CC BY
22
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
УДК 62-523
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ОДНОМАССОВОЙ СИСТЕМЫ «УП-Д»
П.Э. Подборский, Э.Н. Подборский
Анализируется электропривод постоянного тока одномассовой системы «управляемый преобразователь—двигатель». Предложен критерий оптимальности и получена аналитическая формула регулятора, позволяющего учесть ограничения типа неравенств на напряжение управления и все координаты.
Ключевые слова: электропривод постоянного тока, электромеханическая система, одномассовая система, система управления, двухточечная краевая задача, оптимальное управление, критерий оптимальности, аналитическое конструирование регуляторов, АКОР, квадратичный функционал.
В 60-х годах ХХ века А.М. Летовым была разработана теория об аналитическом конструировании регуляторов [1], которая в итоге сводилась к динамическому программированию и выводу уравнения Риккати. Рассматривались линейные системы и квадратичные функционалы с минимизацией энергии управления, а также с минимизацией энергии и скорости изменения энергии управления. C тех пор по линейному квадратичному регулированию было опубликовано огромное число материалов, основные результаты развития данной теории можно найти в работах Брай-сона [2], Атанса и Фалба [3], Калмана [4], Квакернаака [5], Цитрона [6] и др. В [7] данная теория несколько развита, в частности, решена задача не перевода системы в начало координат, а минимизации около любого установившегося значения выхода; получена система управления не с обратной связью, а программного управления (что особенно важно для разработки современных электроприводов [8]); учтено возможное наличие комплексных корней в характеристическом полиноме системы; время регулирования не обязательно было равно бесконечности. Во второй статье теории Летова дается решение для замкнутой области, содержащей границу
154
отклонения регулирующего органа. Показано, что оптимальное управление состоит из движения по границе области и движения, при котором управление не выходит за допустимое значение. Точка сопряжения этих движений рассчитана при помощи условий Вейерштрасса-Эрдмана. Алгоритмизировать универсально такой расчет всех постоянных и времени выхода на угловую точку невозможно, т.е. эту процедуру не запрограммировать, а значит применить на практике данный регулятор тоже затруднительно. Также довольно трудно учесть ограничения на координаты. Попробуем обойти данные ограничения для конкретного объекта управления.
Постановка задачи. Разработать метод, позволяющий для одно-массовой системы «управляемый преобразователь-двигатель электропривода постоянного тока» вывести аналитическую формулу закона оптимального управления с прямым или косвенным учетом ограничений типа неравенств как на управление, так и на все координаты.
Математическое описание объекта управления. Рассмотрим электропривод постоянного тока независимого возбуждения с неизменным потоком возбуждения. Питание двигателя осуществляется по цепи якоря от управляемого преобразователя, например тиристорного или транзисторного. Математическая модель данной одномассовой системы может быть представлена в следующем виде:
\К уп •и у = Яа • 1а + Та &а / & + С • Ш ^
[Мы / йг = М,
где ¡а, ш - ток якоря и угловая скорость одномассовой системы, иу - напряжение управления, Куп - коэффициент передачи управляемого преобразователя, Яа, Та - активное сопротивление и индуктивность якорной цепи, J - приведенный момент инерции одномассовой системы, С - конструктивная постоянная, М = С • ¡а - момент одномассовой системы.
Если за базовый 1аб ток якоря принять максимальный (стопорный) ток якоря двигателя, за базовое и б напряжение управления - номинальное напряжение управления и за базовую Шб угловую скорость - номинальную угловую скорость двигателя, то, введя следующие координаты в относительных единицах
1а Ш иу
х1 =-Т~ ; х2 =-; и =Т7~ ,
1 аб шб и б
получим электромеханическую систему (1) в формализованном виде:
= -«11^1 - «12 Х2 + Ьи,
(2)
х2 = а21хЪ
Куп •иб Яа с шб С • 1аб где Ь = т 1 ; а11 = -у^; а12 = у—; а21 = .
та •1 аб та та •1 аб J • шб
155
Необходимо ввести ограничение на управление |и| £ 1, а также ограничение на все координаты х1 £ 1.
Далее будем исследовать только процессы пуска до номинальной скорости.
Оптимизация линейной системы без учета ограничений. Сначала найдем оптимальное управление для линейной системы без ограничений типа неравенств. В качестве примера критерия оптимальности будем исследовать квадратичный функционал следующего вида:
и \ г
и
)2 )ж = | ¿Жг,
(3)
^ = | Щ (г2 - х2) + г (2
0 0 где 22, 2и - желаемые установившиеся значения скорости и управления;
Щ2, г - весовые коэффициенты.
Известно, что для решения такой задачи на условный экстремум нужно составить для (2) и подынтегральной функции / из (3) систему уравнений Эйлера-Лагранжа:
^ -= 0, Х1 Жг Х1
^ - = 0, Х2 Жг Х2
ри -^ = 0,
Ж
Ж
^--Fi = 0,
11 Жг 1
Ъ 2- ЖЬ
= 0,
где ^ = / + Л-1 (хХ1 + ацХ1 + «12X2 -Ьи)+^2X -«21X1).
В результате имеем следующую систему неоднородных дифференциальных уравнений:
/
хх1 = -«11X1 - «12 Х2 + Ь
V
Ь у
2и +
2г
\
у
(4)
х2 = а21х1,
X1 = ац^1 - «2112,
12 = 2^2 Х2 + «12^1 - 2Щ222. Решением данной системы будут оптимальные траектории
X = С^д^ +... + С4ег-4еР4г + К,
X I = С&+2Дер1г +... + Се+2,4еР4г + К+2, где еI j, pj - собственные векторы и собственные значения матрицы системы (4), КI, К!+2 - постоянные, определяемые из неоднородной части уравнений (4); С ^ - постоянные, определяемые из граничных условий.
156
(5)
Решая задачу со свободным правым концом для процесса пуска, как это сделано в [7], находим все постоянные С ^, а значит, находим по (5)
оптимальные траектории х, 1, а оптимальное управление и находится по известной формуле
Ь
и = 2и (6)
2г
На рис. 1 показаны переходные процессы данной оптимальной системы при 22 = 1, 2и = 1, д2 = 1, г = 0.1. Напряжение управления примерно в 3 раза превышает номинальное значение. Снижать данную величину приходится за счет введения в задачу оптимизации ограничения типа неравенств. Однако пока обратим главное внимание на ток якоря. Он намного превышает максимально допустимое значение, что требует применение отсечки. Введение такой нелинейности приводит к отходу от оптимальности, что для данной задачи недопустимо.
Рис. 1. Переходные процессы оптимальной системы «УП-Д» без ограничений типа неравенств
Оптимизация линейной системы с учетом ограничений координат. Синтезируем аналитическую формулу регулятора, как это сделано в [7], учитывающую ограничения на все координаты для открытой области управления. То есть примем весовой коэффициент при скорости равным нулю и будем минимизировать квадрат отклонения только тока якоря и энергии управления. В результате критерий оптимальности
3 = | (21 - Х1 )2 + г(2и - и )2 У, (7)
0
где 21 - желаемое установившееся значение тока якоря; ^ - весовой коэффициент.
После составления и преобразования уравнений Эйлера-Лагранжа получаем следующую систему неоднородных уравнений:
л} = -а\ 1X1 - а\2Х2 + Ь
г,
Ь х л
+ — X 2г 1
(8)
Х2 = а21Х1,
= 2^1 X] + ацХ] - а2]Х2 - 2^1-^,
х 2 = а12Х1 •
Решая систему (8) в соответствии с вышеописанным алгоритмом, получаем оптимальные траектории (5) и управление (6), минимизирующие (7). На рис. 2 показаны переходные процессы в такой системе при г] = 1, 2и = 1, д = 1, г = 0.1. Проанализируем полученные результаты.
иу, 1а, со; о.е
1 \ !
у,
1а
/ со
! 1 1 I 1 ! 1 1 ]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
Рис. 2. Переходные процессы оптимальной системы «УП-Д» с ограничениями на координаты
Оптимальные процессы системы УП-Д при учете ограничений, по идее, должны состоять из трех участков, вначале - максимально быстрое достижение током якоря максимального значения, далее - движение на максимальном токе и при максимальном электромагнитном моменте и в конце - максимально быстрый спад тока до нулевого значения.
На первом участке необходимо подавать сначала положительное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока возрастает. Затем подавать отрицательное максимально допустимое напряжение, при котором скорость нарастания тока убывает. Здесь пока отходим от оптимальности, ограничивая это напряжение не нелинейностя-ми типа неравенств, а при помощи минимизации квадрата отклонения энергии управления. Минимизация квадрата отклонения тока якоря от максимально допустимого значения г1 даст наиболее быстрое достижение током якоря максимальной величины в начале переходного процесса при
перерегулировании менее 2 %. Быстрее достичь максимального значения можно только, увеличивая перерегулирование, в данном случае считаем кратковременное превышение максимального значения на 2 % приемлемым. В тех случаях, когда превышать максимальный уровень нельзя даже на небольшую величину и маленький промежуток времени, можно ввести дополнительную аварийную отсечку, что будет незначительным отходом от оптимальности.
Второй участок движения при максимальном токе можно считать оптимальным. При этом скорость и напряжение управления будут линейно возрастать.
А вот на третьем участке данный критерий оптимальности держал бы ток на максимальном значении и после достижения скоростью номинального значения (на рис.2 не показано). Это привело бы к дальнейшему разгону системы и увеличению напряжения выше номинального значения. Для обеспечения оптимальности этого участка при достижении максимально допустимого (номинального) значения входного напряжения переключаем входное напряжение на это желаемое установившееся номинальное значение. Это ограничит также скорость номинальным значением (будет показано далее на рис. 5).
Далее нужно учесть ограничение типа неравенства на управление.
Оптимизация линейной системы с учетом ограничений на координаты и управление. Приведем некоторые предварительные рассуждения, позволяющие затем определить алгоритм синтеза регулятора для замкнутой области управления без сложной процедуры применения условий Вейерштрасса-Эрдмана.
1. Очевидно, что при ограничении на входной сигнал оптимальное управление будет состоять из двух участков. Первый участок длительностью от времени начала переходного процесса до некоторого времени tут
будет представлять собой постоянную величину, равную максимально допустимому управлению и = 1. Движение идет по границе области. Второй участок (начинается с угловой точки длительностью от tут до времени
окончания переходного процесса t) представляет собой кривую решения (8) для соответствующих начальных условий. Движение идет внутри допустимой области.
2. Значения сопряженных координат 1 в конце переходного процесса не меняются по сравнению с системой без ограничений. Поэтому если знать значение тока якоря и скорости в момент времени t ут, то оптимальные траектории и оптимальное управление второго участка можно найти аналитически, т.к. все граничные условия для вычисления постоянных С^ будут известны.
3. Следовательно, имея датчики всех координат системы, легко определяем оптимальное управление на втором участке, при этом известно оптимальное управление на первом участке, но неизвестна его длительность.
4. Предположим, что первый участок по ошибке длится очень короткое время. Тогда координаты системы практически не успеют измениться от начального значения и, значит, оптимальное управление на втором участке будет почти совпадать с решением для открытой области, и в данном случае начальное значение управления на втором участке будет примерно в 3 раза превышать номинальное.
5. Предположим, что первый участок по ошибке длится в течение времени, немного меньшем, чем tут. Тогда, подставляя соответствующе
начальные условия, получим оптимальное управление, начальное значение второго участка которого будет немного выше максимально допустимого. Графики переходных процессов, подтверждающие данное предположение, приведены на рис. 3.
6. Предположим, что первый участок по ошибке длится немного больше, чем tут. Тогда, подставляя соответствующе начальные условия,
получим оптимальное управление, начальное значение второго участка которого будет немного ниже максимально допустимого. Графики переходных процессов, подтверждающие данное предположение, приведены на рис. 4.
7. Оптимальное управление есть величина непрерывная, поэтому в угловой точке должно выполняться условие непрерывности. Значит, если момент времени tут подобран правильно, то начальное значение управления на втором участке будет равно конечному значению управления на первом, т.е. для данного случая - номинальному значению.
Алгоритм синтеза оптимального управления. Анализируя вышесказанное, можно сформулировать алгоритм синтеза оптимального управления линейной системой для закрытой области управления.
В начале времени управления необходимо подавать на вход системы сигнал, равный максимально допустимому управляющему сигналу. Для расчета следующего шага управления нужно снимать сигналы обратных связей и рассчитывать оптимальное управление для открытой области при данных граничных условиях. Если начальное значение найденного оптимального управления будет больше максимально допустимого, то необходимо принять следующий шаг управления равным максимально допустимому. Далее продолжаем данную процедуру, следя за тем, чтобы начальное значение управления постепенно уменьшалось. И в момент, когда это начальное значение управления окажется ниже максимально допустимого, принимаем это оптимальное управление за искомое на остальном
интервале времени. А в момент времени, когда напряжение управления снова достигнет номинального значения, фиксируем данный входной сигнал на этом уровне до достижения скоростью номинального значения.
На рис. 5 показаны переходные процессы, полученные в соответствии с разработанным алгоритмом. Видно, что данные оптимальные траектории и управление найдены верно. Это подтверждено и полным совпадением данных графиков с полученным численно прямым методом математического программирования. В начале переходного процесса разгона тока до максимально допустимого уровня, который протекает крайне быстро за тысячные доли секунды, графики похожи на представленные на рис. 3 и рис. 4, только управление непрерывно и состоит из двух участков, соединяющихся точно в угловой точке (не показано на рис.3, 4). Далее при движении на максимальном токе напряжение и скорость линейно возрастают. Затем напряжение якоря ограничивается номинальным значением, и скорость плавно доводится тоже до номинального уровня.
Uy,ia,ш; о.е
1 !
^У ; >а
¡1:111111
О 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 С
Рис. 3. Переходные процессы системы с соединением траекторий до угловой точки
Uу,i0, ю; o.e.
! ! 1
иу 1 :
(0
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
Рис. 4. Переходные процессы системы с соединением траекторий после угловой точки
161
Uy,ia,со; о.е.
la Uy
(0
V
——
О 1 2 3 4 5 S 7 6 Э С
Рис. 5. Переходные процессы оптимальной системы «УП-Д» с ограничениями типа неравенств на координаты и управление
Заключение. Таким образом, имеем точную аналитическую формулу, определяющую оптимальное управление электроприводом при учете ограничений на все координаты и входной сигнал. Причем ограничение на управление типа неравенств производится напрямую. Ограничение скорости типа неравенств производится косвенно по ограничению управления. Ограничение на ток якоря происходит косвенно, но это не сильно отличает оптимальность от реализации соответствующих ограничений типа неравенств. Данный регулятор легко реализовать практически в виде соответствующей программы контроллера.
В перспективе достаточно актуальной представляется задача учета дополнительного ограничения на скорость нарастания тока якоря, которая, как правило, недопустимо высока, а также задача построения оптимального управления двухмассовой системой.
Список литературы
1. Летов А.М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика, 1960. Т.1. № 4. С. 436 - 441; № 5. С. 561 - 568; № 6. С. 661 - 665; 1961. Т.22, № 4. С. 425 - 435; 1962. Т. 23. № 11. С. 1405 -1413.
2. Bryson Jr. A.E., Ho Y.C. Applied Optimal Control. Washington, D.C.: Hemisphere Publishing, 1975.
3. Athans M., Falb P.L. The Optimal Control: An Introduction to the Theory and Its Applications. Dover, New York, 1966.
4. R.E. Kalman. The theory of optimal control and the calculus of variations. Berkeley: University of California Press, 1963.
5. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. New York: John Wiley & Sons, Ltd, 1972.
6. Citron S.J. Elements of Optimal Control. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
7. Подборский П.Э., Подборский Э.Н. Аналитическое конструирование регуляторов электропривода одномассовой системы генератор-двигатель // Вестник ВГУ. 2013. №.2. С. 42 - 47.
8. Rodriguez J., Cortes P. Predictive Control of Power Converters and Electrical Drives. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2012.
Подборский Павел Эдуардович, канд. техн. наук, доц., panpodpeamail.ru, Россия, Саяногорск, Саяно-Шушенский филиал Сибирского федерального университета,
Подборский Эдуард Николаевич, канд. техн. наук, доц., panpodenamail.ru, Россия, Абакан, Хакасский технический институт - филиал Сибирского федерального университета
ANALYTICAL DESIGN OF CONTROLLERS FOR ELECTRIC DRIVE OF ONE-MASS ENGINE-CONTROLLED RECTIFIER SYSTEM
P.E. Podborski, E.P. Podborski
Control of electromechanical systems with square-law cost function is analyzed on an example of the DC-drive for one-mass engine-controlled rectifier system. The new optimum criterion is offered and the analytical formula of a regulator is received, this allows taking into account inequality constraints on control signal and all state coordinates.
Key words: DC-drive, electromechanical system, one-mass system, control system, two points boundary problem, optimal control, cost function, linear quadratic regulator, LQR, quadratic functional.
Podborski Pavel Eduardovich, candidate of technical sciences, docent, panpodpeamail. ru, Russia, Sayanogorsk, Sayano-Shushensky branch of Siberian Federal University,
Podborski Eduard Nikolaevich, candidate of technical science, docent, panpo-den@mail.ru, Russia, Abakan, Khakass Technical Institute - branch of Siberian Federal University
