CC BY
13
Сравнительные результаты расчета магнитного поля внутри сферической экранирующей оболочки
Основные результаты. В статье рассмотрены особенности применения интегро-дифференци-алыюго уравнения для скалярного магнитного потенциала в задачах анализа тонкостенных ферромагнитных оболочек. Показано, что для адекватного описания таких систем в первом приближении может быть использован скалярный потенциал, усредненный по толщине обо-
лочки. Для расчета характеристик магнитного поля внутри экранированного объема предлагается использовать метод конечных элементов. Это позволяет избежать представления напряженности магнитного поля в виде суммы полей первичных и вторичных источников, в результате чего повышается точность расчета напряженности поля внутри экранированного объема. Выполнено сравнение численных результатов с аналитическими для тонкого сферического экрана с постоянной магнитной проницаемостью, исследована точность расчета напряженности магнитного поля при различной степени дискретизации оболочки. Показано, что применение метода взвешенных невязок значительно повышает точность решения интегро-дифференциаль-ного уравнения по сравнению с методом колло-каций при сохранении общего количества независимых переменных.
разными методами
Число узлов Точность, %
Метод взвешенных Метод коллокаций
невязок
93 1,9 12,6
217 1,15 7,3
345 0,91 5,4
817 0,68 3,0
1329 0,61 2,3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ронинсон А.Д. Общее решение магнитоста-тических и электрических задач для поляризованных оболочек // Электричество. 1990, N° 1.
2. Brunotte X., Мешег G. Line element for efficient computation of the magnetic field created by the thin iron plates // IEEE Trans, on Magnetics. 1990. Vol. 26, N° 5.
3. Guerin C., Tanneau G., Meuner G., Brunotte X., Albertiiii J.B. Three dimensional magnetostatic finite elements for gaps and iron shells using magnetic scalar potentials // IEEE Tmns. on Magnetics. 1994. Vol. 30, N° 5.
4. Igaraslii H., I lonma T. An analysis of thin magnetic materials using hypersingular integral equations // IEEE Trans, on Magnetics. 1996. Vol. 32, N° 3.
5. Калимов А.Г. Применение интегродиффе-ренциального уравнения магнитостатики для расчета тонкостенных ферромагнитных экранов // Электричество. 1999, N° П. С. 54-59.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
7. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
8. Штафль М. Электродинамические задачи в электрических машинах и трансформаторах. М.-Л.: Энергия, 1966.
УДК 678.681
Ю.В. Щербина, В.И. Солонец
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА РАСКАТЫВАНИЯ ВЯЗКОГО МАТЕРИАЛА В МНОГОЗВЕННЫХ ВАЛКОВО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ АППАРАТАХ
Раскатывающие валково-цшшндрические аппараты используются во многих промышленных агрегатах для нанесения на технологические поверхности тонких слоев вязкого ве-
щества. Это могут быть процессы лакирования, окраски, а также формирования тонких слоев жидкого полимера, клеевой композиции и т. д.
Основной элемент этих устройств—точка касания поверхностей вапаициливдра, где толщины двух входных потоков раскатываемого вещества суммируются, а затем делятся пополам. После прохождения этой точки выходные потоки раскатываемого вещества без изменения перемещаются вместе с вращающимися поверхностями валков и цилиндров к следующим точкам раската. Примерами таких динамических систем служат различные транспортирующие и раскатывающие устройства, в частности клеевые и лакировальные установки, а также красочные аппараты офсетных печатных машин.
Красочный аппарат должен обеспечить раскат входного слоя краски толщиной й0(/) в тонкий равномерный слой, который наносится на форму и после контакта с печатным цилиндром формирует выходное изображение оттиска толщиной /гот (рис. 1).
Это раскатывающее устройство представляет собой транспортную систему с коэффициентом передачи А:р, существенно меньшим единицы. Величина статического коэффициента передачи кр зависит от числа раскатных пар и распределения красочных потоков. Известно, что динамические свойства красочных аппаратов [1] приближенно описываются коэффициентом передачи А:р, временем чистого запаздывания т и доминирующей постоянной времени Т(). В этом случае мы имеем экспериментальную математическую модель, кдостоинствам которой относятся простота и интуитивная понятность. Однако значения динами-т2
с конструкцией многозвенной валково-цшшндри-ческой системы и по этой причине определяются экспериментально. Недостатком такого подхода к описанию динамики раскатывающих аппаратов можно считать необходимость, чтобы они существовали "в металле", что существенно повышает затраты и увеличивает сроки проектирования.
Рассмотрим в качестве примера упрощенную семицилиндровую систему раската и передачи вязкой краски [2], изображенную на рис. 2. В ней цилиндры 1 и 2 (считая справа налево) моделируют свойства дозирующего вала и приемного цилиндра, цилиндр 3— свойства краскопе-редающей системы, цилиндр 4 — свойства накатной системы. Цилиндры 5, 6и /моделируют процесс деления краски на формном, офсетном и печатном цилиндрах. В каждой точке соприкосновения транспортной системы толщины слоев складываются, а затем делятся пополам.
Моделирование. Математические методы
Например, процесс деления краски в точке Охарактеризуется соотношением
/л л,9(г -г19) + л39(г -г3,)
и3 (0=——^^^——; А21(') = Й2З('),
где Ту—время движения краски отточки /кточке у.
Схема движения потоков краски в этой системе представлена на рис. 3. Здесь Ну — толщина слоя краски между точками / и у.
Запишем уравнения деления слоев краски для всех точек транспортного объекта и найдем преобразование Лапласа. В результате получим векторно-матричное уравнение
Х(р) = А(р)Х(р) + В(р)х(1(р1 (1)
ЗдесьХ(р) = [хх(р),х2(р).....хь(р)] — вектор изображений толщин красочных слоев, то есть хх(р) = Щ12(г)]:х2{р) = Щ23Шхз(Р) = х4(р) = 1Щ5(г)]:х5{р) = 1[к5Ь(г)]: хь(р) = Дйот(?)]; ВО) = [е 01'', 0,0,0,0,0] - вектор коэффициентов передачи входных воздействий;
х0(р) = Ь[к01(г)] — изображение входного воздействия;
А(р) — матрица коммутации каналов дозирующего раскатывающего аппарата, которая в данном случае имеет вид
Рис. 1. Экспериментальная математическая модель красочного аппарата
раскатывающего аппарата
л >1
Рис. 3. Структурная схема потоков краски в раскатывающем аппарате
АО»
0 е~'-,р /2 0 0 0 0
1,-р / 2 0 /2 0 0 0
0 е-1""/2 0 еГ1"'' 12 0 0
0 0 е~''>,р/2 0 е~'!,р /2
0 0 0 е~',!Р /2 0 е^5" /2
0 0 0 0 0
(2)
Решение векторно-матричного уравнения (1) дает результат
Х(р) = Ф(р)В(р)х0(р1 (3)
Здесь Ф(/»
а т
раскатывающего аппарата. В рассматриваемом случае матрица [76 — А(/»] принимает вид
[/6-А0»] =
1 -е'^12
1
0
0 0 0 0 о о
•:Г 12 1
г/2
О О
О
0
, ' 1-Г/2
1
Ь.г/2 О
О О
О О
0 о
'-"•/2 О
1 -1-''"г12 /2 1
Определим вектор передаточных функций раскатывающего аппарата
\¥0» = Ф0»В0». (5)
Компонентами этого вектора являются передаточные функции Wk(/» транспортного объекта по входу х0 и выходам хк {к = 1,2.....6). Найдем передаточную функцию по выходному каналу W6(/» = = (С16/с1е1:[Ф(/>)])е-7о1'\ где С16 - алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы (4), с1е1;[Ф(/»] ф 0 — определитель матрицы (4).
В данном случае
сЫ[ф(р)] =
:1 - -Ц
4 V
е НР + е-и'р + еир + еНР + Г'бР
__ е-('2+,4+'б Р) +
64
(6)
6
V
е
+е
+е +е
+е
+
+ е + е
8 е~Г01Р = — е_(70| +72| +732 +ГМ +765 )
16 64 '
(7)
Здесь: /2 Г12 + Г21; /3 Г23 + Г32; /4 Г34 + Г43; /5 = Г45 + Г54; /6 = Г56 + Г65 — периоды вращения 2-го, 3-го и т. д. до 6-го цилиндров.
Найдем коэффициент передачи транспортного объекта кр = 'N¥¿(0):
1/64 1
(8)
К = -
р 1 - 5/4 + 6/16 -1/64 7
Введем время чистого запаздывания раскатывающего аппарата
(9)
и приведем его передаточную функцию к следующему виду:
т0 ^01 + ^12 + ^23 + ^34 + ^45 + ^56
обратная матрица
/& [ - -#(.
.е ЬР + е-'1р + е^ + е^ + е"'"'
--е
64
+
(Ю)
(4) + — 16
+ е
■('|+'4 )р + е-(ь+'5)/>
+ е + е + е
}
Определим амплитудно-частотную характеристику объекта по каналу А0 ^ /гот:
А»^^)! (11)
Аналогично можно определить передаточные функции по остальным каналам:
Wí.(/» = (Сц./ск*[Ф0»])е-7«"' (к= 1, 2.....5). (12)
На рис. 4 представлена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) раскатывающего аппарата по выходному каналу А0 ^ йот. Видно, что она имеет периодический характер с частотой повторения около 200 рад/с, что соответствует периоду колебаний Тк = 2л/200 = 0,032 с, который совпадает с временами полных оборотов 2-го, 3-го и 4-го цилиндров. Также представлены АЧХ раскатывающего аппарата по всем промежуточным каналам. Мы видим, что периодический характер АЧХ здесь тоже сохраняется, однако на первом и втором цилиндрах локальные максимумы исчезают. Появление локальных максимумов можно объяснить фактом периодической синхронизации на вращающихся цилиндрах фаз входных гармонических колебаний раскатывающего аппарата при различных частотах.
Поскольку передаточная функция (10) содержит только элементы чистого запаздывания, для определения переходныххарактеристик транспортного объекта классические способы не пригод-
Моделирование. Математические методы.
ны. Поэтому воспользуемся методом интеграль-
2 ®mr / х sin и/ .
ного синуса, т. е. k\tIQ^coj--аи
П Q и
(к = 1, 2, ..., 6), где Pk(w) = RetW^O®)] - вещественная частотная характеристика объекта по А:-му каналу. В качестве максимального значения диапазона интегрирования примем значение ®max = 200 рад/с.
На рис. 5 представлено семейство переходных характеристик раскатывающего аппарата. Мы видим, что переходная характеристика по выходному каналу имеет установившееся значение hl" = 0,143 = 1/7, что соответствует аналитическому результату. При перемещении потоков краски от выходного до дозирующего цилиндра их толщины увеличиваются на 1/7 на каждом цилиндре и соответственно составляют 2/7, 3/7, 4/7 и т. д. до единицы на подающем первом цилиндре. Форма переходной характеристики выходного цилиндра представляет собой экспоненту первого порядка с чистым запаздыванием.
Найдем приближенное значение передаточной функции Wь{р), разложив экспоненциальные слагаемые в ряд Тейлора и ограничившись линейным слагаемым, например: 1 — txp.
В результате получим следующее приближенное выражение:
А 4 (ю)
6 (ю)
о
200
400 ю, рад/с
Рис. 4. АЧХ раскатывающего аппарата по промежуточным каналам
X (р)''
к е Р
-W
(13)
тт
т0 = кр(1б(г2 + ц + и + ^ + Ч) - 4(3*2 + 2*з +
+ 2Х4 + + 3^) + ^ + и + Ц) = 0,6 с. (14)
На рис. 6 показаны графики точной кот(г) и приближенной /г 'от(/) переходных характеристик выходного канала раскатывающего аппарата. Видно, что они имеют высокую степень соответствия друг другу. Приведем передаточную функцию (10) раскатывающего аппарата к виду, когда ее числитель равен единице:
\¥6(р) = [64еТ|Р — 16(ет'р + еТзР + еТ4Р + ет'р + ет"р) +
+ 4(еТ5Р + ет?р + eTsP + еТ|оР + еТ||Р + eT|jP) - е Здесь:
JuPl-l
(15)
= т(я + Т2Х + т32 + г43 + т54 + Тб5
= -ТХ2 + г32 + г43 + г54 + Тб5
= т(п + Т2Х ~~ г23 + г43 + г54 + Тб5
т4 = + Т2Х + г32 -Тм + г54 + Тб5
= т(п -ТХ2 + г32 -Тм + г54 + Тб5
= т(п + Т2Х + г32 + г43 -Т45 + Тб5
= т(п -ТХ2 + г32 + г43 -Т45 + Тб5
= т(п -ТХ2 + г32 + г43 -Т45 + Тб5
т9 = Г0, -ТХ2 + г32 + г43 + т54 -т5Ь
тю:
:
^01 + ^21 + ^32 + ^43 + ^54 "
Т(п + т1х
^23 + ^43 + ^54 "
Т(п + Т,
т(
01
21 + ^32 " Г,2 + ^32 '
^34 + ^54 " ^34 + ^54 "
56'
56'
56'
56'
Запишем на основании формулы (15) уравнение динамики с входной переменной к()(г) и выходной переменной раскатывающего аппарата кот(г):
i-1-1-1—
К (t)
K2 (t)
Кз(t)
К(t)
Ks (t)
К (t)
KÁ')
_L
_L
_L
t, с
Рис. 5. Семейство переходных характеристик раскатывающего аппарата
и приближенной переходных характеристик раскатывающего аппарата
64А0Т(? + т,) - 16(А0Т(? + т2) + Аот(?+ т3) + + АОТ(Г + т4) + йот(Г + т6) + йот(? + т9)) + ттт
ттт т
Уравнение (16) характеризует динамические свойства дозирующей транспортной системы. Оно линейно, но не относится к числу обыкновенных дифференциальных уравнений, так как в него не входят производные выходного сигнала йот(/). Это уравнение не относится и кчислуразностных, так как в нем время / непрерывно. Получим дискретную модель раскатывающего аппарата, выбрав интервал квантования выходного сигнала Г так,
т
достаточно малыми. Тогда можно будет воспользоваться приближенными соотношениями т;-~ п{Г. Подставим эти соотношения в уравнение динамики (16) и получим приближенное уравнение
64 йот(? + я,?) - 16(йот(? + я2?) + /гот(? + «з?) + + йот(? + «4?) + йот(? + пь1) + йот(? + «„?)) + + 4(йот(? + п5г) + йот(? + я7?) + йот(? + я8?) + + йот(? + я10г) + йот(? + «,,?) + йот(? + я12») -
-йот(? + я13?) = й0(?). (17)
Подвергнемуравнение (17) ¿-преобразованию:
[64/> - 16(^ + & + ^ + + + 4(г"5 + + + ^ + + + - = к*0(1). (18)
Здесь 1= вр1 — комплексный оператор.
Запишем дискретную передаточную функцию раскатывающего аппарата в виде
\¥*6(г) = [64/1 - 16(^ + ^ + ¿ч + + + + 4(^ + ? + & + + + - ¿'»Г1-
Определим дискретную амплитудно-частотную характеристику:
А*6(ю) = №Т6 (е/тГ)|. (20)
Теперь можно найти рекуррентное уравнение дискретной модели, которое позволяет определить приближенное решение непрерывного уравнения
(16) в дискретных точках гп = пТ\ п = 0, 1, 2.....
Запишем на основании выражения (18) уравнение раскатывающего аппарата в рекуррентной форме:
64/? _ 1£,(к + А + А + И + ^"'от 11+11, '■"У'от 11+11, "от п+п, "от//+/14 "от п+п,,
л-Ь \+А(Ь +/г +/г +/г +
"ОТП+П,/ ^\"от/|+/15 "0ТП+П7 "0Т/|+/1ь "0Т/|+Мш
+ /г 1 — /г = /г
"ОТП+П,, "отп+п,,' "0ТИ+/1ц "0,/г (^1)
Если входное воздействие постоянно, то й0/, = й0 при «>0ий0я = 0 при п < 0. Тогда можно записать
Кт п+п,= 1/64 (й0/, + 16(йот/,+/ь + Иотп+Пк + йот/(+/,4 +
+ /г + /г 1 — 4С/г + /г + /г +
"от п+пь "от п+п,,' ^\"от н+н5 "от/¡+/¡7 "отн+нь
+ А + А +А 1 + А 1
"от/!+/;ш от //........//; " ОТ. ¡2 ОТ
Уравнение (22) предназначено для определения реакции раскатывающего аппарата на произвольные входные воздействия.
Результаты, полученные в работе:
1. Рассмотрен класс динамических объектов — многозвенные раскатывающие аппараты, элементами модели которых являются коэффициенты передачи и звенья чистого запаздывания.
2. Предложен подход для аналитического определения передаточных функций такого класса динамических объектов на основе методов векторно-матричных преобразований.
3. Разработан способ переходакупрощеннойли-нейной динамической модели такого рода объектов на основе разложения передаточной функции элементов транспортного запаздывания в ряд Тейлора.
4. Разработан способ получения приближенной дискретной математической модели раскатывающих аппаратов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Митрофанов В.П. Печатное оборудование: Учебник / В.П. Митрофанов [и др^ Моск. гос. ун-т печати. М.: Изд-во МГУП, 1999. 443 с.
2. Щербина Ю.В. Динамические свойства процессов управления движением бумаги и краски в рулонных печатных машинах: Монография / Моск. гос. ун-т печати. М.: Изд-во МГУП, 2003. 270 с.
