Аналитическое описание поведения поверхности Френеля в анизотропной среде с однонаправленно или периодически изменяющимся показателем преломления Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ФРЕНЕЛЯ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С ОДНОНАПРАВЛЕННО ИЛИ ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПОКАЗАТЕЛЕМ

ПРЕЛОМЛЕНИЯ Л.П. Ильина, К.В. Мануйлов, Е.Г. Оносовская

Задача аналитического описания поведения поверхности Френеля в анизотропной среде с однонаправлено или периодически изменяющимся показателем преломления является чрезвычайно важной, поскольку в результате изучения таких сред была создана градиентная оптика, в которой используются среды с наперед заданным законом изменения показателя преломления, позволяющие передавать и преобразовывать изображения без применения традиционных линзовых систем [1]. Построим аналитическое описание поведения поверхности Френеля в среде с оптической индикатрисой, определенной эллипсоидом 11 : 3 г2

Х^Т = 1. <!)•

I=1 а

где хг - декартовы координаты, аг — полуоси, численно равные значениям показателя преломления, при условии, что среда испытывает в результате внешнего воздействия однонаправленные или периодические изменения двух классов, из которых первые не изменяют ее порядка, а вторые повышают его, методами теории абелевых функций, т.е., следуя мемуарам Г. Вебера [2] и С.В. Ковалевской [3].

Поверхность Френеля такой среды определена уравнением 3 3 3 , ч 3

Ха2у4 + 2 ХаЪ)у1 м2(а2 + а2)у2 + Па2 = 0, (2),

г =1 ук =1 ук г =1

где аг — полуоси эллипсоида (1).

Поверхность (2) получается из поверхности Куммера К 24 ([4] с. 103)

Х а г*4 + 2 Х а 1г (+ Г)г2к )+ вП гг = 0 , (3),

г =1 ук = 2 г =1

где аг, ац и в суть постоянные коэффициенты, а — проективные координаты в Я3,

определенные абелевыми тэта-функциями второго порядка отр > 2 переменных Г = 0г0г (уъ u2,..., и р) ,

и

где тэта-функция определена выражением

р

(4),

0к[Хк] (и2, . ,ир)=ХехР{ п[ ХачI т + ^ - 1 8

г =1

Л

т, + V ' 2 J

+

+2Х| и

+

тк 2

V

т +—

г =1 4

где т„, т, = 0,± 1,±2,...

Г 8 (к) 8 (к) ^

(5),

X к ]=

81

8Р

V к1

(к)

,(к)

8

(к), к (к)= 0,

(6),

- тэта-характеристика, определяющая четность тэта-функции (5).

Если мы теперь из проективных координат вида (4) построим отношения

2

1

u = yt = —, i = 1,2,3 , (7)

Z4

то декартовы координаты вида (7), представляющие собой тригонометрические функции алгебраической кривой рода р, будут естественными координатами поверхности Френеля (2), а также уравнений, описывающих поведение поверхности (2) при однонаправленном или периодическом изменении индикатрисы (1). Чтобы убедиться в этом, необходимо и достаточно найти первые и вторые субстанциональные производные от функций (7), полагая их зависящими от аргументов и i , являющихся линейными функциями времени и координат xi, и 2р-1

модулей абелевых интегралов I рода, определяющих периоды тэта-функций (5) и являющихся квадратичными функциями времени и координат (см. [6]). Выбрав два

вектора u с составляющими u i и v с составляющими vi, где i = 1, 2, ..., р и

* ~

z ■ z ■

Щ =Чг, Vi = -L- (7'),

zz 4 4

*

а zi и Zi - две четверки функций вида (5), образующие квадруполи Гепеля [5],

получим две системы уравнений:

.. - .. 2 р-1 3 1 +1 у у

п dt c ,лдк: dxk dt j =1 к=1 J k

1dt + -УУ iM^ = FV ) + ) + +e[grad(div vt)-rot(rot(vl)) ] (8) п dt c^ j dxk dt

j =1 к=1 J K

где kj — модули абелевых интегралов I рода. Постоянная с - скорость света , а и в -постоянные согласующие размерности .

Того же класса функции суть решения уравнений Максвелла, поскольку функции F(ui), F(Vi), представляющие собой полиномы третьей степени от ui и vi, а также квазипериодические функции ФЩ), Ф^), определяющие необратимые изменения распространяющейся волны - потери энергии - вместе со слагаемыми, определяющими сжимаемость колеблющейся максвелловой жидкости, равны нулю. Приняв, кроме того,

u = D, ui = Di, а rot u = H

- - _ - - (9)

v = B, vi = Bi, в rot v = E

получим точные выражения уравнений Максвелла, описывающих колебания реального электростатического поля в пустоте [7]

--J = f(ui) + o(ui) + +а \grad(div ut) - rot(rot(ui))]

1 dDt 1 з dDt dxj --L + —У-i--- = rotH i

с d t c i=1 dx j d t J J

1 dBt 1 з dBt d x j

--L + —У —i--}- = - rotE

с d t c j=1 dx j d t

(10)

J

Уравнения Максвелла, решения которых определяют колебания электростатического поля в так называемом вакууме, должны иметь вид (10) (см. [79]), поскольку они описывают колебания максвелловой жидкости, обладающей отличной от нуля сжимаемостью, которые при периодических изменениях Б и В влекут с необходимостью малые, но отличные от нуля периодические изменения полуосей эллипсоида (1) и коэффициентов в выражении поверхности (2).

Отметим, что при распространении света в среде со сложно изменяющимся показателем преломления все слагаемые в уравнениях (8), вообще говоря, отличны от нуля.

(а) (б)

Рис.1. Поверхность Френеля Ф1 (а) и она же в разрезе по особой линии (б)

Построим теперь уравнения, описывающие поведение поверхности Френеля при однонаправленных или периодических изменениях полуосей эллипсоида (1) в самом простом случае, когда функции (7) будут отношениями тэта-функций от двух переменных, что согласуется с исследованиями С.В. Ковалевской, Р. Куранта [3, 8], Г. Вебера [2], причем эти отношения представляются в виде произведений двух эллиптических функций [2, 3] (см. рис.1):

у = с^и^) ^о^)

У 2 = С2СП(Р1А ) СП(Р2А )

У3 = ^^^ ) Sn(Uк.Zк) где с = а2 ; С2 = С3 = а^

ц е[- К, К ], о2 е [- 2 Ь ,2 Ь ], dx

(11)

К =|

0

Ь = 1

7(1 - Х!)(1 х2)

dx

0^1(1 - х 2)(1 - ^ Х 2)

— эллиптические интегралы I рода, а

22 е 2 = а - а 2

ь 1 — '

22 а1 - а3

2 / 2 ;2 _ ^ 2 22 а

2 2 2 а[ \а 2 - а 3

"7 2 2 \

>2 - а3 ]

- эксцентриситеты двух эллипсоидов - одного с полуосями аг и второго с полуосями Ьг (см. [10] с. 517 (2')):

Ь1 = а1а2 , Ь2 = а1а3 и Ь3 = а2а3 (13)

Вычисляя первые и вторые производные от (11) по эксцентриситетам (12) (см. [11]), получим уравнения, описывающие поведение поверхности Френеля в среде с изменяющейся индикатрисой (1).

3 2 ду. , дaJ

II

1чУ1 + / ^ Уг + / В Щ +

и2 и2

j _1 к _1 к да] д + 2/3^ Щ + /41и1Ви1 Щ + /42 и2Во2 Щ + Л^ОО^ Щ +

(14)

+ /52 Е (и2 К Щ •

Здесь Е (и ) _ | йп 2 и йи - квазипериодическая функция;

/, _у& 1пс, + ДА 1п£ +Д.2В, 1п&, /2 ^ ^

/3

2

,

1п^1 В, 1п^2 1 -*12

1

(15)

/4. _/4В 1п£, /5 г _ У 5 '

В, 1п^г

1

где в .1 , в .2, У2., У3, У4, у5 — неопределенные коэффициенты, значения которых находятся из начальных условий в результате вычисления производных от эксцентриситетов в явной форме.

Полученные нами уравнения подобны уравнениям, описывающим распространение электромагнитных колебаний в среде с неизменяющейся индикатрисой (1), т.е. уравнениям (8), в коих все слагаемые, кроме /го1;(го1 иг ), /го1;(го1 VI), являются малыми по сравнению с таковыми в уравнениях (14). Два последних слагаемых в уравнениях системы (14) содержат эллиптические функции II рода, которые, являясь квазипериодическими, вместе с производными от эксцентриситетов определяют необратимые изменения поверхности в среде, испытывающей внешние воздействия, изменяющие распределение плотности и эллипсоид 11 (1). Для построения уравнений, описывающих поведение поверхности Френеля в сплошной среде с периодически изменяющейся индикатрисой, достаточно найти вторые производные от функций (11) по и которые мы не приводим за неимением места. Они представляют собой волновые уравнения, содержащие в левой части вторые производные по эксцентриситетам г(,), г = 1, 2, а в правой - четвертые, третьи, вторые и первые производные по аргументам иг (х1, х2, х3), г = 1, 2, т.е. дают аналитическое описание поверхности (2) в среде с периодически изменяющейся (пульсирующей) индикатрисой. Как и уравнения (14), они содержат квазипериодические слагаемые, описывающие необратимые изменения поверхности 11.

Так как производные всех порядков от у по »1 и и2 алгебраически выражаются через те же эллиптические функции, что и сами составляющие у, то это позволяет найти поверхность, характеризующую изменение координат поверхности (2) во времени в среде с однонаправлено или периодически изменяющейся индикатрисой (1).

Отметим, что в реальной сплошной среде существует не одна, а четыре индикатрисы И (¡=1,2,3,4) ), которые суть эллипсоиды, из коих две пары имеют полуоси а., а. и ¿¡., ¿¡., связанные равенствами (13), а эллипсоиды в этих парах связаны между собой соотношением взаимности, то есть,

а,

Яг

а.

(а),

Ь = Я

2

(Ь) ,

(16)

где Я - радиус неизменяющейся сферы, квадрат которого можно принять равным единице или некоторой характеристической постоянной данной сплошной среды, выраженной в единицах, принятых для измерения показателя преломления. Соответственно мы получаем четыре поверхности Френеля Фг- вида (2), которые имеют

коэффициенты, определенные полуосями а., а. и Ь., Ь..

Рис. 2. Поверхности Ф1 и Ф2 (взаимные) совместно в разрезе

Поверхность взаимная (2): Ф2 с коэффициентами, определенными полуосями (16), (а), имеет координаты у. (ц, и2). (см. рис. 2)

у = а^и^ ^(Ъ^'У

► , (17)

У 2 = ^сЧц^ )сп(и2,^0 Уз = а^и^ Ми^')

где

=

^22 =

а3

а2

а3

а1

2 2 2 аз(а2 - а1 )

2 2 2 а2(аз - а1 )

(18)

) На самом деле каждое классическое коническое сечение размерности 1 и 2 входит в полную группу из шести таковых, шесть квадратов эксцентриситетов которых суть корни модулярного уравнения (см. [6]).

суть эксцентриситеты, которые связаны с эксцентриситетами £ , г = 1, 2, равенствами

£2_ 1 .

(19)

Для полного аналитического описания оптических явлений в градиентной среде с каноническими индикатрисами, имеющими полуоси й-, й-, необходимо найти законы

изменения лучевых поверхностей или поверхностей нормалей N и Ы2, для чего необходимо и достаточно построить аналитические выражения их координат, дающих параметрическое определение поверхностей N и Ы2. Они имеют вид (см. рис.3 и см. рис.4): для Ы1:

У1 _ -Й^Ци , £ )ап(и2 , ^2 ^^ (и1, + (^12 - (и2 , £2 )]

[2(и1,£) -£22§п2(и2,£2)]

У 2 _ -а1 а2 сп(и1, )сп(и2 , £2 )

У3 _ -а1а2ап(и1, £ )8п(и2 , £2 )[[ - ^^ (и1, + ^^ £2 )]

для N2:

я

У1 2

а

-Я4¡Ш(ц,£2,£)[п2 (ц,£2) + (£22 - 1>п2 (и,£1')]

У 2

У3

я

4

й1 а 2

я4

а1 а2

сп(ц, £2 )сп(и, £)[п2 (ц, £2) - £1' ^п2 (и, £1')] • ап(ц , £ )8п(^2 , £')[[2 - 1)8п2 (Ц, £2 ) + ^>2, £1')]

(20-1)

(20-2)

0 . 4

О . £

0.£

0.£

(а) (б)

Рис. 3. Нормальная к Ф2 поверхность N2 (а) и она же в разрезе (б)

Рис. 4. Поверхности Ф2 и N2 совместно в разрезе

Условие ортогональности поверхностей Ф^ и N / = 1, 2, определено уравнениями, связующими между собой эксцентриситеты 2,1, ^2 м 2 2 :

= 1 1 , (21)

У2 + Й = 1]

а условие взаимности поверхностей ¡¡, 12, Фь Ф2, N и Ы2 -

22+522 =^ . (22) И2 +22 = 1]

Существование инвариантов вида

а2 - а2 - «22^ = 0 '

«22 - а2 Й - а22^ = 0 а2 - а2 - а22 222 = 0

(23)

а22 - а2 - а2 & = 0]

позволяет определить сети кривых на поверхностях Ф] и Ф2 как ортогональные сети Ламэ, что упрощает аналитическое описание различных характеристик этих поверхностей, в частности и во-первых, поведение их радиусов кривизны или нормалей, необходимое для построения аналитического описания поверхностей N1 и N2 (N3 и N4).

Отметим в заключение, что те же самые построения дают представления и о распространении звуковых колебаний в любой анизотропной градиентной сплошной среде, заданной изначально как бесструктурная (без определения кристаллической структуры), ибо распространение звуковых колебаний описывается аналогичными уравнениями и поверхностями (см. [12]), а также в среде, деформируемой некоторым образом.

Те же самые построения, но несколько более сложные, дают описание аналогичных процессов в сплошной среде с изначально заданной кристаллической структурой [13].

Литература

1. Вейнберг В.Б., Саттаров Д.К. Оптика световодов. Л.: Машиностроение, 1977.

2. Weber H. Ueber die Kummersche Flache vierter Ordnung mit sechzehn Knotenpunkten und ihre Beziehung zu den Thetafunctionen mit zwei Veränderlichen. Journ. fur Math.Bd. LXXXIV. Ss 332 -354.

3. Ковалевская С.В. О преломлении света в кристаллической среде. / Ковалевская С.В. Научные работы. М.: ИАН СССР, 1948. С. 75-135.

4. Coble A. Algebraic geometry and theta functions. New York, AMS Coli. Publ.v.X. 1929.

5. Krazer A. Lerhbuch der Thetafunktionen. Leipzig, Teubner. 1903. ss. 128-163.

6. Мануйлов К.В. Конические сечения, теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. // Quaest. Phil. Nat. № 2-3, 1999, с. 8-54.

7. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. II. М.: Наука, 1989. С. 348-363.

8. Базилевский С.А., Варин М.П. Ошибка Эйнштейна. / В сб. "Проблемы пространства и времени в современном естествознании", СПбАН, СПб, 1994, с. 176-195.

9. Мануйлов К.В., Оболенский В. А. Движение системы N заряженных тел и решения уравнений Максвелла. // Проблемы пространства, времени, движения. РАН, ОАО СПб-ТЕХНОЛОГИЯ. СПб, 1997, с. 53-193.

10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. T.II. М-Л.: ГИТТЛ, 1945. С. 516-523.

11. Ильина Л.П., Мануйлов К.В. Курс лекций по теории функций комплексной переменной и эллиптическим функциям. СПб: СПбГИТМО, ОАО СПб-ТЕХНОЛОГИЯ , 2000. С. 164.

12. Cauchy A. Sur les pressions ou tensions supporte en un point. Oeuvres Complet. Ser. II-IX. Paris. Gauthier-Villars. 1986. P. 41-52.

13. Мануйлов К.В., Ильина Л.П. Динамика решетки (фазовые переходы). В печати.