Анализ эффективности тонкостенных ферромагнитных экранов на основе решения интегро-дифференциального уравнения для скалярного магнитного потенциала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»



УДК 621.31 3

СЛ. Важнов, А.Г. Калымов

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЭКРАНОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО МАГНИТНОГО ПОТЕНЦИАЛА

Для анализа экранирующего эффекта тонкостенных ферромагнитных оболочек широкое применение нашли различные формулировки интегральных методов расчета [1—4]. В значительной степени это объясняется тем, что при их реализации необходимо подвергать дискретизации только область, занятую материалом ферромагнетика. Это особенно существенно в тех случаях, когда характерные размеры расчетной области на несколько порядков превышают толщину ферромагнитной оболочки и построение непрерывной сетки, необходимой в случае применения альтернативных дифференциальных методов расчета, приводит к резкому росту размерности решаемой задачи.

Эффективный численный метод расчета магнитного поля в присутствии тонкостенных ферромагнитных оболочек предложен в [5]. Он основан на представлении напряженности полного магнитного поля в виде суммы поля сторонних источников Нс(г) и магнитного поля, созданного намагниченной оболочкой Нт (г)

Н (г ) = Нт (г ) + Нс (г).

Если распределение сторонних источников в пространстве известно, то соответствующая компонента напряженности магнитного поля может быть найдена, например с помощью закона Био—Савара.

В области, где отсутствуют электрические токи (мы будем в дальнейшем считать, что это условие выполняется и для пространства внутри экранирующей системы), можно ввести скалярный магнитный потенциал

Н (8) = -У и (8).

Полный магнитный потенциал и(г) может быть представлен в виде суммы потенциала 11с (Г) сторонних источников и потенциала ит (г ^созданного объектами с намагниченностью М(г)

и (8) 2 ит (8) + ис (8). (1)

Первое слагаемое в правой части последнего равенства выражается известным из теории потенциала интегральным соотношением

V. (8) - í ЙВД®..

4-п г - г Г

(2)

где 0.т — область, занятая намагниченным материалом. Учитывая связь между напряженностью магнитного поля, скалярным потенциалом и намагниченностью

М 2 (ц-\)Н = -(цг- 1)У и,

из соотношений (1) и (2) получаем интегро-диф-ференциалыюе уравнение для скалярного магнитного потенциала

V<8, + («ъ

<г ')<г - г™)

<1Хт= ис <Г).

г - г

(3)

Это уравнение нелинейно, так как магнитная проницаемость ц, вообще говоря, может зависеть от величины и направления вектора напряженности магнитного поля.

Интегро-дифференциальное уравнение (3) может быть использовано для расчета магнитного поля в присутствии произвольных ферромагнитных объектов. Однако его непосредственное применение для анализа тонкостенных ферромагнитных экранов на практике приводит кзначительным вычислительным ошибкам, в первую очередь, в связи с относительно большой погрешностью численной аппроксимации производной потенциала в направлении, нормальном к оболочке. В связи с этим для описания тонкостенного ферромагнитного экрана предлагается использовать скалярный магнитный потенциал, усредненный по толщине оболочки V и зависящий от двух координат, определяющих положение точки на поверхности оболочки [1]. В результате пространственное интегро-дифференциальное уравнение сводится к аналогичному поверхностному уравнению для уфед-ненного скалярного магнитного потенциала и

и(?)+± Г ВУ,и(?')(?~7')ахт = иЛ7).

#ппт \г - г

Решение полученного уравнения позволяет определить напряженность магнитного поля в любой точке пространства. Сделать это можно различными способами.

1. Напряженность магнитного поля в любой точке может быть найдена как сумма стороннего поля и поля, создаваемого намагниченной оболочкой:

Н(8 ) 2 } ^ ^ - + Не (8 ).

Этот способ предпочтителен, если точка наблюдения расположена за пределами экранирующей системы. В противном случае применение последней формулы приводит к увеличению погрешности расчетов, особенно для систем с высокой степенью экранирования.

2. Если анализируемая область расположена внутри замкнутой экранирующей оболочки, то напряженность магнитного поля в ней можно восстановить по найденному на первом этапе решения задачи распределению потенциала на поверхности оболочки. Для этого достаточно воспользоваться одним из известных методов решения краевых задач, например методом конечных элементов. При таком комбинированном подходе удается избежать потери точности, характерной для других методов, традиционно применяемых для анализа систем с тонкостенными ферромагнитными оболочками [2, 3, 5].

Аппроксимация интегро -дифференциального уравнения на основе метода коллокаций. Для аппроксимации интегро-дифференциалыюго уравнения (4) необходимо разбить оболочку на отдельные элементы. В качестве базового элемента выбрана тонкая треугольная призма (рис. 1). Локальная координатная система в таком элементе определяется тройкой единичных векторов п т, т2 ри А:-го элемента скалярный магнитный потенциал, усредненный по толщине призмы, ик,т2) может быть аппроксимирован с использованием финитных функций ф/4)(Т[, т2), широко применяемых в теории метода конечных элементов [6]:

¿7(* >(т,, т2) = >ф<* >(т,, т2),

(5)

Рис. 1. Схема базового

элемента и система координат

где — потенциалы базовых узлов в треугольнике, расположенном в центре призмы, а/ — количество таких узлов (оно совпадает с числом независимых финитных функций). Последняя величина зависит от порядка полинома, используемого для аппроксимации потенциала. Так для функций 1-го порядка 1= 3, а базовые узлы совпадают с вершинами треугольника. Для функций 2-го порядка 1= 6, а к базовым узлам в вершинах добавляются середины сторон треугольника (рис. 1). Поверхностный градиент потенциала внутри А;-го элемента быть выражен через значения магнитного потенциала в узлах треугольной сетки, причем коэффициенты перед узловыми потенциалами зависят только от геометрических характеристик расчетной области:

Vs ^(т,, т2 ) = Х U\k)

дт.

-т, +

дФ}

(к) Л

дт

Таким образом, скалярный магнитный потенциал, создаваемый тангенциальной компонентой вектора намагниченности, для тонкой оболочки может быть выражен через значения потенциала в узлах треугольной сетки:

U(Г ) = Uc (Г ) + Х " 1) ~

4п

EU?> J

nlt>

/=l

дф

(A) ^

(6)

дт, дт2

г - г

Если подставим координаты узлов треугольной сетки в полученное выражение, то получим систему А нелинейных уравнений с А^неизвестными узловыми потенциалами.

Отметим, что при использовании аппроксимирующих функций 1-го порядка V = const и, следовательно, каждыйэлемент намагничен однородно.

Точность численного решения интегро-дифференциалыюго уравнения (4) существенно за-

висит от точности вычисления коэффициентов системы уравнений, которые выражаются через сингулярные интегралы в выражении (6). Необходимо отметить, что эти интегралы абсолютно сходятся во всех точках пространства, включая поверхность намагниченной призмы. При реализации описанной математической модели были получены аналитические выражения для указанных интегралов в случае применения аппроксимирующих функций первого и второго порядков, атакже асимптотические выражения, которые использовались для расчета потенциала в точках, находящихся на значительном удалении от намагниченной призмы.

Применение метода взвешенных невязок

для аппроксимации интегро-дифференциального уравнения

Решение уравнения (4) с использованием метода коллокаций подробно рассматривается в [5]. Альтернативный способ аппроксимации этого уравнения, позволяющий существенно повысить точность решения, основывается на методе взвешенных невязок Бубнова—Галеркина. Для реализации этого метода воспользуемся аппроксимацией потенциала (5). Стандартная процедура, соответствующая методу взвешенных невязок с весовыми функциями фу(т [, т2), приводит к формированию системы алгебраических уравнений вида

(ау + ьу) 2 \ис(т,,т2)ф;(т,т2)йЮй!

I п„,

/= 1,2.....А,

с коэффициентами

аУ 2 1ф< (т1»Т2 ) Ф./ (т1»Т2 »

(7)

была выбрана цилиндрическая катушка прямоугольного сечения, создающая резко неоднородное магнитное поле в области расположения сферического экрана. Предварительно было получено аналитическое решение этой задачи.

Аналитический расчет напряженности магнитного поля тонкостенной сферической оболочки, расположенной в поле цилиндрической катушки с током

Рассмотрим задачу расчета стационарного магнитного поля сторонних токов, протекающих вблизи полой сферической оболочки из материала с постоянной магнитной проницаемостью ц (рис. 2). Вне источника стороннего поля определим скалярный магнитный потенциал ¿7, удовлетворяющий уравнению Лапласа. В сферической системе координат, центр которой совпадает с центром оболочки, функция ¿/(г, ф) удовлетворяет уравнению

1 д ( , диЛ

г~-1 +

г2 дг

1 д ( . ЕдиЛ

, т--1 вт Е-1 +

дг ) г2 вт Е дЕ I дЕ )

1

ди

г~ Е д~у

2 0.

Метод разделения переменных позволяет записать решение последнего уравнения в виде [7]

г 1 г ( г (ц, - 1)Уф(8 )(п - 8),

п„ п„, ^ - г\

Для расчета этих интегралов была использована численная схема интегрирования Гаусса 2-го порядка, причем внутренние интегралы в выражении (7) рассчитывались аналитически.

Для оценки точности расчета магнитного поля с применением описанных альтернативных методов аппроксимации интегро-дифференциалыю-го уравнения был проведен расчет экранирующего эффекта сферической тонкостенной оболочки с постоянной магнитной проницаемостью. В качестве первичного источника магнитного поля

Рис. 2. Схема поперечного сечения полой сферической оболочки, расположенной в поле цилиндрической катушки

9

и (г, E, Ф)= £1 Д,г" + ^ (9, Ф)

п-0

где5„ (в, Ф) = Е («„„, С08'"Ф + Р,™ вт/иф^,"' (совд).

т=0

Здесь: А„, Вп, апт, Р„,„ - подлежащие определению коэффициенты; ¿"„(Ф, ф) — поверхностные сферические функции «-го порядка; Рп'"(сое Ф) — присоединенные функции Лежандра.

С учетом последнего соотношения решения для потенциала в областях 1 и 2 примут вид

и® = £гя sn 0

(8)

п=0

U(2) ^ X

и=0

А^г" +

D

(2) Л

.н+1

s„.

В выражении для потенциала lfl) слагаемые с

ко-

эффициентами отсутствует, поскольку при /•=0 потенциал должен иметь конечное значение.

На поверхности раздела сред 1 и 2 (г = Кх) граничные условия для потенциала вытекают из непрерывности самого потенциала и нормальной компоненты индукции магнитного поля:

V

О)

= иЩ

ц-

ди(2)

дг

диП

=- Цо"

дг

+ Ц0 Нгс. (12)

Для однозначного определения коэффициентов А/г Бп необходимо задать еще одно граничное условие для потенциалов. С этой целью приравняем полный скалярный магнитный потенциал на поверхности радиуса Я2 сумме потенциалов сторонних токов ис и ферромагнит-

ной оболочки Um:

и

(2)

= V

(2)

R,

+и(2) .

т I

к, 1л,

(13)

Потенциал 11с сторонних токов в областях 7, 2 является непрерывной функцией и может быть разложен в ряд Фурье по сферическим функциям:

СО

V = 1 г" ^.

и=0

Здесь учтено, что в начале координат (/•= 0) функция ис имеет конечное значение.

Коэффициенты апт, Ря,„ определяются на основе стандартных процедур, соответствующих расчету коэффициентов разложения по ортогональным функциям. В рассматриваемом случае они принимают вид [7]

Цо"

dU(])

дг

ди(2)

дг

(9)

В области 3 полный скалярный магнитный потенциал ¿7, вообще говоря, не существует. Поэтому здесь напряженность магнитного поля будем определять как сумму напряженности магнитного поля стороннихтоков Н[Ъ) и напряженности Н^ териалом:

Н(Ъ) 2 я<3) + \ (Ю)

Второе слагаемое в правой части последнего соотношения может быть выражено через скалярный потенциал магнитного поля ферромагнетиков 11т:

н™ \

На внешней поверхности сферической оболочки (/•= Л2) радиальная компонента индукции магнитного поля непрерывна, следовательно, с учетом соотношений (10), (11) получаем

2n + 1~ж

а«о jdw \ue (( ,E(x(dx';

4nR.

2 0 -1

h„

(in + l)(n - m)\

(n + m)\

2iz +1

x jdw cos m w JUc ((, E, w) (x)dx; (14)

о -i

_ = (n + l)(n - m)\ x Pnm 2nR (n + m)\

2iz +1

x jdw sin mw \UC ((, E, w)) (x()x.

Здесь x = cos t Uc(R2> t ф) — потенциал стороннего поля на сфере радиуса Я2.

Потенциал магнитного поля ферромагнетика удовлетворяет равенству

и? = £ 9rSn

=ог

ввиду того, что при г —> да потенциал и^р не может принимать бесконечно большое значение.

Совокупность граничных условий (9), (12), (13) позволяет определить неизвестные константы Д|2), Х),|3) и тем самым найти решение рассматриваемой задачи.

В частности, в области 1 выражение для постоянной интегрирования в (8) имеет вид

А™ =-,

Ц (2и +1)2 /(цг (п +1) + п)

п(цг +1) +1 -

п(п +1)(цг-1)

Л ^

2//+1 Л

,(15)

Цг (п +1) + п

\ к2 /

где цг= ц/ц0 — относительная магнитная проницаемость вещества оболочки.

Итак, использование соотношений (8), (14), (15) позволяет рассчитать магнитное поле катушки постоянного тока внутри находящейся вблизи нее ферромагнитной оболочки. Заметим, что для оболочки, помещенной в однородное магнитное поле, полученные в работе соотношения приводят к известным результатам, изложенным, например, в [8].

Анализ численных результатов

Для расчета магнитного поля внутри сферического экрана исследуемая оболочка была предварительно разбита натонкие треугольные призмы так, как это показано на рис. 3. При формировании расчетной модели дискретизации подвергалась только 1/8 часть сферы. Остальная часть оболочки включена в модель с учетом симметрии задачи по отношению к отражению в трех главных координатных плоскостях.

Была исследована точность расчета магнитного поля внутри экранированного объема при

различной степени дискретизации оболочки, а также для двух различных методов аппроксимации интегро-дифференциалыюго уравнения. Общее количество тонких треугольных призм при проведении расчетов варьировалось в пределах от 160 до 2560, при этом соответствующее количество узлов треугольной сетки изменялось от 93 до 1329. Магнитная проницаемость материала оболочки была принята равной цг = 1000, а толщина оболочки с1/Л =0,01, где Л — средний радиус сферы. Полный ток в катушке составил 1000 А. Результаты расчетов приведены на рис. 4 и в таблице.

Как видно из приведенных результатов, применение метода взвешенных невязок позволяет получить значительно более высокую точность по сравнению с методом коллокаций при одинаковой степенидискретизации и соответственно при сравнимых затратах вычислительных ресурсов.

Рис. 3. Схема разбиения сферической оболочки на элементы для расчета магнитного поля внутри

-аналитическое решение

Д численное решение

-аналитическое решение

А численное решение

Рис. 4. Результаты аналитического (-

-) и численного (А) расчетов напряженности магнитного

поля внутри сферической экранирующей оболочки для разных сечений по оси г (а) и у (б)

Сравнительные результаты расчета магнитного поля внутри сферической экранирующей оболочки

Основные результаты. В статье рассмотрены особенности применения интегро-дифференци-ального уравнения для скалярного магнитного потенциала в задачах анализа тонкостенных ферромагнитных оболочек. Показано, что для адекватного описания таких систем в первом приближении может быть использован скалярный потенциал, усредненный по толщине обо-

лочки. Для расчета характеристик магнитного поля внутри экранированного объема предлагается использовать метод конечных элементов. Это позволяет избежать представления напряженности магнитного поля в виде суммы полей первичных и вторичных источников, в результате чего повышается точность расчета напряженности поля внутри экранированного объема. Выполнено сравнение численных результатов с аналитическими для тонкого сферического экрана с постоянной магнитной проницаемостью, исследована точность расчета напряженности магнитного поля при различной степени дискретизации оболочки. Показано, что применение метода взвешенных невязок значительно повышает точность решения интегро-дифференциаль-ного уравнения по сравнению с методом колло-каций при сохранении общего количества независимых переменных.

разными методами

Число узлов Точность, %

Метод взвешенных Метод коллокаций

невязок

93 1,9 12,6

217 1,15 7,3

345 0,91 5,4

817 0,68 3,0

1329 0,61 2,3

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ронинсон А.Д. Общее решение магнитоста-тических и электрических задач для поляризованных оболочек // Электричество. 1990, N° 1.

2. Brunotte X., Мешег G. Line element for efficient computation of the magnetic field created by the thin iron plates // IEEE Trans, on Magnetics. 1990. Vol. 26, N° 5.

3. Guerin C., Tanneau G., Meuner G., Brunotte X., Albertiiii J.B. Three dimensional magnetostatic finite elements for gaps and iron shells using magnetic scalar potentials // IEEE Tmns. on Magnetics. 1994. Vol. 30, N° 5.

4. Igaraslii H., I lonma T. An analysis of thin magnetic materials using hypersingular integral equations // IEEE Trans, on Magnetics. 1996. Vol. 32, N° 3.

5. Калимов А.Г. Применение интегродиффе-ренциального уравнения магнитостатики для расчета тонкостенных ферромагнитных экранов // Электричество. 1999, N° П. С. 54-59.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

7. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.

8. Штафль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах. М.-Л.: Энергия, 1966.

УДК 678.681

Ю.В. Щербина, В.И. Солонец

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАСКАТЫВАНИЯ ВЯЗКОГО МАТЕРИАЛА В МНОГОЗВЕННЫХ ВАЛКОВО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ АППАРАТАХ

Раскатывающие валково-цшшндрические аппараты используются во многих промышленных агрегатах для нанесения на технологические поверхности тонких слоев вязкого ве-

щества. Это могут быть процессы лакирования, окраски, а также формирования тонких слоев жидкого полимера, клеевой композиции и т. д.