доминирующей частотой 15 Гц. Параметрами однородной вмещающей среды брались

-з

следующие величины: Ур = 3000 м/с, У3 = 2000 м/с, р = 2200 кг/м .

На рис. 2 изображены сингулярные числа линеаризованного оператора. Видно, что они быстро стремятся к нулю. Этого и следовало ожидать, так как данная матрица является аппроксимацией компактного оператора. Далее

_о

будем рассматривать число обусловленности задачи 10 2, что соответствует, как видно из рис. 2, в районе 600 старшим сингулярным векторам, привлекаемым при усечении сингулярного разложения. На рис. 3 изображена истинная модель среды, на рис. 4 - проекции на старшие сингулярные вектора. Таким образом, видно, что хорошо восстанавливается граница

параметра Т, и полностью параметр Т. Более того, параметры поглощения являются несвязанными, то есть возмущение одного из параметров не влияет на возмущение другого.

3000

АААААААААААААААА

10001

1000,

Плоская Р-волна

м

1000 м

Рис. 1. Модель среды, используемая при анализе сингулярного разложения

Рис. 2. Сингулярное разложение оператора в логарифмической шкале

40

м

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено детальное исследование линеаризованного оператора динамической теории упругости для случая сред с поглощением. На основе анализа сингулярного разложения оператора в двумерном случае была обоснована возможность независимого восстановления параметров поглощения продольной и поперечной волн по данным сейсмических наблюдений, зарегистрированных на поверхности Земли.

Рис. 3. Истинная модель среды

Рис. 4. Проекции неоднородности, изображенной на рис. 3, на старшие сингулярные векторы

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Asvadurov, S., Knizhnerman, L., and Pabon, J. Finite-difference modeling of viscoelastic materials with quality factors of arbitrary magnitude [Text] / S. Asvadurov, L. Knizhnerman, J. Pabon // Geophysics. - 2004. - Vol 69. - P. 817-824.

2. Blanch, J.O., Robertsson, J.O.A., and Symes, W.W. Modeling of a constant Q:

Methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique

[Text] / J.O. Blanch, J.O.A. Robertsson, W.W. Symes // Geophysics. - 1995. - Vol. 60. - P. 176-184.

3. Carcione, J.M. Seismic modeling in viscoelastic media[Text] / J.M. Carcione //

Geophysics. - 1993. - Vol. 58. - P. 110-20.

4. Cheverda, V.A., Clement, F., Khaidukov, V.G., Kostin, V.I. Linearized inversion of

multioffset data for vertically-inhomogeneous background [Text] / V.A. Cheverda, F. Clement,

V.G. Khaidukov, V.I. Kostin // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. - 1998. - Vol. 6. - P. 455-477.

5. Crampin, S. A review of wave motion in anisotropic and cracked elastic-media [Text]

/ S. Crampin // Wave motion. - 1981. - Vol. 3. - P. 343-391.

6. Liu, H.P., Anderson, D.L., and Kanamori, H. Velocity dispersion due to anelasticity:

implications for seismology and mantle composition [Text] / H.P. Liu, D.L. Anderson, H. Kanamori // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. - 1976. - Vol. 47. - P. 4158.

7. Kostin, V.I., Tcheverda, V.A., r-Psedoinverse for compact operators in Hilbert space: existence and stability [Text] / V.I. Kostin, V.A. Tcheverda // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. - 1995. - Vol. 3. - P. 131-148.

8. Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости [Текст] / Р. Кристенсен // Москва: Мир, 1974. - С. 338.

9. Сильвестров, И.Ю. Прогнозирование строения среды ниже забоя скважины с помощью многокомпонентного обращения данных ВСП с выносным источником [Текст] / И.Ю. Сильвестров // Технологии сейсморазведки. - 2007. - № 3. - С. 44-50.

© Е.С. Ефимова, 2010