CC BY
32
10
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ТОМОГРАФИЯ
АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ГОФРИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОДНОНАПРАВЛЕННОМ СЖАТИИ С.С. Гвоздев, И.М. Кудрявцева, Л.П. Ильина
Из дифференциальной геометрии, теории абелевых функций и кинематической аналогии Кирхгофа [1] следует, что как деформации оболочек, так и их колебания описываются уравнениями, эквивалентными уравнениям движения тяжелого деформируемого тела около неподвижной точки, происходящего под действием внешних сил.
В предлагаемом подходе сильфон рассматривается как цилиндрическая оболочка конечной длины и толщины. Внешние и внутренние образующие такого цилиндра представляют собой упругие кривые Эйлера [2] или их модификации, определенные методом кинематической аналогии, где в качестве изображающей динамической системы рассматривается гироскопический шар Д.К. Бобылева [3]. Таким образом, сильфон определяется как цилиндрическое тело конечного объема, ограниченное поверхностью [4]
(y2 + z2)2 -2(a2 + r2)(y2 + z2) + (a2 -r2)2 = 0 , где a - радиус средней окружности сечения цилиндра плоскостью YOZ (рис. 1),
a = r0i - 2s Asnj b [e{u + К) - E]- b
i = 1,2, roi = a + r, Г02 = a-r ,
(1)
(2)
г - половина толщины стенки цилиндра; Ь - отношение момента инерции гироскопа в шаре к силе, которой шару сообщается движение; Е - полный эллиптический интеграл II рода; Е(и+К) - эллиптический интеграл II рода; К - полный эллиптический интеграл I рода; в - эксцентриситет эллипса, тригонометрические функции которого определяют упругие кривые Л. Эйлера.
Рис 1. Схематическое изображение сечений сильфона
В работе [5] нами было построено уравнение, описывающее однонаправленные торцевые деформации цилиндрической гофрированной оболочки с помощью эллиптических функций:
ёг
= В
1
г0 + С£>пи
+
77 3/
В'2
ЛВ - 3/ ЛВ'
5/ В2
С '£пи + СБг £>пи (г0 + С8пй)
- 2(1 -а)
Л'( + С£>пи )- Л(СS'nu + СБг Бпи ) ( + СБпи )2 В 32
32 ЛВ'
( + СЗпи )) 5
где
Л ' = £ (лп$ппм + пЛп8пп-1иВг Яим)
п =1,3
В ' = X ^В'р$прй + рВр8пр-1иВг Ш)
Р=0Д,4
Л = 2Ъг£ 3 -
(3 - 5г2 )
Л3 = 4Ъ(10г4 - 3г2 -1
)
4/
В0 = -4Ъ73 г 1 -
4-г2 )
->2
В2 =-4Ъ83 (г4 - 2г2 +1)
13/
В4 = -16Ъ/3 г,
Уравнение (3) получено посредством дифференцирования по эксцентриситету г, который определяет геометрию упругой кривой Эйлера - образующей сильфона, уравнения Кельвина [1]:
(4)
гауссова кривизна
Ж = 2БН -2 (1 -а) К;
где В = •
ЕИ3
12(1 -а2)
- цилиндрическая жесткость; К =
Н 1
поверхности; Н = ^
С
— + —
Л
Л
1
1
1У
средняя кривизна поверхности; — и — - главные
К Л
0
кривизны изучаемой поверхности, выражающиеся через эллиптические функции (см. [5]), Е - модуль Юнга материала, из которого сделан упругий элемент; а = 0.3 -коэффициент Пуассона; И - толщина оболочки;
Построим уравнения, описывающие поведение линейных характеристик сильфона, длины дуги образующей и длины самого сильфона при однонаправленном сжатии (растяжении).
Длина дуги образующей поверхности (1) определяется как I = Ъати , (5)
где ати - обозначение Якоби аргумента тригонометрической функции эллипса: ф = ати
Полная длина сильфона определяется произведением:
Ь = 2ЪЩ2Е - К), (6)
где N - число гофров сильфона,
К = Г ёХ •
о л/(1 - Х2)(1 -г2Х2) '
лЯ—^.к2ёх л/1 - х2 ;
Так как полная длина сильфона и длины дуг кривых, лежащих на поверхности (1), выражаются через эллиптические функции и интегралы, то искомые уравнения аналитического описания измеряемых линейных характеристик (5) и (6) сильфона при однонаправленной деформации можно получить дифференцированием уравнений (5) и (6) по эксцентриситету в, как и уравнение (3) в работе [4].
д(ати ) _
1
дв
( - к 2 и )
А,ёпи + [2 - к и ими
(7)
дЬ дв
— 2ЬЫ
2 Е - 3К Е
в
в 1 -в
(8)
2 Е
где Биёпи — -к &пи ■ спи ; 2 — Е(и) - ки
Уравнения (7) и (8) описывают изменение линейных параметров сильфона при сжатии (растяжении).
Разрешимость дифференциального уравнения (3), описывающего деформации сильфона, а также уравнений (7) и (8), определена свойствами эллиптических функций, симметрией полной системы классических конических сечений и существованием сохраняющихся величин или интегралов движения, часть которых и определена соотношением Лежандра [6]:
п
ЕК + КЕ'- КК'_-, (9)
2
где
К—
ёх
од/(1 - х 2)(1 -в 2 х2)
1
К —
ч
ёх
од/(1 - х2)(1 -в'2х2)
1 л/!-в2 х2 ёх ' 2
Е _1
л/1
о V1 - х'
' [л/Г-в '2 х2 ёх о л/Т- х~
. .. „'2 „2 Е' _1
2
£ + £' — 1.
Данные, полученные в результате расчета, можно легко проверить, пользуясь техническим оснащением и результатами эксперимента, представленными в работе [7].
Литература
1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.- Л.: ОНТИ, 1935. С 416-421.
2. Эйлер Л. Приложение I. Об упругих кривых. В кн.: Метод нахождения кривых линий, обладающих максимумами и минимумами. М.- Л.: ГТТИ, 1934. С.447-572.
3. Жуковский Н.Е. О гироскопическом шаре Д. К. Бобылева // Собрание сочинений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. Том 1. С.352-367.
4. Рыбакова Н.А., Гвоздев С.С., Ильина Л.П., Ткалич В.Л., Применение теории абелевых функций к изучению полей напряжений и деформаций в сильфонах, вызванных действием внешних периодических торцевых и боковых нагрузок // Тезисы Международной конференции Российской академии наук и Академии нелинейных наук "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий" СПБГИТМО(ТУ). СПб, 22.06-25.06.1999. С. 25.
5. Кудрявцева И.М., Ильина Л.П., Гвоздев С.С., Мануйлов К.В. Аналитическое описание колебаний цилиндрических гофрированных оболочек // Труды Пятой сессии международной научной школы "Фундаментальные и прикладные проблемы теории точности процессов, машин, приборов и систем". СПб, 27.06-5.07.2002. С. 141-147.
6. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функцийю. М: Наука, 1970.
7. Gvozdev S.S., Tkalich V.L., Suroviy I.S. About Application possibility of optical methods at sylphons testing // III International Conference "IENS-2002". Proceedings. St. Petersburg, November 4-6, 2002 // St. Pts., 2002. P. 76-79.
