CC BY
32
Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 92-105
УДК 621.929:519.711.3
КИБЕРНЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СМЕСЕПРИГОТОВИТЕЛЬНОГО АГРЕГАТА В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Б.А. Федосенков, Е.В. Антипов, В.Н. Иванец
The models representing the mixing aggregate dynamics in the technological state space and means for realizing the directional digital computer simulation on the signal graphs basis are used for modeling a mixture preparing process in aggregates with the composite structure of material transmission. The structural block scheme of the mixture preparing aggregate and its signal graph are formed on the basis of structural functional scheme, and also on the base of mathematical description of the mixture preparing process using a transfer functions means. The scalar on observation vector-matrix model was accepted and realized as the working model. Besides the vector-matrix models for the separate mixture preparing aggregate parts were formed.
Математическая модель динамики процессов, протекающих в кибернетических системах, к которым, в частности, относится смесеприготовительный агрегат (СМПА), на общем уровне записывается в виде системы дифференциальных уравнений, являющейся в общем случае нелинейной. Данная система уравнений представляет собой исходную базу для разработки структурных и топологических моделей, представляемых соответственно блочными структурными схемами или сигнальными графами, для описания которых используется аппарат передаточных функций. По существу, методы расчета переходных процессов, протекающих в динамической системе, являются методами решения систем дифференциальных уравнений. В связи с этим следует заметить, что передаточные функции (ПФ) и структурные схемы (СС) разных уровней — это формы представления систем дифференциальных уравнений.
Технологический процесс смесеприготовления на основе сыпучих материал лов как объект управления характеризуется целым рядом входных и выходных переменных. К входным переменным, например, относятся материальные потоки, поступающие от блока дозирующих устройств, режимные параметры дозаторов, от которых зависит структура этих потоков, динамика подачи материалов от дозаторов к смесительному устройству и т.д. К выходным управляемым переменным относятся показатели качества результирующей смеси, а
© 2002 Б.А. Федосенков, Б.В. Антипов, В.Н. Иванец
E-mail: [email protected]
Кемеровский технологический институт пищевой промышленности
Математические структуры и моделирование. 2002. Выл. 10.
93
Рис. 1. Структурно-функциональная схема смесительного агрегата
также большое число режимно-конструктивных и расходовых параметров в разных точках смесительного устройства (в каналах прямой и обратной подачи материала).
В качестве выходных переменных могут использоваться как реальные, поддающиеся измерению, физические переменные, так и абстрактные, не поддающиеся измерению, переменные, например производные (скорости, ускорения, импульсы и т.д.) от наблюдаемых выходных переменных.
На такой основе любой скалярный динамический элемент, описываемый дифференциальным уравнением гг-го порядка (при п > 1), может рассматриваться как многомерный (векторный).
В данной работе излагается способ расчета выходных координат векторной (многомерной) системы как ее реакций на произвольный вектор возмущающих входных воздействий методом переменных состояния (ПС) системы.
Объектом исследования является система, включающая в себя блок дозирующих устройств (ДУ,, j = 1 ,N), количество и тип которых определяются рецептурой приготавливаемой смесевой композиции; питающе-формирующий и транспортирующий узел (ПФУ) и смесительное устройство непрерывного действия (СНД). Дозаторы создают входные загрузочные воздействия в виде весовых расходов питающих потоков, поступающих через суммирующий (бункерный) элемент и ПФУ на СНД.
Общая структурно-функциональная схема (СФС) исследуемого смесеприготовительного агрегата (СМПА) представлена на рис.1.
Здесь Хф(£), j = 1,N — сигналы весовых расходов N дозаторов; Qdg(t) — масса материала, подаваемого от j-то дозатора на ПФУ и далее на вход СНД; СЭ — суммирующие элементы; СПК — согласно-параллельный канал; ЛРК и РСД — соответственно локальный рецикл-канал и глобальный рецикл (для передачи материала смеси с выхода смесителя на выход блока дозаторов). На СФС обозначены параметры материалопотоков в виде мгновенных расходов (концентраций ) X(t) и масс вещества Q(t). Рециркуляция является эффективным средством для улучшения качества готового продукта в процессах смесе-
94
В.А. Федосенков, Е.В. Антипов, В.Н. Ивалец. Моделирование...
приготовления, позволяющим сглаживать ошибки и флуктуации (неравномерности подачи) потоков от дозирующего оборудования. На схеме показано, что на входе в область прямотока СНД (СЭ2) смешиваются исходный материальный поток с массой Qd{t) и концентрацией Xj(t — т) и поток, выходящий из области локального рецикла ЛРК с параметрами QR(t) = KrQm и XR(t). В итоге в область прямотока смесительного аппарата поступает масса материала смеси Qd(t) + KRQM(t) с концентрацией X^it), а выходит из нее с концентрацией X%f (£), после чего часть этого материалопотока -Кд<5м(£) = <3я(£) направляется в рецикл-канал, в область ЛРК, и выходит из неё с параметрами <3я(£) и -Хд(£)• В свою очередь, при наличии согласно-параллельного канала (F-канала) часть потока на входе в СНД Qd + Qr, равная Qp = Kp{Qd + Qr), поступает из суммирующего блока в этот канал. На выходе F-канала материалопоток имеет параметры Qp(t) и Xp(t). В суммирующем элементе СЭЗ материал из зоны прямотока СНД смешивается с материалом из зоны F-канала (СПК). В результате на выходе СМПА получается смесь с параметрами Хм (£) и Qm{1)-Модели (3), (4), (7), (9), (12) определяют виртуальные звенья, учитывающие преобразования типа «массопередача - мгновенный расход» соответственно в ПФУ, в прямоточном канале смесителя, в канале параллельного переноса и каналах рецикла; (2), (5), (8) описывают транспортный перенос материала от ДУ к СНД, изменение расходов материала в прямом и параллельном каналах смесителя; изображение дозирующих сигналов в СЭ1 — выражение (1); процесс массопереноса в F-канале описывается (6), где Кр — коэффициент отбора материала из СЭ2; (10) и (11) характеризуют процессы отбора и переноса приготовляемой композиции в локальном и глобальном рецикл-каналах (1 соответствует каналу идеального вытеснения, а 2 - каналу идеального смешения) (рис.1). При Kr = 0 (степень локального рецикла) канал «смеситель-С Э 2» отсутствует.
ОО
(1)
Xf(t) = FXd(t - т,);
(2)
І
(3)
(4)
ТмЩО_ + Хк ф = Кмх°м{ь - тм); Км = 0,92 - 1,0; at
(5.1)
(5.2)
QF(t) = Kp[Qd(t) + QR(t)]-, Кр = 0,2-0,5; 0 < Кр < 1; (6)
Математические структуры и моделирование. 2002. Выл. 10.
95
Рис. 2. Структурная блок-схема СМПА
TF
dXp(t)
dt
+ X°F{t) = KF
dQF(t) dt ’
KF < 1;
(7)
TMF^jM+xkF(t)-KMFx°F(t); KMF< l; (8)
t
+ QmW = (7^)'У Хм(в)сЮ-, Ти = OU Ф 0; (9)
о
<Эд(1) = KRQM(t — tMr)\ + <2д(і) = KRQM(t)-, 1 _s
KR = 0,1 - 0,85; { }
Яш(1) = KndQM(t — tjm); 7m ^ + Qrtd(t) = Ам<Эм(£); (11.1,2)
T^^^ + XRd(t) = K^d^-, (12)
QmW = Od(i) + Оя(і); = 4w + X$(t). (13,14)
Для выполнения моделирования технологических процессов в смесительном агрегате и его фрагментах, на базе структурно-функциональной схемы, а также на основании математического описания процесса смесеприготовления (1) - (14) с использованием аппарата передаточных функций (ПФ) были сформированы структурная блок-схема СМПА (рис.1) и его сигнальный граф Мейсона (рис.З).
На графе отмаркированы узлы и дуги, операторы дуг графа заключены в угловые скобки. Операторы дуг соответствуют ПФ отдельных звеньев блочной
96
В.А. Федосенков, Е.В. Антипов, В.Н. Ивалец. Моделирование...
Рис. 3. Сигнальный граф смесительной системы
структурной схемы (рис.1). Так, W$(s) определяют дозирующие устройства системы; Wf(s), Wf(s) — ПФ питающе-формирующего узла (ПФУ); Wm(s) и Wji/(s) — ПФ прямого канала смесителя; Wjr(s), W)p(s) и Wmf(s) — ПФ согласно-параллельного канала; VPr(s) и Wh(s) — ПФ локального контура рецикла; 1Ул(а), Wa;(s) и Wш(в) — описывают внешний рецикл-канал «смеситель - ДУ». В соответствии с этой моделью передаточная функция (ПФ) агрегата по выходному сигналу в узле 17 определяется как
W(s)= Ща)Фі(а)/Ф(а),
i=l,r=N
где Hi(s), ФДб') — соответственно ПФ і-го канала графа от входа к выходу и вырожденный определитель графа.
*(«) = !+ Е
<р=1,р 1=1,rv
где H,pi(s) — произведение ПФ для 1-го сочетания из ip несоприкасающихся контуров в разомкнутом состоянии; гv — общее число сочетаний.
С целью придания топологической схеме гибкости, проверки достоверности выполняемых расчетов при моделировании отдельных узлов агрегата, а также адекватности формируемых временных сигналов в различных точках смесительного комплекса описанная выше схема агрегата была представлена в форме, позволяющей применять принципы интерактивности при проведении исследований агрегата. При этом в сигнальном графе каждая дуга заменялась многовходовым универсальным блоком, на который можно было подавать до пяти внешних воздействий.
Подобная схема модели исследуемого агрегата дает возможность оперативно производить перерасчет системы смесеприготовления с учетом варьирования параметров входящих в ее состав элементов.
Расчетная блочная структурная схема модели агрегата приведена на рис.4.
Здесь блоки 2-^4 представляют собой формирующие фильтры, на выходе которых генерируется воздействие, описывающее реальные дозирующие сигналы
Математические структуры и моделирование. 2002. Выл. 10.
97
Рис. 4. Расчетная блочная структурная схема СМПА
(непрерывного и дискретно-релаксационного типов). Блоки б-т-8 моделируют питающе-формирующий узел; 9,10,16 — прямоточный канал смесительного аппарата (M-канал); 1ІЧ-13 — канал опережения (F-канал); 14,15 — канал локального рецикла (Д1-канал по типу внутреннего или внешнего контура); 17-Ї-19 — канал расширенного рецикла (Д2-канал «смеситель — выход блока дозаторов»). Блоки 7,9,12,14,17,19 и их модели определяют виртуальные звенья, учитывающие преобразования типа «массопередача - мгновенный расход» соответственно в ПФУ, М-канале смесительного устройства, Д-канале и каналах рецикла. Остальные звенья моделируют процессы отбора и массопереноса материалов на соответствующих участках агрегата.
Для оперативного получения результатов моделирования на базе моделей во временной области был использован аппарат представления динамики агрегата в технологическом пространстве состояний, дающий возможность расчета ненаблюдаемых переменных состояния (ПС) посредством надлежащего выбора вектора состояния, что позволяет более гибко оценивать режимы работы агрегата.
На этапе анализа БДУ в пространстве состояний, в ходе которого рассматривалось функционирование входящих в его состав элементов, разработаны и исследованы векторно-матричные модели по каждому из типов дозирующих устройств.
Изменение весового расхода материала на выходе из спирального дозатора описывается следующей временной функцией:
(0 У<Я)і 2Cdmі * sinfij^i і), (15)
изображение по Лапласу которой имеет вид:
Xdl(s) = ^+Ximi--^, (16)
s s -\- wdl
98
В.А. Федосенков, Е.В. Антипов, В.Н. Ивалец. Моделирование...
где Xdn — величина фонового постоянного расхода дозируемого компонента; Xdmi, шсІ! — соответственно амплитуда и частота флуктуаций.
Выражение (16) замещается структурной схемой, содержащей два виртуальных формирующих звена (включенных параллельно и тем самым задающих общий сигнал дозирования щ(() как сумму двух независимых сигналов), на вход которых одновременно подается фиктивное управляющее воздействие u(t). Передаточные функции формирующих звеньев подобраны таким образом, чтобы при наличии на их входах функции u(t) в виде единичного импульса суммарный сигнал дозирования был бы равен исходно заданному (15), который при этом являлся бы оригиналом, полученным посредством выполнения операции обратного преобразования Лапласа из передаточной функции системы, изображенной на рис.5.
Рис. 5. Модель спирального дозатора
Динамика звеньев описывается посредством системы дифференциальных уравнений:
--.I “(t)
что в пространстве состояний запишется следующим образом:
( іі(І) = x2(t)
< x2(t) = + Xdmiudlu(t), (17)
(. i3(t) = Xmiu{t)
где
xi(t) = Уі (t)
x2(t)=y1{t) (18)
x3 (t) = 2/2 (t)-
Так как дозирующий сигнал ищется в виде суммы сигналов yi(t) и y2(t) , уравнение наблюдения для спирального дозирующего устройства примет вид:
Щ (t) = ®1 (t)+x3{t).
(19)
Математические структуры и моделирование. 2002. Выл. 10.
99
В результате, объединяя (17, 18 и 19), получаем векторно-матричную мо-
дель:
Г х(£) = S • х(£) + С • u(t)
\ у(£) = YS ■ х + YC ■ и(£)
в которой:
(20)
О 1-H о 0 ' і'
1 є Й.Ю О О ; с = Xdmi^di ; ys = 0
О О о XdQ1 і
Здесь S, С, YS, YC — соответственно матрицы состояния, управления, выхода по состоянию и выхода по управлению СМПА, элементы которых функционально зависят от режимно-конструктивных параметров смесеприготовительного агрегата.
Таким образом, итоговая модель дозирующего сигнала спирального дозатора в терминах пространства состояний примет следующий вид:
' X-L(£) = x2{t)
x2(t) = (£) + Xdmiu>dlu{t)
x3(t) = Xmiu(t)
„ «і(£) = xx(t) + xs(t)
Изменение весового расхода материала на выходе из шнекового дозатора описывается следующей временной функцией:
Х/І2 (£) Xdm2 Xdm2 ■ йіп(щ^2і).
изображение по Лапласу которой имеет вид:
V __ -^drri.2 . V ^2
-'*■^2 4°/ ' dm2 о . о 5
s + <<
где Xdrm, u>dz — соответственно амплитуда и частота флуктуаций выходного потока шнекового дозатора.
Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе, дозирующий сигнал изображается в виде структурной схемы (рис. 6) и описывается системой дифференциальных уравнений:
= Xdm2wd2u{t)
= Xdm2u(t)
которая в пространстве состояний имеет вид:
{ха (t) = x5(t)
x5(t) = -ui^x^t) + Xdm2u>d2u{t), (£) — Xdm2u(t)
(21)
100
Б.А. Федосенков, Е.В. Автипов, В.Н. Ивалец. Моделирование...
где
[ X4(t) = 1/3(і)
< X5(t) = y3(t) (22)
{ xe(t) = y4(t).
Дозирующий сигнал в этом случае ищется в виде суммы сигналов y3(t) и 2/4(£) , уравнение наблюдения для шнекового дозирующего устройства примет вид:
«2 (t) = х4 (t) + х6 (1). (23)
В итоге, объединяя (21, 22 и 23), получаем ВММ вида (20), в которой:
0 1 0 ' 0 ' і"
s = 0 0 ; с = ; ys = 0
0 0 0 Xdm2 і
Таким образом, ВММ дозирующего сигнала шнекового дозатора в терминах пространства состояний примет следующий вид:
' x4(t) = xs(t)
x5(t) = ~^x4(t) + Xdm2usd2u(t)
Xg (t) =
«2 (t) = X4(t) + X6(t).
Заметим, что в данной модели номерные индексы переменных состояния начинаются с цифры 4, что сделано с тем, чтобы отличать друг от друга модели, разработанные для спирального и шнекового дозаторов.
В схеме исследуемого нами СМПА в общей сложности содержится три устройства, предназначенных для формирования порционных потоков дозироваг ния, которые имеют разные конструктивные особенности и принцип действия, а также разные режимные параметры, определяющие характер их функционирования. Однако все они относятся к типу порционных дозаторов, поэтому все сказанное в этом разделе относится к каждому из них.
Для интерпретации сигналов порционных дозаторов наиболее оптимальными явились Фурье-модели как обеспечивающие минимальную ошибку аппроксимации реального дозирующего сигнала при наименьшем числе членов модели и наименьшем порядке полиномов изображения сигнала і-го дозатора. Для
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
101
описания выбран способ точной формализации сигнала, суть которого в том, что сигнал порции в динамике представлен в виде цепочки трапецеидальных импульсов, передний и задний фронты которых могут иметь разные значения крутизны, а верхняя часть импульса дозирования должна быть максимально уплощена (см. рис.7).
Для получения цепочки таких импульсов на протяжении произвольного количества циклов используется расширенная формула:
Xd(t)
k-1
Е
Xn^Xpu
Td К >
Xmd
т=?(5<"Л’-0
0
при пТ < t < пТ + при пТ + jX <t < пТ + ^ при пТ + < t < пТ + ^
при пТ + ^ < t < пТ + Td.
Разработанная модель позволяет комплексно моделировать работу разнотиповых дискретных дозаторов в различных режимах (сочетания скважностей Л, р, v, Ао/2 и др.), наиболее точно отражая реальную динамику процесса, а информация о режимных параметрах позволяет оптимизировать согласованную работу дозирующего и смесительного оборудования.
Процесс формирования доз материала на выходе из дозатора порционного типа был описан с помощью Фурье-разложения десятого порядка, которое во временной области представлено следующей функцией:
10 / к=1 4
2 for
cos ~—t + Bki ■
1<к
2kir
Td.
і = 3,4,J
что в области изображений по Лапласу запишется следующим образом:
Xdi{s) =
Л 10 /
к=1 4
*2+“1
-В,
s2+w:
ї)
где A0i, — коэффициенты Фурье-разложения г-го сигнала порционного
дозирования; u>di — рабочая частота г-го дозатора.
Аналогично предыдущим разделам дозирующий сигнал изображается в виде структурной схемы (упрощенно представлена на рис.8) и описывается систе-
102
В.А. Федосенков, Е.В. Антипов, В.Н. Иванец. Моделирование...
Рис. 7. Описание сигналов порционного дозирования
Рис. 8. Модель порционного дозатора
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
103
мой дифференциальных уравнений (для удобства индекс і опущен):
dyijt) _ Л).
dt
<i(t)
<РУ2&)
dt2
<Руз(і) dt2
d?yj{t)
dt2
<Pyn(t)
dt2
-u2dy2{t) = Ai
du{t)
dt
+ Ч&зМ = B-iWiuit)
- ^ІУі{і) = A2
du(t)
dt
- 4^2/5 M = 2B2wdu{t)
*§И + и»4ыо-^
—^ + muj2dy21{t) = 10BioUdu(t), которая в пространстве состояний примет вид:
Mt) = ^“(*)
X2l(t) = X2l+l(t)
&2l+l(t) = ~((q - 1H)2 • ХШ(t) + u(t)
q = 2,11, 1 =
(1 - (-1)")
+ 2 q
. ub(t) = x7(t) + ^2x2i(t), i = 4,12,
где l — нормированный индекс переменной состояния; q — переопределенный номер полной гармоники.
ООО 0 0 1 0 0 0 0 " 0 0 0 0 ; с= ■ А0/2 ' 0 1 ; ys= і і 0
0 0 0 .000 0 1 —looі4 о. 0 1 1 0
Таким образом, была получена итоговая расчетная модель блока дозаторов (рис.9), состоящая из трех ДУ (порционного типа), а также спирального и шнекового дозаторов.
104
Б.А. Федосенков, Е.В. Автипов, В.Н. Ивалец. Моделирование...
Рис. 9. Блок ДУ в виде структурного фрагмента схемы моделирования СМПА в технологическом пространстве состояний
Следует отметить, что такого рода модели по сравнению со структурнотопологическими имеют, кроме преимуществ, и некоторые недостатки: во-первых, для описания модели используется аппарат дифференциальных уравнений, порядок которых определяется порядком модели, что связано с определенными трудностями на уровне проведения расчетов; во-вторых, по данной модели невозможно определять частотные характеристики в их привычной форме, что создает некоторые неудобства при анализе; в-третьих, имеет место существенная чувствительность модели к конфигурации рассчитываемого агрегата — введение в схему новых конструктивно-технологических дополнений обязывает перестраивать модель полностью.
Несомненным достоинством данной модели является то, что за один акт моделирования можно рассчитать практически все сигналы, в то время как, используя структурно-топологические подходы, приходится производить расчеты многократно, каждый раз внося изменения в базовую модель. Также необходимо отметить оперативность векторной модели СМПА при переконфигурирова-нии блока ДУ, что может иметь место при переходе на иную рецептуру смесевой композиции, при замене дозатора одного типа устройством другого типа и т.д. В данном случае изменяется только вектор входных воздействий, а не сама модель.
Чтобы использовать преимущества структурного и топологического подходов, векторная модель подвергалась процедуре скаляризации, в ходе которой ДУ из блока дозаторов представлялись в виде передаточных функций, рассчитанных таким образом, чтобы при одновременной подаче на их вход типового воздействия в виде единичной импульсной функции на выходах появлялись сигналы, соответствующие реальным.
В заключение следует отметить, что анализ функционирования дозирующих устройств целесообразно проводить раздельно от остальных частей агрегата и друг от друга. Это связано с большой сложностью их моделей ввиду требуемого большого количества переменных состояния (ПС), необходимых для адекватного описания процесса формирования сигналов порционного дозирова-
Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.
105
ния. Временные зависимости, получаемые в результате расчета квазискалярных векторно-матричных моделей (ВММ) отдельных дозаторов, рациональнее всего использовать далее как составные части векторного входа u(l) ВММ, скалярной по выходу, для всего смесеприготовительного агрегата в целом.
Таким образом, можно исключить из общей ВММ модели дозирующих устройств (ДУ), что значительно упрощает последующие расчеты, т.к. блок ДУ вносит очень большой вклад в формирование общей размерности модели. В частности, в рассматриваемом агрегате суммарная модель блока ДУ характеризуется вектором из 129 ПС, в то время как совокупность фрагментов агрегата без блока ДУ описывается посредством лишь 16-и ПС. Очевидно, что использование ВММ, содержащей в своем составе модели блока дозаторов, требует описания посредством вектора из 145 ПС, что крайне нерационально с точки зрения проведения расчетов. Таким образом, методика проведения расчета модели смесеприготовительного агрегата в технологическом пространстве состояний сводится к поэтапному определению временных сигналов на выходе каждого из дозаторов, их суммированию и расчету потока (потоков) на выходе из смесительного устройства и других узлов агрегата.
Для численной реализации расчетов использовался персональный компьютер IBM-совместимого типа; в качестве базового программного обеспечения были приняты универсальные интегрированные пакеты: Mathcad, Maple V, Mathe-matica, MatLab.
