CC BY
25
УДК 621.9.41
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИРИРЕЗЦОВОЙ ОБЛАСТИ СТРУЖКООБРАЗОВАНИЯ
А.С.Кошеленко, Г.Г.Позняк, Суканта Майтра
Кафедра технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов Российского университета дружбы народов Россия ¡17187, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
Рассчитываются напряжения в области стружки, прилегающей к передней поверхности режущего клипа. Нормальная и тангенциальная распределенные нагрузки, выбранные на основе опубликованных -экспериментальных данных, результаты представлены в графической форме.
Известны различные подходы [3,5 и др.] к математическому описанию напряженно-деформированного состояния металла в зоне стружкообразования (ЗСО). В силу взаимосвязанности многих параметров, при аналитическом рассмотрении исследователи вынуждены вводить некоторые гипотезы, уменьшающие неопределенность. В частности, речь идет о: -форме линий скольжения в ЗСО (веерные прямые, параллельные прямые, кривые эллипсообразного вида и т.п.);
-виде распределения напряжений в области перехода упругого состояния металла в пластическое, то есть вблизи так называемой условной плоскости сдвига;
-протяженности упругого и пластического контактов стружки и передней поверхности режущего клина и др.
Рис. 1. К расчету напряжений на контуре СЭЕА и ВР’ в плоском пространстве с угловым вырезом при распределенной нагрузке
В данной работе в качестве исходного момента принимается распределение граничных условий в областях контакта режущего клина со стружкой и с обработанной поверхностью. Такой выбор основан на достаточно широко известных экспериментальных исследованиях различными методами [3,4 и др.]. Анализ проводится при следующих допущениях.
1. Рассматривается свободное ортогональное резание, которое в первом приближении может быть описано как плоское напряженное состояние.
2. Процесс стружкобразования рассматривается как квазистатический, то есть в каждый момент времени фиксируется и описывается статическое состояние нагруженной модели, и переход к другому моменту времени совершается малым условным "скачком" без учета сил инерции.
3. Как следствие п.2, тепло, выделяемое в процессе пластической деформации и вследствие внутреннего и внешнего трения, рассеивается в пространстве и не изменяет температуру системы.
4. Внутри данного отрезка времени задача рассматривается как линейная.
5. Параметры упруго-напряженного состояния элемента в конце данного временного отрезка являются исходными параметрами для следующего временного отрезка.
6. Режущий клин рассматривается как абсолютно жесткое тело.
Сформируем декартовы координатные оси таким образом, чтобы ось р. была направлена вдоль передней поверхности режущего клина, а ось Г| была нормальна к ней и проходила через вершину резца (рис. 1).
Положим, что плоские грани ОА и ОВ нагружены распределенными нормальными и тангенциальными силами и что величина нагрузки и закон ее распределения известны. Тогда напряжения в любой точке К пространства выражаются в декартовых координатах следующим образом [ 2]:
а Г ^Ц* ~ ^ ^ 2 [ ^^ ^ ~ ^
11 о по((^-ц/ + л//’
»V
а 2Цк 3 Г__ЙЙ__ _Г ^ХМ/, ~м)Ф 0)
71 « ((у* “НУ +Л*2У 71 о (К
т = _ 23к- Г ~ Г *(У-)кк -цУФ
П О ((ц* - ц)2 + Т\к 1 Я 0 (К - и)2 + Л*2 }
где: и 1]^ - координаты точки К1; с - протяженность области приложения
распределенной нагрузки; ^(ц) и /(ц) - функции распределенной нагрузки на границе ОА (соответственно нормальной и тангенциальной); <т(1,ст^ ит - нормальные и
касательное напряжения в К:.
Для упрощения изложения в формулах (1) приведены только слагаемые от действия нагрузки на грани ОА: слагаемые от действия нагрузки на грани ОВ имеют такую же форму, однако вклад их в величину напряжений в область пространства перед режущим клином весьма незначителен. Наметим на плоской поверхности рассматриваемого пространства с помощью системы точек КГ..КП некоторый контур С.ОЕАОБЕ таким
образом, чтобы выполнялись условия: СО\\ОХ , ИЕ \\ОА , ЕАА.ОА и ВЕ \\02 (см. рис. 1). Если теперь мысленно отрезать заштрихованные на рисунке части пространства, получим модель, показанную на рис. 2-а. Для того, чтобы эта модель была равносильна исходной, в каждой точке вновь образованного контура необходимо рассчитать напряжения
согласно выражениям (1), а затем по известным формулам [6] найти граничные условия и приложить их к контурам СОЕ А и ВЕ :
Мг =1-<5^+т-хт,Нг =т-ац + /• тц„ , (2)
где: Мг и Мг - компоненты поверхностных сил, отнесенных к единице площади; / и т- направляющие косинусы нормали к границе; сгм, стт) и Хдг) - нормальные и касательное напряжения в точках, лежащих на границе.
Полученная фигура имитирует ЗСО: СО - поверхность обрабатываемой заготовки, ВЕ - наружная поверхность стружки, ЕА - торец стружки, О А - область упругопластического
Рис.2. Нагрузки на границе СОЕАОВР: а - после отбрасывания "отрезанных" элементов, б - расчетная модель с "обнулением" граничных нагрузок на гранях СО, ЭЕ, ЕА.
контакта стружки и передней поверхности режущего клина, ОВ - контактная область по его задней поверхности, ВЕ - обработанная поверхность, 02 - плоскость резания, 01 -нормаль к плоскости резания, АОУ - передний угол и В02 - задний угол. Однако эта модель существенно отличается от натурного объекта тем, что в реальной ЗСО отсутствует нагрузка на элементах контура СО, ОЕ и кА. Чтобы привести в соответствие модель и натуру, нужно приложить к граничным отрезкам СО, ОЕ и ЕА нормальные и
касательные распределенные силы, равные по модулю и противоположные по направлению тем, которые были рассчитаны по формулам (2), то есть тем самым произвести "обнуление". Полученная модель показана на рис.2-6. Для любой точки К можно рассчитать напряжения и деформации при заданных законах распределения нагрузки на передней и задней поверхностях режущего клина и упруго-пластических параметрах обрабатываемого материала, суммируя напряжения и деформации в соответствии с принципом суперпозиции для линейных однородных сред от действия нагрузок на прирезцовой стороне стружки, в зоне контакта резца и обработанной поверхности, а также от "обнуляющих" нагрузок на поверхностях СО,ВЕ,ЕА и ВЕ .
Итегральные выражения (2) состоят из сумм интегралов, которые в общем виде не могут быть решены, поэтому при анализе модели используется численное интегрирование на ПК. При этом необходимо учитывать, что приведенные выражения корректны только при однородности пространства. Однако в некоторых областях ЗСО на определенной стадии нагружения металл достигает предела текучести, и однородность пространства нарушается, так как в локальных областях происходят изменения важнейших характеристик - модуля упругости и коэффициента Пуассона [1]. Поэтому при моделировании на ПК имитация нагружения должна производиться постепенно, пошаговым методом, контролируя результаты расчета в конце каждого шага нагружения. При обнаружении пластического состояния какой-либо локальной области необходимо перед следующим шагом предусмотреть коррекцию расчетов с помощью метода переменных параметров упругости [1] путем итерационного приближения.
Решение можно производить непосредственным вычислением либо с использованием так называемого полуобратного метода формирования функции напряжений [6].
Рассмотрим вначале метод непосредственного численного решения. Представим в удобном для численного интегрирования нагрузку на исследуемую модель. Согласно теоретическим и экспериментальным данным ряда исследователей (см. например [3, 4] и др.), можно представить характер распределения контактных напряжений на передней и задней поверхностях режущего клина в виде некоторых функций, значения которых убывают от вершины клина до нулевого значения в точках отрыва стружки.
Предположим, что нам известны аналитические выражения нормальных (¿/(р,)) и
тангенциальных (/(ц)) напряжений на передней поверхности для конкретных условий резания:
?М=//М 'М=лМ- с3)
Используя полученные экспериментальные данные [4], аппроксимируем функции (3) в виде полиномов с помощью метода наименьших квадратов:
/1 п
// Ы = а» + £ а, -и". Л М = К + Xь, • ц" • (4)
1=1 1=1
Проинтегрировав выражения (4) в пределах длины контакта с , можно записать выражения для равнодействующих нормальной О и тангенциальной Т сил на передней и задней поверхностях:
« с1+1 » с'+/
О = а0-С + 2^,-тт-л, Т=Ь0-с + 2^Ьг -г—х. (5)
,■=/ V+ Ч >=! \1 + Ч
Разделив найденные равнодействующие на длину контакта по передней поверхности, получим средние контактные напряжения:
" с' - " с'
■ТГГЛ' 1=ьо+^Ь'-7Г-л- (6)
/=/ V + Ч 1=1 \1 + Ч
Интересующее нас пространство ЗСО (окрестности условной плоскости сдвига; прирезцовая область стружки) разбиваем на прямоугольные элементы, образующие сетку с
достаточно малыми размерами ячеек. Координаты узлов этой сетки являются теми точками, для которых будут рассчитываться по формулам (1) напряжения и затем по известным формулам теории упругости [6] - деформации.
В ряде случаев, кроме прямого численного интегрирования, целесообразно использовать метод формирования фунуции напряжений в виде, например, алгебраического бигармонического полинома. Обычно принято представлять полином высокой степени как функцию двух переменных:
Ф(Ц>Л) = Х2Х<? (?)
к=2 р=0
где: п - степень бигармонического полинома; apq - коэффициенты полинома.
Коэффициенты полинома рассчитываются, исходя из условия неразрывности (8) и граничных условий (9):
д'ф(м) ! 2 5'ф(ц.л) , д'ф(^г|)_0 (g)
д\х2дц2 дц4 М = • т, Н = стл • т + тйЛ • /. (9)
В выражениях граничных условий (9) обозначены:
М и Н - компоненты поверхностных напряжений, спроецированные на оси ц и Г|; а а , т -компоненты декартовых напряжений в точках контура с координатами ц и Г]; / = COS а, т — cosijl/ 2 — а) - направляющие косинусы нормали к поверхности (а - угол между нормалью и осью ¡Л).
В формулах (9) необходимо подставлять значения Ми//, вычисленные для точек на гранях CD,DE,EA и BF, но взятые с обратным знаком. Тем самым функция напряжений (7) будет "обнулять" напряжения на границе, возникающие в результате действия нагрузки при мысленном отбрасывании частей пространства на рис. 1.
Если условия (8) и (9) выполняются, то с помощью дифференцировния функции (7) в частных производных можно найти напряжения в любой точке рассматриваемой математической модели по формулам Эри:
_ д2ф(ц,Т1) _ дгф(ц,п) _ д2ф(ц,л)
" Этт ’ " 5li фЭл
Реализация метода производится следующим образом. Выписывается уравнение неразрывности в форме (8), подставляя в него соответствующие производные, полученные дифференцированием развернутого выражения (7). Затем, группируя члены с одинаковыми показателями степени при (I и Г|, приравниваем эти группы нулю, тем
самым формируем п/ уравнений для коэффициентов. Так как Ylj меньше числа коэффициентов п, входящих в функцию напряжений (7), то недостающее число уравнений формируем из граничных условий, подставляя в формулу Эри (10) координаты граничных точек на гранях CD, DE и ЕА. Полученную систему с П неизвестными решаем каким-либо методом (например, методом Гаусса) и определяем в результате все коэффициенты функции напряжений.
Рис. 3. Ступенчатое внедрение режущего клина в корень стружки (обрабатываемый материал - свинец, сг=5,8 МП, а=0,244 мм, V = 0,045м/мин): а - поля изохром; б - поля линий скольжения
Теперь можно рассчитать напряжения в любой интересующей нас точке как сумму напряжений, рассчитанных по формуле (7) для этой точки, и напряжений от распределенной нагрузки на грани О А .
Для иллюстрации возможностей разработанной математической модели и ее программного обеспечения рассмотрим результаты анализа напряжений в ЗСО,
полученные путем имитации процесса внедрения режущего клина в корень стружки. Программное обеспечение позволяет получать распечатку значений нормальных и касательных напряжений, а также максимальных касательных напряжений в узловых точках сформированной сетки в ЗСО. Кроме того, в среде Visual Basic выводятся на монитор и распечатываются на принтере поля изохром (линий постоянных значений максимальных касательных напряжений), изоклин (линий равных углов главных
напряжений), линий скольжения (которые с помощью изоклин могут быть непосредственно построены без метода наложения) и поля равных гидростатических давлений. Совокупность этих полей дает полное представление о напряженно-деформированном состоянии ЗСО. Один из таких примеров показан на рис. 3.
Обрабатываемый материал и режимы резания были выбраны таким образом, чтобы можно
было, с одной стороны, использовать экспериментальные данные о распределении нормальной и тангенциальной контактной нагрузки на передней грани режущего клина [4], а с другой, сравнить полученное решение с известными положениями теории резания [3,51.
ЛИТЕРАТУРА
1. Биргер А.И. и др. Расчет на прочность деталей машин. -М.: Машиностроение, 1993. -640 с.
2. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 478 с.
3. Зорев НИ. Вопросы механики процесса резания металлов.- М.: Машгиз, 1956. -368 с.
4. Полетика М.Ф. Контактные нагрузки на режущие поверхности инструмента.- М.Машиностроение, 1969. -150 с.
5. Розенберг А.М., Еремин А Н. Элементы теории процесса резания металлов. - М.: Машгиз, 1956. - 318 с.
6. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.(Пер. с англ.). - М.: Наука, 1979. - 560
с.
ANAL1TICAL INVESTIGATION OF THE RAKE SURFACE ZONE OF CHIP FORMATION
Koshelenko A.S., Poznyak G.G., Sukanta Maytra
Department of Mechanical Engineering, Machine Tools and Tooling Peoples’ Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya st, 6, Moscow 117187, Russia
Stresses in the clip zone near the tool rake surface are computed. Normal and tangentinal distributed loads are selected on the basis of published experimental data. The results are presented in a graphical form.
Кошеленко Адольф Семёнович родился в 1940 г., окончил в 1967 г. РУДН. Канд. техн. наук, доцент кафедры Технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов РУДН. Автор более 30 научных работ.
Koshelenko A.S. (b. 1940) graduated from Peoples’ Friendship University of Russia in 1967. PhD(Eng), ass. professor of “Mechanical Engineering, Machine Tools and Tooling” Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of more than 30 publications.
Позняк Георгий Григорьевич родился в 1937 г., окончил в 1959 г. СТАНКИН. Канд. техн. наук, доцент кафедры Технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов РУДН. Автор более 95 научных работ.
Poznyak G.G. (b. 1937) graduated from Moscow Institute of Machine Tool and Tooling Design in 1959. PhD(Eng), ass. professor of “Mechanical Engineering, Machine Tools and Tooling” Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of more than 95 publications.
