CC BY
11
УДК 550.834 Е.С. Ефимова
НГУ, ИНГГ СО РАН, Новосибирск
НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД, ВОЗНИКАЮЩАЯ ПРИ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СЕЙСМИКИ
В работе рассматривается обратная задача для двумерно-неоднородной вязкоупругой среды. Наличие поглощения в среде учитывается с помощью обобщённой стандартной линейной модели твёрдого тела на основе г-метода. Анализируется сингулярное разложение линеаризованного оператора обратной задачи относительно искомых параметров (добротности и скорости для продольных и поперечных волн) в сравнении с диаграммами рассеяния на точечных объектах. Анализируются различные параметризации.
E.S. Efimova
Novosibirsk State University (NSU)
Pirogova Street, 2, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS (IPGG)
Acad. Koptyug av. 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation
AN AMBIGUITY OF RECONSTRUCTION PARAMETERS IN VISCOELASTIC MEDIA, ARISING IN SOLVING THE INVERSE SEISMIC PROBLEM
This paper is about inverse problem for viscoelastic media in 2D case. Attenuation properties of media are involved in equation with generalized standard linear solid model and г - method. Singular value decomposition and diffraction patterns were considered for determination of ambiguity of parameters of viscoelastic media: density, impedances and attenuation properties for pressure and shear waves.
Введение
Флюидонасыщенные породы, такие, как резервуары углеводородов, можно с достаточно высокой точностью описать с помощью вязкоупругих сред. Поглощающие свойства среды напрямую зависят от состава флюида, в частности в газовых резервуарах могут наблюдаться аномально высокие поглощающие свойства. В связи с этим разработка эффективных численных методов для определения параметров вязкоупругих сред является актуальной проблемой, рассматриваемой многими авторами.
При разработке численных методов важным шагом является анализ возможности независимого восстановления параметров по данным сейсмических наблюдений. Для определения плотности среды по отраженным волнам необходимы данные с очень низким уровнем помех, недоступным на
данный момент, этот факт [9] иллюстрирует важность этого шага. В представленной работе проведено исследование возможности восстановления плотности, импедансов и поглощающих свойств среды. Все вычисления проводились с рассмотрением обобщенной стандартной модели твердого тела. С целью определения возможности восстановления параметров среды, рассматривались диаграммы направленности рассеяния [7], а так же изучение было основано на анализе сингулярного разложения возникающего оператора прямой задачи [4, 6, 9]. При этом использовалось усечение сингулярного спектра и были построены проекция искомого решения на старшие сингулярные векторы. Это позволяет проанализировать качество получаемого численного решения в зависимости от уровня помех во входных данных.
Теория
Некоторые материалы обладаюсь свойственным поглощением, вызванным их "памятью". Наличие их памяти означает, что состояние напряжения в какой-то момент t определяется "историей" деформирования. Таким образом вязкоупругие среды могут быть определены следующей системой уравнений([8]):
ди 7
= !(Уи + Уи*)
дг 2 J
г д£ (х р)
ад (хг) = \ Одк1 (хг ~т) к'д '
—00
где р - плотность, и - вектор скоростей, а - тензор напряжений, £ - тензор деформаций, О^ - тензор релаксаций.
В частотной области в двумерном случае с использованием стандартной модели твердого тела [1,3,5] и т -метода [2], данная система перепишется:
да да
Шри = хх + - х
х дх д2
да да три = + ^
2 дх дг
ди
¡соа = йша + 2ц)(\ + (Ь-8)тр)-2ц(\ + (Ь-БУ)—^ + /Н)д(х-х )
XX ¿)2 я
ди ды
ди
¡соа =Жуй(А + 2/и)(1 + (1-8)тр)-2/и(1 + (1-8У)—± + Д1Щх-х ),
дх я
<
где параметры Ламе, тр- параметры поглощения, Ь - количество механизмов, используемых в обобщенной стандартной модели твердого тела
Ь 1
(далее считалось, что Ь =2) и е = V -- . Далее будем рассматривать
7Г(\Т Л- 1
, ^¡ЮТ ,+1 /=1 а/
обратную задачу: по информации о режиме колебаний, записанной в
1=0
приемниках, расположенных на поверхности земли, и\ =и°^(х,со)
восстановить параметры поглощения Тр .
Для линеаризации системы, параметры среды рассматривались в следующем
виде: р = р0 + 8р; Я0 =1 + 81; ц = ц0 + 8ц; тр = тр0 + 8тр; Т = То + 8Т ,
где нижний индекс 0 означает постоянные составляющие, а 8 обозначает малые возмущения параметров. При этом параметры поглощения в начальной
среде считаются равными нулю: тр = гЛ0 = 0 Тогда волновое поле можно
представить в следующем виде: и = и + дй, где й^ - волна, распространяющаяся
в однородной среде, а 8й - компонента, порожденная малыми возмущениями параметров среды.
С учетом линеаризации систему можно переписать в таком операторном виде: 5и{в),хг) = ОВ{в),хг,4)<{5р{ЬмФ,КЬ^р{Ь^вФ> , где ВВ -
линеаризованный оператор. Для определения параметров вязкоупругой среды нужно решить интегральное уравнение. В представленной работе рассматривались диаграммы рассеяния и анализ сингулярного разложения численного оператора. При решении обратных задач, ставится целью получить информацию, соответствующую действительности. Но при численном решении восстановленные параметры могут отображать не истинные возмущения в среде, а, например, неоднородность другого параметра. Такие параметры называются "связанными". Связанность параметров может привести к абсолютно неверному решению задачи. Далее будет приведен анализ связанности параметров.
Численные эксперименты Диаграмма направленности отображает амплитуду рассеянной от точечной области падающей волны в зависимости от угла рассеяния. Отличия диаграмм для разных параметров будут указывать на их несвязанность. В этой работе были рассмотрены три различные параметризации, наиболее приемлемой
р е р s
оказалась следующая: плотность, импедансы и поглощения р, I ,I ,тр ,т . Но при рассмотрении диаграмм рассеяния, оказывается, что формы диаграмм направленности параметров поглощения и импедансов, соответствущих отдельно Р- и отдельно S-волне, совпадают. Но если рассматривать диаграммы для разных частот, то видно, что зависимости от частоты для поглощений и для импедансов отличаются. Итак, используя различия в зависимостях от частот можно попробовать добиться несвязанности импедансов и поглощений на диапазоне частот.
Для анализа связанности параметров также использовался SVD-анализ. Отметим, что линеаризованный оператор задачи компактен, поэтому у него не
существует ограниченного обратного. Известно, что число обусловленности такого численного оператора стремится к бесконечности с возрастанием размерности задачи. Поэтому предлагается рассматривать г-решения, проекции искомого решения на линейную комбинацию старших г сингулярных векторов, соответствующих большим сингулярным числам. При этом число г, привлекаемых сингулярных векторов контролирует число обусловленности оператора и позволяет построить решение с приемлемой точностью.
На рис. 1 изображена модель среды, для которой строились численные результаты. Квадратная целевая область 1000 х1000 м
шагом Ъ, 33, 25. На приемники и зондирующего
_3 00 0_
А Л Л Л А Л Л Л V Л Л А Л А А А
покрывалась сеткой с рассматривались Ъ=100, 50, поверхности располагались источник Р-волны. В качестве сигнала использовался импульс Рикера с доминирующей частотой 15 Гц. Параметры однородной вмещающей среды: Ур = 3000 м/с,
1000
1000!
*
ж
1000
11
Рис. 1. Модель среды, используемая при анализе сингулярного разложения
V = 2000 м/с,, р = 2200 кг/м3
Сингулярные числа оператора ЭБ для разных шагов и разных диапазонов частот изображены на рис. 2. Поведение графиков
отображает тот факт, что линеаризованный оператор компактен. С увеличением частотного диапазона графики выглядят более полого. Далее рассматривались проекции на 1500 сингулярных векторов, что соответствует числу обусловленности 10- . На рис. 3 представлена истинная модель среды - есть возмущение только
поглощений, на рис. 4 -проекции на старшие сингулярные вектора. Таким образом, видно, что поглощения и импедансы
Юх30;юе[5;45]
6000 7000 6000 9000
Номер сингулярного числа, г
являются связанными.
Связанность проявляется отдельно на параметрах, соответствующих Р-вол-не и Б-волне
Рис. 2. Сингулярное разложение оператора в логарифмической шкале
500 1000М МО 500 1000 м
Рис. 3. Истинная модель среды, возмущение в плотности и импедансах
отсутствует
Рис. 4. Проекции неоднородности, изображенной на рис. 3 (в той же цветовой шкале), на 1500 старших сингулярных векторов
Заключение
Было проведено детальное исследование линеаризованного оператора динамической теории упругости для случая сред с поглощением. На основе анализа диаграмм направленности рассеяния и сингулярного разложения оператора в двумерном случае наблюдалась связанность параметров среды. Но при увеличении диапазона частот и уменьшении числа обусловленности связанность параметров существенно уменьшается.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Asvadurov, S., Knizhnerman, L., and Pabon, J. Finite-difference modeling of viscoelastic materials with quality factors of arbitrary magnitude [Text] /S. Asvadurov, L. Knizhnerman, J. Pabon //Geophysics. - 2004. - Vol 69. - P. 817-824.
2. Blanch, J.O., Robertsson, J.O.A., and Symes, W.W. Modeling of a constant Q: Methodology and algorithm for an efficient and optimally inexpensive viscoelastic technique [Text] / J.O. Blanch, J.O.A. Robertsson, W.W. Symes // Geophysics. -1995. - Vol. 60. - P. 176-184.
3. Carcione, J.M. Seismic modeling in viscoelastic media [Text] / J.M. Carcione// Geophysics. - 1993. - Vol. 58. - P. 110-20.
4. Cheverda, V.A., Clement, F., Khaidukov, V.G., Kostin, V.I. Linearized inversion of multioffset data for vertically-inhomogeneous background [Text] / V.A. Cheverda, F. Clement , V.G. Khaidukov, V.I. Kostin // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. - 1998. - Vol. 6. - P. 455-477.
5. Liu, H.P., Anderson, D.L., and Kanamori, H. Velocity dispersion due to anelasticity: implications for seismology and mantle composition [Text] / H.P. Liu, D.L. Anderson, H. Kanamori // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. - 1976. - Vol. 47. - P. 41-58.
6. Kostin, V.I., Tcheverda, V.A., r-Psedoinverse for compact operators in Hilbert space: existence and stability [Text] / V.I. Kostin, V.A. Tcheverda // Journal of Inverse and Ill-Posed problems. - 1995. - Vol. 3. - P. 131-148.
7. Tarantola, A. A strategy for nonlinear elastic inversion of seismic reflection data [Text] / A. Tarantola // GEOPHYSICS. - 1986. - Vol.51. - No. 10. - P. 18931903.
8. Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости [Текст] / Р. Кристенсен // Москва: Мир. - 1974. - С. 338.
9. Сильвестров, И.Ю. Прогнозирование строения среды ниже забоя скважины с помощью многокомпонентного обращения данных ВСП с выносным источником / И.Ю. Сильвестров // Технологии сейсморазведки. -2007. - № 3. - С. 44-50.
© Е.С. Ефимова, 2011
