Акустический каротаж в трехмерно неоднородных разномасштабных вязкоупругих средах: численный эксперимент Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 550.341 Г.В. Решетова

ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск В.А. Чеверда

ИНГГ СО РАН, Новосибирск

АКУСТИЧЕСКИЙ КАРОТАЖ В ТРЕХМЕРНО НЕОДНОРОДНЫХ РАЗНОМАСШТАБНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕДАХ: ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

G.V. Reshetova

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS Prosp. Lavrentiev 6, Novosibirsk, 630090, Russia V.A. Tcheverda

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS Prosp. Koptyug,3, Novbosibirsk, 630090, Russia

SYNTHETIC SONIC LOG FOR 3D HETEROGENEOUS MULTISCALE VISCOELASTIC MEDIA

Finite-difference (FD) method for 3D simulation of sonic waves propagation in a borehole and surrounding 3D heterogeneous viscoelastic medium is presented. It is based on explicit second-order staggered grid FD scheme that solves the first-order viscoelastic wave equations (velocity-stress formulation) in cylindrical coordinates. Attenuation is implemented via Generalize Standard Linear Solid model. In order to provide desired Quality Factors r -method is applied (Blanch et al., 1995). Essential 3D nature of the waves processes for realistic models claims necessity to use parallel computations. Parallelization is performed on the base of domain decomposition approach and implemented under Message Passing Interface. Result of numerical experiments is presented.

Введение

Акустический каротаж относится к одним из наиболее значимых геофизических методов исследования скважин и прилегающих к ним горных пород. Его теоретическая основа была заложена еще в работе [1], в которой были детально проанализированы процессы распространения аксиально симметричных сейсмоакустических колебаний, вызванных действием источников монопольного типа, погруженных в заполненную жидкостью скважину, находящуюся в однородной упругой среде. Однако, в настоящее время практические нужды связаны с необходимостью изучения строения не только аксиально симметричных, но и существенно трехмерно неоднородных сред. Более того, разрабатываются и уже начинают использоваться на практике источники, основанные на излучении и регистрации неаксиально симметричных полей.

Распространение упругих волн в реальных горных породах характеризуется наличием порой весьма значительного поглощения и связанной с ним дисперсией. Для описания этих эффектов наиболее употребительным является понятие добротности Q, определяемой с помощью обобщенной модели линейного твердого тела.

Надо отметить, что к настоящему времени существует не так много разработок программного обеспечения, основывающихся на использовании цилиндрической системы координат (см., например, [2]. По сравнению с

ними, предлагаемая ниже реализация обладает двумя основными преимуществами:

- Периодическое азимутальное измельчение ячеек пространственной сетки с ростом радиуса;

- Использование для ограничения расчетной области PML без расщепления переменных в азимутальном направлении.

Постановка задачи

Распространение сейсмоакустических волновых полей в неоднородных вязкоупругих средах описывается начально-краевой задачей для t -гиперболической волн системы уравнений в частных производных первого порядка (постановка в скоростях/напряжениях) для цилиндрической системы координат. Для получения заданного значения добротности Q используется т -метод, описанный в работе [3].

Конечно-разностная аппроксимация осуществляется с помощью центральных разностей, реализованных на сдвинутых сетках, как по пространству, так и по времени.

Основной трудностью при реализации конечно-разностных подходов в цилиндрической системе координат является разбухание ячеек при удалении от вертикальной оси и, как следствие, существенное снижение порядка аппроксимации по пространству. Для того, чтобы избежать такой потери точности, мы производим регулярное измельчение шага по азимуту по мере увеличения радиуса.

На рис. ^ представлено взаимное расположение грубой и мелкой сеток. Как видно, для согласования этих двух сеток необходимо произвести интерполяцию перемещений и напряжений по азимуту для некоторых точек. Для того, чтобы обеспечить общий второй порядок аппроксимации схемы, интерполяция должна быть не ниже третьего порядка. При этом необходимо иметь в виду, что такая интерполяция будет выполняться на каждом шаге по времени и, следовательно, соответствующий алгоритм должен обладать максимальным быстродействием. Исходя из этого требования, а также, принимая во внимание периодичность всех переменных задачи по азимуту, мы остановились на интерполяции, базирующейся на использовании быстрого преобразования Фурье. Такая интерполяция обладает экспоненциальной точностью и является наиболее быстродействующей, особенно если число точек задается степенью двух.

Для того, чтобы иметь возможность включения в модель объектов достаточно малого масштаба (типичная ситуация - необходимость учет конструкции скважины) нам необходимо также иметь возможность осуществлять измельчение не только по азимуту, но также и в радиальном направлении (рис. 1б). Предлагаемый нами подход состоит в применении квазирегулярных сеток. Под этим термином понимается изменение шага по пространству путем умножения на некоторое заранее выбранное число. Мы выбирали этот множитель эмпирически, на основе выполнения представительной серии численных экспериментов.

a) Измельчение сетки по азимуту б) Измельчение сетки по радиусу

Рис. 1. Грубая (A) и мелкая (B) сетки. Для того, чтобы перейти с грубой сетки на мелкую, скорости и напряжения должны быть проинтерполированы

в точках, отмеченных ромбами

Численные эксперименты

Нами были проведены разнообразные численные эксперименты для различных положений источника и приемников и моделей вязкоупругой среды. В качестве примера рассмотрим модель, содержащую в себе конструкцию скважины и вертикальную планарную трещину во вмещающем пространстве (рис. 2). Результаты представлены на рис. 3 и рис. 4. На рис. 4 представлена серия моментальных снимков, характеризующих распространение аггв плоскости ф = (0,п) для позиции точечного источника на оси скважины. Доминирующая частота в источнике - 10 kHz. Верхний ряд рисунков соответствует распространению волны в среде без разлома, в то время как на нижней представлена разность между волновыми полями при наличии трещины и без нее.

Объяснение рисунков а), б) и в).

Вертикальная скважина обладает радиусом равным 0.1 м и заполнена буровым раствором. Существует стальная труба толщиной 0.01 ш, охватывающая скважину.

Вокруг трубы расположена цементная обсадка.

Вмещающая среда - трехслойная вязкоупругая, с различными значениями механических параметров.

Вертикальная трещина, проходящая по всей глубине через плоскость с азимутальным углом равным нулю и расположенная по радиусу от г =

0.18 m до г = 0.55 т. Толщина трещины - 0.02 т. Трещина заполнена ' буровым раствором.

Рис. 2: a) вертикальное сечение модели; Ь) горизонтальное сечение модели; ^ увеличенный фрагмент горизонтального сечения

a)

b)

Рис. 3. Давление вдоль скважины: a) при наличии трещины; Ь) разница между волновыми полями при наличии трещины и без нее

Рис. 4. Моментальные снимки агг в плоскости: ф = (0,п) a) модель без трещины;

б) разница между полями в модели с трещиной и без нее

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Biot, M.A.: Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid// Journal of Applied Physics. - 1952. - V. 23. - P. 997-1005.

2. Liu K.H., Sinha B.K. A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stresed formations// Geophysics. - 2003. - V. 68. - № 5. - C. 1731-1743.

3. Pistre,V., Plona, T., Sinha, B., et al.: Estimation of 3D borehole acoustic rock properties using a modular sonic tool//Extended Abstracts of EAGE 67-th Conference and Exhibition, Madrid, Spain. - 2005. - I019.

© Г.В. Решетова, В.А. Чеверда, 2008