Аналитическое описание изгибаний сильфона с помощью абелевых функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИЗГИБАНИИ СИЛЬФОНА С ПОМОЩЬЮ АБЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С.С. Гвоздев, И.М. Кудрявцева, К.В. Мануйлов

В настоящее время задача об изгибании цилиндрических оболочек, а тем более задача об изгибании гофрированных цилиндров, является наименее разработанной. Некоторые результаты, косвенно освещающие этот вопрос, содержатся в мемуарах Л. Эйлера [1], посвященных устойчивости колонн.

В нашей статье [2] представлен краткий анализ работ авторов XX века, посвященных анализу и математическому описанию поведения цилиндрических оболочек сложной формы при различных внешних воздействиях. В работе [2] мы также отметили, что в них задача аналитического описания оболочки сводилась к построению аналитического описания средней поверхности, тогда как реальная оболочка представляет собой объемное тело. Кроме того, авторы [3-5] формируют поверхность сильфона посредством компоновки, т.е. набора из отдельных фрагментов более простых поверхностей, вместо описания ее как единого целого. Это, в свою очередь, приводит к задаче сшивания решений уравнений, описывающих деформации сказанных простых оболочек. Хотя эта операция и представляется потенциально возможной в силу условий Дирихле, но, тем не менее, такой подход не может дать ни адекватного представления объекта исследования как единого целого, ни аналитического описания ее поведения при внешних воздействиях. Поэтому полученные авторами [3-5] системы уравнений деформации имеют неестественно низкий порядок и неоправданно сложные решения.

Для построения аналитического описания деформаций и колебаний реальных оболочек необходимо и достаточно заметить, что лежащие на их поверхностях алгебраические и механические кривые могут быть определены решениями деривационных уравнений, представляющих собой четные и нечетные тригонометрические функции этих кривых. Последние являются, в свою очередь, решениями уравнений Эйлера (1), которые описывают движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, и решениями уравнений Эйлера-Стокса, описывающими деформации реальной сплошной среды [1], а, следовательно, и самих оболочек, которые необходимо рассматривать как конечные тела, ограниченные одной или двумя механическими поверхностями: Гх = Ь {-и + 2 [Е ( и + К ) - Е ( К )]}, [у = - 2 8 Ь сп (и + К ), где Ь - отношение момента инерции гироскопа в шаре к силе, которой шару сообщается движение; Е(и) - эллиптический интеграл II рода; К - эллиптический интеграл I рода; в - эксцентриситет эллипса, равный модулю эллиптических интегралов к; сп(и) - эллиптический косинус; и - аргумент эллиптической функции Якоби.

Такое описание позволяет изучить поля деформаций и напряжений, возникающих в толще реальных оболочек, и описать их развитие даже при чисто статической (или периодической) нагрузке, приводящее к возникновению волн деформаций и напряжений, рост амплитуды и частоты которых с необходимостью влечет за собой необратимые изменения геометрии оболочки и потерю ее устойчивости - разрушение.

В качестве примера реализации такого подхода рассмотрим аналитическое описание колебаний сильфона, при которых его ось преобразуется в дугу окружности или некой другой плоской кривой, например, эллипса или кривой четвертого порядка.

Так как число гофров сильфона в недеформированном состоянии на единицу длины одно и то же, а при описанном выше изгибе, в зависимости от взаимоотношений величин радиуса осевой окружности тора а, толщины его стенки 2г и радиуса осевой

линии Я, внешняя образующая тора растягивается (что соответствует постепенному уменьшению эксцентриситета упругой кривой Эйлера (1) - образующей сильфона), а внутренняя - сжимается (постепенное увеличение эксцентриситета упругой кривой Эйлера), и нормирующая величина преобразования эксцентриситета представлена уравнением:

2п Я

п

= 2ЪN(2Е — К)

(2)

где п - в общем случае рациональное число, определяющее, какую часть тора занимает сильфон; N - число гофров сильфона; Я - радиус осевой линии тора.

Аналитическое описание гофрированной оболочки конечной длины и толщины, отображенной на сектор тора, который определен уравнением (3), представлено уравнением восьмого порядка, которое в рациональной форме имеет вид (4): ( з Л2 ( з Л

£ х2 ± 2(г2 - а2) £ х2 — 4г2(х/ + х22) + (г2 — а2)2 = 0 (3)

VI=1 У VI=1 У

где г - половина толщины стенки тора; а - радиус осевой окружности тора;

= у;

х3 = г

-пространственные координаты (см. рис. 1);

Рис. 1. Схематическое изображение сектора тора

4|£ хг2 + л2I £ х2 + Аз I £ х2

. ¿=1 у

. ¿=1 у

+ Л4|£х2 | + Л5(х2 + у2)£

. ¿=1 у

2

л

. ¿=1 у

х

¿=1 у

+

(4)

+ Л6 (х2 + у2 )2 + Л7 (х2 + у2)+ Л8 = 0, где Л{ = Л{ (а, г,Я), г = 1,2,3,4,5,6,7,8 - коэффициенты уравнения.

Если разрешить уравнение (4) относительно х3 = г, то оно будет иметь вид:

где

Вхгъ + 4В2 г6 + 6В3 г4 + 4В4 г2 + В5 = 0

В = / (а, г, Я)

В = 1

В2 = х2 + у2 + а2 + г2 — Я2

(5)

Вз =

( + у 2 )2 + [(а2 + г2) — 6Я2 ]х2 + у2)— 43 а2 г2 + (а2 + г2 — Я2)

х1 х;

4

3

2

В 4 =

34 (2 + у2)

- а2 - г 2 - 3Я 2 (х2 + у2 ) +

1*2 + у2)

12а 2 г 2 -(а 2 + г 2 - Я 2 )(а 2 + г 2 + 3Я 2

К2 + у2)+

+ (а 2 + г 2 - Я 2)

а2 + г2 - Я 2 ) - 4а2 г 2

- 4а2 г 2 ],

В 5 =1

:(х2 + у2 )4 +[4(а2 + г2 - Я2)-8(а2 + г 2)](х2 + у2 )3 +

8а2г2 - 10(а2 + г2 - Я2 )2 + 16Я2 (а2 + г2 - Я2)+ 16(а2 + г2)2 ]2 + у2 )2 +

+ (а2 + г2 - Я2 )3(4 + 64а2 г2) - (8 + 32а2 г 2)(а2 + г 2)(а2 + г2 - Я2 )2 - 16а2 г2 (а2 + г2 - Я2 )](х2 + у2)+

+ 16а4 г4 + (а2 + г2 - Я2 )4 - 8а2 г2 (а2 + г2 - Я2 )2

Для придания уравнению (5) вида, наиболее приемлемого для определения радиусов кривизны исследуемого тела и последующего построения уравнения Кельвина, необходимо представить его в виде уравнения четвертой степени (6) и преобразовать по Ахиезеру [6] в уравнение (7):

(6) (7)

Д( г 2)4 + 4В2( г2)3 + 6 В3( г2)2 + 4В4 г2 + В5 = 0 4 К3 - g 2 К - ^3 = 0

где

g 2 = В, В5

(8)

В1 В2 В3

g 3 = В2 В3 В4 , (9)

В3 В4 В5

К = р(и), ) - е3 =

8П 2 И

(10)

а е1,е2,е3 - корни уравнения (7).

Таким образом, мы получим аналитическое описание изогнутого сильфона и его радиусов кривизны в состоянии покоя через эллиптические функции, что позволит нам воспользоваться уравнением Кельвина, дающим выражение энергии деформации пласти н ки (оболочки, мембраны) через две ее главные кривизны [7]

Ж = 2 Б И2 - 2 (1 -а) К . (11)

Здесь Ж - энергия деформации, равная той энергии, которую надо приложить к плоской пластинке для преобразования ее в сильфон; Б - цилиндрическая жесткость, ЕЬ3

Б= ЕЬ 2 • 12(1 -а2)'

Е - модуль упругости материала; а - коэффициент Пуассона; Ь = 2г - толщина оболочки;

К =

П - 5 2

(1+р2 + ч2)2

гауссова кривизна поверхности;

г (1 + ч2) - 2 рч^ +1 (1 + р2)

И =

2(1 + р2 + Ч2)

2чК

(12)

(13)

средняя кривизна;

дг дг д2 2 д2 2 д2 2

р = —; ч = —; г = —7; ^ =-; ^ = —-

ду дх дхду ду

дх'

1

Теперь, используя уравнение (11) и выражение радиусов кривизны цилиндрической гофрированной оболочки конечной длины и толщины через эллиптические функции, мы можем описать процесс изгиба и определить динамические характеристики описанного выше тела, такие как изгибающие силы и возникающие под их действием поля напряжений, в том числе и остаточных, в абелевых функциях. Для этого необходимо построить первые и вторые производные от функций Ж (см. (11)) по эксцентриситету.

В результате их построения мы получим уравнение, описывающее однонаправленную изгибную деформацию сильфона с учетом изменения его длины, и уравнение, описывающее периодическую изгибную деформацию сильфона.

Таким образом, для получения аналитического описания изгибаний сильфона (с образующими, которые являются упругими кривыми Эйлера) с помощью абелевых функций нужно:

- отобразить сильфон на сектор тора и получить уравнение, этот сектор в

эллиптических функциях;

- пользуясь данным уравнением, найти выражения для двух кривизн исследуемого тела

через эллиптические функции;

- составить уравнение Кельвина, дающее выражение энергии деформации рассматриваемого тела через две ее кривизны;

- построить производные по различным координатам от полной энергии Ж для

получения аналитического описания процесса изгиба в абелевых функциях;

- построить производные от двух кривизн по эксцентриситету для получения

аналитического описания однонаправленной изгибной деформации сильфона;

- построить вторые производные от двух кривизн по эксцентриситету для получения

аналитического описания периодической изгибной деформации исследуемого тела.

Литература

1. Эйлер Л. Приложение I. Об упругих кривых. В кн.: Метод нахождения кривых линий, обладающих максимумами и минимумами. М.- Л.: ГТТИ, 1934. С.447-572.

2. Ильина Л.П., Гвоздев С.С., Кудрявцева И.М., Мануйлов К.В. Аналитическое описание колебаний цилиндрических гофрированных оболочек // Труды Пятой сессии международной научной школы "Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем", 27.06-5.07.2002, С-Пб. СПб, 2002. С 141-147.

3. Феодосьев В.И. К расчету гофрированных коробок (сильфонов) // Инж. сборник АН СССР, 1947. Том IV. Вып. 1. С.137-149.

4. Сильфоны. Расчет и проектирование. Под ред. Л.Е. Андреевой. М.: Машиностроение, 1975.

5. Тимошенко С. П., Войновский, Кригер С. Оболочки и пластины. М.: Наука, 1966.

6. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970.

7. Ляв А. Математическая теория упругости. М-Л.: ОНТИ, 1936.