Аналитическое конструирование регуляторов электропривода двухмассовой системы г-д Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-523 Подборский Павел Эдуардович,

к. т. н., доцент кафедры ГГЭЭС, Саяно-Шушенский филиал Сибирского федерального университета, г. Саяногорск,

тел. +7 39042 3 40 61, e-mail:panpodpe@mail.ru Подборский Эдуард Николаевич, к. т. н., доцент кафедры ЭЭ,

Хакасский технический институт - филиал Сибирского федерального университета, г. Абакан,

тел. +7 3902 22 53 55, e-mail:panpoden@mail.ru

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ ЭЛЕКТРОПРИВОДА

ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ Г-Д

P. E. Podborski, E. N. Podborski

ANALYTICAL DESIGN OF CONTROLLERS FOR ELECTRIC DRIVE OF TWO-MASS ENGINE-GENERATOR SYSTEM

Аннотация. В связи с бурным развитием цифровой техники существенно возросли возможности современных контроллеров для управления электрическими машинами. Поэтому имеет смысл заменить классические способы, например, модального или подчиненного управления на более современные подходы оптимального и предиктивного (прогнозирующего) управления, тем более что сам алгоритм управления, по сути, представляет собой программный код контроллера. Однако при этом рассчитывать управляющий сигнал в реальном времени на каждом шаге управления, как правило, приходится численно, что может занимать недопустимо длительное время. Поэтому целью исследования является получить более-менее аналитическое решение задачи оптимизации. Исследуются системы оптимального управления электромеханическими системами на примере электропривода постоянного тока двухмассовой системы генератор-двигатель. С использованием теории аналитического конструирования регуляторов предложен критерий оптимальности и получена аналитическая формула регулятора, позволяющего также учесть ограничения на напряжение управления и все координаты. Показаны результаты моделирования процесса пуска двигателя с нагрузкой на валу, все расчеты производились в программе MATLAB®. Использование полученного алгоритма управления позволит сократить время расчета управляющего сигнала контроллером и открывает более широкие возможности построения современных цифровых электроприводов.

Ключевые слова: электропривод постоянного тока, электромеханическая система, одномассовая система, система управления, двухточечная краевая задача, оптимальное управление, критерий оптимальности, аналитическое конструирование регуляторов, АКОР, квадратичный функционал.

Abstract. In connection with rapid development of digital technics possibilities of modern controllers for control of electric machines have essentially increased. Therefore it makes sense to replace classical methods, for example the modal or subordinated control, with more modern approaches of optimal and predictive control, especially as the control algorithm, as a matter of fact, is a program code of the controller. However as a rule, it is necessary to use numerical methods to count a control signal in real time for each control step. That can take inadmissibly long time. Therefore this research objective is to get more or less analytical solution of an optimisation problem. Control of electromechanical systems with square-law cost function is analyzed on an example of the DC-drive for two-mass engine-generator system. With use of the LQR theory the new optimum criterion is offered and the analytical formula of a regulator is received. This allows taking into account constraints on control signal and all state coordinates. Results of modeling of start-up process for DC motor with loading on a shaft are shown, all calculations were made in MATLAB®. Use of the received control algorithm will allow to reduce calculation time for the control signal of the controller and opens more ample opportunities in construction of modern digital electric drives.

Keywords: DC-drive, electromechanical system, one-mass system, control system, two points boundary problem, optimal control, costfunction, linear quadratic regulator, LQR, quadratic functional.

Введение

В начале 60-х годов прошлого века А.М. Ле-товым была опубликована теория об аналитическом конструировании регуляторов [1]. В первой части рассматривались квадратичные функционалы: с минимизацией энергии управления, а также с минимизацией энергии и скорости изменения энергии управления. Не накладывались ограничения типа неравенств на управляющий сигнал. Во второй части для тех же критериев оптимальности введено ограничение на управление типа неравенств. В третьей части приводились дополнительные математические выкладки более общего характера для задачи с минимизацией скорости изменения энергии управления. В последних двух частях минимизация квадратичных функционалов производится методом динамического программи-

рования, что сводится в конечном итоге к решению уравнения Риккати.

С тех пор по линейному квадратичному регулированию было опубликовано огромное число материалов, основные результаты развития данной теории можно найти в работах Брайсона [2], Атан-са и Фалба [3], Калмана [4], Квакернаака [5], Цитрона [6] и др.

Отметим небольшие ограничения данной теории, то есть нюансы, которые обычно не до конца раскрываются в литературе:

- очень часто по умолчанию предполагается решить задачу минимизации около нулевого заданного значения выхода, то есть необходимо из какого-либо начального значения вернуть систему в начало координат, чтобы в конце переходного процесса все координаты были равны нулю;

- обычно не рассматривается решение задачи оптимизации как задачи программного управления с получением сигнала оптимального управления в виде функции времени;

- отдельно не упоминается о возможном наличии комплексных корней в характеристическом полиноме системы;

- часто предполагается бесконечное время регулирования с нулевыми граничными условиями на правом конце, на этом основании затем обнуляется половина постоянных в формуле решения для фазовых и сопряженных координат.

Попробуем обойти данные ограничения для конкретного объекта управления.

Постановка задачи

Разработать метод, позволяющий для двух-массовой системы «генератор - двигатель» электропривода постоянного тока вывести аналитическую формулу закона оптимального управления с прямым или косвенным учетом ограничений на управление и на все координаты.

Математическое описание

объекта управления

Рассмотрим электропривод постоянного тока независимого возбуждения с неизменным потоком возбуждения. Питание двигателя осуществляется по цепи якоря от генератора постоянного тока (система Г - Д) с возбуждением, например, от ти-ристорного возбудителя. Математическая модель данной двухмассовой системы может быть представлена в следующем виде:

К ■ и = Я ■ / + Ь / ((г,

у в

К г ■ /в

= Яа ■ /а + Ьа а / ( + С ■ Ш 1 , Jldшl / (г = М - Му,

Му = С12 (ф1 -Ф 2 )+Р12 (Ш1 -Ш 2 ).

J2dш2 / (г = Му,

где /в, /а , ш , Ш - ток возбуждения, ток якоря и угловые скорости первой и второй массы, и -

напряжение управления, Кв, Кг - коэффициенты передачи возбудителя и генератора, Яв, Яа , Ьв, Ьа - активные сопротивления и индуктивности

обмоток возбудителя и якоря, ^, J2 - приведенные моменты инерции первой и второй массы, С - конструктивная постоянная, М = С ■ / а , Му - электромагнитный момент и упругий момент двухмассовой системы, с12, Р12, ф, ф2 - жесткость, вязкое трение и углы поворота первой и второй массы.

Далее будем исследовать только процессы пуска до номинальной скорости.

Оптимизация линейной системы без учета ограничений

Для устранения первого ограничения в качестве возможного критерия оптимальности будем исследовать квадратичный функционал следующего вида:

J = | ((г, - X)2 + г(ги - и)2 (,

о

Ш2; и = и у\

2и -

где = ¿в , /а , Шх , Му желаемые значения выходных координат и управления; qi, г - весовые коэффициенты, / = 0,4.

Видно, что данный критерий подразумевает оптимизацию не только около нуля, а около любого желаемого значения, что, в частности, позволяет моделировать процессы пуска, реверса и торможения. В дальнейшем будем исследовать только процессы пуска до номинальной скорости.

Для устранения второго ограничения будем искать оптимальное управление в функции времени, что особенно актуально в последнее время, в связи с разработкой современных приводов с пре-диктивным управлением [7].

Известно, что для решения задачи на безусловный экстремум с классическим функциона-

иу, /в,/а, Ш1,Му, Ш2; о.е, 3.5

и 1 у Л

■ ■ М у\;

- /ь

Ш1, Ш2 4 1

2.5

: ■ : ; - = о - : -л г, с

Рис. 1. Переходные процессы системы с минимизацией квадрата отклонения скорости

Механика

лом 3 =

3 = | ¥ (у, у', х )—х нужно решить уравнение

¥и =-2г (ги - и)-Ь% 0; ¥и = о ^ и = + Ь•% 0 . (1)

2г

^ Здесь а у, Ь - параметры объекта управле-

¥у - — ¥у = 0 . Поэтому в нашем случае для ре- ния в относительных единицах. Учитывая, что

остальные пять уравнений системы, записанные

шения задачи на условный экстремум нужно ре- относительно вспомогательного множителя X, шить систему уравнений

—

¥х - —¥х = 0,

Хо —х 0 —

¥ - —¥х = 0,

Х1 —х х

¥х - — ¥х = 0,

х2 —х 2

¥х - ~¥х = 0,

хз —х 3 —

¥х--¥х = 0,

х4 —х 4 —

¥--¥ = 0,

и 1 И '

—

¥х - —¥; = 0,

%0 —х %0

¥% - —¥; = 0, —х %

¥% - = 0, —х ^

¥% - —¥, = 0,

%3 —х Хз

¥% - —¥, = 0,

%4 —х Я4

представляют собой математическую модель объекта управления, в результате имеем следующую систему дифференциальных уравнений:

х0 =-а00х0 + Ь[ ги + Ь 0 1

х1 а10х0 а11 х1 а12х2,

х2 = а21 х1 а23х3 ,

х3 а | хх | а^2 хх ^ а33 хх з ^34 хх ^,

где ¥ = ^0 (*0 - х0)2 + 41 (г1 - х1)2 + 42 (г2 - х2 )2 +

-0 Л0/ 1

+ 4з (г3 - хз )2 + 44 (г4 - х4 )2 + Г (ги - и )2 +

+ %0 (х0 + а00х0 - Ьи) + (х1 - а10х0 + ацх1 + а12х2 )+

%2(х2 х з)

+ % 3 (х 3 аз1х1 аз2х 2 + аззхз + аз4х4 ) + %4 (х4 ) .

Далее получаем:

¥х = 240х0 + а00%0 — аю %1 — 240 г0 ;

х4 а43 хз ,

(2)

¥■ = %п ^

^ 240х0 + а00%0 - а10%1 - 240г0 0 = 0

—

¥х = 24Л + а11%1 - а21%2 - а31%3 - 241;

¥■ = %, ^

—

% 0 240х0 + а00 % 0 а10 %1 240 г 0, %! = 24 х 1 + ап % - а21 %2 - а31 % - 24 ,

% 2 = 24 2х2 + а12 %1 - а32 % 3 - 242 г 2,

%%з 24ххз I ^^ 232 + ^зз%з 4 4гъ ,

% 4 = 244х4 + а34 % 3 -244 г4.

Решением данной системы будут функции времени

х = С!^,!^-1' +... + Сю егД0 е^10' + , % г = С1ег+3,1е-1' +... + См ег+3Д0 е-10' + , (3) где ег-,у , -у - собственные векторы и собственные значения матрицы системы (2), , К^+3 - коэффициенты, Су - постоянные, определяемые из

граничных условий.

На первом этапе исследования примем весовые коэффициенты при токах возбуждения и якоря, скорости первой массы и упругом моменте

^ ап % -а21 ^ ^ --%= 0, равными нУлю, то есть будем минимизировать

квадрат отклонения скорости второй массы и энергии управления. В результате:

3 = }(44 (г4 -х4 )2 + Г (ги -и)2 — .

0

Это приводит для данного объекта управления к наличию комплексных корней в математи-

¥х2 = 242х2 + а12%1 -а32%3 -242г2 ; ¥ хг = % 2 ^

^ 242 х2 + а12 %1 -а32 % 3 - 242 г 2 - — % 2 = 0 >

ш

рх3 = 243х3 + а23%2 + а33%3 -а43%4 -243г3 ; = %3 ^

^ 2<43х3 + ^з^ + а33^ ^ -2^^ - — ^ = 0, ческой модели системы (2), чем устраняется третье ограничение. Комплексные корни приведут к комплексным решениям, а нужно получить действительные величины зависимостей во времени тока возбуждения, тока якоря, упругого момента и скоростей. Для этого при помощи разложения экспоненты по тригонометрическим функциям каж-

¥ = 244х4 + «34%3 -244г4 ; ¥х4 =% 4 ^

^ 244х4 + а34 % 3 - 244 г4 - — % 4 = 0,

дое комплексное решение, соответствующее паре комплексных сопряженных корней, заменим двумя действительными решениями, т. е. действительной и мнимой частью одного из корней.

Поскольку начальные условия объекта управления, как правило, известны, а начальные условия сопряженной системы неизвестны, то в [С] часть постоянных С^ при неустойчивых корнях (3) принимаются равными нулю. Тогда остальные постоянные можно найти, например, из начальных условий объекта управления. Это предполагает бесконечное время регулирования с нулевыми значениями координат на правом конце. Покажем, как можно обойти это последнее четвертое ограничение.

Предположим, что на координаты системы в конечный момент времени не накладывается никаких ограничений, то есть решается задача со свободным правым концом. Тогда на правом конце граничные условия для сопряженных координат будут нулевыми (см. [8], стр. 87). Таким образом, чтобы найти все постоянные времени в (3), необходимо:

- выбрать время регулирования Т, которое необязательно равно бесконечности;

- в первую половину уравнений системы (3) подставить время начала регулирования (как правило, это время равно нулю) и граничные условия объекта управления на левом конце;

- во вторую половину уравнений системы (3) подставить время Т и нулевые граничные условия сопряженной системы на правом конце;

- решить полученную систему относительно .

Далее по (С) определяем оптимальное управление.

Заметим, что если решать задачу не со свободным правым концом, то все равно граничные условия сопряженной системы на правом конце можно вычислить по условиям трансверсальности. Поэтому мы в любом случае получим аналитическое решение двухточечной краевой задачи, в то время как обычно эта задача решается численно.

На рис. С показаны переходные процессы данной оптимальной системы при = 1, г = 0,1. Видно, что для объекта управления любого порядка решается задача не только перевода в начало координат, но и перевода из любого начального в любое заданное значение. При этом оптимальное управление получается в виде функции времени при наличии не только действительных, но и комплексных корней в математической модели.

Возможность форсирования напряжения управления в системе Г - Д позволяет ограничить

входной сигнал при помощи соответствующего члена функционала без использования нелинейных ограничений типа неравенств. Минимизация квадрата отклонения скорости приводит к перерегулированию по току возбуждения, которое обычно недопустимо и снимается при помощи отсечки. Ток якоря и упругий момент намного превышает максимально допустимое значение, что также требует применения отсечки. Введение таких нели-нейностей приводит к отходу от оптимальности.

Оптимизация линейной системы с учетом ограничений на управление и ток возбуждения

Далее примем весовые коэффициенты при токе якоря, упругом моменте и скоростях равными нулю, то есть будем минимизировать квадрат отклонения тока возбуждения и энергии управления. В результате:

J = | (?о(го - хо)2 + г(ги - и)2 ^.

о

Далее находим вышеописанным способом постоянные С^ и оптимальное управление.

На рис. 2 показаны переходные процессы данной оптимальной системы при = 1, г = о,1. Видно, что минимизация квадрата отклонения тока возбуждения обеспечивает наискорейшее достижение этой величины номинального значения при небольшом перерегулировании в 2 %. Таким образом, нет необходимости вводить дополнительные нелинейности для ее отсечки. Если такое небольшое перерегулирование необходимо снять, то дополнительная отсечка не приведет к значительному отходу от оптимальности. Также косвенным образом обеспечивается и оптимальный пуск до номинальной скорости. А возможность форсирования напряжения управления ограничивает входной сигнал также без использования нелинейных ограничений типа неравенств. Но ток якоря и упругий момент снова намного превышает максимально допустимое значение, что все же требует применения отсечки.

Оптимизация линейной системы с учетом ограничений на управление и ток якоря

Примем весовые коэффициенты при токе возбуждения, упругом моменте и скоростях равными нулю, то есть будем минимизировать квадрат отклонения тока якоря и энергии управления. В результате:

J = { (?1 Оч - Х1 )2 + г(?и - и)2 ^ .

о

Механика

и у, /в, ¡а, Ю], Му, °.е. 3.5

иу 1

■ "" 'а

, Му ■■■

-- Ю], Ю2 1 ! —ч ---

О 1 2 3 4 5 6 7 8 3?, С.

Рис. 2. Переходные процессы системы с минимизацией квадрата о тклонения тока возбуждения

Проанализируем данный критерий. Минимизация квадрата отклонения тока якоря от максимально допустимого значения 2] даст наиболее быстрое достижение током якоря максимальной величины в начале переходного процесса при перерегулировании менее 2 %. Быстрее достичь максимального значения можно только, увеличивая перерегулирование, в нашем случае считаем кратковременное превышение максимального значения на 2 % приемлемым. В тех случаях, когда превышать максимальный уровень нельзя даже на небольшую величину и маленький промежуток времени, можно ввести дополнительную аварийную отсечку, что будет незначительным отходом от оптимальности. Ограничивать максимально допустимое напряжение генератора будем, используя максимальные возможности линейных систем, т. е. вводя минимизацию квадрата отклонения энергии управления от номинального значения 2и, но не используя нелинейные отсечки. Введем десятикратное форсирование напряжения генератора при помощи весовых коэффициентов ^ = 1, г = 0,01.

На рис. 3 показаны переходные процессы в такой системе. Проанализируем полученные результаты. Оптимальные процессы при ограничении на ток якоря по идее должны состоять из трех участков, в начале - максимально быстрое дости-

иу, 1в, 1а,Ю],Му,Ю2; о.е.

жение током максимального значения, далее -движение на максимальном токе и в конце - максимально быстрый спад тока до нулевого значения. На первом участке необходимо подавать сначала положительное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока возрастает. Затем подавать отрицательное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока убывает. Здесь мы отходим от оптимальности, ограничивая это напряжение не нелинейностями, а при помощи минимизации квадрата отклонения энергии управления. Однако это вполне оправдано, т. к. незначительно влияет на время переходного процесса при некоторой экономии этой энергии. Второй участок движения на максимальном токе, можно считать, также обеспечивается расчетом линейных систем. А вот третий участок обеспечить без введения нелинейностей невозможно, т. к. данный критерий оптимальности держит ток на максимальном значении и после достижения скоростями своих номинальных значений, что обеспечивает дальнейший разгон системы.

Оптимизация линейной системы

с учетом ограничений на управление

и все координаты

Ввод в функционал членов, отвечающих за минимизацию квадрата отклонения скоростей, приводит к плохим результатам, т. к. система бу-

I 1 .1 - V о ч С .

Рис. 3. Переходные процессы системы с минимизацией квадрата отклонения тока якоря

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

иу, гв, га, Ю}, Му, Ю2; о.е.

1 !

" га

М у , ''

гв . Ю2

У \ 1

Рис. 4. Переходные процессы оптимальной системы Г

дет выбирать среднее между движением при токе ниже максимального значения и превышением скоростями номинальных значений. Однако обратим внимание на кривую тока возбуждения. На эту координату обычно накладывается ограничение. Поэтому при достижении током возбуждения, а значит и ЭДС генератора номинального значения (равного обычно входному напряжению двигателя, соответствующему желаемым значениям скоростей) следует ввести отсечку либо переключить входной сигнал на желаемое установившееся значение. Такие действия сделают процессы на третьем участке оптимальными. На рис. 4 показаны соответствующие переходные процессы.

Видно, что колебания упругого момента довольно существенны. При других значениях жесткости и моментов инерции движущихся масс, а также при учете люфтов в передачах эти колебания могут быть особенно опасными. Поэтому попробуем улучшить качество регулирования при помощи минимизации квадрата не тока якоря, а упругого момента, т. е.:

3 = |(43(г3 -х3)2 + г(ги -и)2 — .

0

На рис. 5 показаны переходные процессы в данной системе при 43 = 1, г = 0,01. Видно, что

5 6 7 8 9 ' с

- Д с минимизацией квадрата отклонения тока якоря

данная система управления показывает просто отличные результаты. Колебания упругого момента существенно задемпфированы, при этом видно, как возросли колебания входного сигнала. Однако это никак не отразилось на качестве регулирования тока якоря и остальных координатах. Можно также ввести одновременную минимизацию квадрата тока якоря и упругого момента, но исследования показывают незначительное отличие качества работы такой системы.

Вывод

Таким образом, при помощи расчета линейных систем имеем точную аналитическую формулу, определяющую оптимальное управление электроприводом при учете ограничений на ток якоря, упругий момент и входной сигнал. Незначительный отход от оптимальности будет в связи с небольшим перерегулированием по току якоря и небольшой минимизацией энергии управления. А при достижении током возбуждения номинального значения необходимо переключить входной сигнал на номинальное значение напряжения двигателя, что легко реализовать. Это ограничит в конце переходного процесса ток возбуждения, что делает оптимальным изменение этой величины и автоматически ограничивает и делает оптимальными также и скорости движущихся масс. По су-

и у, гв, га, М у, Ю2; о.е.

1.2 1 0.8 0.8 0.4 0.2 0

-0.2 I

га

!■'■ - му >■■"

ШУ^ ■ ^ "

®1, Ю2

\ \ \

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ', с.

Рис. 5. Переходные процессы оптимальной системы Г - Д с минимизацией отклонения упругого момента

Механика

ти, получается, что прямо или косвенно решена в замкнутой форме задача оптимального управления с ограничениями типа неравенств на все координаты и управление. В процессе исследования также несколько расширена теория аналитического конструирования регуляторов, особенно в плане точного решения двухточечной краевой задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. Т.1. № 4. С. 436-441.

2. A.E. Bryson Jr., Y.C. Ho. Applied Optimal Control. Hemisphere Publishing,Washington, D.C., 1975.

3. M. Athans, P L. Falb. The Optimal Control: An Introduction to the Theory and Its Applications. Dover, New York, 1966.

4. R.E. Kalman, The Eheory of Optimal control and the Calculus of Variations. Berkeley. University of California Press, 1963.

5. H. Kwakernaak, R. Sivan. Linear optimal Control Systems. New York. John Wiley & Sons, Ltd, 1972.

6. S.J. Citron, Elements of Optimal Control. Holt. New York. Rinehart and Winston, 1969.

7. J. Rodriguez, P. Cortes, Predictive Control of Power Converters and Electrical Drives. Chiches-ter. John Wiley & Sons, Ltd, 2012.

8. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М. : Наука, 1981. 488 с.

УДК 621.01:51-7:629.4.02 Гозбенко Валерий Ерофеевич,

д. т. н., профессор,

Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952) 638357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Каргапольцев Сергей Константинович, д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 83952638304, e-mail: kck@irgups.ru Карлина Антонина Игоревна, заместитель начальника управления научной деятельностью, Иркутский национальный исследовательский технический университет,

тел. 89501201950, e-mail: karlinat@mail.ru

ПРИВЕДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

К ГЛАВНЫМ КООРДИНАТАМ

V. E. Gozbenko, S. K. Kargapoltsev, A. I. Karlina

REDUCING THE DYNAMIC SYSTEM WITH THREE DEGREES OF FREEDOM TO MAIN COORDINATES

Аннотация. Рассмотрены колебания четырехосного вагона, имеющего двойное рессорное подвешивание. Для нахождения главных координат исследованы свободные и вынужденные колебания подрессоренных частей вагона. Принимается, что кузов вагона и тележки обладают по одной степени свободы: подпрыгиванием, галопированием кузова вагона и тележек будем пренебрегать. Составлены дифференциальные системы уравнений, в предположении, что рассматриваемая система имеет 3 степени свободы - вертикальные колебания кузова и двух тележек. Предложен вариант поиска решений в виде гармонических функций. Составлена система для определения характеристического уравнения, из которой следует, что система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю. Найдены коэффициенты распределения амплитуд, из которых следует, что параметры системы связаны между собой определенными соотношениями между коэффициентами инерции и коэффициентами жесткости. Получены дифференциальные уравнения свободных колебаний системы в главных координатах, представляющие собой три независимых линейных дифференциальных уравнения второго порядка. Представлено общее решение и преобразования начальных условий для получения решения в замкнутом виде.

Ключевые слова: динамика, динамическая модель, колебания, кузов, колесо, возмущения, уравнения движения, жесткость, демпфирование, дифференциальные уравнения, общее решение.

Abstract. Vibrations of four-axle wagon having a dual spring suspension are considered. To locate the main coordinates free and forced oscillations of the sprung parts of the car are investigated. It is assumed that the body of the car and truck have one degree of freedom: bouncing, galloping of the car body and trucks will be neglected. Differential systems of equations are composed under the assumption that the considered system has 3 degrees of freedom - vertical vibrations of a car body and two bogies. The option of searching solutions in the form of harmonic functions are obtained. The system for determining the characteristic equation is composed, from which it follows that the system has a nonzero solution when its determinant equals zero. The coefficients of the distribution of amplitudes are obtained, which suggests that the parameters of the system are connected by certain relations between the coefficients of inertia and stiffness. Differential equations of free oscillations of the system in principal coordinates, representing three independent linear differential equations of second order, are obtained. General solution and transformation of the initial conditions to obtain solution in a closed form.

Keywords: dynamics, dynamic model, oscillations, automobile, wheel, perturbations, motion equations, stiffness, damping, differential equations, general solution.