CC BY
6
УДК 629.7.062
АНАЛИЗ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПО ЭНЕРГЕТИКЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИМ ПРИВОДОМ ОБЪЕКТА ПРИ СОВЕРШЕНИИ ПЛОСКОГО ПОВОРОТНОГО МАНЕВРА
А.Б. Кондратьев, А.В. Кривилев
Рассматриваются вопросы возникновения и уменьшения погрешностей импульсного управления газодинамическим приводом объекта парашютного десантирования при отработке плоского поворотного маневра, удовлетворяющего требованию минимизации запаса рабочего тела.
Ключевые слова: газодинамический привод, оптимальное управление, система ориентации и стабилизации, импульсное управление, эффективность управления.
Существующие ограничения на начальные фазовые координаты объекта парашютного десантирования (ОПД), габариты, массу системы ориентации и стабилизации (СОиС), а также наличие предельной начальной скорости (по статистическим данным реальных ОПД) и фиксированного времени ориентации, выбираемого из «наихудших» начальных условий, позволяют определить закон управления движением ОПД, отвечающий критерию оптимального расхода [1,2]. При этом функция управления 8 имеет три интервала постоянства знака, а переключения 8 происходят на кривой Si - оптимальной по быстродействию управления, и кривой S2 - оптимальной по расходу управления [3].
Анализ движения ОПД в области, ограниченной сверху кривой Si, а снизу кривой S2, позволяет сделать вывод, что наличие трех интервалов постоянства 8, т.е. 3-х интервалов постоянства управляющего момента М, дает возможность трактовать рациональное по расходу управление, как некоторую разновидность релейно-импульсного управления по временной координате. С момента переключения на кривой S2 до достижения заданного конечного состояния 0к движение ОПД складывается из движения при отсутствии момента управления (8 = 0) за время паузы tn (движение с выключенным двигателем) и движения под действием импульса торможения (8 = — 1) за время tH. При этом управление с момента переключения на S2 будем рассматривать как некоторое импульсное управление, состоящее из участков паузы и торможения. Время паузы tn и время импульса tH, при ограниченном сверху времени переходного
процесса ^, связано с параметром, характеризующим эффективность управления
ц = M (где J - момент инерции ОПД), зависимостью J
'и + 'п ^к '
(1)
ц
где значение 0 определяется из совместного решения уравнений разгона ОПД и кривой переключения S2, оптимального по расходу рабочего тела закона управления.
Ввиду того, что время перехода tK, может быть выражено через управляющие
координаты 0 и 0, то для ограниченного сверху tK длительность паузы и длительность импульса торможения также может быть выражена через текущие координаты движения: либо 0, либо 0.
Пусть sign0 =±sign&0, где 0 - текущая скорость, &д- скорость в момент времени t = 0 .
Тогда, вводя обозначения скважности у и частоты у, несложно представить па-
раметры импульсного управления у :
ги + гп
1
ги + гп
1. Представление параметров через текущие значения угла между продольной осью ОПД и направлением ветрового сноса.
(с(С2 -Ь)- В ■ 0)
(2)
У =
У =
(2С + ^ (С2 - Ь) - В ■ 0 1
(2С + (С2 - Ь) - В ■ 0)
и
20 0
где С = ^ + ^°зщп0о, В = —, Ь
2
3 3ц ^ " 3ц 3
2. Представление параметров через текущие значения скорости ОПД
0
= 20 о
у цУ'
У =
1
2 V
й +1
н
0 0 0 0
- + -
(3)
з1еп0о.
н 2н 2 н н н
В частности, при 0о = 0 параметры импульсного управления принимают вид а) как функции текущего значения угла
У =
Г к Т - 20 13 J 3ц
_ 3 \ Г к у _ 20 1 3 ) 3ц 1
2?
+
3 V
Ч V
3
20 3ц
б) как функции текущего значения скорости
0
у--
2ц
0,
■0
У =
ц 1
2ц,
- 0
(4)
(5)
На рис. 1 и рис. 2 представлены зависимости основных параметров оптимального управления, состоящего из одного цикла импульс-пауза от текущего значения
_ Т
скорости ОПД при различных значениях ц и гк (где Т0 = —0 ).
г
и
2
0
У
0
Рис. 1. Зависимость скважности импульсного управления от текущей скорости объекта
Рис. 2. Зависимость относительного периода импульсного управления от текущей скорости объекта
На рис. 3 и рис. 4 представлены зависимости параметров оптимального управления от текущего значения угла ОПД при различных значениях ц и tк.
У
0,45
0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05
/
/
А <м /
а
/ /
«р/
/
/
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Рис. 3. Зависимость скважности импульсного управления от текущего значения угла объекта 320
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
X е S ■Л*
V— t N
\ "г ч ч
0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 g
Рис. 4. Зависимость относительного периода импульсного управления
от текущего значения угла
Анализ полученных зависимостей показывает, что изменение значения эффективности управления ц влияет только на диапазон регулирования, а характер зависимостей не изменяется. Более предпочтительным является управление по текущему значению скорости 0, так как в этом случае в диапазоне возможных значений углов и скоростей зависимость, характеризующая вид управления Ф = yTQ » const, т.е. управление должно быть частотно-импульсным.
В случае управления по текущему значению угла требуется реализация нелинейных зависимостей параметров управления, что может служить источником дополнительных методических ошибок.
Анализируя полученные выражения, можно показать, что особенностью полученного импульсного управления является изменение скважности в возможном диапазоне параметров движения от 0 до 0,5-0,6. Известные импульсные СОиС всегда «пробегают» весь возможный диапазон значений скважности от 1 до 0, т.е. в момент включения управления скважность начинает изменяться от значения у = 1, при этом наклон
статической характеристики у = F(ивх) таких систем постоянен (здесь ивх - входной
сигнал СОиС)[4].
Так как в рабочем диапазоне изменений параметров движения функция (yTQ) практически постоянна, то необходимо вычислить один раз требуемую длительность импульса как функцию начальных и текущих параметров и управлять изменением паузы между импульсами.
Однако, такому импульсному управлению присущи недостатки:
1. «Низкая» частота модуляции приводит к появлению ошибок за счет линеаризации характеристик управления у = F(ивх) , Tq = F(ивх).
2. Возможно появление методической ошибки, вызванной тем, что импульсное управление с равной вероятностью может начаться с паузы, а не с импульса, если не принять специальные меры.
Случайные и методические ошибки датчиков измерения, пульсация напряжения питания, неточность реализации системы управления могут привести к тому, что в реальной СОиС появляются ошибки, которые могут привести к непопаданию в область допустимых значений 9доп. Все эти ошибки, однако, в реальной системе могут быть
учтены соответствующим изменением параметров импульсного управления ошибкой (в паузе).
Возможность непопадания в область 0доп значительно снижается в случае повышения частоты модуляции. При этом смягчаются требования к точности реализации кривой переключения £2 оптимального по расходу закона управления и значительно упрощается реализация СОиС, так как при использовании импульсного управления реализуется только одна кривая переключения, которая носит линейный характер в области возможных значений текущих координат ОПД.
Желательным для рассматриваемого класса ОПД является повышение частоты модуляции и в случае требований по значительному уменьшению угловых скоростей на начальных углах.
Однако, поскольку только при оптимальном, состоящем из одного цикла импульс - пауза, управлении СОиС полностью отвечает выбранным критериям качества, при повышении частоты модуляции появляются временная и угловая ошибки, величину которых необходимо оценить. Экспериментальные исследования газодинамического привода СОиС показали целесообразность рассмотрения импульсного управления при повышенной частоте модуляции, так как в этом случае значительно повышалась тяго-вооруженность СОиС. Причины полученного эффекта потребовали анализа газодинамических процессов в приводе и анализа составляющих ошибки.
Оценим увеличение расхода рабочего тела при использовании предложенного импульсного управления по сравнению с оптимальным по расходу управлением за счет появления угловой и временной ошибок при поворотном маневре. Анализ составляющих угловой и временной ошибок позволяет оценить степень приближения к оптимальности импульсного управления. Кроме того, некоторые составляющие суммарной ошибки могут быть устранены или уменьшены после анализа природы их возникновения. Реализация как оптимального, так и многоимпульсного управления должна предусматривать начало такого управления с паузы. В противном случае в СОиС появляется ошибка при управлении по текущему значению угла, равная
0 • t
Д0 = ^, (6)
т
где т - показатель повышения частоты модуляции.
Учитывая, что из многообразия кривых переключения оптимального по расходу закона управления для реализации выбирается единственная кривая, соответствующая максимально-возможной препятствующей скорости 0о, выражение (6) можно представить в виде
Д010 =■
20. 00 0 2 0
+-2 2ц2
V Ц Ц
(7)
т
Анализ зависимости позволяет сделать вывод, что эта составляющая ошибки, в общем случае, является равновероятной и обратно пропорциональной повышению частоты модуляции.
При управлении по текущему значению 0 выражение для этой составляющей ошибки может быть записано как
Д010 =
0-(т -1) 0'
т
t 0t
= -2-. (8) т т
То есть, в этом случае составляющая ошибки меньше, так как зависит от квадрата показателя повышения частоты модуляции т.
Зависимость относительной величины ошибки от значения параметра т приведена на рис. 5.
Рис. 5. Зависимость величины ошибки от показателя повышения частоты
модуляции т
При переходе к временной ошибке зависимость (8) принимает вид
=Ъ- (9)
т
Однако эта составляющая ошибки может быть устранена довольно просто схемными методами. В случае использования функционального модулятора импульсное управление гарантировано начинается с паузы путем введения дополнительного смещения в релаксационную схему.
Вторым по значимости фактором, вносящим ошибку и приводящим к погрешности отработки СОиС закона управления, является величина чистого запаздывания газодинамического привода, обусловленная в основном, инерционностью исполнительного механизма и регулятора давления.
Известно, что при импульсном управлении учет запаздывания можно произвести соответствующим уменьшением длительности импульса, в данном случае импульса торможения [5]. Воспользуемся этим свойством для определения этой составляющей ошибки. При управлении по скорости угловая ошибка, вызванная уменьшением длительности импульса равна
т ( уд Л
ле 2е = I е - -Л'.Л (10)
¿=1
V т У
где Л/и - величина, на которую соответственно уменьшился импульс. Значение Л/и является величиной легко определяемой по разнице времени срабатывания и отпускания исполнительного механизма привода.
Временная составляющая этой ошибки имеет вид
Л» = I (1 - ~ V (11)
¿=1 V т У
Для реализации предложенного алгоритма управления с учетом временного запаздывания, будем рассматривать систему как оптимальную систему «компенсированного» временного запаздывания [6], что позволит учесть ошибку и уменьшить её простым смещением линии переключения [7].
Следующим фактором, вносящим погрешность в отработку СОиС предложенного закона управления, является отклонение теоретической кривой переключения, носящей параболический характер, от аппроксимирующей её, реально реализуемой
управляющей функции £2 = 0 + кф. Величину этой ошибки нетрудно оценить, воспользовавшись методом наименьших квадратов. Однако, в случае повышения эффективности управления вес этой составляющей ошибки становится в 8-10 раз меньше остальных и ей можно пренебречь при рассмотрении вследствие близости к прямой участка линии переключения при увеличенном ц.
Если в силу некоторых дополнительных ограничений повышение эффективности управления невозможно, аппроксимацию необходимо производить по участкам, принимая во внимание, что один из них реализуется при насыщении датчика угловой скорости (ДУС), а два других определяются из критерия наименьших квадратов. При этом аппроксимация приводит только к смягчению требований на постоянство времени перехода /к.
При повышении частоты модуляции возникает угловая ошибка за счет разницы в прохождении участка свободного движения, так как только при первом импульсе движение в паузе происходит со скоростью, равной скорости свободного движения (или, что то же, равной скорости в момент выключения разгонного управления). Все остальные циклы имеют ошибку. Так как предпочтение отдано управлению по скорости, суммарная угловая ошибка за счет разницы времен может быть представлена уравнением
&- X
А0* =■
г=1
0
(I - 1)0
т
1„
т
Временная составляющая примет вид
г V
А30 =
1
V
^и 1=1
I - 1
т
(12)
(13)
(14)
Суммарная временная ошибка Дг может быть определена как
Аг = Аг1 + Аг2 + Аг3.
Анализ полученного выражения показывает, что она достигает максимального значения при повышении частоты модуляции в 2 раза, а минимального при т = 3 для значений времени перехода от 10 до 25 с. При этом для наихудших сочетаний параметров временная ошибка не превышает 11% по отношению к времени перехода для случая использования кривой переключения £2 при & о = 0. Уменьшение временной ошибки до минимума осуществляется доворотом кривой переключения £2 на некоторый угол а = ф(Аг), т.е. построение кривой переключения следует вести с учетом определенной максимальной временной ошибки [7].
Таким образом проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
1. С точки зрения уменьшения погрешности системы необходимо повышение частоты модуляции и введение управления по скорости или по параметру, непосредственно зависящему от скорости.
2. Для уменьшения ошибок системы и упрощения реализации СОиС желательно управление длительностью паузы, а не импульса, т. е. использование частотно-импульсного метода управления, что дополнительно подтверждено экспериментальными исследованиями реальных ОПД.
3. Для рационального выбора параметра т, где 1 < т <_Ы_ необходимо срав-
1н ш1п
нить суммарную Д0 с параметрами допустимой области 0 0доп , обеспечить схемными методами гарантированное начало процесса управления с паузы и реализацию «дина-
мической» кривой переключения. При этом при значениях начальных параметров ОПД 0q меньших 0Qmax, происходит частичная компенсация как угловой, так и временной
ошибки за счет использования кривой переключения S2, соответствующей выбранному максимальному значению препятствующей скорости.
Список литературы
1. Силовые системы управления парашютируемыми объектами / Геращенко А.Н., Глазунов В.В., Попов Б.Н., Толмачев В.И. // под ред. Толмачева В.И. М.: Изд-во МАИ, 1995. 168 с.
2. Кондратьев А.Б. Кривилев А.В. Анализ законов движения объекта с газодинамическим приводом постоянной тяги в режиме плоского поворотного маневра // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 10. С. 283 - 291.
3. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / Фельдбаум А.А. М.: Наука, 1963. 553 с.
4. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно-и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Изд-во «Техника», 1970. 340 с.
5. Рабинович Л.В. Методы фазовой плоскости в теории и практике релейных систем. М. Л.: Энергия, 1965. 152 с.
6. Репников А.В. Колебания в оптимальных системах автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1968. 239 с.
7. Бальбух В.В. и др. Динамические свойства релейных и импульсных следящих электроприводов. М.: Энергия, 1972. 232 с.
Кондратьев Андрей Борисович, канд. техн. наук, доцент, kondr48@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (НИУ),
Кривилев Александр Владимирович, д-р техн. наук, профессор, alexkrivi-lev@gmail. com, Россия, Москва, Московский авиационный институт (НИУ)
THE ANALYSIS OF ENERGETICALLY RATIONAL CONTROL MOTION LAWS OF THE GAS-DYNAMIC ACTUATOR OF OBJECT WHICH MAKES A TURNING
MANEUVER IN PLANE
A.B. Kondratyev, A. V. Krivilev
The paper deals with the issues of occurrence and reduction of deviation of a pulse control of the gas-dynamic actuator of the parachute-dropping object which makes a flat turning maneuver that meets of the requirement of minimizing the working fluid reserve.
Key words: a gas-dynamic actuator, optimal control, orientation and stabilization system, efficiency.
Kondratev Alexander Borisovich, candidate of technical sciences, docent, kondr48@,mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),
Krivilev Alexander Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, alexkrivilev@,gmail. com, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)
