CC BY
31
УДК 62-523
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ
ЭЛЕКТРОПРИВОДА ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ Г-Д.
УЧЕТ ОГРАНИЧЕНИЙ ТИПА НЕРАВЕНСТВ
П.Э. Подборский, Э.Н. Подборский
Анализируется электропривод постоянного тока двухмассовой системы «генератор - двигатель». Предложен критерий оптимальности и получена аналитическая формула регулятора, позволяющего учесть ограничения типа неравенств на напряжение управления и все координаты.
Ключевые слова: электропривод постоянного тока, система управления, оптимальное управление, аналитическое конструирование регуляторов.
В 60-х годах ХХ века А.М. Летовым была разработана теория об аналитическом конструировании регуляторов [1], которая в итоге сводилась к динамическому программированию и выводу уравнения Риккати. Рассматривались линейные системы и квадратичные функционалы с минимизацией энергии управления, а также с минимизацией энергии и скорости изменения энергии управления. C тех пор по линейному квадратичному регулированию было опубликовано огромное число материалов, основные результаты развития данной теории можно найти в работах Брай-сона [2], Атанса и Фалба [3], Калмана [4], Квакернаака [5], Цитрона [6] и др. В [7] данная теория несколько развита. В частности: решена задача не перевода системы в начало координат, а минимизации около любого установившегося значения выхода; получена система управления не с обратной связью, а программного управления (что особенно важно для разработки современных электроприводов [8]); учтено возможное наличие комплексных корней в характеристическом полиноме системы; время регулирование не обязательно было равно бесконечности. Во второй статье теории Летова дается решение для замкнутой области, содержащей границу отклонения регулирующего органа. Показано, что оптимальное управление состоит из движения по границе области и движения, при котором управление не выходит за допустимое значение. Точка сопряжения этих движений рассчитана при помощи условий Вейерштрасса-Эрдмана. Алгоритмизировать универсально такой расчет всех постоянных и времени выхода на угловую точку невозможно, т.е. эту процедуру не запрограммировать, а значит применить на практике данный регулятор тоже затруднительно. Также довольно трудно учесть ограничения на координаты. Попробуем обойти данные ограничения для конкретного объекта управления.
Постановка задачи. Разработать метод, позволяющий для двух-массовой системы генератор-двигатель электропривода постоянного тока вывести аналитическую формулу закона оптимального управления с прямым или косвенным учетом ограничений типа неравенств, как на управление, так и на все координаты.
Математическое описание объекта управления. Рассмотрим электропривод постоянного тока независимого возбуждения с неизменным потоком возбуждения. Питание двигателя осуществляется по цепи якоря от генератора постоянного тока с возбуждением, например, от тиристорно-го возбудителя. Математическая модель данной двухмассовой системы может быть представлена в следующем виде:
К в • и у = ^в ■ ¿в + —в &в / &,
Кг • ¿'в = Ка • ¿а + -а &а / & + С • ЮЬ J1dw1/ Ж - М - М у, (1)
М у = с12 (ф1 - Ф 2 ) + Р12 («1 - «2 ),
J2 / & - М у,
где ¿в, ¿а, о>1, Ю2 - ток возбуждения, ток якоря и угловые скорости первой и второй массы; и у - напряжение управления; Кв, Кг - коэффициенты
передачи возбудителя и генератора; Кв, Яа, -в, Ьа - активные сопротивления и индуктивности обмоток возбудителя и якоря; Jl, J 2 - приведенные моменты инерции первой и второй массы, С - конструктивная постоянная; М - С • ¿а, Му - электромагнитный момент и упругий момент
двухмассовой системы, С12, Р12, Ф1, Ф2 - жесткость, вязкое трение и углы поворота первой и второй массы.
Если за ток возбуждения базовый /вб принять номинальный ток возбуждения, за ток якоря базовый / аб - максимальный (стопорный) ток якоря двигателя, за момент базовый Мб - /аб • С - максимально допустимый электромагнитный момент, за напряжение управление базовое иб - номинальное напряжение управления и за угловую скорость базовую Юб - номинальную угловую скорость двигателя, то, введя следующие координаты в относительных единицах
гп = ¿в • Х = ¿а • го = Ю1 •
Х0 =~—; Х1 =~— ; Х2 =-;
1 вб 1 аб Юб
Му . _ ю2 . _иу
Х3 - ; Х4 - - ; и
М б Юб и б получим электромеханическую систему в формализованном виде:
л&0 = ~а00 х0 + Ьи,
Х[ = аюХ0 - йцХ! — а\2Х2,
х2 = а21х1 — а23 x3,
х3 = а31х1 — а32 х2 — а33 х3 — а34 x4,
х&4 = а43 х3,
(2)
где
Необходимо ввести также ограничение на управление и £ 4, т.е.
предусмотрим четырехкратную форсировку возбудителя, а также ограничение на все координаты х^ £ 1.
Далее будем исследовать только процессы пуска до номинальной скорости.
Оптимизация линейной системы без учета ограничений. Сначала найдем оптимальное управление для линейной системы без ограничений типа неравенств. В качестве примера критерия оптимальности возьмем квадратичный функционал следующего вида:
где г2, ги - желаемые установившиеся значения скорости первой массы и управления; ^2, г - весовые коэффициенты.
Известно, что для решения такой задачи на условный экстремум нужно составить для подынтегральной функции / из (3) систему уравнений Эйлера- Лагранжа:
(3)
0
0
ё
Р.--Р = 0,
10 ёГ х0 '
— —■Р = 0,
11 ёГ х1
—
Ри — Р = 0,
12 Ж 12 '
— Р = 0,
13 ёГ 13 ' ё
— Р = 0,
14 Ж 14
где
F = qo (Z0 - Хo)2 + ql (Zl - Хl)2 + q2 ^2 - Х2)2 + + 43 ^3 - Х3 )2 + 44 (z4 - Х4 )2 + г ^ - u )2 +1 о (-0 + «00 Хо - bu ) + + 1^1 - «10Хо + «цХ1 + «12Х2) + 12 Х - «21Х1 + «23Хз) +
+ ^3 (Х3 - «31Х1 - «32Х2 + «33Х3 + «34Х4 ) + 14(х4 - «43Х3 ). В результате имеем следующую систему неоднородных дифференциальных уравнений:
/
: «00Хо +ь
ХХ0
Х1 = «10 Хо Х2 = «21Х1 Х3 = «31Х1 ■
ь , Л ^ + — •1
2г
0
V
«11Х1 - «12 ^ ■«23 Х3, «32Х2 - «33Х3
у
«34 x4,
(4)
(5)
ОС 4 = «43 x3,
I о = 24оХ0 + «0010 - «10^1 - 240z0,
II = 241-1 + «111 - «2\12 - «31^3 - 241 zl,
12 = 242Х2 + «12^1 - «3213 - 242z2,
13 = 243Х3 + «2312 + «3313 - «4314 - 243z3, 4 = 244Х4 + «3413 - 244z4.
Решением данной системы будут оптимальные траектории
Стер+... + С1оегДо еР10 + К,
[А, г = С1е/+5,1еР1 +... + С10е/+5,10 еР1° + К1+5, где еI у, ру - собственные векторы и собственные значения матрицы системы (4), К^, К^+5 - постоянные, определяемые из неоднородной части уравнений (4); - постоянные, определяемые из граничных условий.
Решая задачу со свободным правым концом для процесса пуска, как это сделано в [7], находим все постоянные Су, а значит, находим оптимальные траектории х^ , 1,, а оптимальное управление и находится по известной формуле
ь
(6)
и = 2и + — •10.
2г
На рис. 1 показаны переходные процессы данной оптимальной системы при 42 = 1, г = 0.01. Минимизация квадрата отклонения скорости приводит к перерегулированию по току возбуждения, которое обычно недопустимо и снимается при помощи отсечки. Ток якоря и упругий момент намного превышают максимально допустимые значения, что также требует применение отсечки. Введение таких нелинейностей приводит к отходу
от оптимальности, что для данной задачи недопустимо. Однако пока обратим главное внимание на напряжение управления, которое примерно в 10 раз превышает номинальное значение. Снижать данную величину приходится за счет введения в задачу оптимизации ограничения типа неравенств.
Оптимизация линейной системы с учетом ограничений на управление. Приведем некоторые предварительные рассуждения, позволяющие затем определить алгоритм синтеза регулятора для замкнутой области управления без сложной процедуры применения условий Вейершт-расса-Эрдмана.
1. Очевидно, что при ограничении на входной сигнал оптимальное управление будет состоять из двух участков. Первый участок длительностью от времени начала переходного процесса до некоторого времени tут
будет представлять собой постоянную величину, равную максимально допустимому управлению и = 4. Движение идет по границе области. Второй участок начинается с угловой точки длительностью от tут до времени
окончания переходного процесса t представляет собой кривую решения (6), которое связано с решениями (5) для соответствующих начальных условий. Движение идет внутри допустимой области.
2. Значения сопряженных координат 1 в конце переходного процесса не меняются по сравнению с системой без ограничений. Поэтому если знать значение тока возбуждения, тока якоря, упругого момента и скоростей движущихся масс в момент времени tут, то оптимальные траектории и оптимальное управление второго участка можно найти аналитически, т.к. все граничные условия для вычисления постоянных С} в (5) будут
известны.
3. Следовательно, имея датчики всех координат системы, мы легко определяем оптимальное управление на втором участке и также знаем оптимальное управление на первом участке, только не знаем его длительность.
4. Предположим, что первый участок по ошибке длится очень короткое время. Тогда координаты системы практически не успеют измениться от начального значения, и значит, оптимальное управление на втором участке будет почти совпадать с решением для открытой области, и в нашем случае, начальное значение управления на втором участке будет примерно в 10 раз превышать номинальное.
5. Предположим, что первый участок по ошибке длится время, немного меньшее, чем tут. Тогда, подставляя соответствующе начальные условия, получим оптимальное управление, начальное значение второго участка которого будет немного выше максимально допустимого. Графики переходных процессов, подтверждающие данное предположение, приведены на рис. 2.
6. Предположим, что первый участок по ошибке длится время, немного большее, чем t ут. Тогда, подставляя соответствующе начальные условия, получим оптимальное управление, начальное значение второго участка которого будет немного ниже максимально допустимого. Графики переходных процессов, подтверждающие данное предположение, приведены на рис. 3.
7. Оптимальное управление есть величина непрерывная, поэтому в угловой точке должно выполняться условие непрерывности. Значит если момент времени tуT подобран правильно, то начальное значение управления на втором участке будет равно конечному значению управления на первом, т.е. для нашего случая четырем номинальным значениям.
Алгоритм синтеза оптимального управления. Анализируя вышесказанное можно сформулировать алгоритм синтеза оптимального управления линейной системой для закрытой области управления.
В начале времени управления необходимо подавать на вход системы сигнал, равный максимально допустимому управляющему сигналу. Для расчета следующего шага управления, нужно снимать сигналы обратных связей и рассчитывать оптимальное управление для открытой области при данных граничных условиях. Если начальное значение найденного оптимального управление будет больше максимально допустимого, то принять следующий шаг управления равным максимально допустимому. Далее продолжать данную процедуру, следя за тем, чтобы начальное значение управления постепенно уменьшалось. И в момент, когда это начальное значение управления окажется ниже максимально допустимого, принять это оптимальное управление за искомое на остальном интервале времени.
На рис. 4. показаны переходные процессы, полученные в соответствии с разработанным алгоритмом. Видно, что данные оптимальные траектории и управление найдены верно. Это подтверждено и полным совпадением данных графиков с полученными численно прямым методом математического программирования.
Оптимизация линейной системы с учетом ограничений на управление и все координаты. Заметим, что в проведенных выше исследованиях не производилось ограничение тока якоря, упругого момента (которые превышали допустимые значения в несколько раз) и других координат. Синтезируем аналитическую формулу регулятора, как это сделано в [7], учитывающую ограничения на все координаты, но не для открытой, а для замкнутой области управления. То есть примем весовые коэффициенты при токе возбуждения, токе якоря и скоростях равными нулю и будем минимизировать квадрат отклонения только упругого момента и энергии управления. В результате критерий оптимальности:
^ = | (43 (23 - -3 )2 + г(ги - и)2 . (7)
О
Исследования показали, что если вместо упругого момента минимизировать (как в [7]) квадрат отклонения тока возбуждения, то в системе будут возникать опасные броски и колебания упругого момента.
Ограничивать максимально допустимое напряжение генератора будем (в отличие от [7]) четырехкратной форсировкой, т.е. ограничением типа неравенства. После составления и преобразования уравнений Эйлера-Лагранжа получаем следующую систему неоднородных уравнений:
х0 = —а00 х0 + Ь
2,
Ь , Л
2г
■ ацх1 — а12 x2,
" а23 х3, а32 х2 — а33 х3
х1 = аю х0 х2 = а21х1
х3 = а31 х1 — а32 х2 — а33 х3 — а34 x4,
х4 = а43 x3, (8)
10 = а0010 — а1011,
11 = а1111 — а2112 — а31^3,
12 = а1211 — а3213,
13 = 2Ч3 х3 + а2312 + а3313 — а4314 — 2Ч3 23,
14 = а34^3.
Решая систему (8) в соответствии с вышеописанным алгоритмом, получаем оптимальные траектории и управление, минимизирующие (7). На рис. 5 показаны переходные процессы в такой системе.
Проанализируем полученные результаты. Оптимальные процессы системы Г-Д при учете ограничений по идее должны состоять из трех участков, в начале - максимально быстрое достижение упругим моментом максимального значения, далее - движение на максимальном токе и при максимальном электромагнитном и упругом моменте и в конце - максимально быстрый спад тока и упругого момента до нулевого значения. На первом участке необходимо подавать сначала положительное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока возрастает. Затем подавать отрицательное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока убывает. Причем нужно одновременно демпфировать возможные колебания упругого момента. Здесь мы несколько отходим от оптимальности, ограничивая это напряжение не только нелинейностями, но и при помощи минимизации квадрата отклонения энергии управления. Однако это вполне оправдано, т.к. незначительно влияет на время переходного процесса при некоторой экономии этой энергии. Минимизация квадрата отклонения упругого момента от максимально допустимого значения 23 даст наиболее быстрое достижение упругим мо-
ментом максимальной величины в начале переходного процесса при перерегулировании менее 2%. Быстрее достичь максимального значения можно только, увеличивая перерегулирование, в нашем случае считаем кратковременное превышение максимально значения на 2% приемлемым. В тех случаях, когда превышать максимальный уровень нельзя даже на небольшую величину и маленький промежуток времени, можно ввести дополнительную аварийную отсечку, что будет также незначительным отходом от оптимальности. Второй участок движения при максимальном токе и упругом моменте можно считать оптимальным. А вот на третьем участке данный критерий оптимальности держал бы ток и упругим момент на максимальном значении и после достижения скоростями номинальных значений, что обеспечивает дальнейший разгон системы. Для обеспечения оптимальности этого участка, также как в [7], при достижении током возбуждения, а значит и ЭДС генератора номинального значения (равного обычно входному напряжению двигателя, соответствующему желаемому номинальному значению скоростей движущихся масс) переключаем входное напряжение на желаемое установившееся номинальное значение. Это ограничит также и скорости номинальными значениями.
11у,1в,1а,щ,Му,со2; o.e.
............Жл.у.
/ 'в
СО,. (Ол k
О 0.5 1 1.5 2 2.5
Рис. 1. Переходные процессы системы без ограничений типа
неравенств на управление
U ¿„¡„.(йуМу.Щ-. о-е.
1а
иу
/ 'в
1 «2 i -— i
Рис. 2. Переходные процессы системы с соединением траекторий
до угловой точки
497
f/y,/B,za,co],My,co2; o.e.
1 ia
и U у
у
......J...........и
ч l 1 1 _
Рис. 3. Переходные процессы системы с соединением траекторий
после угловой точки
Uy,iB,ia,ml,My,u>2; o.e.
ia
иу /рмГ
---Ьч -—
г_—■——*--- Ш],С02
Рис. 4. Переходные процессы оптимальной системы Г-Д с ограничением типа неравенств на управление
C/yli1I,ia,(ö1,My,ß)2; o.e.
1 ! h \
\ \ - '
............/„ ....г':"!.....:. ......
..Hi) .ш.
^г .... ^ .;...........и У
Lr \ - -
Рис. 5. Переходные процессы оптимальной системы Г-Д с ограничениями на координаты и управление
Можно также ввести одновременную минимизацию квадрата тока якоря и упругого момента, но исследования показывают незначительное отличие качества работы такой системы от данной системы минимизации только квадрата упругого момента.
Вывод. Таким образом, имеем точную аналитическую формулу, определяющую оптимальное управление электроприводом при учете ограничений на все координаты и входной сигнал. Причем ограничения на управление и ток возбуждения типа неравенств производятся напрямую. Ограничение скоростей типа неравенств производится косвенно по ограничению тока возбуждения. Ограничения на ток якоря и упругий момент не сильно отличаются от соответствующих ограничений типа неравенств. Данный регулятор легко реализовать практически в виде соответствующей программы контроллера.
Список литературы
1. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов [текст] // Автоматика и телемеханика. 1960.
2. Bryson A.E. Jr., Ho Y.C. Applied Optimal Control. Hemisphere Pub-lishing,Washington, D.C., 1975.
3. Athans M., Falb P.L. Optimal Control: An Introduction to the Theory and Its Applications. Dover, New York, 1966.
4. Kalman R.E. The theory of optimal control and the calculus of variations. Berkeley: University of California Press, 1963.
5. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. New York: John Wiley & Sons, Ltd, 1972.
6. Citron S.J. Elements of Optimal Control. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
7. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. Аналитическое конструирование регуляторов электропривода одномассовой системы генератор-двигатель // Вестник ВГУ. 2013. №. 2. С. 42 - 47.
8. Rodriguez J., Cortes P. Predictive Control of Power Converters and Electrical Drives. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2012.
Подборский Павел Эдуардович, канд. техн. наук, доц., panpodpe@,mail.ru, Россия, Республика Хакасия, Саяногорск, Саяно-Шушенский филиал Сибирского федерального университета,
Подборский Эдуард Николаевич, канд. техн. наук, доц., panpoden@mail.ru, Россия, Республика Хакасия, Абакан, Хакасский технический институт - филиал Сибирского федерального университета
ANALYTICAL DESIGN OF CONTROLLERS FOR ELECTRIC DRIVE OF TWO-MASS ENGINE-GENERATOR SYSTEM. ACCOUNTING FOR INEQUALITY CONSTRAINTS
P.E. Podborski, E.N. Podborski 499
Control of electromechanical systems with square-law cost function is analyzed on an example of the DC-drive for two-mass engine-generator system. The new optimum criterion is offered and the analytical formula of a regulator is received, this allows taking into account inequality constraints on control signal and all state coordinates.
Key words: DC-drive, electromechanical system, one-mass system, control system, two points boundary problem, optimal control, cost function, linear quadratic regulator, LQR, quadratic functional.
Podborski Pavel Eduardovich, candidate of technical sciences, docent, pan-podpeamail. ru, Russia, Republic of Khakassia, Sayanogorsk, Sayano-Shushensky branch of Siberian Federal University,
Podborski Eduard Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, panpo-denamail.ru, Russia, Republic of Khakassia, Abakan, Khakass Technical Institute - branch of Siberian Federal University
УДК 681.51
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО ТОЧНОСТИ ВЕНТИЛЬНЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
Т.З. Нгуен, Ч. Кхань, В.В. Сурков
Рассмотрены вопросы аналитического конструирования оптимального по точности регулятора тока (момента) синхронного двигателя с датчиком положения ротора (вентильного электропривода) для следящих систем, инвариантных к действиям внешних дестабилизирующих факторов и изменению параметров систем. Показана структурная схема системы управления током вентильного электропривода. Приводятся результаты математического моделирования характеристик системы в различных режимах работы.
Ключевые слова: вентильный моментный двигатель, оптимальная точность, аналитическое конструирование, следящая система.
В настоящее время при проектировании следящих и оптимальных систем отмечается тенденция расширения области применения бесконтактных моментных электродвигателей (например, промышленно выпускаемой серии ДБМ) с датчиком положения ротора (вентильных двигателей) как наиболее перспективных с точки зрения значительной перегрузочной способности. Эти двигатели допускают интенсивное использование, поскольку не имеют ограничений на частоту пусков и реверса, форму и частоту токов двигателя, величину момента инерции и закон изменения нагрузки двигателя в режиме длительных предельных токов в течение всего срока службы.
Отличительная особенность работы вентильных двигателей (ВД) заключается в том, что они являются принципиально нелинейными системами.
