CC BY
48
ем на видеоизображение реальной модели автомобиля (рис. 7).
Представлены промежуточные результаты работы по использованию, развитию и внедре-
нию систем виртуальной реальности типа CAVE 3D для визуализации больших объемов данных научных исследований в различных областях знаний, а также результатов технического проектирования и моделирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. http://www.hitl.washington.edu/artoolkit/
2. Шабров, H.H. Программно-аппаратные комплексы виртуальной реальности предсказательного моделирования в научных и инженерных исследованиях [Текст] / H.H. Шабров // Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности, М.: Изд-во МГУ, 2009,- С. 183-189.
3. Шабров, H.H. Моделирование и визуализация в виртуальных и индуцированных средах [Текст] / H.H. Шабров, С.Г. Орлов, H.H. Куриков // Междунар. науч. конф. «Параллельные вычислительные технологии 2010», 29 марта — 1 апреля 2010,- г. Уфа,- С. 640-642.
УДК621.31 3
А.Г. Калымов, СЛ. Шиманский
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТРАНСФОРМАТОРОВ
Метод пространственных интегральных уравнений [1] часто используется для расчета трехмерных магнитных полей, создаваемых катушками с током и намагниченными объектами. Основные достоинства этого метода — относительная простота реализации, ограничение расчетной области пространством, занятым ферромагнитным материалом, возможность моделирования магнитного поле катушек сложной конфигурации. Однако традиционные способы реализации метода ПрИУ обладают и существенными недостатками. К ним относится, в частности, относительно высокая погрешность расчета магнитного поля в области, занятой материалом ферромагнетика. Особенно сильно точность теряется в системах с замкнутым магнитопроводом и при больших значениях магнитной проницаемости ферромагнетика, что характерно, в частности, для электрических трансформаторов.
В настоящей статье производится исследование точности моделирования магнитного поля с использованием метода ПрИУ на примере расчета характеристик Ш-образного трансформа-
тора. В качестве объекта исследований был выбран промышленный силовой трансформатор марки ТБС2-0.25, на центральном стержне которого была сохранена только первичная обмотка с общим числом витков, равным и> = 335. Конфигурация рассматриваемой системы и ее основные геометрические параметры представлены на рис.1
Магнитопровод этого трансформатора изготовлен из электротехнической стали типа Э11, кривая намагничивания которой показана на рис. 2 [2].
В процессе экспериментального исследования характе ристик трансформатора по его первичной обмотке пропускался постоянный электрический ток. Его значения изменялись в пределах от 0,1 А до 2 А, что соответствовало изменению индукции в магнитопроводе в диапазоне между 0,5 и 1,4 Тл. В ходе эксперимента измерялись основной магнитный поток в центральном стержне магнито-провода, магнитный поток, проходящий по боковым стержням, а также их разность. Эта разность характеризует поток, замыкающийся по воздуху и может интерпретироваться как по-
Рис. 1. Продольное сечение трансформатора с первичной обмоткой и измерительными катушками
ток рассеяния первичной обмотки трансформатора. Более детально эксперимент описан в [3].
Математическая формулировка метода пространственных интегральных уравнений. Рассмотрим ферромагнитный объект, находящийся в поле сторонних источников. С учетом известных соотношений мевду основными векторами магнитного поля [4] В = ^Н и В = ^М + выразим намагниченность ферромагнетика через напряженность магнитного поля:
М = Н{ ^-1), (1)
где ^ = ^/^о — относительная магнитная проницаемость материала ферромагнетика. Магнитное поле в любой точке пространства можно
представить в виде суммы двух полей, одно из
в
ронними источниками, а другое — Н т{г) — намагниченным ферромагнетиком:
в, Тл
1,4
1,2
0,8
0,64
0,4
0,2
0,0
_X—— >-— ---'с
J- •г
6 о .....JL.....
в i
■ / О
1 о
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Н, кА/м
Рис. 2. Кривая намагничивания стали Э11
=+
Напряженность поля, создаваемая ферромагнитным массивом Ут, может быть найдена с помощью интегрального соотношения
_1_ r'W-r')
4 Kfj
\г -г
'Р
dv
(3)
где г - радиус-вектор точки наблюдения, г' - радиус-вектор точки интегрирования. Интегрирование ведется по объему Ут, занятому материалом ферромагнетика.
Объединяя соотношения (1), (2) и (3), в конечном итоге получаем известное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно вектора намагниченности М(г):
M(r) + V -1 4л,
M{r'){r-r')
\r-r
dv = Hc(r). (4)
Это же уравнение при необходимости может быть трансформировано к другому виду, если в качестве базовой переменной использовать не намагниченность материала магнитопровода, а напряженность магнитного поля:
щг)+V | {5)
ут 4л|г-г'|
Решение каждого из этих уравнений позволяет найти характеристики магнитного поля в любой точке пространства на основе соотношений (2)—(3). Процедуру расчета магнитного поля с использованием метода ПрИУ можно условно разбить на ряд этапов:
расчет поля сторонних источников; разбиение исходного объекта на элементы (дискретизация);
аппроксимацию интегрального уравнения системой алгебраических уравнений;
решение системы алгебраических уравнений; определение характеристик поля по найденному распределению вектора намагниченности в объеме магнитопровода.
Расчет магнитного поля сторонних источников. Выбор методики расчета характеристик стороннего поля определяется типом источников (токи, магнитные заряды) и их расположением в пространстве. Создаваемое распределенным в объеме Ус током с плотностью ,/ магнитное поле может быть рассчитано, например, на основе закона Био-Савара:
1 f/x(r -F)
\г-г
'Р
dv.
(6)
лах которых используются различные способы аппроксимации неизвестной величины. Чаще всего на практике для этой цели используются элементы с постоянной намагниченностью (ЭПН). При таком подходе составляющие вектора намагниченности внутри всех элементов рассматриваются в качестве независимых переменных. В нашей работе было проведено исследование точности моделирования потоков в сердечнике трансформатора с применением элементов такого типа. Аппроксимация исходного интегрального уравнения (4) проводилась с помощью метода взвешенных невязок. В качестве весовых функций использовались векторные константы, определенные внутри каждого отдельно взятого элемента. В результате исходное интегральное уравнение сводится к системе ТУвекторных уравнений с таким же количеством векторных неизвестных:
/
В рассматриваемой нами системе расположенная на магнитопроводе прямоугольного поперечного сечения катушка может быть представлена в виде набора токовых элементов стандартной формы. К таким элементам относятся прямоугольный брусок и дугообразный элемент с прямоугольным поперечным сечением. Магнитное поле первого из них — бруска с постоянной плотностью тока внутри — рассчитывалось аналитически. Для дугообразного элемента была использована двухступенчатая процедура расчета напряженности поля. Прежде всего, аналитическим интегрированием определялись характеристики поля сектора обмотки с бесконечно малым углом раскрытия. На втором этапе применялось однократное численное интегрирование полученного выражения по угловой координате, что позволяло эффективно и с высокой точностью определять напряженность магнитного поля как элементов рассматриваемого типа, так и всей обмотки.
Аппроксимация интегрального уравнения системой алгебраических уравнений. Для решения интегрального уравнения (4) и последующего расчета характеристик магнитного поля трансформатора необходимо, прежде всего, преобразовать это уравнение в систему алгебраических уравнений. На первом этапе этой процедуры объем, занятый материалом ферромагнетика, разбивается на простейшие элементы, в преде-
dv
dv = H„
J
Йс= \Hcdv,
C'a
где N — количество элементов дискретизации. Поскольку внутри каждого отдельно взятого элемента намагниченность не меняется, то и магнитная проницаемость каждого из них также постоянна. В свою очередь, магнитная проницаемость материала ферромагнетика зависит от величины напряженности магнитного поля, поэтому полученная алгебраическая система нелинейна. Для ее решения использовалась итерационная схема с одновременным пересчетом намагниченности элемента и соответствующей магнитной проницаемости на каждой итерации. Итерационная процедура считалась завершенной, когда суммарная невязка системы уравнений снижалась на 6 порядков по отношению к исходной. Обычно для этого было достаточно совершить 1—2 тысячи итераций.
Векторные конечные элементы. В теории метода конечных элементов для аппроксимации различных распределений широкое применение нашли узловые финитные функции [5]. Одним из свойств таких функций является то, что они обращаются в единицу в одном из узлов базового элемента и равны нулю в остальных узлах.
Выберем в качестве базового конечного элемента тетраэдр. Простейшими финитными функциями для него будут полиномы первого порядка. Любая скалярная функция внутри объекта, разбитого на такие конечные элементы, может быть приближенно представлена в виде разложения
Р(х,у,г) = ^Епуп(х,у,г).
п
Важное свойство такого представления состоит в том, что аппроксимируемая функция непрерывна и дифференцируема во всей области ее определения. Однако в такой форме удобно аппроксимировать только скалярные величины. При работе с векторными переменными часто бывает удобнее использовать векторные финитные функции, которые частично обладают специфическими свойствами аппроксимируемой переменной. В частности, если рассматриваются уравнения относительно напряженности магнитного поля, то при переходе от одного элемента к другому желательно сохранять непрерывность для тангенциальной компоненты вектора. При этом нормальная компонента финитной функции может скачком меняться, что характерно для ситуации, когда магнитная проницаемость двух соседних элементов различна. Такими свойствами обладают векторные функции Уитни [6]. В простейшем случае внутри тетраэдрального элемента они выражаются в виде
Фи VWk-W„ VWk
I
кп
в
ротор функции Ькп постоянен и, вообще говоря, не равен нулю:
rot (4„) =
Vw^x Уфи- Уфих Уфк
= const.
кп
В дальнейшем для удобства заменим двойную нумерацию ребер тетраэдральной сетки {км) на простую (т). Представим напряженность магнитного поля внутри ферромагнитного объекта, предварительно разбитого на тетраэдры, в виде рвздожения по векторным финитным =
H(x,y,z) = mLm(x,y,z).
(7)
Суммирование здесь ведется по всем ребрам тетраэдральной сетки. Очевидно, что не все коэффициенты Нт являются независимыми в случае, если внутри рассматриваемой области отсутствуют неизвестные заранее электрические токи. В частности, если мы выберем последовательность ребер, которые составляют замкнутый контур, то в силу закона полного тока [4] должно выполняться условие
(8)
где кип — номера узлов тетраэдра, а 1кп — рас-в
ции Ькп ассоциируется не с узлами конечного элемента, а с его ребрами. Для этих функций характерны следующие свойства:
касательная компонента функции равна единице во всех точках ребра тетраэдра, соединяющего узлы с номерами к и п\
касательная компонента функции равна нулю на всех остальных ребрах рассматриваемого элемента;
функция линейно меняется внутри тетраэдра; касательная компонента функции непрерывна на общей границе двух тетраэдров;
внутри каждого отдельно взятого тетраэдра в
=
Общее число таких дополнительных условий равно количеству независимых контуров, образованных ветвями тетраэдральной сетки.
Для разработки надежной процедуры выбора независимых переменных воспользуемся теорией графов. Будем рассматривать совокупность всех ребер тетраэдральной сетки в качестве единого связного графа. Построим дерево этого графа. Вошедшие в него ветви соединят все узлы тетраэдральной сетки, а их общее количество будет на единицу меньше, чем число узлов сетки. Все оставшиеся ветви будут связями.
Как известно, замыкание каждой связи приводит к образованию независимого контура, и, следовательно, тангенциальная компонента напряженности магнитного поля на таком ребре может быть выражена через значения напряженности магнитного поля на ветвях дерева. Таким образом, независимыми переменными останутся только тангенциальные компоненты напряженности магнитного поля на ветвях дерева, а количество независимых переменных в этой си-
туации на единицу меньше количества узлов тетраэдральной сетки.
Любопытно отметить, что при таком выборе независимых переменных каждый отдельно взятый тетраэдр будет намагничиваться однородно, несмотря на то, что аппроксимирующие функции £ внутри каждого элемента изменяются как по величине, так и по направлению. Это свойство следует из того, что интегралы от напряженности магнитного поля для всех замкнутых контуров, состоящих из ребер отдельного элемента, равны нулю, а следовательно, в силу теоремы Стокса и соотношения (7) нулю будет равен и ротор напряженности магнитного поля внутри тетраэдрального элемента:
го КЮ =£яиго 1(4) = 0.
т=1
Учитывая то обстоятельство, что дивергенция напряженности магнитного поля внутри элемента также равна нулю, существует единственная функция, одновременно удовлетворяющая этим условиям. Эта функция представляет собой постоянный по величине и направлению вектор. Необходимо отметить, что это свойство характерно только для векторных финитных функций Уитни первого порядка.
Формирование системы уравнений. Применение векторных конечных элементов для аппроксимации интегрального уравнения (5) позволяет решить сразу несколько задач. Во-первых, существенно уменьшается количество неизвестных величин. При традиционном подходе к решению задачи в качестве базовых переменных выбираются векторы намагниченности (или векторы напряженности магнитного поля) внутри каждого элемента. Переход к скалярным переменным позволяет сократить число неизвестных величин, как минимум, в три раза. Если учесть, что в реальных задачах количество тетраэдров в несколько раз больше, чем число узлов тетраэдральной сетки, то этот выигрыш может стать еще более значительным. Вторая проблема, которая решается путем использования векторных конечных элементов, заключается в том, что решение задачи будет гарантированно удовлетворять уравнению Максвелла го\{Н) = 0 внутри материала ферромагнетика, что, как правило, не выполняется при традиционном подходе к реше-
нию пространственного интегрального уравнения (4), основанного на применении ЭПН.
При подстановке аппроксимации (7) в интегральное уравнение (5), применяя метод взвешенных невязок с константами в качестве весовых функций, мы получим систему алгебраических уравнений вида
шах
4л/„
^ 'с - ^-Н,
Г
V:
\г - г
'Р
Внутреннее суммирование в последнем выражении производится по всем тетраэдрам, в состав которых входит ребро с номером /.
Существенным обстоятельством, сопутствующим практической реализации рассматриваемого подхода к решению задачи, является то, что все интегралы в последнем выражении берутся аналитически. Это особенно важно ввиду сингулярности подынтегрального выражения. При формировании системы уравнений неизвестные величины , относящиеся к ребрам — связям, заменялись суммами, включающими только базовые переменные и полученными из соотношения (8).
Особо необходимо отметить формирование уравнений для ребер, расположенных на плоскостях симметрии. На некоторых гранях напряженность магнитного поля имеет только нормальную компоненту, соответственно тангенциальные компоненты напряженности на этих же гранях автоматически приравнивались нулю. Кроме того, было использовано то обстоятельство, что полный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равен полному току в катушке. Поэтому одно из уравнений рассматриваемой системы было заменено суммой вида
УН I
т'т ^ 1 т ~
причем начальный и конечный узел в цепочке ребер, входящих в сумму, располагались на горизонтальной плоскости симметрии трансформатора (см. рис.1), а сама сформированная цепочка охватывала первичную обмотку трансформатора.
Сравнение результатов математического моделирования с экспериментом. Результаты математического моделирования магнитных потоков в трансформаторе, выполненного с использованием метода ПрИУ и аппроксимацией неизвест-
ных функций на базе ЭПН и ВКЭ, сравнивались с соответствующими экспериментальными данными. В частности, проводилось сопоставление магнитных потоков, проходящих в центральном стержне трансформатора, а также потоков рассеяния. Для расчета магнитного поля на базе ЭПН 1/8 часть сердечника трансформатора была разбита на 1620 элементов, что соответствует 4860 неизвестных проекций намагниченности. Моделирование на основе ВКЭ проводилось при сопоставимой дискретизации. Тетраэдральная сетка, на которой проводилась аппроксимация напряженности магнитного поля в 1/8 части сердечника, включала в себя 1290 узлов и 3750 тетраэдров. Общее количество неизвестных величин в этой постановке с учетом условий симметрии составило 1218.
Анализ полученных результатов свидетельствует о том, что при небольших токах катушки, соответствующих ненасыщенному магнитопро-воду, расчетные значения основного потока, полученные с использованием ЭПН, значительно отличаются от экспериментально полученных величин. Разница между ними достигает уровня порядка 90 % (рис. 3). При более высоких значениях тока в обмотке относительная магнитная проницаемость сердечника снижалась до уровня нескольких сотен единиц и точность моделирования потока значительно улучшалась. Тем не менее даже при максимальном токе в обмотке погрешность расчета составляла величину порядка 10 %. Также значительна разница между экспериментальными и расчетными значениями потоков рассеяния практически во всем диапазоне изменения тока в обмотке трансформатора (рис. 4).
Поток,
Рис. 3. Зависимость магнитных потоков центрального и боковых стержней сердечника от тока катушки
В то же время реализация метода ПрИУ с применением ВКЭ позволила достичь существенно более высокой точности даже при меньшей дискретизации расчетной области. Особенно наглядно разница в получаемых результатах видна на примере сравнения потоков рассеяния. При расчете этой характеристики методом ПрИУ — ЭПН ошибка достигает нескольких сотен процентов. Применение же ВКЭ снижает различие в расчетных и экспериментальных данных до величины порядка 1 %, что практически совпадает с погрешностью самих измерений.
Приведенные на рис. 3 данные позволяют сделать вывод о том, что точность расчета основных магнитных потоков в стержнях трансформатора при использовании ВКЭ находится на уровне порядка нескольких десятых долей процента, что является хорошим результатом для метода, относящегося к группе интегральных методов расчета магнитного поля.
Основные результаты
В работе рассмотрены особенности применения метода пространственных интегральных уравнений для моделирования магнитного поля токонесущих катушек постоянного тока с замкнутым магнитопроводом. Показано, что применение векторных конечных элементов для аппроксимации напряженности магнитного поля значительно уве-личиваетточность моделировании при одновременном уменьшении числа неизвестных величин. Выполнено сравнение результатов численного моделирования потока в центральном стержне трансформатора, а также потока рассеяния с данными физического эксперимента, показав-
а Эксперимент —^— Расчет, ВКЭ - ^ - Расчет, ЭПН
С
[ / У *"*
— ■ - - - г- *""
Рис. 4. Зависимость потока рассеивания от тока катушки
шее их удовлетворительное совпадение. Максимальная погрешность составила величину порядка 0,5 % от полного магнитного потока в сердечнике трансформатора. Показано, что применение
классического метода пространственных интегральных уравнений для решения той же задачи приводит к недопустимо высоким ошибкам при сравнимых затратах вычислительных ресурсов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курбатов, П.А. Численный расчет электромагнитных полей [Текст] / П.А. Курбатов, С.А. Аринчин,— М.: Энергоатомиздат, 1984.
2. Справочник по магнитным и электрическим свойствам горячекатаной стали [Текст].— М.: Изд-во Госкомстата, 1971.
3. Важнов, С.А. Применение пространственных интегральных уравнений для расчета магнитного поля и потоков рассеяния трансформатора с шихтованным ферромагнитным сердечником [Текст] / С.А. Важнов, А.Г. Калимов // Изв. РАН.
Энергетика,- 2009,- С. 27-35.
4. Демирчян, К.С. Теоретические основы электротехники [Текст] / К.С. Демирчян, J1.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, B.J1. Чечурин,— СПб.: Питер, 2003.
5. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст] / О. Зенкевич,— М.: Мир, 1975.
6. Cendes, Z. Vector Finite Elements for Electromagnetic Field Computation [Текст| / Z. Cendes // IEEE Trans, on Magnetics.— 1991. Vol. 27. N° 5,— P. 3958-3966.
УДК 004.89:004.045
Н.А. Грязнов, Д.А. Кочкарев, А.И. Модягын, С.М. Панталеев
РЕГИСТРАЦИЯ ТРЕХМЕРНОГО ОБРАЗА СЦЕНЫ В РЕЖИМЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СТРУКТУРИРОВАННОЙ ЛАЗЕРНОЙ ПОДСВЕТКИ
Автоматизация и роботизация любых динамических процессов, в частности функционирования автономных мобильных платформ и космических манипуляторов, базируется на эффективности сбора информации об окружающей среде. Для корректного представления робототехнических систем об окружающем пространстве необходимо зарегистрировать трехмерный портрет сцены с четким определением границ объектов и их разделением на движущиеся и стационарные .
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
измерить двумерное угловое распределение дальности до препятствия;
провести сшивку границ объектов по признаку резкого изменения дальности;
осуществить векторизацию изображения за счет выделения объектов по замкнутости границ с присвоением номера и свойств (угловые габариты, форма границ, форма поверхности и т. д.).
Кроме того, для быстрого и адекватного реагирования на изменения в окружающей среде робототехническим системам необходимо получать не только достоверные, но и своевременные данные. В связи с этим одним из основных требований, предъявляемых к современным средствам сбора информации, является их функционирование в режиме реального времени. При этом желательно, чтобы сбор данных об окружающей среде осуществлялся независимо от освещенности рабочей зоны — как в условиях яркого освещения, так и при полном отсутствии источников света.
Механические методы измерения координат за счет определения расстояний не подходят для создания систем реального времени из-за их громоздкости, низкого быстродействия и отсутствия универсальности. Смена объекта исследований при использовании таких методов, как правило, требует полной перестройки схемы измерений.
