Аналитический подход к вычислению диссипации энергии в окрестности вершины усталостной трещины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.74375

Аналитический подход к вычислению диссипации энергии в окрестности вершины усталостной трещины

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В процессе циклического нагружения в окрестности вершины трещины вследствие гистерезисных потерь выделяется теплота. Согласно последним экспериментальным исследованиям тепловая энергия сосредотачивается как в обратной, так и в прямой циклических пластических зонах. Аналитически проследить изменение тепловыделения с ростом числа циклов нагружения позволяет подход, в основе которого лежит предположение о том, что энергия гистерезиса одного цикла усталости для трещины Дагдейла может быть аппроксимирована посредством параметра трещиностойкости. В рамках этого подхода, а также модифицированных моделей Леонова-Панасюка-Дагдейла и Дагдейла-Баренблатта с учетом эффекта разгрузки и упрочнения получены аналитические формулы, позволяющие оценить величину диссипации энергии в окрестности вершины трещины за один цикл нагружения. При этом величина диссипации энергии последовательно вычисляется в прямой и обратной циклических пластических зонах на этапах нагружения и разгрузки соответственно для идеально-упругопластического материала и материала с изотропным билинейным упрочнением. Для оценки накопленной деформации к началу следующего цикла используется деформационный критерий разрушения. Для первого цикла нагружения полученные аналитические значения хорошо согласуются с экспериментально-численными значениями, найденными в результате испытания образцов из алюминиевого сплава AA2024-T3. Для последующих циклов нагружения, после определенного числа циклов, наблюдается монотонное убывание значений диссипации энергии в прямой циклической пластической зоне, полученных аналитическим путем, на фоне монотонного возрастания экспериментально-численных результатов. Для диссипации энергии в обратной циклической пластической зоне отмечается общая динамика падения значений вплоть до нуля, полученных аналитическим и экспериментально-численным путем, вследствие исчерпания ресурса пластичности в окрестности вершины усталостной трещины.

Ключевые слова: усталостная трещина, модель Дагдейла-Баренблатта, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, диссипация энергии, прямая и обратная циклические пластические зоны

DOI 10.24411/1683-805X-2020-13009

An analytical approach to the evaluation of energy dissipation

at the fatigue crack tip

M.E. Kozhevnikova

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

Cyclic loading causes heat generation in the crack tip vicinity due to hysteresis losses. According to recent experimental studies, thermal energy is concentrated in both reverse and forward cyclic plastic zones. An analytical study of the change in heat release with increasing number of loading cycles can be performed using an approach based on the assumption that the hysteresis energy of one fatigue cycle for a Dugdale crack can be approximated by the crack resistance parameter. This approach as well as modified Leonov-Panasyuk-Dugdale and Dugdale-Barenblatt models are used in the present paper to derive analytical equations for estimating the magnitude of energy dissipation at the crack tip in one loading cycle taking into account the effect of unloading and hardening. The energy dissipation value is sequentially calculated in the forward and reverse cyclic plastic zones at the stages of loading and unloading, respectively, for a perfectly elastic-plastic material and a material with bilinear isotropic hardening behavior. The strain accumulated by the beginning of the next cycle is determined using the deformation criterion of fracture. The analytical values obtained for the first loading cycle agree very well with the experimental and numerical values obtained in tests on AA2024-T3 aluminum alloy specimens. For subsequent loading cycles, there is a monotonic decrease in the analytical values of energy dissipation in the direct cyclic plastic zone after a certain number of cycles, while the experimental and numerical values increase monotonically. The energy dissipation values in the reverse cyclic plastic zone, both analytical as well as experimental and numerical ones, generally tend to decrease down to zero due to the exhaustion of plasticity in the region near the fatigue crack tip.

Keywords: fatigue crack, Dugdale-Barenblatt model, Leonov-Panasyuk-Dugdale model, energy dissipation, forward and reverse cyclic plastic zones

© Кожевникова М.Е., 2020

Терминология

Wp — мощность диссипации энергии при пластическом деформировании;

Wp — диссипация энергии за цикл нагружения при пластическом деформировании; Wp — диссипация энергии при нагружении; Wbp — диссипация энергии при разгрузке; Р — доля мощности диссипации энергии, перешедшей в тепло; f— частота нагружения; N — число циклов нагружения; ст — тензор напряжений Коши; E — модуль упругости; Ey — модуль упрочнения; 8p — тензор пластической деформации; 8p — тензор скорости пластической деформации; sy — деформация, соответствующая началу упрочнения;

smax — деформация, накопленная к началу следующего цикла;

smax — предельная деформация при стандартных испытаниях на растяжение;

Asp — размах пластической деформации полуцикла нагружения;

±сту — предел текучести материала при растяжении, сжатии;

±сту — предел текучести материала при растяжении, сжатии с учетом упрочнения; s = сту/ сту — относительный предел текучести материала;

сш — максимальное напряжение в цикле;

5 — раскрытие фиктивной трещины в модели Даг-

дейла;

5f — раскрытие фиктивной трещины при нагру-жении;

5b — раскрытие фиктивной трещины при разгрузке; 50 — раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины;

5^ — раскрытие фиктивной трещины при нагру-жении с учетом упрочнения;

5|b — раскрытие фиктивной трещины при разгрузке с учетом упрочнения;

5о s — раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины при нагружении с учетом упрочнения;

5о s — раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины при разгрузке с учетом упрочнения; f

uy — перемещение верхнего берега фиктивной трещины при нагружении;

иу — перемещение верхнего берега фиктивной трещины при разгрузке;

АKI — размах коэффициента интенсивности напряжений при нагружении по моде I; ^тах — максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений в цикле;

— минимальное значение коэффициента интенсивности напряжений в цикле; Ap — область генерации тепла в окрестности вершины трещины;

GIc — параметр трещиностойкости;

^ — поперечник зоны пластичности;

гь — длина обратной циклической пластической

зоны;

гр — длина первичной пластической зоны; a — длина обратной циклической пластической зоны с учетом упрочнения;

а — относительный размер обратной циклической пластической зоны с учетом упрочнения; ^ — длина реальной трещины в модели Дагдейла; l — длина фиктивной трещины в модели Дагдейла;

h — толщина пластины. 1. Введение

Согласно многочисленным экспериментальным исследованиям, вблизи вершины неподвижной, бегущей и усталостной трещины наблюдается повышение температуры, вызванное пластическим деформированием материала [1-8]. Причинами нагрева локализованной области могут являться адиабатические условия, а также физико-химические процессы, происходящие в деформированном материале. Несмотря на то что в случае усталостной трещины тепловой эффект, обусловленный пластичностью, экспериментально достаточно широко и многосторонне изучен, ограниченное число аналитических [9, 10], численных [3, 8, 11-13] исследований посвящено определению рассеиваемой за один цикл нагружения энергии. Между тем диссипация энергии в окрестности вершины трещины является важной характеристикой материала. В теории роста усталостной трещины [11], основанной на энергетическом подходе [14], она выступает в качестве основного параметра роста тещины и имеет вид [11]

Wp = Ц( р )аЛ, (1)

где циклический интеграл определяет количество превращаемой в теплоту энергии, пропорциональной площади петли ст-е механического гистерези-

МО

МО

Рис. 1. Линейный и однородный тепловые источники в

окрестности вершины трещины при нагружении по

моде I

са и сосредоточенной в каждой точке области генерации тепла Ар, а последующее интегрирование по области Ар обеспечивает полное рассеивание пластической энергии за цикл; ст — тензор напряжений Коши; е р — тензор пластической деформации, р = 0.85-1.00 [15] — доля мощности диссипации энергии Жр = стер, перешедшей в тепло. Поскольку для большинства материалов точно определить величину Wр не представляется возможным, для ее нахождения используются аналитические аппроксимации и метод конечных элементов.

На сегодняшний день известны два аналитических подхода, позволяющие получить количественные оценки величины Wр в окрестности вершины усталостной трещины. В рамках первого подхода предполагается, что диссипация энергии наблюдается только в обратной циклической зоне пластичности, формирующейся на втором этапе цикла нагружения, размер которой, как правило, очень мал. Зону генерации тепла Ар представляют в виде мгновенного линейного источника теплоты, расположенного в центре обратной циклической пластической зоны. Иногда вместо линейного источника рассматривают однородный источник теплоты, помещенный внутрь цилиндра с осью, проходящей через центр обратной циклической пластической зоны перпендикулярно фронту трещины (рис. 1), что позволяет впоследствии при решении термомеханических задач не получить в точке возникновения теплового источника бесконечно высокую температуру. На рис. 1 гь — радиус обратной циклической пластической зоны. При этом полагается, что мощность диссипации энергии на единицу длины фронта трещины пропорциональна площади обратной циклической пластической зо-

ны, частоте нагружения / и вычисляется по формуле [16]

Ж р = /ЛГ?, (2)

где л — коэффициент, зависящий от свойств материала. Для вычисления гь для отнулевого цикла нагружения по моде I используется оценка [17]: гь = гр/4, где гр — длина первичной зоны пластичности на линии продолжения трещины, определяемой в рамках линейной механики разрушения. Такой подход не учитывает вклад фактического расширения (закрытия) трещины в пластическую диссипацию за цикл нагружения и эволюцию тепловыделения в окрестности вершины трещины, поскольку величина Жр, согласно формуле (2), сохраняет свои значения на протяжении всего процесса нагружения (гр и гь практически не меняются с ростом числа циклов нагружения [8]).

Между тем интересно аналитически проследить изменение тепловыделения при циклическом нагружении и сравнить с результатами, полученными экспериментально в [8]. Такую возможность дает второй подход, в основе которого лежит предположение [17, 18] о том, что энергия гистерезиса одного цикла усталости для трещины Даг-дейла может быть аппроксимирована посредством параметра трещиностойкости О^. При этом рассматривается модифицированная модель Дагдейла с учетом эффекта разгрузки, а диссипация энергии в окрестности вершины усталостной трещины за цикл нагружения вычисляется по формуле [9]

гь

Wр = 2рсту \ 5(х)6х = 2р^с, (3)

0

где сту — предел текучести материала; 5(х) — закрытие фиктивной трещины в модели Дагдейла. Интеграл (3) представляет собой общую работу, совершаемую силами ст^ по закрытию трещины на величину 5(х) при 0< х < гь во время разгрузки. Заметим, что под гь теперь понимается длина циклической пластической зоны на линии продолжения трещины. Коэффициент 2 перед интегралом в (3) указывает на то, что предполагаемая общая работа за цикл в 2 раза больше работы, совершенной во время разгрузки.

То обстоятельство, что оба подхода привлекают для решения упругопластических задач методы классической теории упругости, нисколько не умаляет их ценности. Следует отметить, что линейная механика упругого разрушения довольно

Рис. 2. Пластические деформации при циклическом нагружении в вершине стационарной трещины после первого цикла нагружения (а), на втором цикле нагружения (б), после условно пяти циклов нагружения (в). N — число циклов нагру-жения

часто применяется для анализа распространения усталостной трещины.

Хотя второй подход способен учитывать вклад раскрытия (закрытия) трещины при нагрузке (разгрузке) в пластическую диссипацию, фактически он используется для определения диссипации энергии при закрытии трещины. Объясняется это тем, что основное тепловыделение при нагружении и разгрузке происходит в обратной циклической пластической зоне. Между тем, согласно последним экспериментальным и численным исследованиям [8], при усталостном нагружении по моде I пластины из алюминиевого сплава с трещиной энергия сосредотачивается как в прямой, так и в обратной циклических пластических зонах.

Как известно, при усталостном нагружении по моде I перед вершиной трещины формируются первичная и вторичная зоны пластичности [19]. Первичная пластическая зона образуется во время первой фазы цикла нагружения, вторичная или циклическая пластическая зона — в течение последующего нагружения (рис. 2). В свою очередь циклическая пластическая зона подразделяется еще на две зоны пластичности: прямую циклическую пластическую зону, развивающуюся на восходящей ветви цикла нагружения, и значительно меньшую обратную циклическую пластическую зону, появляющуюся во время разгрузки [8]. Первичная и вторичная зоны пластичности — актив-

ные. В них происходит термопластический нагрев за счет того, что мощность диссипации энергии Жр положительна. Продвигаясь вперед, трещина оставляет за собой пластический след — неактивную зону пластичности. В ней нагревания не происходит, т.к. Жр = 0, но осаждается остаточная энергия деформации, которая медленно рассеивается за счет теплопроводности и уже не оказывает влияния на неупругую деформацию перед фронтом трещины. Согласно [8], энергия в основном аккумулируется непосредственно вблизи от вершины трещины: в области, окрашенной на рис. 2 в черный цвет и занимающей лишь небольшую часть циклической пластической зоны. В ней накапливается в 4-6 раз больше энергии, чем в остальной части циклической пластической зоны, окрашенной в серый цвет. Рисунок 2 схематично отражает результат, полученный в [8]. Более детальное понимание того, что собой представляет эта область, дают экспериментальные исследования [2], показывающие, что источником теплообразования в окрестности вершины трещины в металлическом образце являются лишь мезополосы скольжения, пересекающиеся под углом 45° к линии продолжения плоскости трещины и занимающие относительно небольшую долю зоны пластичности. В них за счет распространения с высокой скоростью тепловых волн в направлениях действия максимальных касательных напряжений тем-

пература деформированного металла выше, чем в соседних областях. При этом более существенное повышение температуры наблюдается в месте пересечения мезополос скольжения перед вершиной трещины.

Таким образом, тепловыделение происходит как в прямой, так и в обратной циклической пластической зоне; интенсивнее тепло выделяется в месте пересечения мезополос скольжения. При этом за счет того, что размер прямой циклической пластической зоны всегда намного больше размера обратной циклической пластической зоны, диссипация энергии в прямой циклической пластической зоне также значительнее [8]. Кроме того, согласно [8], с увеличением числа циклов тепловыделение сначала монотонно снижается как в прямой, так и в обратной циклических пластических зонах. При этом если со временем поступление энергии в обратную циклическую пластическую зону полностью прекращается в силу исчерпания пластичности в этой зоне, то тепловыделение в прямой циклической пластической зоне после определенного числа циклов нагружения снова начинает увеличиваться.

Такое различие в характере тепловыделения обусловлено эволюцией дислокационных структур при пластической деформации в локальной зоне макроконцентратора напряжений. В неоднородном поле внутренних напряжений в окрестности вершины трещины происходят структурные перестройки в дефектной подсистеме от хаотического распределения дислокаций к более организованному с образованием ячеек и фрагментов. На рис. 3 показана схема эволюции структурных перестроек в дефектной подсистеме, происходящих в окрестности вершины трещины. Области 1, 2, 3, 4 на рис. 3 соответствуют хаотической, ячеистой, фраг-ментированной, рыхлой или критической фрагмен-тированной структурам материала. Ячеистая структура приводит к остаточному изменению объема. Полосовая дислокационная структура служит основой для образования микротрещин. Рыхлая структура способствует возникновению микропор, микротрещин, продвижению усталостной трещины как завершающей стадии неравновесного структурно-фазового перехода в локальной зоне макроконцентратора напряжений. В области с наибольшей концентрацией дислокаций и дисклинаций, в обратной циклической пластической зоне, образуется развитая фрагментированная структура [20], внутри которой, в месте пересечения мезополос локализованной деформации, пластическая дефор-

мация сопровождается химической нестабильностью: многократными актами образования и разрыва ковалентной связи между атомами в ядрах дислокаций и точечными стопорами (например примесными атомами), т. е. своего рода многократно повторяющимися химическими реакциями между дефектами в микрореакторах [21]. В результате в месте пересечения мезополос скольжения температура повышается в том числе из-за потерь на внутреннее трение, что дополнительно активирует генерирование структур предплавления, вызывающих взаимосогласованное, автокаталитическое размножение дефектов. Такая нестабильность со временем приводит к образованию в непосредственной близости от вершины трещины критической фрагментированной структуры, не способной к дальнейшей эволюции и исчерпавшей возможности аккомодационной подстройки, исчерпанию пластичности и развитию несплошностей разного масштаба. Таким образом, область с наиболее интенсивной генерацией тепла с ростом циклов нагру-жения перестает вырабатывать тепло и поступление энергии в обратную циклическую пластическую зону полностью прекращается, что позволяет предположить, что критическая зона пластичности со временем вырастает до размеров обратной циклической пластической зоны. Однако в прямой циклической пластической зоне, превосходящей обратную по размеру и отстающей от обратной циклической пластической зоны в эволюционном развитии, дислокационная структура продолжает эволюционировать: при повышении концентрации дислокаций происходят перестройки структуры материала в наиболее энергетически выгодные для восприятия данной нагрузки. Эти перестройки со-

í í ! Í

lili

Рис. 3. Схема эволюции дислокационной подсистемы в окрестности вершины трещины: 1 — хаотическое распределение, 2 — ячеисто-сетчатая структура, 3 — полосовая фрагментированная структура, 4 — рыхлая структура

провождаются диссипациеи энергии, что приводит к увеличению тепловыделения в прямой циклической пластической зоне после определенного числа циклов нагружения.

Таким образом, представление [11] о том, что полную энергию за цикл следует последовательно вычислять в прямой, обратной циклических пластических зонах, обосновано экспериментально и численно в [8], с помощью анализа процессов самоорганизации дислокаций в окрестности вершины трещины — в настоящей статье. При этом следует понимать, что диссипация энергии в этих зонах происходит неоднородным образом. Предположим, для упрощения понимания сути процесса, что механические характеристики материала, а также механизмы разрушения не меняются под воздействием высокой температуры у вершины трещины. Поскольку речь идет о количественном энергетическом анализе в окрестности вершины трещины, а размеры области наиболее интенсивного выделения тепла до конца не ясны, воспользуемся концепцией конечных частиц Нейбера и заменим неоднородность тепловыделения некоторой осредненной по объему характеристикой, что позволит воспользоваться вторым подходом для определения величины Wp. Отметим, что существуют попытки создать более точные модели [22, 23], где накопление энергии происходит в некоторой части обратной циклической зоны, однако их зависимость от измеряемых данных лишает их преимущества.

Цель настоящей работы заключается в получении в рамках второго подхода простой аналитической формулы для оценки величины диссипации энергии в окрестности вершины усталостной трещины за один цикл нагружения, последовательно вычисляемой в прямой, обратной циклических пластических зонах для идеально-упругопласти-ческого материала и упругопластического материала с изотропным билинейным упрочнением; в сравнении значений, вычисленных по этой формуле, со значениями, определенными в [8].

2. Оценка диссипации энергии в окрестности вершины трещины за один цикл нагружения для идеально-упругопластического материала

Оценку величины диссипации энергии Wp за цикл нагружения получим, находясь в рамках второго подхода. Поскольку энергия аккумулируется как в прямой, так и в обратной циклической пластической зоне, перепишем формулу (3) в виде

(4)

Wp =ßjcy ôf( x)dx, Wp =ßjay5b( x)dx, 0 0 где Wfp, Wbp — величины диссипации энергии при нагружении и разгрузке; ôf(x), ôb(x) — величины раскрытия фиктивной трещины Дагдейла при нагружении и разгрузке. Формально модель Дагдейла [24] эквивалентна моделям хрупкого разрушения Баренблатта [25] и Леонова-Панасюка [26, 27]. Поскольку в дальнейшем все вычисления будут связаны с этими моделями, кратко изложим суть одной из них — модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. В этой модели реальная центральная трещина нормального отрыва, расположенная вдоль оси x, со свободными от напряжений поверхностями длиной 2l0 заменяется фиктивной трещиной длины 2l = 2(l0 + rp). В отличие от линейной задачи концевые области фиктивной трещины остаются заполненными пластически деформированным материалом. Поскольку предполагается, что материал идеально-упругопластический, его скрепляющее действие может быть эквивалентно заменено постоянным напряжением, равным пределу текучести cy при монотонной нагрузке. Таким образом, вместо исходной трещины с пластическими зонами рассматривается фиктивная трещина без пластических зон, но дополнительно нагруженная на концевых участках стягивающими напряжениями cy. В силу равномерного распределения напряжений в пластической зоне, эффектом упрочнения пренебрегаем. Раскрытие берегов фиктивной трещины при нагружении и разгрузке определяется формулами

ôf( x) = 2u f( x), ôb( x) = 2Ыу( x).

Определим перемещения берегов фиктивной трещины uy (x), ujb (x) вдоль оси y для этапа нагружения и разгрузки для моделей Дагдейла-Баренблат-та и Леонова-Панасюка-Дагдейла.

2.1. Смещения берегов фиктивной трещины

для этапа нагружения f

Перемещение uy(x) верхнего берега фиктивной трещины для модели Дагдейла-Баренблатта, согласно [17, 28], при условии, что начало системы координат расположено в вершине реальной трещины, имеет вид

2uy (x) = g(x/rp)Ô0, 0 < x < Гр,

(5)

где

Wp = Wfp

■WP,

g G)=vri-fiog

i

1 -л/14

(6)

Раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины и продольный размер первичной пластической зоны соответственно равны

5о = 2и У(0) =

пБ

_ п Гр ="о

АК1

ау

V у У

(7)

где АК1 = К1 тах - К1 т1п — размах коэффициента интенсивности напряжений при нагружении по моде I; К1 тах, К1 т1п— максимальное и минимальное значение коэффициента интенсивности напряжений в цикле. В дальнейшем будем рассматривать отнулевой цикл нагружения, при котором

К 1,тт = „

Перемещение иу(х) верхнего берега фиктивной трещины для модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла и упругопластического аналога задачи Гриф-фитса, при условии, что начало системы координат расположено в центре реальной трещины, имеет вид [29]

иУ(х) = ^т[(х -/ о)Г(/° + ^ x, /°) - (х +/°) пБ

а.

хГ(/° + Гр, х, -1°)] + 2Б

Б

а.

у

—агееоБ——

п /° + к

р У

7(/°+кр)2 -х2, н -1°+кp,

(8)

где

Г(/, х, О = ^

/2 - х^-У(/2 - х2)(/2 -^2) /2 - х^ + 4(/2 - х2)(/2 -^2)

/ = /° + кр, = атах — максимальное напряжение в цикле; Б — модуль упругости.

Рис. 4. Безразмерные перемещения концевого участка верхнего берега фиктивной трещины для моделей Ле-онова-Панасюка-Дагдейла (Л-П-Д), Дагдейла-Барен-блатта (Д-Б)

На рис. 4 показаны безразмерные перемещения точек верхнего берега фиктивной трещины, вычисленные по формулам (5), (8) при ау/= 4 и ау/а<» = 5. Заметим, что существенно отличающиеся формулы (5), (8) дают близкие результаты. Кроме того, кривые 1, 2 на рис. 4 можно аппроксимировать прямыми (пунктирные линии на рис. 4), что в дальнейшем позволит значительно упростить расчеты.

2.2. Смещение берегов фиктивной трещины для этапа разгрузки

Для этапа разгрузки формулы (5), (8) не могут быть использованы. При разгрузке стационарной трещины возникает обратный пластический поток при сжимающих напряжениях -ау. Размер обратной циклической пластической зоны при отнуле-вом цикле нагружения определяется как кь = кр/4 [17, 28]. Формула, определяющая остаточное раскрытие берегов трещины для модифицированной модели Дагдейла-Баренблатта, в интервале 0 - х -кь при К1 т1п = 0 имеет вид [28]

2и уь( х) = g

г \ х

к

V р У

Я 1

Я0 — 0 2

^4 хЛ

к

V р У

(9)

В интервале кь - х - кр смещение берегов останется таким же, каким его определяет формула (5) при неизменном К1тах. Обратим внимание, что раскрытие в вершине реальной трещины уменьшается вдвое по сравнению со значением, вычисленным при К1 = К1тах. Очевидно, что для модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла основные моменты, обозначенные формулой (8), также должны повториться, а именно: раскрытие в вершине реальной трещины должно уменьшиться вдвое; при кь - х - кр смещение берегов для этапа разгрузки определяется формулой (8). На рис. 5 представлены перемещения верхнего берега фиктивной трещины при нагружении и разгрузке, вычисленные по формулам (5), (9) для модели Даг-дейла-Баренблатта. Цветом на рис. 5 обозначены концевые области фиктивной трещины, заполненные пластически деформированным материалом. На рис. 6 пунктирные линии соответствуют перемещениям берегов фиктивной трещины при на-гружении иу(х) и разгрузке их) (0 - х - кр) для моделей Дагдейла-Баренблатта и Леонова-Пана-сюка-Дагдейла.

Рис. 5. Перемещения u y, u y концевого участка верхнего берега усталостной стационарной фиктивной трещины для модели Дагдейла-Баренблатта при нагружении (а) и разгрузке (б)

Интегралы (4) представляют собой удвоенные площади криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций uy(x), ub(x). Заметим, что кривые, отображенные на рис. 6 пунктирными линиями, можно аппроксимировать прямыми, вычислить необходимые площади, зная величины ay, rp, So, и получить приближенные значения Wfp, WbP, Wр, не прибегая к прямым вычислениям. Таким образом, приближенные значения Wfp , Wbp найдем, вычисляя площади трапеций A1A5A3A4 и A1A2A3A4 соответственно. Тогда величины диссипаций энергии при нагружении Wfp и разгрузке WbP на единицу толщины пластины с трещиной для первого цикла нагружения запишутся в виде

Wfp = ßJayöf( x)dx

ßQy rb(Ö0 + 2uy(rb))

p rb b ßay rb(ô0/2 + 2ub(rb))

Wbp = ßJ ayôb(x)dx « y bV 0/-

02

(10)

Значения Wfp, Wbp, Wp для моделей Дагдейла-Баренблатта, Леонова-Панасюка-Дагдейла полу-

чим, подставляя в (10) формулы (7), (9) и формулы (7), (8) соответственно, принимая, что

^У(гь) = и Уь(гь). Значения интегралов (4) для модели Дагдейла-

Баренблатта можно вычислить и точно. В этом случае диссипации энергии в прямой и обратной циклических пластических зонах на единицу толщины пластины с трещиной будут иметь вид

Щр = р] сту5Чх)ах = рсту50Гр

- - — +—(-32 +18^3 - 3 log(2 + S)) 3 4 96

Wbp = ßJ ayôb( x)dx = ßay00rp

0

-- — +—(32 + 18^3 - 3log(2 + V3)) 8 4 96

(11)

В [9] формула (9) была модифицирована, раскрытие 5ь( х) фиктивной трещины Дагдейла при разгрузке принималось в виде

Рис. 6. Аппроксимация криволинейных трапеций прямолинейными для моделей Дагдейла-Баренблатта (а), Леонова-Панасюка-Дагдейла (б)

Таблица 1. Оценки полной диссипации энергии, диссипации энергии при нагружении, разгрузке, определенные в [8] и с помощью модифицированных моделей Дагдейла-Баренблатта, Леонова-Панасюка-Дагдейла

№ Модели и методы решений Wfp, мДж (Р = 1) Wbp, мДж (Р = 1) W р, мДж (Р = 1) W р, мДж (Р = 0.85)

1 Экспериментально-численное решение [8] 10.500 8.500 19.000 19.000

2 Модель Д-Б (точное решение) 13.448 10.401 23.850 20.273

3 Модель Д-Б (приближенное решение) 14.045 9.476 23.522 19.994

4 Модель Л-П-Д (приближенное решение) 14.581 10.111 24.592 20.903

5 Модель Д-Б, модификация [9] (точное решение) - 3.046 6.093 5.179

( \

5 (x) = 2аоg

arp

v р /

5о,0 < x < rb,

где

1

к

1 min

л2

Km

1

(

AKт

2

Km

max J V max J

Полная диссипация энергии за цикл определялась по формуле (3) и имела вид

Wbp = 2payJ 5b( x)dx =

лрАКт4 96ЕаУ

(12)

0 96Есту

В табл. 1 приведены значения величин Жр, Жр, Жр для первого цикла нагружения пластины из алюминиевого сплава толщины Н = 0.002 м с трещиной длины 10 = 0.02 м, полученные в рамках экспериментально-численного метода [8] и с помощью теоретических моделей Дагдейла-Баренблатта, Леонова-Панасюка-Дагдейла. Параметры на-гружения и механические характеристики алюминиевого сплава АА2024-Т3 (93.5А1, 4.4Си, 0.6Мп, 1.5Mg) приведены в табл. 2.

Первая строка значений величин Щр, Жьр, Жр в табл. 1 соответствует данным [8]. В [8] с помощью программного обеспечения АИАМК [30], позволяющего проводить цифровую корреляцию изображений, поле смещений, полученное экспериментальным путем, было оцифровано и отображено на сетку 3^БЕ-модели в А№У8. После чего были проведены численный расчет соответствующих полей напряжений и деформаций для каждого шага нагрузки; разложение полного поля деформации на его упругую и пластическую части; отбор всех конечных элементов, подвергающихся пластической деформации, и получение результа-

тов. Материал модели выбирался упругопластиче-ским с билинейным изотропным упрочнением.

Строки 2-4 значений величин Щр, Жьр, Жр в табл. 1 соответствуют точному решению, полученному с помощью формул (4), (11), и приближенным решениям, полученным с помощью формул (5), (7), (9), (10) и (7), (8), (10) в рамках модифицированных моделей Дагдейла-Баренблатта и Лео-нова-Панасюка-Дагдейла. В последней строке табл. 1 находятся значения, определенные с помощью формулы (12) [9]. Согласно табл. 1, за исключением решения, найденного в [9] (последняя строка таблицы), значения Щр, Щр, Жр, полученные с помощью расчетных моделей Дагдейла-Ба-ренблатта и Леонова-Панасюка-Дагдейла (точные или приближенные) при р = 0.85, находятся в хорошем согласовании с экспериментально-численным решением [8]. Длины первичной пластической зоны, вычисленные экспериментально гр = 2.5 -10_3 м и теоретически гр = 2.969 -10_3 м по формуле (7), также неплохо согласуются. Заметим, что интегралы (4) точно были вычислены только для модели Дагдейла-Баренблатта, решение задачи Леонова-Панасюка-Дагдейла (8) слишком громоздкое для интегрирования. Приближенное решение (10) позволило оценить интегралы (4) и для модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Таким образом, для определения величины диссипации энергии в окрестности вершины усталостной трещины за первый цикл нагружения можно пользоваться как формулами (4), (10), так и формулами (4), (11). Как будет показано ниже, получить точное решение для модели Дагдейла-Баренблатта с эффектом упрочнения будет сложнее. Немного измененные формулы (10) для приближенного реше-

Таблица 2. Параметры нагружения и механические характеристики для алюминиевого сплава АА2024-Т3 [8]

Материал E, ГПа Ey, МПа сту, МПа V Кт)1тп, МПа • м1/2 Кт)1Ш1х, МПа • м1/2

AA2024-T3 [8] 73.1 984 345 0.33 0 30

Рис. 7. Диаграмма циклического упругопластического деформирования с билинейным изотропным упрочнением (а); иллюстрации к деформационному критерию разрушения (б, в)

ния позволят легко вычислить величину диссипации энергии за цикл нагружения.

3. Оценка величины диссипации энергии в окрестности вершины трещины с учетом эффекта циклического упрочнения

Для того чтобы учесть предполагаемый эффект изменения предела текучести в области перед вершиной трещины, которая подвергается многократному обратному пластическому течению, воспользуемся модификацией модели Дагдейла-Баренб-латта, представленной в [28]. Исходные пределы текучести при растяжении и сжатии по-прежнему будут обозначаться через ±ау, пределы текучести с учетом упрочнения (или разупрочнения) — через ±ау, длина первичной пластической зоны остается равной кр, поскольку ее объем при цикли-ровании практически не меняется [8]. Общее изменение объема обратной циклической пластической зоны составляет примерно 10 % от ее первоначального объема. Относительный объем прямой циклической пластической зоны в более толстом листе остается сравнительно постоянным, в более тонком — уменьшается в 2.5 раза [8]. Обозначим за а новую длину обратной циклической пластической зоны, а = а/кр — относительный размер обратной циклической пластической зоны с учетом упрочнения. Согласно [28]

а = -

]_

4s2

г К - К л2

^ тах ^тт

К0

(13)

где К0 = 2ау^2кр/п, s = ау/ау. Для материала с билинейным изотропным упрочнением

s = 1 + Бу

Б

1 Л

8

(14)

где 8у =ау/Б — деформация, предположительно соответствующая началу упрочнения; 8 = 8тах = 8у + NА8р — накопленная деформация к началу следующего цикла; А8р— размах пластической деформации полуцикла нагружения; Бу — модуль упрочнения (рис. 7, а).

Зависимости величин s и а от деформации для

-3

значений из табл. 2 и кр = 2.969 -10 м, найденные с помощью формул (13), (14), отображены на рис. 8.

Величину А8р определим из деформационного критерия разрушения [31]

50,в = ЬуА8р = Ьу(4ах -8у)

= 1.25/0(ау/)-2(8^ -8у), (15)

где 80§— раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины при растяжении с учетом упрочнения; 8тах— предельная деформация при стандартных испытаниях на растяжение; Ну — поперечник зоны пластичности (см. рис. 7, б, в). Тогда

Де = (а у/^ )2 50,8

р 1.25/0

(16)

у

Для квазистатической трещины в процессе цик-лирования происходит накопление суммарной пластической деформации в зависимости от числа полуциклов. При этом для циклически-упрочняю-щихся материалов остаточная деформация А8р за полуцикл уменьшается с числом циклов и стремится к некоторой постоянной величине. На рис. 9 показано изменение ширины петли гистерезиса А8р с ростом числа циклов нагружения N для алюминиевого сплава ЛЛ2024-Т3, вычисленное по формуле (16).

Поскольку ожидаемая скорость распространения трещин в сплаве ЛЛ2024-Т3 при К1 тах =

Рис. 8. Изменение относительного предела текучести (а) и относительного размера обратной циклической пластической зоны (б) с учетом упрочнения для алюминиевого сплава ЛЛ2024-Т3 с ростом деформации

30 МПа - м1/2 всего около 2.7-10-6 м/цикл [32], максимальное изменение длины трещины в течение 30 циклов нагрузки — менее 1.0 -10-4 м с каждой стороны трещины [8], что составляет только около 0.5 % начальной длины трещины (/0= 0.02 м), рост трещины предполагается квазистатическим, а использование критерия (15) уместным.

На этапе нагружения (разгрузки) при К = Ктах (К = Ктт) решение задачи Дагдейла-Баренблатта для материала с упрочнением должно удовлетворять следующим условиям: на концевых участках фиктивной трещины при 0 - х - а действуют напряжения ау (-ау), при а - х - кр — напряжения ау (-ау) (рис. 10). Тогда раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины при х = 0 при растяжении, сжатии с учетом упрочнения можно записать в виде [28]

1

50,8 (0) = 5(

Кт

К0

^ -1) ^

а

1 -л/Г-

а

5^(0) = 5

0,8

2sа

^ -1)

(17)

Рис. 9. Изменение ширины петли гистерезиса с ростом числа циклов нагружения

л/1 -а +—1о2 2

1 + л/Т-

а

1 -ТТ

а

-1

К0 = 2а у^2кр/ п. Раскрытие фиктивной трещины с учетом упрочнения при К = Ктп1 и К = Ктах соответственно имеет вид [28]

5^ (х) = 2и у( х) = g (4, а, s )50 - 2 sаg (4/а)50, 0 -4-а (0 - х - а), 5Ь (х) = 2иу (х) = g(4, а, s)50 = {[s - (s -1)71-^] х УП - s4f!(4) + (s -1)(4 - аЖ4, а)}50,

/1(4) = - g '(4) =

1

ч(4, а) = 21о§

1

1 ^лДЧ а + ^1-4

Функция g(4) определяется формулой (6). Поскольку при 4 = а функция g (441а) = 0, то

5^( а) = 5Ь(а) = 50{[ s -(s -1)71^]

1 -а ^а/^а)}. (18)

На рис. 10 схематично представлены перемещения концевого участка верхнего берега фиктивной трещины при нагружении иу и разгрузке иу для модели Дагдейла-Баренблатта с учетом упрочнения.

Перепишем формулы (10) в виде

W? =р|ау5^( х)ах; 0

Жьр = р|ау 5Ь( х)ах

0

Рау а (50 + 5^(а))

рау а(5* +5Ь(а))

(19)

Подставляя формулы (13), (14), (16)-(18) в (19), получим значения диссипации энергии при нагружении Ж/ и разгрузке Жьр в прямой и обратной циклических пластических зонах соответственно.

Рис. 10. Перемещения концевого участка верхнего берега усталостной стационарной фиктивной трещины с учетом упрочнения для модели Дагдейла-Баренблатта при нагружении (а) и разгрузке (б). сту — напряжение вдоль оси Оу

При 5 = 1 формулы (19) совпадают с формулами (10).

Рисунок 11 демонстрирует изменение диссипации энергии в обратной и прямой циклических пластических зонах с ростом числа циклов нагру-жения, а также сравнение значений Ж/р, Жьр, полученных теоретическим (формулы (19)) и экспериментально-численным [8] способами для алюминиевого сплава АА2024-Т3 с параметрами на-гружения и механическими характеристиками, приведенными в табл. 2 для пластины толщины Н = 0.002 м. Кривые 1 и 2 на рис. 11 соответствуют графикам функций, полученным теоретическим и экспериментальным путем. Заметим, что диссипация энергии Жьр в обратной циклической пластической зоне, представленная кривыми 1 и 2, монотонно убывает с ростом числа циклов нагружения и принимает значение близкое к нулю при N = 30. Такое поведение кривых можно объяснить исчерпанием пластичности в окрестности вершины трещины в результате упрочнения материала, когда с

изменением циклического предела текучести неупругие деформации необратимо уменьшаются. На рис. 11, а теоретические кривые 1 получены при а = а/гр = 0.25, а = Гь, т.е. при условии, что размер обратной циклической пластической зоны не меняется при циклировании. При а, меняющемся в соответствии с формулой (13) [28], величина Жьр убывает с ростом N значительно медленнее и при N = 30 имеет значение Жьр « 6 мДж (рис. 11, б), что плохо согласуется с экспериментальными данными [8]. Уменьшение значений величин а, а с ростом деформации (см. рис. 8, б) приводит к уменьшению области упрочняющегося материала перед вершиной трещины, поскольку происходит сужение интервала [0, а] на концевых участках фиктивной трещины, где действуют напряжения ст у (-ст у) (см. рис. 10), что приводит к увеличению пластичности и замедлению убывания величины диссипации энергии Жьр.

Кривые 1, 2, соответствующие изменению диссипации энергии в прямой циклической пластичес-

Рис. 11. Сравнение теоретических (кривые 1) и экспериментальных [8] (кривые 2) значений Ж/1, Жьр за цикл нагружения при а = 0.25 (а); теоретические значения Ж/1, Жьр, вычисленные при а(^) (б)

кой зоне с ростом числа циклов нагружения, монотонно убывают в течение десяти циклов нагружения, после чего экспериментальные значения Ж/р начинают монотонно возрастать, в то время как теоретические значения продолжают монотонно убывать. До конца не ясно, чем вызван рост значений Ж/р с ростом циклов нагружения, если учесть, что относительный объем прямой циклической пластической зоны в алюминиевом листе толщины Н = 0.002 м уменьшается в 2.5 раза после шести циклов нагружения [8]. Объяснить это можно только перестройкой дислокационной подсистемы в более организованную структуру и сопровождающим эту перестройку процессом выделения тепла. Представленная теоретическая модель такой переход уловить не может. В любом случае, поскольку достоверность наблюдений в [8], как утверждают авторы, ограничивается конкретной конфигурацией, а эволюция пластической зоны сильно зависит от уровня нагрузки, длины трещины, толщины и ширины листа, теоретические формулы (19) для определения величины диссипации энергии в окрестности вершины трещины могут считаться приемлемыми.

4. Заключение

Определение механической ситуации в окрестности фронта трещины с помощью математического аппарата механики сплошной среды позволяет говорить о некоторых осредненных макрохарактеристиках материала. Однако при такой общности теряется точность. Кроме того, при определении величины диссипации энергии в окрестности вершины трещины за цикл нагружения были внесены дополнительные упрощения: аппроксимация энергии гистерезиса одного цикла усталости для трещины Дагдейла посредством параметра трещи-ностойкости, использование моделей Дагдейла-Баренблатта и Леонова-Панасюка-Дагдейла, имеющих пределы допустимости. Тем не менее, несмотря на все ограничения, математическая простота подхода Райса [17], Линдли и Маккартни [18] и этих моделей позволяет оценить величину диссипации энергии в окрестности вершины трещины при нагружении и разгрузке для материала с упрочнением и без и получить хорошее согласование с экспериментальными результатами, особенно для первого цикла нагружения.

Литература

1. Toussaint R., Lengline O., Santucci S., Vincent-Dospi-tal T., Muriel N., Maloy K.J. How cracks are hot and cool: a burning issue for paper // Soft Matter. - 2016. -V. 12(25). - P. 5563-5571. - doi 10.1039/c6sm00615a

2. Мойсейчик Е.А. Исследование теплообразования и зарождения разрушения в стальной растянутой пластине с конструктивно-технологическим дефектом // ПМТФ. - 2013. - Т. 54. - № 1. - С. 134-142.

3. Meneghetti G., Ricotta M. Evaluating the heat energy dissipated in a small volume surrounding the tip of a fatigue crack // Int. J. Fatigue. - 2016. - V. 92(2). -P. 605-615. - doi 10.1016/j.ijfatigue.2016.04.001

4. Vshivkov А., Iziumova A., Bar U., Plekhov O. Experimental study of heat dissipation at the crack tip during fatigue crack propagation // Fract. Struct. Integrity. -2016. - V. 10(35). - P. 57-63. - doi 10.3221/TGF-ESTS.35.07

5. Изюмова А.Ю., Плехов О.А., Вшивков А.Н., Прохоров А.А., Уваров С.В. Исследование скорости диссипации энергии в вершине усталостной трещины // Письма в ЖТФ. - 2014. - T. 40(18).

6. Bar J., Seifert S. Investigation of energy dissipation and plastic zone size during fatigue crack propagation in a high-alloyed steel // Proc. Mater. Sci. - 2014. - V. 3. -P. 408-413. - doi 10.1016/j.mspro.2014.06.068

7. Терехина А.И., Банников М.В., Плехов О.А., Плехо-ва Э.В. Экспериментальное исследование генерации тепла в вершине усталостной трещины // Письма в ЖТФ. - 2012. - Т. 38. - № 16. - С. 9-15.

8. Besel M., Breitbarth E. Advanced analysis of crack tip plastic zone under cyclic loading // Tnt. J. Fatigue. -2016. - V. 93. - P. 92-108. - doi 10.1016/j.ijfatigue. 2016.08.013

9. Short J.S, Hoeppner D.W. A global/local theory of fatigue crack propagation // Eng. Fract. Mech. - 1989. -V. 33. - No. 2. - P. 175-184.

10. Ranc N., Palin-Luc T., Paris P. Thermal effect of plastic dissipation at the crack tip on the stress intensity factor under cyclic loading // Eng. Fract. Mech. -2011. - V. 78(6). - P. 961-972.

11. Klingbeil N. A total dissipated energy theory of fatigue crack growth in ductile solids // Tnt. J. Fatigue. -2003. - V. 25(2). - P. 117-128. - doi 10.1016/s0142-1123(02)00073-7

12. Ondracek J., Materna A. FEM evaluation of the dissipated energy in front of a crack tip under 2D mixed mode loading condition // Proc. Mater. Sci. - 2014. -V. 3. - P. 673-678. - doi 10.1016/j.mspro.2014.06.111

13. Nittur P.G., Karlsson A.M., Carlsson L.A. Implementation of a plastically dissipated energy criterion for three dimensional modeling of fatigue crack growth // Tnt. J. Fatigue. - 2013. - V. 54. - P. 47-55. - doi 10.1016/j. ijfatigue.2013.04.011

14. Bodner S.R., Davidson D.L., Lankford J. A description of fatigue crack growth in terms of plastic work // Eng. Fract. Mech. - 1983. - V. 17(2). - P. 189-191.

15. Bever M.B., Holt D.L., Titchener A.L. // Progress in Materials Science. - V. 17. - Oxford: Pergamon Press, 1973.

16. Ranc N., Wagner D., Paris P.C. Study of thermal effects associated with crack propagation during very high cycle fatigue tests // Acta Mater. - 2008. -V. 56(15). - P. 4012-4021. - doi 10.1016/j.actamat. 2008.04.023

17. Rice J.R. Mechanics of crack-tip deformation and extension by fatigue // Fatigue Crack Propagation. ASTM STP. - 1967. - V. 415. - P. 247-311. - doi 10.1520/STP47234S

18. Lindley T.C., McCartney L.N. Mechanics and Mechanisms of Fatigue Crack Growth // Developments in Fracture Mechanics. Applied Science. - London, 1981. - P. 247-322.

19. Арутюнян Р.А. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

20. Кожевникова М.Е. Формирование фрагментирован-ной структуры перед вершиной усталостной трещины // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 1. - С. 2129.

21. Головин Ю.И. Магнитопластичность твердых тел (обзор) // ФТТ. - 2004. - Т. 46. - № 5. - С. 769-803.

22. Ellyin F. Fatigue Damage, Crack Growth and Life Prediction. - New York: Chapman and Hall, 1997.

23. Davidson D.L., Lankford J. Fatigue crack growth in metals and alloys: mechanisms and micromechanics // Int. Mater. Rev. - 1992. - V. 37(2). - P. 45-75. - doi 10.1179/imr.1992.37.1.45

24. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. -P. 100-104.

25. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. - 1961. - № 4. - С. 3-56.

26. Леонов М.Я. Элементы теории хрупкого разрушения // ПТМФ. - 1961. - № 3. - С. 85-92.

27. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - Киев: Наукова думка, 1968.

28. Budiansky B., Hutchinson J.W. Analysis of closure in fatigue crack growth // J. Appl. Mech. - 1978. -V. 45. - P. 267-275.

29. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989.

30. Homepage of company developing and providing ARAMIS: http://www.gom.com/

31. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. - C. 153-161.

32. Liu A.F., Allison J.E., Dittmer D.F., Yamane J.R. Effect of Biaxial Stresses on Crack Growth // Fracture Mechanics, ASTM STP 677 / Ed. by C.W. Smith. - American Society for Testing and Materials, 1979. - P. 5-22.

Поступила в редакцию 18.05.2020 г., после доработки 17.06.2020 г., принята к публикации 17.06.2020 г.

Сведения об авторе

Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., нс ИГиЛ СО РАН, [email protected]