CC BY
87
УДК 539.74375
Формирование фрагментированной структуры перед вершиной усталостной трещины
М.Е. Кожевникова
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
В рамках термодинамического подхода и теории дислокаций описаны структурные перестройки в дефектной подсистеме в локальной зоне макроконцентратора напряжений, проведен термодинамический анализ модели развития усталостной трещины Лэйрда-Смита, согласно которому микротрещины развиваются только в пределах локальной области гидростатического растяжения. На примере алюминиевого сплава показана сопоставимость значений среднего размера фрагментированной структуры, формирующейся перед фронтом усталостной трещины, и расстояния между бороздками усталостной трещины. На основе модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и тейлоровского закона дислокационного упрочнения построен деформационный критерий квазистатического разрушения тонкой пластины из упрочняющегося материала с трещиной нормального отрыва, учитывающий изменение значений напряжения течения и среднего размера фрагмента с ростом деформации. Найдена предельная деформация, при которой происходит увеличение длины исходной трещины на длину участка критической фрагменти-рованной структуры.
Ключевые слова: усталостная трещина, модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, модель Лэйрда-Смита, тейлоровский закон дислокационного упрочнения, напряжение течения, средний размер фрагмента, предельная деформация
Formation of a fragmented structure ahead of the crack tip
M.E. Kozhevnikova
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The structural rearrangements occurring in the local zone of a macroscale stress concentrator are described in the framework of thermodynamics and dislocation theory. The Laird-Smith model of fatigue cracking by which microcracks develop only within a local hydrostatic tension zone is subjected to thermodynamic analysis. On the example of an aluminum alloy, it is shown that the average size of the fragmented structure formed ahead of the fatigue crack front compares with the spacing of fatigue striations. Based on a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model and Taylor law of dislocation hardening, a strain criterion for quasistatic fracture of a thin plate of hardening material with an opening mode crack is developed taking into account the variation in yield stress and average fragment size with increasing strain. The ultimate strain at which the initial crack length increases by the length of a critical fragmented structure is determined.
Keywords: fatigue crack, Leonov-Panasyuk-Dugdale model, Laird-Smith model, Taylor law of dislocation hardening, yield stress, average fragment size, ultimate strain
1. Введение
За последние полвека достигнуты большие успехи в области изучения физической природы, закономерностей зарождения усталостных трещин и их распространения. Существуют несколько подходов к решению вопроса о природе циклической деформации и усталостного разрушения. Первый подход связан с изучением макроскопических закономерностей процесса усталости с помощью математического аппарата механики сплошной среды. Созданные при этом теории циклической деформации и усталостного разрушения бази-
руются на моделях твердого тела, удовлетворяющих представлениям теории упругости и не учитывающих реальной структуры материалов. Второй подход основан на исследовании несовершенств кристаллического строения металлических материалов и связан с теоретическим и экспериментальным изучением микромеханизмов усталостного разрушения. В этом подходе на микромасштабном уровне изучены фундаментальные закономерности возникновения, движения и самоорганизации при циклическом нагружении основного типа деформационных дефектов — дислокаций. В рамках
© Кожевникова М.Е., 2014
третьего подхода развивается феноменологическое описание картины усталостного разрушения и устанавливаются связи между характером разрушения, фазовым составом и микроструктурой материала с применением статических методов. В настоящей статье предпринята попытка объединить два первых подхода, описав процесс продвижения усталостной трещины с помощью математического аппарата механики сплошной среды и теории дислокационных ансамблей.
2. Характер эволюции дислокационных структур в локальной зоне макроконцентратора напряжений
Рассмотрим общий характер эволюции дислокационных структур при пластической деформации. Известно, что носителями деформации в кристаллической решетке являются дислокации или дисклинации — линейные дефекты структуры материала на микроуровне. Кроме того, колебания атомов в кристаллической решетке при растяжении или сжатии цепочки атомов вызывают волны смещения, которые изменяют квантовое состояние в зонах локализации деформации [1]. Волновые свойства дислокации в частности и ансамбля дислокаций в целом обеспечивают как движение дислокаций, так и перестройку дислокационных структур при внешнем воздействии. В результате в пластически деформируемых объемах протекают сложные структурные перестройки в дефектной и электронной подсистемах от хаотического распределения дислокаций к более организованному с образованием ячеек и фрагментов. Хаотическое состояние (волновой хаос) в дефектной подсистеме, предшествующее структурной перестройке — самоорганизации, происходит при совпадении частот колебаний ансамблей дислокаций [1]. Вероятность этого события возрастает при критических параметрах Р(г? ~Рст ( = 1, 2, 3, рСО — критическая плотность дислокаций) в подсистемах. Вначале интенсивное генерирование дислокаций приводит к формированию структуры типа леса дислокаций. С увеличением плотности дислокаций уменьшаются междислокационные расстояния, и, как следствие, усиливаются междислокационные взаимодействия, приводящие к коллективным эффектам. При достижении плотности дислокаций критической величины рС? материал вынужден образовывать наиболее энергетически выгодную для восприятия данной нагрузки локальную упорядоченную периодическую структуру. Такая трансформация осуществляется посредством формирования ячеистых или ячеис-то-сетчатых структур. Толщина границ ячеистых структур со временем постепенно увеличивается. Плотность дислокаций на границах также увеличивается, тогда как в теле самих ячеек она становится практически равной первоначальной. Достижение значения очередной критической плотности дислокаций рС2? приводит к тому,
что границы ячеистой структуры становятся неустойчивыми, размер ячеек уменьшается и дальнейший сток возникающих дислокаций в эти границы невозможен. Тогда происходит еще одна перестройка структуры материала и формируется полосовая фрагментированная
структура. При накоплении еще большей концентрации
- „(3)
дислокаций рС/ возникает насыщенная дислокациями рыхлая структура. В пластической области с такой структурой вследствие активации процессов диффузии дислокаций происходит локальное повышение температуры, регистрируемое методом инфракрасной термографии [2]. Это, в свою очередь, еще более активирует генерирование структур предплавления, вызывающих взаимосогласованное, автокаталитическое размножение дефектов. Увеличение пористости приводит к росту межзеренных пор, что вызывает приближение к неограниченной релаксации. При этом уровень внутреннего трения за счет зернограничных пористых структур резко возрастает [3]. На рис. 1 показана схема эволюции структурно-фазовых превращений, происходящих при совместном воздействии внешнего приложенного напряжения и локального поля мезоконцентратора напряжений.
Образование пористой структуры происходит не во всех случаях. Это характерно в основном для веществ с высокой энергией дефектов упаковки (высокочистый алюминий, медь). Для таких веществ свойственно образование ячеистой структуры дислокаций, формирующейся на стадии упрочнения. Образование и рост мик-ропор происходят вдоль стенок дислокационных ячеек. Для сплавов с низким значением дефектов упаковки (Си - 7 вес. % А1) отсутствие ячеистой структуры ограничивает образование микропор в процессе разрушения.
Ячеистая структура приводит к остаточному изменению объема. Полосовая дислокационная структура служит основой для образования микротрещин. Рыхлая
2
Рис. 1. Схема эволюции дислокационной подсистемы в окрестности вершины макродефекта: 1 — хаотическое распределение, 2 — ячеисто-сетчатая структура, 3 — полосовая структура, 4 — рыхлая структура
структура способствует возникновению микропор, микротрещин и продвижению магистральной трещины как завершающей стадии неравновесного структурно-фазового перехода в локальной зоне макроконцентратора напряжений.
Таким образом, в неоднородном поле внутренних напряжений в локальной зоне макроконцентратора напряжений происходят структурные перестройки в дефектной подсистеме от хаотического распределения дислокаций к более организованному с образованием ячеек и фрагментов. Способность дефектной подсистемы осуществлять структурные превращения свидетельствует о том, что она обладает памятью, т.е. вновь образованные структуры помнят о прежнем структурном состоянии [1]. Однако перестройка объемной кристаллической решетки к двумерной поверхности микротрещин в рыхлой зоне невозможна без формирования зоны перехода между существовавшей фрактальной размерностью 3.0 и вновь возникшей фрактальной размерностью 2.0. Фрактальная размерность переходного слоя Df на рис. 2, а изменяется от 3.0 в объемной части структурного элемента к 2.0 на его поверхности. Чем выше плотность дислокаций, тем меньше фрактальная размерность. При переходе непосредственно от однородного распределения свойств в объемной части кристаллического тела (Df = 3.0) наблюдается массовый выход дислокаций и формируется первая поверхностная зона I с повышенной плотностью линейных дефектов. В этой зоне осуществляется самоорганизация дислокационных скоплений в замкнутые ячеистые, спиральные или другие структуры. Сжимающие напряжения обеспечивают сохранение формы и свойств граничащей с ней объемной фазы, которая простирается вглубь объекта. Зона II, расположенная в сторону от первой поверхностной зоны, имеет ячеистую, фрагментированную структуру, связанную с обрывом большого количества дислокаций в зоне I. В ней реализуются растягивающие напряжения. Фрактальная размерность заполнения веществом материала трехмерного пространства в зоне II
принимает значения в интервале 2.5 < Df < 3.0. Фрактальная размерность Df = 2.5 соответствует порогу пер-коляции (протекания) фрактальной структуры, при превышении которого происходит полная потеря веществом материала своей структуры, характерной для его объемной части. Это приводит к химической нестабильности в зоне III с фрактальной размерностью 2.5 < Df < < 2.0. Можно сказать, что пластическая деформация в этой зоне сопровождается многократными актами образования и разрыва ковалентной связи между атомами в ядрах дислокаций и точечными стопорами (например примесными атомами), т.е. своего рода многократно повторяющимися химическими реакциями между дефектами в микрореакторах [4].
В рамках термодинамического подхода к многоуровневому описанию деформируемого твердого тела [3] зона I с фрактальной размерностью переходного слоя Df = 3.0 соответствует области vx < v < v2 на рис. 2, б микроконцентраторов напряжений, в которых зарождаются ядра дислокаций на кривой зависимости термодинамического потенциала Гиббса F(v) от молярного объема v [3]. Это область сжимающих нормальных напряжений. Зона II с фрактальной размерностью переходного слоя 2.5 < Df < 3.0 соответствует интервалу молярных объемов v2 < v < v4, когда F(v) < 0, — области пластической деформации твердого тела без признаков деструкции дефектного материала и возможности полного его возврата в равновесное состояние. Эта область гидростатического растяжения связана с эволюцией формирования полосовых структур, завершающейся фрагментацией материала. Молярный объем v = v 4 при F(v) = 0 соответствует фрактальной размерности Df = 2.5 — порогу перколяции фрактальной структуры. Зона III с фрактальной размерностью переходного слоя 2.0 < Df < 2.5 соответствует области v4 < v < v6, где F(v) > 0. В этой области, области гидростатического растяжения, развиваются несплошности разного масштаба, микропоры, трещины, имеется возможность вязкого течения.
0
! 2.0 < Df < 2.5 (зона III) Df = 2.5 2.5 < Df < 3.0 (зона II)
Df- = 3.0 (зона I)
Рис. 2. Схема изменения фрактальной размерности Df от 3.0 к 2.0 по толщине переходной зоны (а), зависимость термодинамического потенциала Гиббса Г(р) от молярного объема V с учетом локальных зон концентраторов напряжений различного масштаба (б) [3]
3. Термодинамический анализ модели Лэйрда-Смита
Механизмы структурообразования в зонах локализации деформации, описанные выше, при статическом и усталостном нагружении имеют одну и ту же природу. В циклически и статически деформируемых локальных объемах наблюдаются растягивающие, сжимающие, а также касательные напряжения. Однако усталостное разрушение имеет ярко выраженную отличительную особенность — наличие бороздок на усталостном изломе. Для трактовки вязких микрополос наиболее широко используется модель пластического притупления вершины трещины Лэйрда-Смита [5, 6]. Согласно этой модели заостренная в сжимающей части цикла трещина раскрывается во время цикла растяжения, а пластическая деформация, развивающаяся у ее вершины, инициирует распространение трещины в направлении максимальных сдвиговых напряжений. В свою очередь, область пластической деформации перемещается в плоскости трещины и при очередном цикле сжатия происходит разветвление трещины. Основой для построения модели Лэйрда-Смита послужили исследования распространения трещин и микростроения изломов чистого алюминия и никеля. Проведя термодинамический анализ структурного состояния деформируемой кристаллической решетки, покажем правомерность использования данной модели для описания особенностей микростроения усталостных изломов различных металлов и сплавов.
На рис. 3 показана векторная схема сдвигов в вершине макроконцентратора напряжений перед разрушением при растяжении. Области, помеченные цифрами 1, 2, 3 на рис. 3 соответствуют хаотичной, ячеистой, фрагментированной структурам материала.
Ведущим механизмом деформации в окрестности вершины трещины на ее завершающей стадии является развитие сдвигов вдоль двух мезополос АО и ВО локализованной деформации. Зародыши мезополос неупругой деформации формируются постепенно в области пониженной плотности (в вершине трещины). В дальнейшем от этих зародышей в направлении максимальных касательных напряжений начинают расти мезополосы локализованной деформации. Непосредственно в мезопо-лосах скольжения происходит повышение температуры [7, 8]. Интенсивное локальное растяжение в вершине мощного макроконцентратора напряжений О вызывает развитие в трехгранной призме АОВ поперечного течения, направленного к вершине трещины. На начальной стадии происходит полное самосогласование пластического течения в окрестности вершины трещины в поперечном и продольном направлениях. Однако вследствие упрочнения материала в зоне 3 развивается фрагментация материала как следствие поворотных мод деформации [3]. Согласно [9], это вызывает очень высо-
1111
1
Рис. 3. Схема самосогласования сдвигов при взаимодействии макрополос локализованной деформации в сопряженных направлениях максимальных касательных напряжений в вершине усталостной трещины при растяжении
кое деформационное упрочнение, которое резко снижает интенсивность пластического течения в поперечном направлении. В непосредственной близости от вершины трещины в зоне 4 (см. рис. 1) проявляются гипертрофированные эффекты пористости. В результате при достижении критической степени разрыхления в полуцикле растяжения происходит микроскачок раскрывшейся усталостной трещины, а в полуцикле сжатия или разгрузки—распространение двух симметрично расположенных микротрещин в направлении максимальных сдвиговых напряжений. Таким образом, рост усталостной трещины осуществляется путем многократных скачков — переходов системы из неравновесного состояния в субравновесное с накоплением микроповреждений при каждой задержке роста.
Отметим, что зарождение и распространение полос локализованной деформации могут иметь место только в зонах растягивающих нормальных напряжений, где силы связи ослаблены и в пространстве междоузлий появляются дополнительные разрешенные состояния, соответствующие структуре полос локализованной деформации. Напротив, в зонах сжимающих нормальных напряжений происходит резкое возрастание внутренней энергии и дополнительные структурные состояния не возникают [10]. Поэтому микротрещины развиваются только в пределах локальной области гидростатического растяжения, формируя характерный пилообразный профиль излома.
4. Деформационный критерий квазистатического разрушения
Известно, что усталостное разрушение по своему характеру ближе к разрушению при однократном нагру-
жении, сопровождаемом большими пластическими деформациями. При этом перед фронтом усталостной трещины формируется развитая фрагментированная структура [11, 12]. По мере деформирования во фраг-ментированной структуре возникают локальные участки, не способные к дальнейшей эволюции, исчерпавшие возможности аккомодационной подстройки. Назовем их участками критической структуры. Критическая фрагментированная структура не в состоянии долго сопротивляться усиливающемуся воздействию внешних и внутренних напряжений и поэтому разрушается. Иными словами очаги вязкого разрушения образуются на поздних этапах эволюции фрагментированной структуры в критической фрагментированной структуре. Ниже будет показано для чистого алюминия и алюминиевого сплава, что длина участка критической структуры сопоставима с длиной одного или нескольких фрагментов.
Параметр, влияющий на распространение трещины усталости, изменение предела текучести материала и среднего размера фрагмента — величина предельной односторонне накопленной пластической деформации. Она равна деформации при разрушении от однократной нагрузки. Именно эта величина предлагается в качестве деформационного критерия квазистатического разрушения для случаев малоциклового нагружения, для которых интенсивности накопления квазистатических и усталостных повреждений сопоставимы. Следует отметить, что для анализа условий малоциклового нагруже-ния развиваются и применяются именно деформационные критерии разрушения, которые физически более обоснованы и на основе современной измерительной аппаратуры могут достаточно точно экспериментально проверяться. Широко распространенные энергетические и силовые критерии имеют достаточно наглядную интерпретацию в случае хрупкого разрушения, но хуже интерпретируются в случае вязкого разрушения. В настоящее время наиболее известным деформационным критерием является критерий Леонова-Панасюка-Даг-дейла. Проверка по этому деформационному критерию состоит из определения характерных деформаций вблизи вершины трещины и сравнения полученных значений с критическими деформациями.
Деформационный критерий Леонова-Панасюка-Дагдейла формулируется на основе модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса [13-15]. В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла реальная трещина длины 2/0 со свободными от напряжений поверхностями подменяется фиктивной трещиной длины 2/, концевые области которой /0 < | у | < / заполнены пластически деформированным материалом. Его скрепляющее действие эквивалентно заменяется напряжением течения ау. Для сведения упругопластической задачи, определен-
25
ной в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, к граничной задаче теории упругости используется упругопластический аналог задачи Гриффитса — задача о растяжении постоянными напряжениями а^ пластины с трещиной-разрезом длины 2/. Средняя часть разреза свободна от напряжений, а на его концевых участках /0 < | у | < / действуют стягивающие напряжения ау. В модели Леонова-Панасюка-Дагдейла материал считается идеально упругопласти-ческим, а величина ау постоянной. Однако в реальности напряжение течения изменяется с ростом деформации.
4.1. Изменение напряжения течения с ростом деформации
В настоящее время имеется ряд экспериментальных данных [16, 17], которые указывают на то, что с ростом деформации и уменьшением размера фрагментов напряжение течения ау изменяется обратно пропорционально размеру фрагментов d и подчиняется тейлоровскому закону дислокационного (деформационного) упрочнения [18]
ау = а { + тацЬр^)1/2, (2)
где а{ — не зависящее от деформации е сопротивление движению дислокаций. В зависящем от деформации втором слагаемом равенства (1) р — плотность дислокаций; а — постоянная взаимодействия дислокаций; ц — модуль сдвига; Ь — модуль вектора Бюргерса; т = 3.05 — фактор Тейлора для поликристалла.
На рис. 4 показана зависимость коэффициента деформационного упрочнения кристаллов 0 = dтy / dY от напряжения течения ту (у = те — сдвиговая деформация, ту = ау I т). Известно, что на второй и третьей стадиях кривых деформационного упрочнения металлов, имеющих гранецентрированную решетку, доминирующей является ячеистая дислокационная структура, а на четвертой и пятой стадиях — фрагментированная дислокационная структура [19]. Вторая стадия упрочнения
0 т8 т5 т
Рис. 4. Схема зависимости коэффициента деформационного упрочнения от напряжения течения. Цифры обозначают различные стадии упрочнения
Таблица 1
k5 р5 • 10-14, м-2 т а а5, МПа а í, МПа й5, мкм
А1 99.99 % [20] 2.90 1.8 3 0.27 98 0 0.21
А1 - 3 вес. % Mg [20] 0.75 27.0 3 0.27 294 73 0.07
связана со взаимодействием и размножением дислокаций на дислокациях леса. Механизмы динамического отдыха на третьей и пятой стадиях деформационного упрочнения существенно не отличаются и связаны с аннигиляцией винтовых дислокаций, ограничивающих скорость накопления дислокаций в деформируемой области. Аннигиляция винтовых дислокаций обеспечивает равновесие процессов упрочнения и отдыха при низких и умеренных температурах. На третьей стадии в случае больших сдвиговых деформаций равновесное стационарное напряжение т8 не достигается из-за возникновения четвертой стадии упрочнения и следующей за ней пятой стадии, в конце которой это равновесие имеет место [19].
Предположительно, продвижение усталостной трещины происходит на четвертой, пятой стадиях деформационного упрочнения, когда фрагментированная дислокационная структура полностью сформировалась.
Плотность дислокаций, отвечающая за появление четвертой, пятой стадий определяется соотношением [18]:
р(е) = р5[1 - ехр(-1/2 т^е )]2, (2)
где р5 = (^)2 — плотность дислокаций в конце пятой стадии кривой деформационного упрочнения в результате достижения равновесия между процессами размножения и аннигиляции геометрически необходимых дислокаций; коэффициенты ^ определяют соответственно интенсивность размножения дислокаций на дислокациях леса при множественном скольжении и аннигиляцию дислокаций одного знака в стенках фрагментов (дислокационных блоков) [18]. Значения параметров d5, р5, а указаны в табл. 1.
О /............................-
0.0 0.4 0.8 1.2 8
С учетом (2) тейлоровский закон дислокационного упрочнения (1) запишется в виде ау (е) = + а5 [1 - ехр(-1/ 2 т^е)],
А 1/2 (3)
а5 = тацбрз .
Рисунок 5, а демонстрирует увеличение значения напряжения течения для А1 (кривая 1) и сплава А1 -3 вес. % Mg (кривая 2) с ростом деформации. При е = 0 напряжение течения для сплава А1 - 3 вес. % Mg а у (0) = = ^ — напряжению трения при взаимодействии дислокаций с атомами Mg в твердом растворе сплава, для чистого А1 а у(0) = 0. При больших пластических деформациях напряжения течения выходят на насыщение.
4.2. Размер фрагмента и длина бороздки усталости
Характер эволюции при деформации такого параметра дислокационной структуры, как размер фрагмента d тоже представляет интерес. Кривые, иллюстрирующие уменьшение среднего размера фрагмента d с ростом деформации согласно соотношению
( ) 1 - ехр(-12 т^е)' ( )
достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными для А1 и сплава А1 - 3 вес. % Mg [18]. Согласно выражению (4), средние размеры фрагментов при больших деформациях приобретают равновесные значения d5, при минимальных деформациях фрагментации материала не происходит. На рис. 5, б кривые 1, 2 иллюстрируют уменьшение среднего размера фрагмента с ростом деформации согласно выражению (4) при указанных в табл. 1 значениях коэффициентов для А1 и сплава А1 - 3 вес. % Mg соответственно. Согласно рис. 5, б
мкм . б
1.2 |
Рис. 5. Изменение напряжения течения (а) и среднего размера фрагмента в А1 99.99 % и А1 - 3 вес. % Mg с ростом деформации
и выражению (4), средний размер фрагмента для деформаций в > 0.05 составляет 1.074-0.210 мкм для А1 и 1.28-0.07 мкм для сплава А1-3 вес. % Mg.
Изучение бороздок усталости на поверхности сплава A1-Cu-Mg при циклическом нагружении показало, что за каждый цикл образуется одна бороздка, а расстояние между бороздками, равное 0.2 мкм, является мерой, определяющей степень распространения трещины за цикл. При больших концентрациях напряжений у вершины трещины (большие трещины или высокие нагрузки) в алюминиевых сплавах наблюдаются большие скорости распространения трещины (порядка 1 мкм за цикл и больше). Чем больше скорость распространения трещин в алюминиевых сплавах, тем больше расстояние между бороздками. При этом поверхность разрушения состоит главным образом из ямок, что свидетельствует о слиянии пустот в процессе вязкого разрушения. Сравнение поверхностей разрушения показывает, что действительная скорость распространения усталостной трещины в отсутствие включений (частиц второго рода) была бы около 0.5 мкм за цикл вместо 1 мкм за цикл — скорости, которая действительно наблюдалась при испытании.
Легко заметить, что значения среднего размера фрагмента ^(в), определяемого по формуле (4), и расстояния между бороздками усталостной трещины сопоставимы. Следовательно, скачок усталостной трещины за цикл нагружения происходит на длину фрагмента при умеренных деформациях или длину нескольких фрагментов при больших деформациях.
Заметим, что бороздки усталости лучше всего видны в алюминиевых сплавах, поскольку для них характерны большое количество систем сдвига и легкий сдвиг в поперечном направлении, чтобы образовать фронт трещины и сохранить его при прохождении через примыкающие друг к другу кристаллические зерна. Возможности материала для деформирования должны обеспечивать подобные деформации на некотором расстоянии от фронта трещины, иначе регулярная волновая структура не образуется. В материалах с ограниченными возможностями для деформирования бороздки могут быть либо слабо выражены, либо не образовываться совсем.
С учетом всего сказанного, опираясь на модифицированную модель Леонова-Панасюка-Дагдейла, запишем деформационный критерий квазистатического разрушения тонкой пластины из упрочняющегося материала с трещиной нормального отрыва.
4.3. Деформационный критерий квазистатического разрушения
Рассмотрим сквозную трещину нормального отрыва в неограниченном теле. Начальный размер трещины 2/0, текущий 21. Процесс циклического нагружения
27
зададим максимальным номинальным напряжением цикла а^. При начальном нагружении пластины в нулевом полуцикле трещина раскрывается, затупляясь. При достижении величинами деформации и раскрытия в вершине трещины максимальных значений 8max и 5c соответственно происходит увеличение длины исходной трещины на длину участка критической фрагменти-рованной структуры nd, где d — средний размер фрагмента; n — число фрагментов (рис. 6). Основными параметрами, характеризующими процесс деформирования и разрушения в нулевом полуцикле при малоцикловом нагружении, являются упругопластическая деформация в вершине трещины 8max, раскрытие трещины в вершине 5, приращение длины трещины nd.
Классический деформационный критерий имеет вид
5(/„) = 5 с,
где 5(/0) — раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины; 5с — критическое раскрытие в вершине реальной деформированной трещины. В [21] выявлена связь радиуса закругления pt в вершине реальной деформированной трещины с раскрытием 5 в вершине трещины. Согласно [21], удлинение элементарного объема высоты 2pt в результате деформирования материала равно раскрытию трещины в ее тупиковой части:
5(/о) = 2Pt 8 max. (5)
Поскольку геометрическую форму деформированной реальной трещины можно сравнить с эллипсом, то pt = = u2y(0,0)j/0 , uy(0,0) — перемещение фиктивной трещины в центре реальной трещины. По определению 5(/0) = 2uy (/0, 0), uy (/0, 0) — перемещение фиктивной трещины в вершине реальной трещины. Перепишем деформационный критерий (5) в виде
f (8 max) = Uy (4,°)-8 max U 2 (0,0)Д> = (6)
В рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла при |x| < <l[13]
í t c" t í
lili
Рис. 6. Схема нагружения, деформирования и продвижения трещины при растяжении
ау
и у (х, 0) = — {(х - 1о )Г(1, х, 1о) -пЕ
- (х + 1о)Г(1, х, - 1о)} +
2а
где Г(/, х, £) = 1п-
1о
—агссоБ-п /
т/
2 2 х ,
(7)
-х^(/2 -х2)(/22)
/2 - х^ (/2 - х 2)(/2 Ч2) ' Е — модуль Юнга.
В соответствии с (7), получаем
2ау/0 ^ Л
иу (/о,0) =
1
а^ 2
---агссоБ-—
^ау п 1 + Ы//0^
х +1п(1+м//{
иу (0,0) =
а
а
2ау /0
пЕ
(1 + ^//0) х
Е
2 1 "
-—агссоБ-—
п 1 + Ы//0
(8)
2ау/0 1 + пйЩ -д/о+П^/ъ)1"---1п-
пЕ
1 + М//0 +д/(1 + М//0)2 -1
(9)
Напряжения течения ау и средний размер фрагмента в (8), (9) связаны с деформацией е в вершине реальной трещины соотношениями (3), (4).
Выражение (6) является условием распространения трещины. Трещина начнет распространяться только тогда, когда деформация е в вершине реальной трещины достигнет предельного значения е тах.
Рисунок 7 демонстрирует изменение предельной деформации е тах в зависимости от безразмерной нагрузки а^/ау согласно соотношению (6) с учетом изменения среднего размера фрагмента d и напряжения течения ау с ростом деформации е и без учета в условиях малоциклового нагружения, когда а^/ау > 1. Кривые на рис. 7, а построены для А1 99.99 % с модулем
Юнга Е = 70 ГПа и соответствуют /0 = 0.001т, п = 1 (кривая 1), /0 = 0.01т, п = 1 (кривая 2), /0 = 0.01т, п = 5 (кривая 3). Кривые 1, 2 на рис. 7, б построены для А1 Д16 (ау/Е = 0.4• 10-2), А1 В95 (ау/Е = 0.7-10-2) соответственно и d|/0 = 0.21-10-3, п = 1. При сравнении кривых 1 на рис. 7 видно, что, хотя по характеру кривые и похожи, предельная деформация отличается во много раз. Согласно рис. 7, а при увеличении максимального напряжения цикла (напряжение текучести ау для чистого А1 стабилизируется уже при е > 1) предельная деформация в вершине трещины уменьшается. Кривые 1, 2 на рис. 7, а иллюстрируют уменьшение предельной деформации, необходимой для увеличения исходной трещины на длину участка критической фрагмен-тированной структуры пЛ, с ростом длины трещины /0. Кривые 2, 3 показывают, что чем больше количество фрагментов п, входящих в участок фрагментированной структуры, тем больше е тах.
Таким образом, использование модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, деформационного критерия (6), тейлоровского закона дислокационного упрочнения (3), соотношения (4), учитывающих изменение напряжения течения и среднего размера фрагмента с увеличением деформации, позволило для упрочняющегося материала найти предельную деформацию, при которой начнется распространение трещины на длину участка критической фрагментированной структуры.
5. Заключение
Изучение макроскопических закономерностей процесса усталости с помощью математического аппарата механики сплошной среды подразумевает определение некоторых осредненных макрохарактеристик материала и напряженно-деформированного состояния. Однако при такой общности теряется точность. Кроме того, при определении напряжено-деформированного состояния в окрестности фронта трещины в рамках модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла прибегают ко многим дополнительным упрощениям: предполагают плоское напряженное состояние (пластина нулевой толщины), иде-
сУоо/а
сУсоАх
Рис. 7. Изменение предельной деформации етах в зависимости от безразмерной нагрузки а^/ау с учетом изменения Л и ау от е (а) и без учета (б)
ально-упругопластический материал с неизменным напряжением течения, прямой фронт трещины, отсутствие контакта поверхностей трещины, а также их перпендикулярность наибольшим растягивающим напряжениям и отсутствие остаточных напряжений. В действительности допустимость всех этих предположений ограничена. Tем не менее, несмотря на все эти ограничения математическая простота модели Леонова-Пана-сюка-Дагдейла и ее достоверная экспериментальная проверка укрепили позиции данной теории. Tеорети-ческий анализ, основанный на дислокационной кинетике, позволяет посмотреть на эту модель под другим углом зрения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант M 11-08-00191.
Литература
1. Кабалдин Ю.Г. Квантовая модель трещинообразования в металли-
ческих материалах при усталостном нагружении // Машиностроение и автоматизация. - 2012. - С. 133-141.
2. Терехина A.И., Банников M.B., Плехов O.A., Плехова Э.B. Экспериментальное исследование генерации тепла в вершине усталостной трещины // Письма в ЖГФ. - 2012. - T. 38. - M 16. - С. 9-15.
3. ПанинB.E., ЕгорушкинB.E. Неравновесная термодинамика дефор-
мируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпус-кулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезомех. -2008. - T. 11. - M 2. - С. 9-30.
4. Головин Ю.И. Магнитопластичность твердых тел (обзор) // Физика
твердого тела. - 2004. - T. 46. - M 5. - С. 769-803.
5. Laird C., Smith G.C. Crack propagation in high stress fatigue // Philos.
Mag. A. - 1962. - V. 7. - No. 77. - P. 847-857.
6. Laird C. The influence of metallurgical structure on the mechanism of fatigue crack propagation // Fatigue Crack Propagation. ASTM STP 415. - 1967. - P. 131-168.
7. Ноmm Дж.Ф. Основы механики разрушения. - М.: Металлургия,
1978. - 256 с.
8. Bilby B.A., Cottrell A.H., Swinden K.H. The spread of plastic yield from a notch // Proc. Royal Soc. London. A. - 1963. - V. 272. -P. 4131-4142.
9. Смолин И.Ю., Макаров П.В., Бакеев Р.А. Обобщенная модель упругопластической среды с независимыми пластическими поворотами // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 1. - С. 8992.
10. Панин В.Е., Моисеенко Д.Д., Жевлаков А.Л., Максимов П.Б. Возникновение зародышей мезополос локализованной деформации на интерфейсе «поверхностный слой - подложка» и их распространение в объеме нагруженного твердого тела, находящегося в неравновесном состоянии // Письма в ЖТФ. - 2008. -Т. 34. - № 5. - С. 22-27.
11. Арутюнян P.A. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во С.-Пе-терб. ун-та, 2004. - 252 с.
12. Туманов Н.В. Механизмы разрушения при однократном и циклическом нагружении // Тяжелое машиностроение. - 2010. - №2 4. -С. 21-25.
13. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
14. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Механика разрушения и прочность материалов. Т. 1. - Киев: Наукова думка, 1988. - 486 с.
15. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-104.
16. Belyakov A., Saklos T., Miura H., Tsuzaki K. Grain refinement in copper under large strain deformation // Philos. Mag. A. - 2001. -V. 81. - No. 11. - P. 2629-2643.
17. Langford G., Cohen M. Strain hardening of iron by severe plastic deformation // Met. Trans. A. - 1975. - V. 6. - No. 4. - P. 901-909.
18. Малыгин Г.А. Механизм деформационного упрочнения и образования дислокационных структур в металлах при больших деформациях // Физика твердого тела. - 2006. - Т. 48. - № 4. - С. 651657.
19. Малыгин Г.А. Анализ деформационного упрочнения при больших деформациях // Физика твердого тела. - 2001. - Т. 43. - № 10. -С. 1832-1838.
20. Gubicza J., Chinh N.Q., Horita Z., Langdon T.G. Effect of Mg addition on microstructure and mechanical properties of aluminium // Mater. Sci. Eng. A. - 2004. - V. 387/389. - P. 55-59.
21. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения. - М.: Мир, 1993. - 450 с.
Поступила в редакцию 30.08.2013 г
Сведения об aвmoрe
Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., нс ИГиЛ СО РАН, [email protected]
