Научная статья на тему 'Определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея'

Определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY-NC
68
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ / FERROMAGNETISM / ЗАКОН РЭЛЕЯ / RAYLEIGH LAW / НАМАГНИЧЕННОСТЬ / MAGNETIZATION / ОБРАТИМАЯ И НЕОБРАТИМАЯ ЧАСТИ НАМАГНИЧЕННОСТИ / REVERSIBLE AND IRREVERSIBLE PARTS OF MAGNETIZATION / ФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ / FERROMAGNETIC MATERIALS / МАГНИТНОЕ ПОЛЕ / MAGNETIC FIELD / ТОНКОСТЕННАЯ ОБОЛОЧКА / THIN-WALLED SHELL

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Приемский Михаил Михайлович

Объект и цель научной работы. Объект работы общая формулировка и решение краевой задачи определения намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея. Цель работы определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея. Материалы и методы. В работе использованы положения теории намагничения тонкостенных оболочек, метод решения бесконечных систем уравнений, численные методы решения нелинейных уравнений. Основные результаты. В работе дана общая формулировка краевой задачи определения намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея, показана возможность сведения этой задачи к решению бесконечной системы нелинейных уравнений относительно коэффициентов в разложении намагниченности в ряд Фурье, показана достаточность решения этой системы методом усечения, приведен пример расчета. Заключение. Результаты работы могут быть использованы при выполнении практических расчетов намагниченности тонкостенных удлиненных цилиндрических конструкций, с учетом нелинейности магнитных характеристик их материалов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Приемский Михаил Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Calculating magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell, with magnetization of its material as per Rayleigh law

Object and purpose of research. This paper analyses general formulation and solution of the boundary problem for magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell, its material being magnetized as per Rayleigh law. The purpose of the study is to determine magnetization of this shell.Materials and methods. The study uses magnetization theory of thin-walled shell, the method of solving infinite systems of equations, as well as numerical solution methods for non-linear equations.Main results. The paper provides general formulation of the boundary problem for magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell with its material magnetized as per Rayleigh law. This problem is expressed as an infinite system of non-linear equations for the coefficients in the Fourier series representing this magnetization. It is shown that sufficient solution to this system can be obtained through the truncation method. The study also provides an example of calculating the magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell. Conclusion. The results of this work can be used in the practical calculations dealing with magnetization of oblong thinwalled cylindrical shells, taking into account that magnetic parameters of their materials in the Rayleigh domain.

Текст научной работы на тему «Определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея»

М.М. Приемский

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАМАГНИЧЕННОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ НАМАГНИЧЕНИИ ЕЕ МАТЕРИАЛА ПО ЗАКОНУ РЭЛЕЯ

Объект и цель научной работы. Объект работы - общая формулировка и решение краевой задачи определения намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея. Цель работы - определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея.

Материалы и методы. В работе использованы положения теории намагничения тонкостенных оболочек, метод решения бесконечных систем уравнений, численные методы решения нелинейных уравнений.

Основные результаты. В работе дана общая формулировка краевой задачи определения намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея, показана возможность сведения этой задачи к решению бесконечной системы нелинейных уравнений относительно коэффициентов в разложении намагниченности в ряд Фурье, показана достаточность решения этой системы методом усечения, приведен пример расчета.

Заключение. Результаты работы могут быть использованы при выполнении практических расчетов намагниченности тонкостенных удлиненных цилиндрических конструкций, с учетом нелинейности магнитных характеристик их материалов.

Ключевые слова: ферромагнетизм, закон Рэлея, намагниченность, обратимая и необратимая части намагниченности, ферромагнитные материалы, магнитное поле, тонкостенная оболочка.

Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

Для цитирования: Приемский М.М. Определение намагниченности тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки при намагничении ее материала по закону Рэлея. Труды Крыловского государственного научного центра. 2017; 4(382): 138-146.

УДК 537.6 БО!: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-138-146

M. Priemsky

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

CALCULATING MAGNETIZATION OF THIN-WALLED INFINITELY LONG CYLINDRICAL SHELL, WITH MAGNETIZATION OF ITS MATERIAL AS PER RAYLEIGH LAW

Object and purpose of research. This paper analyses general formulation and solution of the boundary problem for magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell, its material being magnetized as per Rayleigh law. The purpose of the study is to determine magnetization of this shell.

Materials and methods. The study uses magnetization theory of thin-walled shell, the method of solving infinite systems of equations, as well as numerical solution methods for non-linear equations.

Main results. The paper provides general formulation of the boundary problem for magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell with its material magnetized as per Rayleigh law. This problem is expressed as an infinite system of nonlinear equations for the coefficients in the Fourier series representing this magnetization. It is shown that sufficient solution to this system can be obtained through the truncation method. The study also provides an example of calculating the magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell.

Conclusion. The results of this work can be used in the practical calculations dealing with magnetization of oblong thin-walled cylindrical shells, taking into account that magnetic parameters of their materials in the Rayleigh domain.

Key words: ferromagnetism, Rayleigh law, magnetization, reversible and irreversible parts of magnetization, ferromagnetic materials, magnetic field, thin-walled shell.

Author declares lack of the possible conflicts of interests.

For citations: Priemsky M. Calculating magnetization of thin-walled infinitely long cylindrical shell, with magnetization of its material as per Rayleigh law. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2017; 4(382): 138-146 (in Russian).

УДК 537.6 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-138-146

В теории ферромагнетизма [1] закон Рэлея намагничения ферромагнитных материалов по основной кривой

М = (х + Ь | Н |) И, (1)

где М - намагниченность; И - напряженность действующего магнитного поля; %> Ь - магнитная восприимчивость и коэффициент Рэлея ферромагнитного материала, рассматривается обычно как аналитическое представление начального участка основной кривой в пределах рэлеевской области. Следуя этой теории, при определении намагниченности ферромагнитных материалов и изделий, изготовленных из этих материалов и намагниченных в магнитных полях, не выходящих за пределы рэлеевской области, необходимо исходить из выражения (1).

В настоящей работе, исходя из выражения (1), определена намагниченность тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся во внешнем однородном магнитном поле и имеющей радиус Я срединной поверхности и толщину 5 такие, что Я >> 5 (рис.).

Рис. Сечение тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки

Fig. A section of thin-walled infinitely long cylindrical shell

Намагниченность упомянутой оболочки определялась в рамках теории намагничения тонкостенных оболочек, толщина которых мала по сравнению с другими габаритными размерами (см., например, [2-4]). В рамках этой теории источником магнитного поля таких оболочек достаточно считать среднюю по толщине оболочки и касательную к срединной поверхности оболочки составляющую

< Ms > ее намагниченности, и в случае тонкостенных бесконечно длинных оболочек скалярные потенциалы магнитного поля в точках вне и внутри оболочек могут быть определены выражением [3]:

ф± (sj) = ^J5(S2) < Ms > (S2)-^ln-1 dS2, (2)

2n L dS2 rn

где r12 - расстояние между точкой s2 на направляющей L срединной поверхности оболочек и точкой Sj пространства вне и внутри оболочек, знаками «-», «+» отмечены скалярные потенциалы магнитного поля в точках вне и внутри оболочек соответственно. При этом дополнительно было принято единственное и правомерное в рамках теории намагничения тонкостенных оболочек допущение о том, что упомянутая составляющая < MS > намагниченности оболочки и средняя по толщине оболочки и касательная к срединной поверхности оболочки составляющая < HS > напряженности магнитного поля внутри материала оболочек связаны соотношением, аналогичным (1), то есть

< Ms >= (х + 6|< Hs >|) < HS >. (3)

Применительно к рассматриваемой тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочке выражение (3) с учетом (2) можно записать в виде следующего нелинейного граничного интегрального уравнения относительно < Hs >(0):

< Hs > (9j) =

Л 4 О 2п

= Но sin9j -——- j (х + 6|< Hs > (82) |) X д81 2п Я о

X< HS > (82)ln-1 d82, (4)

д82 rj2

где 01, 02 - угловые цилиндрические координаты точек на окружности радиуса R - направляющей L срединной поверхности оболочки (рис. 1); H0 -напряженность внешнего магнитного поля.

Учитывая, что в силу осевой симметрии оболочки составляющая напряженности < Hs >(0) является непрерывной нечетной функцией и обладает симметрией 3-го рода на L, решение уравнения (4) может быть представлено в виде ряда Фурье

< Hs > (81) = / sin8 + h3 sin38 + /5 sin 59 +... (5)

Тогда фигурирующий в (4) модуль составляющей напряженности < Hs >(0), являющийся непрерывной четной функцией и обладающий симметрией 3-го рода на L, может быть также представлен в виде ряда Фурье

|< Hs > (91) |= в0+р2 cos28 + р4 cos48 +..., (6)

в 2 ¥ . ( 1 1

где в2п = ~Х h2m-1 к-^-7 + -^-7

п m=1 ^ 2m - 2n -1 2m+ 2n-1

n = O, 1, 2...

После подстановки (5), (6) и известного представления обратного расстояния между точками окружности на плоскости

1 ^ 1

ln— = cos n(91 - 82)

r12 n=1n

в (4), интегрирования и приравнивания в (4) коэффициентов при синусах углов (2m - 1)01 одинаковой кратности можно прийти к следующей бесконечной системе нелинейных уравнений с бесконечным числом неизвестных h2n _ 1, n = 1, 2,.:

L 2n -1 х8 V 2n -1 68 \1 h;n-1 +---x

2 R

4 R

Кроме того, решение системы (7) позволяет определить необратимую часть < М/ >(0) составляющей < М5 >(0) намагниченности оболочки выражением

Ь ¥ ¥ / 2 1

< МР > (8) = -¿ХХ^Ы

' n=1 ш=1

2n -1 2n - 4ш +1

1 ö b ¥ ¥ 2 4 З Isin(2n- 1)B+-SS S WM:

2n + 4ш - З 0 П n=1 ш=1 q=ш+1

2n - 2ш + 2q -1 2n - 2ш - 2q +1 2n + 2ш - 2q -1 1

2n+2ш+2q-З

sin(2n - 1)B,

(9)

0

вытекающим из уравнений восходящей и нисходящей ветвей петли гистерезиса Рэлея [5], и обратимую часть < М/ >(0) составляющей < М3 >(0) намагниченности оболочки, пропорциональную напряженности Н0 внешнего магнитного поля, выражением

MÍ > (B)

2%

2 + X—* 0

R

H0 sin B,

(10)

хХ ^2ш-1 (в2\ш-п\ - в2(т+п-1)) = §1пД), (7)

ш=1

п = 1, 2, 3...,

где 51п - символ Кронекера.

Решение системы (7) позволяет определить составляющую < М5 >(0) намагниченности оболочки выражением (3) или, что то же самое, выражением

¥

< МБ > (8) = хХ^2п-1б1П(2п-1)8 +

п=1

Ь ¥ ¥

+ 2 ХХ Л2ш-1(Р 2\ш- п\ - Р 2(ш+п-1))51П(2п - 1)8. (8)

2 п=1 ш=1

вытекающим из решения системы уравнений (7) при Ь = 0.

Скалярные потенциалы магнитных полей оболочки в точках вне и внутри оболочки, источниками которых могут быть любая из составляющих намагниченности (8), (9), (10), можно определить далее согласно (2). Так, например, скалярные потенциалы магнитного поля оболочки в точках вне и внутри оболочки, источником которого будет являться составляющая < М5 > ее намагниченности, будут определяться следующим образом:

Ф- (Р, 8) = Хг Х 4я-1 (-1 С05(2п -1)8 +

2 п=1 I Р )

ь— ¥ ¥ œ r

+ ~¡~SS А2ш-1 (в2|ш-n| - ß2(ш+n-1)) I _ 4 n=1 ш=1 è p 0

xcos(2n - 1)B;

2n-1

(11)

4P, B) = £ S h2n-11 £

2

n=1

R

2 n-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

cos(2n - 1)B +

2n-1

+ b— SS h2rn-1(ß2|rn-n| - ß2(ш+n-1)) ("Г;

4 n=1 ш=1 è R

xcos(2n - 1)B,

(12)

где р, 0 - радиальная и угловая цилиндрические координаты.

Таблица 1. Значения корня уравнения (13) при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 1. Roots of Equation (13) at different strengths H0 of external magnetic field

Корень Значения напряженности H0, А/м

уравнения 32 50 100 150 200

Ль А/м 21,24 33,78 64,92 93,95 121,24

Таблица 2. Значения составляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 2. Magnetization components < Ms >(0) of a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точек 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 821,70 1329,93 2666,16 4007,08 5351,43

п/6 1630,62 2678,53 5554,29 8586,48 11746,03

п/4 2358,53 3920,74 8345,18 13169,80 18321,15

п/3 2937,83 4926,46 10680,75 17093,06 24043,12

5п/12 3311,21 5581,97 12234,96 19739,48 27940,13

п/2 3440,19 5809,65 12780,24 20673,88 29322,21

Таблица 3. Значения необратимой части < Msp >(0) составляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 3. Irreversible part < Msp >(0) of magnetization component < Ms >(0) for a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точек 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 12,08 40,29 112,93 236,50 393,86

п/6 45,11 150,38 421,46 882,65 1469,91

п/4 90,22 300,77 842,92 1765,32 2939,82

п/3 135,34 451,16 1264,38 2647,98 4409,74

5п/12 168,36 561,25 1572,91 3294,13 5485,79

п/2 180,45 601,25 1685,84 3530,64 5879,65

Таблица 4. Значения обратимой части < Ms' >(0) составляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 4. Reversible part < Ms' >(6) of magnetization component < Ms >(6) for a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точек 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 849,13 1326,77 2653,54 3980,32 5307,09

п/6 1640,40 2563,13 5126,26 7689,31 10252,52

п/4 2319,88 3624,81 7249,62 10874,46 14499,26

п/3 2841,26 4439,47 8878,94 13318,42 17757,89

5п/12 3169,01 4951,58 9903,17 14854,77 19806,36

п/2 3280,88 5126,26 10252,53 15378,79 20505,06

Приближенное решение системы уравнений (7) можно получить, как известно, с достаточной точностью путем усечения числа уравнений и числа неизвестных в (7) до соответствующего числа N. Полученная таким образом конечная система уравнений с конечным числом неизвестных может быть решена одним из известных итерационных методов.

В качестве примера ниже приведены последовательность и результаты численных расчетов намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки, имеющей габаритные размеры Я = 7 м, 5 = 0,04 м и изготовленной из стали с магнитными характеристиками х = 145, Ь = 0,8 м/А, при ее намагничении во внешних магнитных полях с напряженностью 32, 50, 100, 150, 200 А/м.

В первом приближении система уравнений (7) была усечена до одного уравнения с одним неизвестным ^ = 1):

1 %5 ^

2 Я

, . ,, 4 66 ,2

1IА+--А2

3п R

Hq-

(13)

Вычисленные значения корня уравнения (13), имеющего физический смысл при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля, приведены в табл. 1. Этим значениям соответствуют невязки уравнения (13) порядка 10-6. В табл. 1 (как и всюду ниже) в приведенных значениях сохранены два первых знака после запятой.

В табл. 2-4 приведены значения составляющей < >(9) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки и ее необратимой < М/ >(9) и обратимой

Таблица 5. Значения корней системы уравнений (14) при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 5. Roots of equation system (14) for different strengths H0 of external magnetic field

Корни системы Значения напряженности H0, А/м

уравнений 32 50 100 150 200

А1, А/м 21,96 33,79 64,99 94,12 121,56

А3, А/м 0,23 0,52 1,73 3,39 5,14

Таблица 6. Значения составляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 6. Magnetization components < Ms >(0) of a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точки 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 850,73 1833,15 8866,43 5999,10 8196,70

п/6 1689,71 3886,42 8681,96 14003,38 19681,92

п/4 2445,75 5740,66 13072,93 21319,00 30180,38

п/3 3048,09 7097,56 16118,73 26199,28 36980,66

5п/12 3436,59 7874,13 17709,23 28572,79 40103,80

n/2 3570,84 8120,08 18174,53 29220,39 40903,88

Таблица 7. Значения необратимой части < Msp >(0) отставляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 7. Irreversible part < Msp >(0) of magnetization component < Ms >(0) for a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точки на направляющей 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 12,93 40,33 113,17 237,37 395,97

п/6 48,25 150,53 422,38 825,89 1477,78

п/4 96,51 301,36 844,76 1771,78 2955,56

п/3 144,77 451,60 1267,14 2657,67 4433,34

5п/12 180,10 561,80 1576,34 3306,19 5515,16

n/2 193,03 602,13 1689,52 3542,56 5911,13

Таблица 8. Значения корней системы уравнений (15) при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 8. Roots of equation system (15) for different strengths H0 of external magnetic field

Значения напряженности H0, А/м

уравнений 32 50 100 150 200

hb А/м 21,96 33,79 64,77 94,09 121,50

h3, А/м 0,24 0,56 1,76 3,40 5,26

h5, А/м 0,04 0,11 0,43 0,90 1,47

Таблица 9. Значения составляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 9. Magnetization components < Ms >(0) of a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точки 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 882,60 1410,54 2947,77 4627,16 6394,93

п/6 1731,44 2785,63 5932,20 9464,34 13263,45

п/4 2468,87 3980,49 8528,43 13642,95 19138,33

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п/3 3040,83 4909,85 10562,90 16912,20 23715,84

5п/12 3406,74 5511,44 11922,38 19150,95 26919,41

n/2 5333,42 5722,16 12413,22 19980,03 28132,80

Таблица 10. Значения необратимой части < Msp >(0) вставляющей < Ms >(0) намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки в точках направляющей L при разных значениях напряженности H0 внешнего магнитного поля

Table 10. Irreversible part < Msp >(0) of magnetization component < Ms >(0) for a large thin-walled infinitely long cylindrical shell at the points of guide L for different strengths H0 of external magnetic field

Угловая Значения напряженности H0, А/м

координата точки 32 50 100 150 200

0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

п/12 13,89 34,22 135,85 305,45 535,72

п/6 50,56 122,70 472,49 1036,64 1782,83

п/4 98,25 234,58 874,22 1866,69 3140,74

п/3 144,19 340,42 1242,30 2606,15 4323,50

5п/12 177,31 416,65 1509,75 3148,61 5201,36

n/2 189,39 444,62 1609,85 3355,49 5542,25

< М/ >(9) частей, вычисленные в точках направляющей Ь при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля по формулам, полученным при сохранении в (3) и рядах (8), (9) только тех членов, которые содержат коэффициент Л1, и формуле (10).

Во втором приближении система уравнений (7) была усечена до двух уравнений с двумя неизвестными N = 2):

1+2 R11+R if ч - 7 ДА+73 А31=hq

1 х6'

2 R

, 3 х6 \ 3 66 ( 8 , 2 144 5 ,, ^ „

1+16) + 2П 661" 16712 + IT АА + 9) = 0-(14)

Вычисленные значения корней системы уравнений (14), имеющих физический смысл при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля, приведены в табл. 5. Этим значениям соответствуют невязки уравнений системы (14) порядка 10-4.

В табл. 6-7 приведены значения составляющей < М5 >(9) намагниченности оболочки и ее необратимой < М/ >(9) части, вычисленные в точках

направляющей L при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля по формулам, полученным при сохранении в (3) и рядах (8), (9) только тех членов, которые содержат коэффициенты Д1, Д3.

В третьем приближении система уравнений (7) была усечена до трех уравнений с тремя неизвестными (Ы = 3):

Г1+1 1 д +_!Ь* (8$ -16дд -дд -I 2 - 0 1 2п - (3 1 15 1 105 1 5

1326 72 ,2 20 ,2 . тт

--hh + — hi + — h2 |= H0;

945 3 5 35 3 9 5 1 0

1+6 Й ] hh +A « f-_8 h + lil kk +A hih5 +

, 2 R I ^ 2n Rf 15 35 163 1 5

44 34 ,2 200 ,2 , „

+—h>h +—h2 +-h52 | = 0;

55 3 5 45 3 273 5

i+5 Й | h5 +A f--L h2 - 442 ^ + ™ h +

2 R I 5 2n R f 105 1 315 1 3 99 1 5

36400 . . 72 2 40 ,2 i

+-Ah + — h2 + — h2 | = 0. (15)

24843 3 5 55 3 75 5 1

Вычисленные значения корней системы уравнений (15), имеющих физический смысл при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля, приведены в табл. 8. Этим значениям соответствуют невязки уравнений системы (15) порядка 10_3.

В табл. 9-10 приведены значения составляющей < М5 >(0) намагниченности оболочки и ее необратимой < Мр >(0) части, вычисленные в точках направляющей L при разных значениях напряженности Н0 внешнего магнитного поля по формулам, полученным при сохранении в (3) и рядах (8), (9) только тех членов, которые содержат коэффициенты $1, $3, $5.

Из результатов численных расчетов намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки видно, что значения коэффициентов ряда (5) Д2ш _ 1, ш = 1, 2., быстро спадают с ростом ш. Так, значения коэффициента $3 меньше значений коэффициента $1 приблизительно на порядок, а значения коэффициента $5 меньше значений коэффициента $1 приблизительно уже на два порядка.

Из результатов тех же расчетов видно также, что значения коэффициентов ряда (5) h2m _ 1, m = 1, 2..., найденные на предыдущей стадии приближения, на следующих стадиях приближения уточняются незначительно. Так, значения коэффициента Ль найденные в первом приближении, во втором и третьем приближениях уточняются не более, чем на несколько долей процента. Вполне очевидно, что это является следствием быстрого спадания значений коэффициентов h2m _ 1, m = 1, 2., с ростом m.

Отсюда следует, что при выполнении инженерных расчетов можно ограничиться определением только коэффициента h1 из решения уравнения (13).

Особо следует отметить, что, как видно из результатов численных расчетов намагниченности крупногабаритной тонкостенной бесконечно длинной цилиндрической оболочки, даже при действии относительно слабых внешних магнитных полей с напряженностью порядка напряженности магнитного поля Земли в материале оболочки образуется необратимая часть намагниченности, величина которой составляет несколько единиц процентов от обратимой части намагниченности, образующейся при действии того же внешнего магнитного поля.

Библиографический список

References

1. Бозорт Р. Ферромагнетизм. М.: ИИЛ, 1956. [R. Bo-sort. Ferromagnetism. Moscow: IIL, 1956. (in Russian)].

2. Цейтлин Л А. Об определении магнитных и электрических полей тонких слоев и оболочек // Техническая физика. 1958. Т. 28. Вып. 6. С. 1326-1329. [L. Tseitlin. On calculation of magnetic and electric fields for thin layers and shells // Technical Physics, 1958. 28(6): 1326-9. (in Russian)].

3. Краснов И.П. Расчетные методы судового магнетизма и электротехники. Л.: Судостроение, 1986. [I. Krasnov. Calculation methods for ship magnetism and electric installations. Leningrad: Sudostroyeniye, 1986. (in Russian)].

4. Vishnevsky A., Krasnov I., Lapovok A. Calculation of Static Magnetization for Thin-Walled Constructions by Boundary Element Method // IEEE Trans. Magn. 1993; 29(3): 2152-5.

5. Поливанов КМ. Ферромагнетики. М., Л.: ГЭИ, 1957. [K. Polivanov. Ferromagnetics. Moscow, Leningrad: GEI, 1957. (in Russian)].

Сведения об авторе

Приемский Михаил Михайлович, ведущий научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812) 748-46-73; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

About the author

Priemsky, Mikhail M., Lead Researcher, KSRC,

address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia,

post code 196158. Tel.: 8 (812) 748-46-73; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Поступила / Received: 24.05.17 Принята в печать / Accepted: 16.08.17 © Приемский М.М., 2017

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.