CC BY
95
Московченко Леонид Васильевич - ОАО «Научно-производственное объединение «Карат»; e-mail: [email protected]; 196066, г. Санкт-Петербург, Московский пр., 212; тел.: 88124068290; к.т.н.; генеральный директор; генеральный конструктор.
Тупиков Владимир Алексеевич - e-mail: [email protected]; д.т.н.; профессор; заместитель генерального директора по научной работе; заместитель генерального конструктора.
Павлова Валерия Анатольевна - e-mail: [email protected]; к.т.н.; директор Центра обработки изображений в системах специального назначения.
Крюков Сергей Николаевич - e-mail: [email protected]; к.т.н.; главный научный сотрудник.
Созинова Мария Владимировна - e-mail: [email protected]; старший научный сотрудник.
Moskovchenko Leonid Vasilyevich - OJSC "Research and Production Company "Karat"; e-mail: [email protected]; 212, Moskovskiy pr., Saint Petersburg, 196066, Russia; phone: +78124068290; cand. of eng. sc.; general director; chief designer.
Tupikov Vladimir Alekseevich - e-mail: [email protected]; dr. of eng. sc.; professor; deputy director general of scientific research.
Pavlova Valeria Anatolyevna - e-mail: [email protected]; cand. of eng. sc.; director of the image processing center.
Krjukov Sergey Nikolaevich - e-mail: [email protected]; cand. of eng. sc.; chief researcher.
Sozinova Maria Vladimirovna - e-mail: [email protected]; senior researcer.
УДК 621.3.017.31+621.3.017.32
И.Б. Подберезная
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ
Ставится задача создания универсальной математической теории квазистационар-ных электромагнитных процессов, протекающих в электромеханических устройствах с использованием метода пространственных интегральных уравнений в трехмерной постановке. Рассматривается расчетная область, состоящая из совокупности отдельных подобластей: ферромагнитной и проводящей сред, а также токонесущих элементов. Основные уравнения Максвелла для квазистационарного поля с помощью тождеств векторного анализа сводятся к системе уравнений, использующей вектора намагниченности и плотности тока. Дискретная модель среды выбирается из условия кусочно-постоянной аппроксимации распределения этих векторов по объёму вещества. В качестве элементарных объёмов используются прямоугольные призмы. Полученные дискретные уравнения в векторном виде понимаются как обобщенная форма записи представления проекций векторов в декартовой системе координат. В работе приводятся примеры вычисления элементов матриц, характеризующих геометрию магнитной системы. Производные по времени представляются в конечно-разностном виде в соответствие с неявным методом Эйлера. На каждом интервале времени пространственные соотношения системы реализуются численно. Алгоритм расчета складывается из послойного решения для каждого временного шага системы нелинейных алгебраических уравнений.
Электромеханические системы; квазистационарное электромагнитное поле; метод пространственных интегральных уравнений; векторный магнитный потенциал; магнитная индукция; напряженность магнитного поля; намагниченность вещества; вихревой ток простой слой электрических зарядов; сингулярные интегралы.
I.B. Podbereznaja
APPLICATION OF THE SPATIAL INTEGRATED EQUATIONS FOR CALCULATION OF QUASISTATIONARY ELECTROMAGNETIC FIELDS IN ELECTROMECHANICAL DEVICES
The task of creation of the universal mathematical theory of the quasistationary electromagnetic processes proceeding in electromechanical devices with use of a method of the spatial integrated equations in three-dimensional statement is set. The settlement area consisting of set of separate subareas is considered: ferromagnetic and carrying-out environments, and also current-carrying elements. Maxwell's main equations for a quasistationary field by means of identities of the vector analysis are reduced to system of the equations, magnetization using a vector and current density. The discrete model of the environment gets out of a condition ofpiecewise and continuous approximation of distribution of these vectors on substance volume. As elementary volumes rectangular prisms are used. The received discrete equations in a vector look are understood as the generalized form of record of representation ofprojections of vectors in the Cartesian system of coordinates. In work examples of calculation of elements of the matrixes characterizing geometry of magnetic system are given. Derivatives on time are presented in a final and differential look to compliance with Euler's implicit method. On each interval of time spatial ratios of system are realized chislenno. The algorithm of calculation consists of the layer-by-layer decision for each temporary step of system of the nonlinear algebraic equations.
Electromechanical systems; quasistationary electromagnetic field; method of the spatial integrated equations; vector magnetic potential; magnetic induction; intensity of a magnetic field; magnetization of substance; vortex current; simple layer of electric charges; singular integrals.
Существуют целые классы электротехнических устройств, принцип действия которых обусловлен использованием эффектов насыщения стали, вихревых токов в массивных участках магнитопровода, КЗ витка и явлениями гистерезиса. К таким устройствам можно отнести: быстродействующие электромагниты автоматических выключателей; различные типы броневых электромагнитов постоянного (учет переходных режимов) и переменного токов; электромагнитные приводы клапанов трубопроводной арматуры и др. С точки зрения проектирования таких устройств представляет интерес не только анализ распределения электромагнитного поля, но и вычисление на его основе интегральных характеристик, таких как электромагнитные силы, потокосцепление, токи, ЭДС. Проектирование электромагнитных систем на основе моделей с эффектами, обусловленными наличием вихревых токов и гистерезиса не позволяет использовать аналитические или численно-аналитические методы расчета электромагнитных полей.
Среди численных методов расчета наибольшее распространение получили метод конечных разностей (МКР) [1], метод конечных элементов (МКЭ) [2 ,3], метод граничных элементов (МГЭ) [4 ,5] и метод интегральных уравнений [6, 7].
Подавляющее большинство программ для расчета электромагнитных полей реализует МКЭ или МГЭ. Среди них ANSYS, Maxwell, Flux 2D и 3D, FEMM 3D. Наиболее мощным в плане функциональности является пакет COMSOL Multiphysics, созданный компанией The COMSOL Group и предназначенный для конечно-элементного анализа в различных областях физики и инженерного дела. Пакет AC/DC Module разработан для расчёта электромагнитных эффектов, включая электростатику, магнитостатику, электромагнитную квазистатику. Созданная компанией Integrate Engineering Software программа FARADAY 3D представляет собой решающее устройство для полей вихревых токов. Это лишь некоторые из наиболее известных программ в этой области. Тем не менее перечисленные методы расчёта трёхмерных нелинейных электромагнитных полей и созданные на их основе программные продукты, универсальные по форме, всё ещё остаются недос-
таточно эффективными. На точность результатов существенно влияют правильность выбора границы расчетной области, задание граничных условий, свойства материалов, оптимальность наложения сетки на расчетную область.
Лучшие практические результаты в области расчета полей электромагнитных систем получены интегральными методами [11]. По сравнению с конечноэлементными эти методы имеют ряд преимуществ. При их использовании снимается проблема граничных условий в случае «открытых» систем, исчезают трудности с нанесением сетки на геометрические детали и зазоры с малыми размерами, исключается из рассмотрения свободное пространство, что позволяет существенно сократить объём расчётной области. Ещё одно преимущество - это относительно простое получение интегральных характеристик магнитного поля (потокосцепле-ния, силы, токов, ЭДС.) в элементах магнитной системы, поскольку каждый элементарный объём, независимо от их количества, несет в себе некоторую среднюю характеристику поля. В трёхмерных задачах все эти преимущества становятся принципиальными.
Все перечисленные обстоятельства (объёмность модели, учёт вихревых токов и гистерезиса, расчет интегральных характеристик поля) позволяют сделать вывод об актуальности дальнейшего развития методов интегральных уравнений, в частности метода пространственных интегральных уравнений (ПИУ) [11].
Целью данной работы является постановка задачи создания универсальной математической теории квазистационарных электромагнитных процессов, протекающих в электромеханических устройствах с использованием метода ПИУ.
Для квазистационарного поля справедливы основные уравнения Максвелла
[12]:
следствия из них
уравнения связи
и краевые условия
тт т dB
rot H = J ; rot E =--------------------------,
dt '
div B = 0; div J = 0,
B = ц0(и + M); J = yE
Rot E = 0; Rot H = 0; Div J = 0; Div B = 0; ->0; |H(M, t)-
(1)
(2)
(3)
(4)
->0.
м ’ I V ’ А м
Здесь H, B - соответственно вектора напряженности и индукции магнитного поля; M - вектор намагниченности вещества; J = ^ - в общем случае
- сумма плотностей вихревого и стороннего тока; E - вектор напряженности электрического поля; , е0 - соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума; у - удельная электрическая проводимость; п - единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2; £ - поверхностная плотность свободных зарядов.
Используя уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала, созданного токами в проводниках (макроскопические токи) [12. С. 296], получим
A = — пр 4тг
I ¥
dV+ХТ/
J„
dV
r
J
Определим векторный магнитный потенциал от намагниченности вещества. Для этого векторный магнитный потенциал Амаг всей совокупности молекулярных токов, циркулирующих во всех элементах магнетика [12. C. 296] преобразуем с помощью соотношений векторного анализа к виду [12. C. 297-298]:
rot М гт х M
А = —
маг л
4л
ж
Mxr V =*,
r 4л
-dS
V S
Таким образом, полный векторный магнитный потенциал в переменном электромагнитном поле будет иметь выражение
А = А + А =-^0
пр маг 4л
iff dV + fffr0tM dV -<ff ПхМ dS + fff ^ dVj
JJJ y JJJ y JJ Y JJJ y
. (5)
Здесь J - вектор плотности вихревого тока, J - вектор плотности тока катушки, M - намагниченность в точке, принадлежащей объёму dV, V - проводящая и одновременно ферромагнитная область, S - поверхность, ограничивающая область V, Vj - объем, занимаемый катушкой.
Отметим, что представление векторного потенциала в (5) соответствует известной модели, в которой ферромагнетик заменяется микротоками с плотностью
J = rot M, (6)
микро v '
и расчетная область превращается в однородную магнитную среду с магнитной проницаемостью [9].
Если применить операцию rot к выражению (5) и использовать правило вычисления ротора [13. С. 398], получим
rot
J
= ^rot J + grad r
1
х J.
(7)
С учетом того, что grad
1 I r
— I = — [12. С. 610], получим
B = -££■ 4л
I dV + 1
rot M х r
r
dV -
(n х М) х r
dS +iif
J х r
dV
V V S Vj
где J вих - плотность наводимого в проводящем объеме вихревого тока.
Заметим так же, что rot J = 0 и rot (n x M) = 0 (так как ротор относится только к точке наблюдения, а J и (n x M) находятся в точке интегрирования). Тогда напряженность магнитного поля H из уравнения связи определится
как
H = — B - M = Mo
(8)
4л
:<д.. + Л|ММхГд..
-dV,
- M.
V V Б *0
Уравнение (8) можно представить иначе, если составляющую напряженности от намагниченности вещества записать в виде [9; 12. С. 269]:
S
V
J
r
V
Г
Г
3
3
4л
= - grad
#
V s M • r
(Mn)
ds-sa^dv
і Н = ¿iii
4 л
v4л v
3(M • r)r M'
dV.
Тогда вместо (8), согласно теореме разложения Гельмгольца, напряженность поля можно представить в виде суммы безвихревой и соленоидальной составляющих, первая из которых задается истоками вектора (намагниченностью), а вторая -вихрями
h=-!
4л
iii
3(M • r)r M'
dV-iiidV -iii
•ст X Г
3 d- ,,, -3тГ~ dVj r JriJ r
(8а)
V ' VV
Вихревая составляющая напряженности магнитного поля взята со знаком «минус» поскольку изменен порядок векторного произведения в формуле (7). Вектор плотности тока в проводящей среде (вихревой ток) [12. С. 456]:
ЭЛ
Jвих =У Е = ^ ^
фе - скалярный электрический потенциал, определяемый простоїм слоем электрических зарядов с плотностью £ на границе 5” области V [7. С. 191; 14. С. 355]:
Фе =
h- if!dS■
С учетом (9), получим для вектора плотности вихревого тока
р [ ЗА 1 ^ г ^
J вих =У Е = У ■
dA
dt 4лє
В свою очередь £ рассчитывается по формуле [14. С. 357]:
! = 2є0 n • E = 2єс
dA
n — + grad Фе
= 2є 0 1 1 n
dA
dt
■ + -
1
dS
(9)
(10)
(11)
где п - внешняя нормаль к поверхности 5.
Вектор намагниченности М связан с напряженностью магнитного поля Н магнитной характеристикой материала:
М = / [Н]. (12)
При постоянстве магнитной проницаемости ца , т.е. для линейного режима работы ферромагнитных областей
М = (ц- 1)Н.
где ц - относительная магнитная проницаемость ферромагнетика. Для нелинейного процесса ца будет меняться на каждом временном шаге.
Таким образом, расчет электромагнитного поля сводится к определению век-тор°в: н(а х). м(д, х). а(0, X), Jвих (б. х) и скаляров фе (о, I). Ф, >) как функций пространственных (е. О) и временной (|) переменных при заданном распределении вектора плотности тока катушки J „ (е. I). Q - точка (точка на-
блюдения), принадлежащая объёмам V и V, т. е. V, а О е Б. С этой целью следует решить следующую систему уравнений:
А = ^0 4л
1
Л ¥ *у+Л
V
ж
н
4л
го! М
V V
3(М • г)г М
г
г
‘V-11! ^ ‘V -и/ ^ V
V г V, г
8А
1 ‘Б
\
(13)
¿ = 28 0 М = (ц - 1)н
ЭА + ~^ §“Г ‘Б
8? 4л80 г у
В зависимости от способа возбуждения заданными оказываются различные первичные источники поля. Система (13) позволяет определить неизвестные вторичные источники: вихревые токи, намагниченность ферромагнитных деталей, наведенные на поверхности электрические заряды.
Решение системы (13) проводится численным методом последовательных интервалов времени А?. Производные по времени представляются в конечно-разностном виде в соответствие с неявным методом Эйлера
а (а ^+1)-а (д, ь) а (д, ^+1)-а (д, ^) а (д, ^+1) а (д, ^)
8t ^+1 - ^ Аt Аt Аt
На каждом интервале времени пространственные соотношения системы (13) также реализуются численно, для чего осуществляется пространственная дискретизация расчетных областей 5, V , V на элементарные объемы А V (прямоугольные
призмы) и площадки АБ (прямоугольники), ориентированные по координатным осям х, у, z. Разбиение на прямоугольные призмы (прямоугольники) не является принципиальным ограничением для метода. В [11] предложено воспроизводить форму сложного объекта с помощью шестигранных усеченных пирамид или в предельном (вырожденном) случае в виде треугольных пирамид. Однако использование прямоугольных, а еще лучше кубических призм, позволяет значительно упростить и ускорить вычисление ядер интегральных уравнений. О чем будет сказано ниже.
Разобьем объем V на N призм, объем - V на Мкат призм, поверхность
5 - на N площадок. Внутри каждого элементарного объёма ферромагнетика векторы намагниченности и плотности вихревого тока принимаются постоянными. Таким образом, используется кусочно-постоянная аппроксимация М и 3 в
объёме проводящего ферромагнетика.
В указанных условиях дискретизации плотность объемных микротоков будет равна нулю внутри объемов АV (го!М = 0) и останется только их поверхностная составляющая [12]:
3цпов = М = П12 Х М12,
V
где п12 - вектор единичной нормали на границе объема АУ, направление которого совпадает с внешней нормалью на границе данного объёма АУ; М12 = М1 _ М2 - разность намагниченностей объемов АУ (М1) и соседнего (М12) (рис. 1).
/! /
М3
у / / /
7
М,
¿■-іі'Л'іГі':-, / / / /
1 /
/
/ ЛУі /
(Щ-м2
Рис. 1. Элементарные объемы и векторы намагниченности в них
В связи с этим интегрирование по элементарным объёмам сводится к интегрированию по поверхностям, охватывающим элементарный объем А У. Именно этот подход использован в [11].
Система уравнений (13) для момента времени (к +1) в этом случае представляется в следующем виде:__________________________________________
А =Ь-1 4л
3N
3N
У «ь- • J-х,+У g 2,, • m, + у« з,, • j с
H
4л
3N
3N
Уg5 • M.-У«4 • J -Уg6 • J
/ ; О 11 І / ; С> JJ вих І / і о ^J, ^ ст І
і=1
І=1
і=1
J
вих J
= -у
Ґ А - А
А j(k+i) Aj (k)
3N„
V
At
+ -
4лє
■У g ь, ■%,
0 i=1
J
5 m = -2S 0
A* - A * A y - A y Az - Az
A m(k +1) A m(k) A m(k+1) A m(k) A m(k+1) A m(k)
n*-------------Г------------+ ny----------------Г------------+ nz----------------------------+
At
At
At
1 Ns
+ »--У g J 5 j (k) + n,— У g J 5 J(k) + n,— У g 7» 5
4гсє
0 1=1
4гсє
0 1=1
4гсє
j(k
0 1=1
Mj=(/,-1) Hj,
(14)
а
1
б
1
в
г
д
где ] = 1,2,3,... 3. - номера соответствующих проекций вектора в N точках наблюдения; г = 1,2,3,. ..ЗЫ- номера соответствующих проекций вектора в N элементарных объёмах; т = 1,2,3,. N8 - номер внешней элементарной площадки; к, к +1 - соответствующие номера моментов времени.
Полученные дискретные уравнения в векторном виде следует понимать как обобщенную форму записи представления проекций векторов в декартовой системе координат ^, y, г. Кроме этого ^-1 .., g2р, g3р, g4 .., g5р, g6 .., ^7р в
данной системе есть элементы матриц 01,02,03 ,04,05,06 ,07, определяемых геометрией магнитной системы при её пространственной дискретизации.
Примеры вычисления указанных матриц и их элементов представлены ниже.
Рассмотрим подробнее первое уравнение системы (13)
A = ^ 4л
fff ^ dV + fff dV -ff nXM dS + fff ^ dV\
JJJ r JJJ r ** r *** r J
rot M
r
n X M
r
J
и его дискретный аналог (14а)
" 3N
A = 0-0 1 471
Z
_ г=1
Обозначим точку наблюдения
3N 3Nкат
J вих г +Z g 21- M г + Z g31- J
г=1 г=1
Q( X*, у, z)
а точку истока
P( x, У,z) (рис. 2),
тогда модуль радиус-вектора
r = rpQ = r(x, y, z) = y](x* - x)2 + (y* - y)2 + (z* - z)2
Рис. 2. Элементарные объёмы магнитной системы и катушки
В этом случае коэффициенты матрицы могут быть определены тройным
интегрированием
г 2 у 2 х 2 ,
g3 = —0 [ [ [----------йхйуйг.
4^ А у1 А Г(X y,
При этом проекции на оси координат векторного магнитного потенциала ^ -го элемента ферромагнитной области У от элемента катушки г запишутся
J
ст г
z 2 y 2 X 2
a.. =U jrn Ш
z1 y1 x1 z 2 y 2 X 2
Uo
4n
1
ст J
4л
r(X, y, z) ______1
z1 y1 X1 r(X У, z)
z2y2x2
dxdydz,
■dxdydz,
Z2y 2X2 -t
AL. =Uc J Ст, JJJ-------------------dxdydz ■
,1У1XIг (X У, г)
Здесь X, Х2, У1, У2,,, 2 2 - координаты элементарного объёма, отметим, что индекс г, подчеркивающий, что элемент относится к области катушки, для упрощения выражения опущен.
Вычисление коэффициентов матрицы ^ описанным выше способом осложнено наличием особенности при совпадении точек истока и наблюдения (рис. 3). Поскольку вектор ^ .в элементарном объёме принят постоянным (кусочно-
постоянная аппроксимация), то можно от интегрирования по элементарному объёму перейти к интегрированию по поверхности этого объёма [11]:
A = —
вих J 4 л
dV
^0
4л
J.
Ш1 dVi
Vi
^0
4л
J.
nr
2r
Здесь п = ех + еу + ег - нормаль к поверхности,
*
г = (х* - х)ех + (у* - у)еу + (г* - г)ег - радиус-вектор, соответственно
= (х* - х) + (у* - у)+ (г* - г).
Рис. 3. Элементарный объём ферромагнитной области
Проекция на ось х векторного магнитного потенциала Авту для г -го элемента ферромагнитной области V примет вид
S
АХ _ ^0 Т
Авих і = . и в:
у 4л
22у2 ( * \ г2у2 / * \
I ** - Я:“1 **
1 Уі2г(Х2. У, г)
гі Уі2Г (Х1> У. 2)
Аналогично определяются Л^х . и А.
Интегралы достаточно точно вычисляются численными методами по квадратурным формулам Г аусса-Кронрода.
Коэффициенты матрицы могут быть получены аналогично. Поскольку
Мг внутри элементарного объёма - вектор неизменный, то Ц|
го! М..
¿у = о-
В этом случае А . = - — ££ П—М^ dS .
п] 4л " г 1
После соответствующих преобразований
X
получим
2 2 х2
П Х М, = Є Х '(»у • Мг - » • МУ )-Є У •(Пх • М2 - » • Мх ) + е г • (» • Му - Пу • М% ),
Ах . = --^0.
«У 4л
Ау . = -Ь.
«У 4л
А1 . = _Ио_
«У 4л
12 х2 ( л л \ у2 х2 ( л
м‘\ I Ь----------ЇЇ Г*г -МУ П Ь”
її і Іг(х.У2=2) г(х.уі.2)) Уі Хі І г(х. у
і Л ї2 у у і
Ь - М1Щ ^
МУ I Т (—1-------------1—- мх 1 1Г—1
1 А Iг( х2.у.2) г(хі. у.2)) 1 і Iг (х. У
г( х. у".2) г( х. уі.2),
г( х.у. 12) г (х.,у. 2і).
і і
г(х. у. 22) г(х. у. 2іХ
і
/(х2. у. 2) г (хі. у.2)
л V 'Vх-2, У’ Г(Х1’ У’
Рассмотрим второе уравнение системы (13):
Н
1_
4л
3(М • г)г М'
¿у _|ц ¿у -Ш
г (х, У2=2) г( х. уР2)
і. X г
к*у
*
Іхіїї
и его дискретный аналог (14б)
Н у = —
4л
£^5 у, • М,-£я 4 у, • і вих,-2] Я 6 у, • і с
Раскроем векторное произведение ¿вих Х Г = е* -(./вих • Г - ^Тих • Гг )+ е у '(./вих • Г - ^Тих г • Г )+ е г '(./вих • Гу - Л^х • Г ) . Вектор ^ в элементарном объёме принят постоянным, значит можно от
интегрирования по элементарному объёму перейти к интегрированию по границе этого объёма.
НХ = і
вих і .
■' 4л
4л
( Ту • г - Г1 • г )
Ш\ вих/ г вихі у } 1Т,
„ г‘(х. у,,) ^
( У 2 Х 2
4л
у 2 Х 2
V г (х. у.2)
Л
^і - Г1их/III
г (х. у. ї)
-*к
- л
,21 Х1 Г (Х’ У2’ 2) По аналогии получим
I -----------------*х*у - I" I" —г-------------*х*у
і 1 г 3( х. у. 22) у у11 г 3( х. у. їі) у I I" ----у2— *х*1 - I" I" ----уі— *х*1
) ) ГЪ( Г V? і і
г (х. уі. ї)
г
V
5
3
г
г
г
V
и
,=1
,=1
,=1
у
л
1
Hy ——
euxj 4n
(г2 у2 * ~ z2 у2 * ,
f dydz — f f_i^£L
ffr( x2, y, z) fi fi r (x1, y, z)
V z1 У1
f f ~T—~~— dxdy — f f ———— dxdy ffr( x, y, z 2) Уі fi r (x, y, zl)
V у1 x1
Tjz — 1
eutj — 4n
JL.lf f /' — y2 dxdz — 1Ї-У-—A- dxdz'
r (X, y2, z)
f1 f1 r'(x, У1, z)
—jy
x — x2
x — x1
A z 2 y 2 f f-
v f1 У1 r"(x2, У, z) f1 У1 r"(x1, У, z)
z 2 y 2
Перейдем к вычислению интеграла
iff
3 (M • r)r M
r5 r3
d^ Раскроем произ-
ведение и приведем слагаемые к общему знаменателю
3(М • r)r — r2M (Mx (3гЇ — r2) + 3Myrxry + 3Mzrxrz)
e x +
+
(3Mxrxry + My (3ry2 — r 2) + 3MSyrz )
e y +
+
(3Mxrxr2 + 3Myryrz + Mz (3rz2 — r 2))
Таким образом, составляющие напряженности магнитного поля в элементарном объёме от намагниченности соседних элементов (рис. 4) могут быть представлены в виде
ттх ______ 1
mJ — 4л
ИГ —— mj 4л
HmJ 4л
М4Я + му! +M
V r 5( x y,z)
v r (x У, z)
rrr 3rr ... (3r,2 — r2)
М4Я r'(ryZfVi + муі ——1 dV + M-
r 5( x, y, z) 1
¡•/•і* 3r r і* 3r r
MxJii-T-^dV + MyJii 5,yz /V + Mz
r (x, y, z) y r (x, y, z)
3rr
r (x, y, z)
-dV
3r r
y z -dV,
r 5( x, y, z) (3rz2 — r2)
r (x, y, z)
dV,
Рис. 4. Расположение двух элементарных объёмов, принадлежащих ферромагнитной области
5
5
5
Є z .
5
r
Для случая, показанного на рис. 3, вычисление по данным формулам затруднительно. Можно воспользоваться [15], но значительно проще вычислить их, если использовать известный подход замены интегрирования по объёму интегрированием по поверхности. В случае M. = const (кусочно-постоянная аппроксимация)
div M = 0, получим
H mi =- grad
4л
1 1*
= -4л(м.")f 73 dSr
Составляющие вектора примут вид:
Ux —
mj =
Hy =
mj
Hlj =
4л
J_
4л
J_
4л
( z 2 y2
M ,x
M
y I
x - x2 J r 3( x2, y, z)
У * - У 2 ZJ x! r 3(x, У2, z)
(x2y2 z* - z2 r 3( x, y, z2)
z 2 y 2
dydz - J J
x - xl
zl yl 7 3(x1, У, z)
dydz
z 2 x 2
dxdz - J J
JJ-
V x1 yJ
zl xl x2 y 2
dxdy - J J
xl yl
y* - yJ
r 3( x, yl, z)
z * - zl r 3( x, y, zl)
dxdz
dxdy
Представим глобальную матрицу, характеризующую геометрию системы G5 :
матрица G5 =
gxx1 gxy1 gxz1 g xx 2 g xy 2 g xz 2 g lxxN l xyN l gx g xzN
g j 0 yxl gl * уу! gl 0 yzl gyx2 gyy2 gyz2 g l yxN gyyN g yzN
g1 0 zxl gl zyl gl zzl g zx2 g zy2 g zz2 g zxN g zyN gzzN
gN 0 xxl gN o xyl gN 0 xzl gN xx2 gN xz 2 2 N xz gx g N xxN N N xyN gx g zx N N
gN 0 yxl gN * уу! gN 0 yzl gN & yx 2 gN yz 2 gN • yz 2 g N yxN gN yyN gN gyzN
gN 0 zxl gN zyl gN zzl gN 0 zx2 gN zz2 N g zz2 N gzxN gN gzyN gN gzzN
где 1-я, 2-я, 3-я строки соответствуют х, у, г - составляющим проекций вектора Н; 1-й, 2-й, 3-й столбцы - х, у, г - проекциям вектора М в 1-м элементарном объёме; 4-й, 5-й, 6-й столбцы - х, у, г - проекциям вектора М во 2-м элементарном объёме и т.д.
Коэффициенты матрицы 05 являются функцией геометрических размеров и вычисляются по формулам, представленным выше, например, на диагоналях:
l
а1 =---------
4л
( z 2 y 2
JJ-
x - x2
5yx2
= 0,
vzl yl r (x2, У, z)
gyy2 =
z-
1 / z2xz
- 4л(JJ
z 2 x2 * /-4
y - у2
zl xl r 3(x, У2, z)
z2 y2 *
J J 3^ , x 4 dydz , g
zlyl r (x1, ^ z) j
z2x2 * і
dxdz - J J y - yl
Xyi = 0, gXzi = °;
xyl °> fexzl
\
zl xlr 3(x, у1, z)
dxdz
g
_i
yz2
= 0;
j
S
V
1
( x2 y2
I X2 у 2
gZx3 = o, gZy3 = 0; gZZ3 --— JJ
4л I x1 yi
z - z 2 r 3( x, y, z 2)
x-2y-2 z* - zl
ii
xi yi
r (x, y, zl)
dxdy
и т.д.
Остальные коэффициенты по формулам:
* ~ 2 - -Ъ Hi <&-т>.: *^ JJJ
3rr
-• 2 ^xy2 4rcJJJ r 5(x, .у, z) 2 4тт iii r 5(x, у, z) 2
2 „2-
4л V r (x, ^z)
3rxry
4л JJJ r 5(x, y, z)
dV ;
3ryr y z dVx
4 л •’¡Jr r (x, y, z)
gzxl
!.- і iii
4л r (x, y, z)
3ryrz
4л V r (x, y, z)
(3rz2 -r2)
4л V r (x, y, z)
dV
и д.т.
Следует отметить, что диагональные элементы матрицы 05 есть не что иное, как коэффициенты формы, при этом = 1 и для случая куба,
как показали расчеты, д' = д' = д' = . Это обстоятельство значительно
* ’ & XX & уу 22' / 3
упрощает вычисление сингулярных интегралов в случае дискретизации на элементарные объемы в виде кубов.
ггг J х г
Вычисление интеграла ^ ст з— не представляет сложностей (см. рис. 2):
fff (jсУт i ■ rz - Jст i ■ r. ) ]v
JJJ r 3(x,y, z) '
JJJ (j£Ii_rX^LJ£LLlrL) dVi
у r (x, y, z)
j^l^j (£стііг;^-^{kiO dv
JJJ r3 (x, y, z) '
Рассмотрим уравнение
HI. l
ст J 4л
HI l
ст J 4л
HI l
ст J 4л
4л
4л
J_
4л
J і - iii
Vi
J -iii
V r y, z)
dV - J -I
Vi
dV- -J ст, iii
-dV
V r 3( x, У, z) '
V r (x, У, z)
J -iii - J’' iii
-dV,
V r 3(x, y, z) '
r (x, y, z)
-dVl
(
и его аналог (14в)
J
J вих -У
( A
-----jjil dS
r)t Атгг r3
dt 4яє0 " r3
■-y
J"+“ - Ax 1 ' + — S g 7
At
4лєo 1-Г J ',
Для площадок, принадлежащих элементарным объёмам, которые соприкасаются с поверхностью проводящей детали (поверхностью ферромагнитного сердечника) grad ф - ■ 1
grad x Vej ■
4лвг
z 2 y 2 * ^ z 2 y 2 * -•
- - x - x2 , , с r x - xl
fj
zl yl
r (x2, y, z)
■dxdy + J J
zl yl
r3 (xl, y, z)
t^dz
r
r
y
r
r
x
z
r
x
£
m
grad у Фе j -
gradz Фе, -
4лєг
z 2 x2 * ^ z 2 x 2 * -і
y - у2 г г у - у1
zl xl r 3(x, У 2 z)
4лєг
ii
zl xl
y 2x2
ii
yl xl
dxdz - J J
zl xl r 3(^ У1, z)
y2x2 * y2x2 *
- - z - z2 , , r r z - zl
r 3( x, y, z2)
■dxdy - J J
yl xl
r 3( x, y, zl)
dydz
Рассмотрим уравнение системы (13)
f -ML 1 e _ V
£■ 2є,
— +-І- «4! dS
dt 4лє0 J_J r
и его аналог (14г)
£ ■ -2є,
”m 0
Ax -Ax АУ -АУ Az -Az
A m(k+1) A m(k) A m(k+1) A m(k) A m(k+l) A m(k)
n —(—)---------— + n —(—)-------------— + n —(—)------------------— +
x A M У A M z
At
At
At
+ nx grad x Фе(к) + ny grad У Фе(к) + nz grad z Фе(к) ] .
Плотность поверхностного заряда величина - скалярная, определяется в соответствии с формулами, подробно рассмотренными ранее. Её вычисление производится итерационно, поскольку grad вычисляется на предыдущей итера-
ции по времени.
Решая численно системы (13) и (14) можно построить алгоритмы, обеспечивающие расчёт электромагнитных полей в рамках метода ПИУ достаточно широкого класса электромеханических систем. В последующих работах будет дана оценка эффективности указанного метода, а также влияния степени дискретизации (пространственной и временной) численной модели на точность получаемых результатов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. - М.: Энергия, 1970. - 376 с.
Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчёты электромагнитных полей. - М.: Высш. шк., 1986. - 240 с.
Соловейчик Ю.Г., РоякМ.Э. Совместное использование скалярного и векторного потенциала при конечноэлементном моделировании трёхмерных нестационарных электромагнитных полей в электротехнических устройствах // Научн. вестн. Новосиб. гос. техн. ун-та. - 1997. - № 3. - С.141-160.
Бреббия К., ТеллесЖ.., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с. Langer U., Steinbach O. Coupled Finite and Boundary Element Domain Decomposition Methods // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. - 2006. - № 29. - P. 61-96.
Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. - М.: Энергия, 1975. - 295 с. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. - Киев: Технжа, 1974. - 352 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - 720 с.
Пеккер И.И. Расчёт магнитных систем методом интегрирования по источникам поля // Изв. вузов. Электромеханика. - 1964. - № 6. - С. 1047-1051.
10. Пеккер И.И. Расчёт магнитных систем путём интегрирования по источникам поля // Изв. вузов. Электромеханика.1969. № 6. С. 618-623.
11. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчёт электромагнитных полей. - М.: Энерго-атомиздат, 1984. -168 с.
12. Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М. -Л.: ОГИЗ Гос. изд. технико-теор. лит., 1946. - 660 с.
1.
3.
9.
£
m
z
£
m
n
13. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - 13-е изд., исправленное. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 544 с.
14. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов. - 7-е изд., исп. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 942 с.
15. Фрейнкман Б.Г. Выделение особенности в интегральных уравнениях трехмерного электромагнитного поля // Журнал технической физики. - 1980. - Т. 50. - Вып. 2. - С. 425-427.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.Х. Пшихопов.
Подберезная Ирина Борисовна - Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова; e-mail: [email protected]; 346429, г. Новочеркасск, Ростовской обл., ул. Аксайская, 15-А; тел.: 88635255113, 89085078284; кафедра электромеханики и электрических аппаратов; к.т.н.; доцент.
Podbereznaya Irina Borisovna - «Electromecanics and electric devices» South-Russian State Polytechnic University (NPI) of a name of M.I. Platov; e-mail: [email protected]; 15-A, Aksayskaya street, Novocherkassk, Rostov Region, 346429, Russia; phones: +78635255113, +79085078284; cand. of eng. sc.; associate professor.
