CC BY
33
УДК 550.834
Е.В. Лысь, В.В. Лисица, Г.В. Решетова, В.А. Чеверда ИНГГ СО РАН, Новосибирск
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО КАРОТАЖА В ТРЕХМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ С ПОГЛОЩЕНИЕМ
E.V. Lys, V.V. Lisitsa, G.V. Reshetova, V.A. Tcheverda Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS Acad. Koptyug av., 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
FINITE-DIFFERENCE SIMULATION OF ACOUSTIC LOG IN 3D HETEROGENEOUS TTI WITH ATTENUATION
On the base of the application of a finite-difference approximation of an initial boundary value problem for elastic wave equations (velocity/stress formulation), numerical method and its algorithmic implementation have been developed in order to perform a computer simulation of sonic logging. The very general statement is dealt with - surrounding medium allowed to be 3D vertical transversely isotropic heterogeneous with attenuation and source can be located at any point inside or (TTI) outside the well. To provide the most precise description of the sharpest interface of the problem - the interface of the well, we formulate the problem in cylindrical | coordinates with z _axis directed along the well.
In order to truncate area of computations was used classical version of Perfectly Matched Layer (PML). Implementation of parallel computations is done via Domain Decomposition Data exchange between Processor Units is performed with the help of Message Passing Interface library. Results of numerical experiments for VTI (TTI) media are presented and discussed.
Введение:
Ключевое предназначение метода акустического каротажа это детальное определение структуры и механических свойств пород в околоскваженной зоне, посредством измерения и изучения волнового поля генерируемого источником сейсмоакустических волн расположенным в скважине. Эта задача в упрощённой постановке (скважина в однородной изотропной среде) впервые была исследована в работе [2]. Впоследствии множество авторов внесло свой вклад в изучение этой проблемы [5][6]. Однако и в настоящее время существует острый дефицит детальных описаний (определений, законов) акустических волновых полей для реалистичных неоднородных трехмерных сред с анизотропией и поглощением. Поэтому численное моделирование с высоким разрешением и учётом реалистичных механических характеристик среды в первую очередь анизотропии и поглощения, является на сегодняшний момент важнейшим подходом к изучению волнового поля возникающего при акустическом каротаже. В работе представлен метод конечно-разностного моделирования акустического каротажа для системы уравнений упругости, где тензор упругих модулей не имеет квазидиагональной структуры, что позволяет моделировать задачи с произвольной анизотропией и TTI в частности. При таком виде тензора
упругих модулей появляется необходимость использовать специальные схемы (схема на повернутых сетках, схема Лебедева) поскольку сдвинутая сетка Верьё [8] не позволяет аппроксимировать решение такой системы. Авторами было принято решение использовать схему Лебедева, поскольку она обладает рядом преимуществ в сравнении со схемой на повернутых сетках.
Поглощение в анизотропной среде:
Для введения поглощения мы предлагаем естественное обобщение подхода представленного в[9].
Для начала напомним, что в изотропной среде поглощение вводится независимо для P и S волн и определяется добротностями Q (а) и Q (а) . В
анизотропной среде ввести поглощение независимо для каждой из трёх волн qP, qSV и qSH не представляется возможным. Рассмотрим тензор связывающий тензор напряжений с полной историей изменения тензора деформаций для вязкоупругой модели среды в частотной области:
Ck(а) = Ck (ОХ1 + Re Рт (а) +i Im Рт(а)],
Следствием того, что тензор является комплекснозначной функцией частоты, будет то, что фазовые скорости в свою очередь тоже являются комплексными и имеют схожее представление:
Vj (a,n) = Vj (0,n)[1 + Re a (a,n) + iIma (a,n)], j = 1,2,3
Для определения компонент данного тензора мы должны разрешить следующую задачу:
Восстановить параметры p (а) по комплексным скоростям
(распространения и затухания) измеренным по ряду направлений: а (а, n ), m = 1,..., M
i \ ? m У? ? ?
Как можно видеть этот подход обеспечивает сохранение симметрии (типа анизотропии) и для скоростей и для поглощения.
Мы разработали и применили этот подход для VTI сред со слабой анизотропией [7] и доказали что он приводит к классической постановке задачи теории возмущений применительно к симметричной проблеме собственных значений и требуется как минимум пять независимых измерений(значений) для каждой временной частоты: четыре для qP или qSv и одно для qSh. Затем необходимо построить рациональную аппроксимацию функции добротности посредством применения Обобщенной Стандартной Линейной Модели твёрдого тела [3].
Схема Лебедева:
Не уменьшая общности задачи достаточно рассмотреть наклоненную трансверсально-изотропную среду(ТТ1). TTI среда получается поворотом тензора трансверсально изотропной среды относительно осей координат, т.е. форма индикатрис фазовых скоростей не меняется, меняется только ориентация этих поверхностей в пространстве.
С new old k l j i
= C a a a a
ijkl pqmn m n p q
здесь, а элемент тензора поворота относительно оси координат.
На рис. 1 представлены дискретизация и аппроксимация элементарной ячейки схемы Лебедева в цилиндрической системе координат. Дисперсионные свойства схем Лебедева^) и на повернутых сетках^) подчиняются следующему соотношению:
42NL < NR <43NL ,
где N - число точек на длину волны.
О-а О-и
Ы
дг ІК
Ы
/
дг ІЖ
Ы
/
г ЖК
1 /
г д6
Ы
/•N+1/2 гЫ-1/2
N Зик — ЗІЖК
I—1/2Ж
&
В г пЫ =
Вг ГЗ ]ІЖ
гЫ гЫ
„Г) Г {ЛЫ — /+1/2 ЖК — 3 -1
~ Вг УЗ ]1Ж = 7
И
г
гЫ гЫ
■ Т Г Г~\Ы _ Зі+1/2Ж + Зі-1/2Ж гГ3 ]1Ж = ~ ,
2 гі
/•Ы гЫ
- В,гл Ж =1 1+1/2 к —1 1 -1
гИ
£ ЧИ6
ЫЫ „Г) Г — 3 ІЖК +1/2 — 3 ІЖ -1/
~ В Г3 ]1К =
/2 К
И
Рис. 1. Дискретизация и аппроксимация элементарной ячейки схемы Лебедева в цилиндрической системе координат
Г
Следует отметить, что схема Лебедева может порождать искусственное решение при неправильном задании правой части. При определенной замене переменных в системе уравнений аппроксимирующих исходную дифференциальную задачу мы получаем две независимые системы:
V о Л_д_
ч 0 5 )дг
о в Л
. в
V г
дг
о в Л д
V в6
о
гд6
0 В — С Л
г
С*о
Ґ + Л и
+
^ )
( о Л
,/+)
(рі оЛ д (о вЛ г д + (о ВбЛ д (о Л С — вг 1 (и Л (оЛ
Vо 5) дг В * V г о ) дг , в6 о) гд6 С * V о ) г ,Г)
д
1
о
г
Одна из которых и содержит паразитное решение рис. 3.а), полагая /~ = 0 мы тем самым обеспечиваем равенство этого решения нолю рис. 3.б). Численные эксперименты:
На рис. 4 представлены мгновенные снимки волнового поля для скважины с жидкостью окруженной УТ1(справа) средой со следующими параметрами:
р = 2000 kg / т3 ,^р = 2500 т / s, ^ = 2000 т / s, е = 1.2, у = 0, 5 = 0
и скважины с жидкостью окруженной анизотропной средой, полученной
из УТ1 среды (см. выше), но с осью симметрии образующей угол — с осью
8
/(слева). Как можно видеть такое изменение ориентации поверхности рефракции ведет к существенному изменению волновой картины.
Благодарности:
Работа была выполнена совместно с Научно-исследовательским центром компании ScЫumberger в г. Москве и частично при поддержке грантов РФФИ 07-05-00538 , 08-05-00265 и 09-05-00372.
7.
Рис. 2.Дисперсионные поверхности: схема Лебедева (слева), схема на
повернутых сетках (справа)
а)
Ь)
Рис. 3. Паразитное решение при неправильном задании правой части
(а), корректное решение (Ь)
Рис. 4. Мгновенные снимки волнового поля для скважины окруженной VTI средой (справа) и скважины окруженной TTI средой (слева)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Becache E., Fauqueux, S. Joly P. Stability of Perfectly Matched Layers, Group Velocities and Anisotropic Waves // INRIA, Rapport de recherche n° 4304, Novembre. - 2001. -35p.
2. Biot M.A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid // Journal of Applied Physics. - 1952. - Vol. 23. - P. 997 -1005.
3. Blanch J.O. Modeling of a constant Q: Methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique./ Blanch J.O., Robertsson J.O.A., Symes W.W. // Geophysics. - 1995. - Vol. 60(1). - P.176 - 184.
4. Lisitsa V. Optimal grids for numerical solution of a wave equation in heterogeneous media // Siberian journal of numerical mathematics. - 2005. - 8(3). - P.219 - 229.
5. Qing H. L., Sinha Bikash K. A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stressed formations // Geohysics. - 2003. - Vol. 68(5). - P. 350 - 357.
6. Kostin V., Pissarenko D., Reshetova G., Tcheverda V. 3D Synthetic Acoustic Log for Viscoelastic Media: Finite-Difference Approach // Extended abstracts of 69th EAGE Conference and Technical Exposition, London, 11 - 14 June 2007. - 2007. - P. 96.
7. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. - 1986. - 51(10). - P. 1954 -
1966.
1. Virieux J. Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. - 1986. - Vol. 51. -P. 889 - 901
8. Zhu Y., Tsvankin I., Dewangan P., van Wijk K. Physical modeling and analysis of P-wave attenuation anisotropy in transversely isotropic media // Geophysics. - 2007. - Vol. 72(1), D1 - D7.
© Е.В. Лысь, В.В. Лисица, Г.В. Решетова,В.А. Чеверда, 2009
