CC BY
71
УДК 539.3
Диаграммы квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур
при малоцикловом нагружении
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Рассматривается распространение трещины скачками в квазихрупких материалах с иерархией структур при малоцикловом нагружении.
Диаграмма квазихрупкого разрушения на плоскости «внешняя нагрузка - длина трещины» при циклическом нагружении состоит из трех подобластей, в первой из которых длина исходной трещины не меняется (трещина устойчива), во второй — увеличивается на длину зоны предразрушения при каждом скачке трещины (трещина подрастает, оставаясь устойчивой, а материал охрупчивается только в зоне предразрушения), в третьей — увеличивается катастрофически (трещина неустойчива). Рассматривается пульсирующий режим нагружения, амплитуда которого постоянна и при однократном нагружении соответствует нагрузке между критическими нагрузками по необходимому и достаточному критериям разрушения. Во второй подобласти описан процесс накопления повреждений в зонах предразрушения при линейном и нелинейном суммировании повреждений.
Число циклов между скачками вершины трещины подсчитывается по уравнению Коффина, когда принимается во внимание накопление повреждений в материале зоны предразрушения. В явном виде получены оценки безразмерной средней скорости продвижения вершины трещины за один цикл нагружения при скачкообразном подрастании трещины. Полученные соотношения для средней скорости можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых Пэриса.
Ключевые слова: хрупкое и квазихрупкое разрушение, материалы с иерархией структур, малоцикловая усталость, кривые Пэриса
Quasi-brittle fracture diagrams of solids with structural hierarchy
under low-cycle loading
V.M. Kornev
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper considers the jump-like propagation of a crack in quasi-brittle materials with structural hierarchy under low-cycle loading.
The quasi-brittle fracture diagram on the “external loading - crack length” plane under cyclic loading consists of three regions. In the first region, the crack length is constant (the crack is stable); in the second region, the initial crack length increases by the prefracture zone length in every jump of the crack (the crack grows remaining stable, and the material is embrittled only in the prefracture zone); and in the third region, the initial crack length increases catastrophically (the crack is unstable). The loading under consideration is pulsating loading with a constant amplitude whose value in single loading is in the range between the critical loads determined by necessary and sufficient fracture criteria. The damage accumulation in prefracture zones of the second region by linear and nonlinear summation is described.
The number of cycles between jumps of the crack tip is estimated from the Coffin equation with regard for damage accumulation in the prefracture zone. Explicit estimates are obtained for the dimensionless crack tip velocity in jump-like propagation in one loading cycles. The derived relations for the average velocity can be considered as structural formulae for plotting Paris curves.
Keywords: brittle and quasi-brittle fracture, materials with structural hierarchy, low-cycle fatigue, Paris curves
1. Введение
Одной из характерных особенностей микрорельефа изломов металлов и сплавов, согласно [1], являются усталостные бороздки, ориентированные перпендикулярно направлению распространения трещины. При
усталостном разрушении металлов «принципиальным следует считать вопрос о нелинейности накопления повреждений..., которые могут быть реализованы на разных масштабных уровнях» [2, с. 14]. При нелинейном деформировании материалов в зонах предразруше-
© Корнев В.М., 2011
ния имеют место процессы самоорганизация системы на мезоуровне [3].
Подходы механики сплошной среды, соответствующие макромасштабному уровню описания, позволяют установить эмпирические закономерности развития трещин, опираясь на богатый экспериментальный материал [1, 4]. Например, основная часть Б-образной кривой диаграммы усталостного разрушения хорошо может быть представлена эмпирическими соотношениями Пэриса [4]. «Однако все попытки ввести единообразное описание кинетического процесса (роста трещины) до настоящего времени не дали положительного результата» ([5], с. 21). «.Особенно в случае малоцикловой усталости, линейное суммирование накопленных повреждений не отражает реального, нелинейного процесса накопления повреждений» ([5], с. 37).
В работах [6, 7] для макроуровня предложена модель, описывающая продвижение вершины трещины скачками при малоцикловой усталости. Эта модель соответствует схеме Лейрда-Смита [8, 9] и описывает появление бороздок при усталости. Для материалов с иерархией структур [10] построены диаграммы квази-хрупкого разрушения при однократном нагружении для каждого структурного уровня. Ниже предпринята попытка применить многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения из [10] к получению оценок накопления повреждений в зонах предразруше-ний при циклическом нагружении для разных структурных уровней (подчеркнем, что ниже будет предложена более простая модель, чем в [6, 7]). Идея получения описания продвижения вершины трещины основана на преобразованиях диаграмм квазихрупкого разрушения материалов со структурой [10], когда при циклическом нагружении происходит охрупчивание материала. Из-за процесса охрупчивания материала в зоне предраз-рушения точки, расположенные на кривой, соответствующей достаточному критерию квазихрупкого разрушения, стремятся к точкам, расположенным на кривой, соответствующей необходимому критерию хрупкого разрушения. Скорость процесса охрупчивания связана с процессом суммирования повреждений в материале зоны предразрушения при каждом цикле нагружения тела с трещиной. После скачкообразного продвижения вершины трещины по охрупченному материалу зоны предразрушения новая вершина трещины упирается в исходный материал, имеющий квазихрупкий тип разрушения. Трещина останавливается. Затем все повторяется.
2. Описание структуры материала
Данная работа является своеобразным продолжением работы [10], однако рассматривается циклическое нагружение тел с трещинами. В упомянутой работе используется подход Нейбера-Новожилова [11, 12] для материалов со структурой. Модификация модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла [13, 14], по сути дела, свелась
к тому, что в отличие от классической модели у зоны предразрушения кроме длины появился поперечник. Появление дополнительного параметра позволило оценить разрушение структуры зоны предразрушения, ближайшей к середине реальной трещины, привлекая информацию о параметрах стандартной ст-е-диаграммы материала [10]. Для рассматриваемого случая циклического нагружения надо использовать сведения об изменениях ст-е-диаграмм материала и петель гистерезиса материала зоны предразрушения при повторных нагружениях.
Автор попытался сохранить основные обозначения
работы [10] для материалов с иерархией структур i = 1,
,, .0 -
2, ..., г : г — характерный линейный размер г-й структуры, причем г- >> Г+1 при г = 1, 2, ..., г0 -1, ,0 < 4, для макроструктуры г = 1. Классификация масштабных уровней процессов деформации по В.Е. Панину приведена в монографии [2, с. 39, табл. 1.2 ]. В работе [10] построены необходимые и достаточные критерии при хрупком и квазихрупком разрушении, когда используются параметры классических ст, -е, - диаграмм материалов для каждого структурного уровня (ст, — напряжения, е, — относительное удлинение г-й структуры), а ст, - е, - диаграммы материалов аппроксимируются двухзвенной ломаной, причем на упругом участке все модули упругости совпадают, т.е. Е1 = Е, при г = 2, ..., г0. Характерными параметрами этих аппроксимаций ст, - е - диаграмм являются параметры ст^-, стДг, е0г, е1г: «теоретическая» прочность или предел текучести гранулированного материала ст^-, постоянные напряжения стДг, действующие согласно модели Леонова-Панасю-ка-Дагдейла (сту,- Ф стДг); максимальное упругое удлинение е0г и максимальное удлинение е1г материала г-й структуры.
Пусть плоская трещина нормального отрыва распространяется прямолинейно в материале с иерархией структур. Кроме реальной внутренней прямолинейной трещины-разреза длиной 21 введем в рассмотрение фиктивные трещины-разрезы длиной 2/, = 21 + 2Дг, каждая из зон предразрушения Д, расположена на продолжении реальной трещины (/, Д, — длины фиктивных трещин и зон предразрушения г-й структуры).
В модели Леонова-Панасюка-Дагдейла [13, 14] поле нормальных напряжений стуг (х,, 0) на продолжении фиктивных трещин можно представить в виде суммы двух слагаемых (каждое начало декартовой системы координат О,, х,, у, согласовано с правой вершиной фиктивной трещины для г-й структуры):
ст„. (х, ,0) = Кк/(2ях- )1/2 + О (1), (1)
К, = Км + Кш, Км > 0, Кш < 0,
где Кь- = Кь- (/,, Д,) — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах фиктивных трещин; Км — коэффициенты интенсивности напряже-
ний, порождаемые напряжениями ст^, заданными на бесконечности; Кш — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые постоянными напряжениями стДг. Первое и второе слагаемые в соотношении (1) — сингулярная и гладкая части решения соответственно. В линейной механике разрушения, как правило, используются только сингулярные составляющие решения.
При описании зон предразрушения возможно исследование трех классов решений [10, 15, 16], которые соответствуют первому классу решений:
(2) (3)
риваются трещины нормального отрыва:
•0
К > 0, і = 1,2,..., і второму классу решений:
К = 0, і = 1,2,..., і
0
третьему классу решений:
к. < 0, г = 1,2,..., г0 (4)
Подход Нейбера-Новожилова [11, 12] позволяет использовать первый класс решений (2) для сред со структурой, поскольку бесконечные напряжения в вершине фиктивной трещины (см. (1) и (2)), не допускаемые континуальными критериями прочности, не противоречат дискретным критериям, если сингулярная составляющая решения имеет интегрируемую особенность. Второй класс решений (3) для сред со структурой соответствует классической модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла [13, 14], когда используется гипотеза Христиано-вича. Далее изучаются задачи нелинейной механики разрушения для первого класса решений (2), когда кроме сингулярных составляющих решений принимаются во внимание и гладкие составляющие решений. Третий класс решений (4) не рассматривается, т.к. при выполнении неравенства (4) берега трещины перекрываются; целесообразно при ограничении (4) рассматривать задачи, в которых имеет место контакт берегов трещины.
Зоны предразрушения [10] занимают прямоугольники со сторонами Д,, а,, причем если длины зон пред-разрушения Д- определяются в процессе решения задачи о разрушении для первого класса решений (2), то поперечник зоны предразрушения а. для каждой г-й структуры надо определять из каких-то дополнительных соображений. Например, поперечник зоны предразрушения а. целесообразно отождествить с поперечником зоны пластичности для соответствующего уровня, как это было сделано для макроуровня в [6, 7]. Напомним [10], что взаимное расположение зон предразрушения г = 1, 2,..., г напоминает русскую матрешку, когда имеется одна общая точка, эта общая точка — вершина реальной трещины.
3. Однократное нагружение
3.1. Многомасштабные дискретно-интегральные критерии разрушения
Предлагаются многомасштабные достаточные критерии разрушения [10] для г-й структуры, когда рассмат-
} ауі (х, 0)ёх < а
Yi,
(5)
2у, (х, 0) < 8,, -д, < х < 0, г = 1,2,..., г0 (6)
Здесь ст уг (хг, 0) — нормальные напряжения на продолжении трещин; Огхгуг — прямоугольные системы координат, ориентированные относительно правых частей трещин (начало координат для каждой структуры совпадает с вершиной фиктивной трещины в модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла [13, 14]); щ, к, — целые числа (щ ^ к, 1 < щ < 4); щг — длина интервала осреднения; (щ - к)/щ — коэффициент поврежденности исходного материала на г'-м интервале осреднения (1/2 < < (щ - к)/щ < 1); 2у,- = 2у,- (хг, 0) — раскрытие трещин; 2у* (-Д* ,0) = 8* — критическое раскрытие трещин.
Для того чтобы воспользоваться достаточными дискретно-интегральными критериями (5), (6), надо иметь аналитические выражения нормальных напряжений стуг (хг, 0) на продолжении трещин и раскрытие трещин 2у,- = 2у,- (хг, 0) для первого класса решений (2). Далее в этом подпункте рассматривается квазихрупкое разрушение, когда зона предразрушения Д1 для макроуровня существенно меньше длины исходной трещины I, т.е.
Д, << /, г = 1,2,..., г0 (7)
Принимая во внимание неравенства (7), равенства км =ст.7ч для г = 1, 2,..., г° сводятся к одному приближенному равенству с точностью до величин высшего порядка малости, когда безразмерные длины зон предразрушения (Д,./г)/(Дш/Г+1) = О(1), г = 1, 2, ..., г0 -1, имеют одинаковый порядок [10]:
К^- =ст^л/П7, і = 1,2,
(8)
Воспользуемся простейшим представлением нормальных напряжений (1) на продолжении трещин ст у (хг ,0), эти напряжения ст уг (хг ,0) порождаются напряжениями ст^:
К,
і^і
а У(X ,0) = /2— ^2пх1
+ а +-
К,
ш
л]2пхі
Км =0^74, і = 1,2,..., і0
(9)
Представление решения (9) — сконструированная аппроксимация решения (обсуждение использования более точных представлений поля напряжений приведено в [10]). Выражения для коэффициентов интенсивности напряжений Кш из соотношений (1), (9), порождаемых постоянными напряжениями стДі, действующими согласно модифицированной модели Леонова-Пана-сюка-Дагдейла, имеют вид [17, 18]:
уЫ
К
Ш
2
ші
КШ = аДР
1-
і = 1,2,
Таким образом, выполнено построение поля нормальных напряжений на продолжении трещин стуг (х. ,0) в соотношении (9).
Для раскрытия 2у,- (- х.) фиктивной трещины в соотношении (6) используется простейшее представление
[19, 20]
ваются так (Ai = 0, /і ):
К- > 0,
(11)
Пі =
1 + h
когда опущены второстепенные слагаемые порядка О(-х.) в асимптотическом представлении решения (13). Здесь ц,- — коэффициент Пуассона; Gi — модуль сдвига. Подчеркнем, что рассматривается плоское напряженное состояние на всех структурных уровнях. Поперечник зон предразрушения аг отождествим с поперечником зон пластичности [19, 20], когда ст^- — предел текучести. Критическое раскрытие трещин 8*, при котором разрушается ближайшее к центру трещины волокно зон предразрушения, подсчитывается по формуле
8* = (Ец-е0, К, (12)
ai =
5( Kw )2
і = 1, 2,
4я(ст^-)
Параметры максимальных неупругих удлинений Ец - £0, в соотношении (12) заимствуем из простейших аппроксимаций ст,- е. - диаграмм.
После преобразований в (5), (6) с учетом (9)—(12) получим аналитические выражения для критических напряжений ст^- и критических длин зон предразру-шения Дг* для квазихрупких материалов (второстепенные слагаемые для квазихрупкого разрушения опущены [10]):
a~i = aYi
A* =-
ЕЛі - Єо
Y (
Yi
і = 1, 2,
(13)
(14)
Здесь критические параметры ст^- и Д* для достаточного критерия (5), (6) помечены звездочками; 2/* = 2/ + +2Д* — критические длины трещин. Выражения (13) и (14) имеют смысл, если
1 -A еЦ Еоі > о, і = 1,2,
8п aY
. (15)
Е0-
Неравенства (15) — ограничения, которые выполняются только для хрупких и квазихрупких материалов типа керамик и высокопрочных сплавов, они соответствуют существованию первого класса решений (2).
Критические напряжения ст°,- по необходимому критерию при хрупком разрушении материала подсчиты-
a
aY
і = 1, 2,
(1б)
ОО
Очевидно, что при /і /r- ^ 0 для і = 1, 2,..., і формулы
r-
(16) дают конечные величины ст° ,- /стт., а при для этой формулы справедливо асимптотическое представление
О
/aYi ~(ki/V^Яril2/0.
J Yi ~ КЪ/ у Ч^'г/ ^Ч ■ (17)
Эта асимптотическая оценка (17) соответствует линейной механике разрушения. Структурные формулы (16) для критических напряжений ст°;/CTYi зависят от трех параметров: от относительной длины трещины /0 /r, интервала осреднения nr и поврежденности материала к{/п{ в вершине трещины для каждого структурного уровня (основным параметром является один параметр 1°/Г )• Формулы (13) для критических напряжений
/aYi кроме указанных четырех параметров зависят от силового параметра стД1/CTYi и деформационного параметра (еи -e0i)/e0i (основными параметрамияв-ляются два параметра /*/r и (еи -e0i)/e0i).
3.2. Диаграммы квазихрупкого разрушения материалов с разными максимальными удлинениями
Рассматриваются 5 разных материалов, структуры которых совпадают, но эти материалы имеют существенно различающиеся максимальные неупругие удлинения e1i -е0i • Пусть структуры этих материалов не меняются в процессе деформирования. Из соотношений (13) вычисляются критические напряжения ст^- по заданным неупругим удлинениям материалов e1i -е0i. Диаграммы разрушения для различных материалов с одинаковой структурой ri = const и разными максимальными неупругими удлинениями e1i - e0i представлены на плоскости 2/Jri, CT^/aYi на рис. 1. Кривые 1-6 на этих рисунках соответствуют значениям параметров (e1i-e0i )/e0i = 0, 1, 2, 3, 4, 4.5. При построении кривых 1-6 принято, что п = ki = 1, т.е. в материале отсутствуют повреждения, а для кривых 2-6 справедливо равенство Стд,/ CTYi = 1, т.е. рассматриваемый материал является обычным упругопластическим материалом. Кривая 1 описывает разрушение хрупкого материала, кривые 26 описывают разрушение квазихрупких материалов, 2/0/г- и 2/*/r — безразмерные критические длины трещин по необходимому и достаточному критериям при однократном нагружении. Пары кривых 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6 на плоскости CT^/aYi, 2/ijri суть диаграммы разрушения квазихрупких материалов. Наибольший интерес для исследования поведения материалов при разрушении представляют подобласти этой плоскости, расположенные между указанными парами кривых. В этих подобластях для материала в состоянии поставки выполнятся неравенства
(18)
Когда в ограничениях (18) выполняются строгие неравенства, в рамках рассматриваемой модели реальная трещина подрастает на длину зон предразрушения, устойчивость системы сохраняется. При выполнении равенства в последнем ограничении (18) система переходит в критическое состояние при однократном нагружении, см. кривую I на рис. 1, точки (2/i0/r-, CT°/aYi) и (2/*/ r, ct1/ctY!- ) есть начало и конец кривой I. Предстоит описать переход от устойчивого состояния системы к неустойчивому состоянию при постепенном подрастании трещины, когда рассматривается циклическое нагружение, которое провоцирует охрупчивание материала.
На рис. 1 кроме обозначений для однократного нагружения введены обозначения для циклического нагружения: CT++/aYi — безразмерная постоянная амплитуда нагрузки при циклическом нагружении; 2/+* / r — безразмерная критическая длина трещины по достаточному критерию для заданной амплитуды нагрузки ст* /CTYi = const при циклическом нагружении. Рассмотрим более подробно нагружение упругопластических систем на плоскости 2/Jrl , ct^/ctYj- . Если для однократного нагружения «работает» кривая, соединяющая точки (2/i0/r-, ст0/CTYi) и (2/* Д , ст*00|стYІ) на этой плоскости (рис. 1, кривая I, критические состояния систем для однократного нагружения помечены кружками), то для циклического нагружения «работает» горизонтальная прямая, соединяющая точки (2/;°/rt, ст^/ст^-) и (2/ГД, ст+JстYi) на этой плоскости (рис. 1, прямая II). Кривая I и прямая II имеют общую точку. Очевидно, что при больших запасах пластического деформирования материала (например, когда (еи -е0i)/е0i = 4 или 4.5) критические длины трещин по необходимому 2/0
Л J+*
и достаточному 2/i критериям при усталости могут отличаться на порядок. Таким образом, имеется большой запас потенциального роста трещины при усталости, т.к. разница между упомянутыми полудлинами /?* - /0 может оказаться существенной. На рис. 1 изо-
однократного (кривая I) и циклического (прямая II) нагружений, см. ниже соотношения (20), (22), (24) и (26). Для примера на рис. 1, а и б выбраны материалы, характеризующиеся параметрами (е1г- -е0г)/£0- = 3 и 4 соответственно.
Рассмотрим правые вершины трещин. На рис. 2 приведены неупругие удлинения в зонах предразрушения -Д. < х( < 0 разных материалов, указанных выше (е1г -е0г)/е0г = 0, 1, 2, 3, 4, 4.5, эти неупругие удлинения совпадают с раскрытием трещин. Для получения единой кривой на плоскости х(, V использовались безразмерные координаты, см. соотношения (12), (14):
>Yi
I' 62
~Yi
2vj_
/*
В выбранных координатах х, V зоны предразрушения материалов с характеристиками (е1г- -е0г)/е0- = 0, 1, 2, 3, 4, 4.5 занимают соответственно интервалы -т < хг < 0, где т = 0, 1, 4, 9, 16, 20, 25. Для левых границ интервалов (см. обозначения сверху горизонтальной оси на рис. 2) раскрытие фиктивных трещин совпадает с критическим раскрытием 8*. Для хрупкого материала раскрытие отсутствует, т.к. отсутствуют неупругие удлинения при хрупком разрушении. Для упругопластических материалов длина зоны предразрушения и критическое раскрытие тем больше, чем больше параметр (е1г -Е0г)/£0-. В рамках предлагаемой модели в точках х. = -Д.- возникают затупления трещин из-за пластического деформирования материала в вершинах трещин. Поскольку ниже будет обсуждаться шаг усталостных бороздок, обратим внимание на то, что длины Д, зон предразрушения существенно увеличиваются при возрастании параметра (Е1г - Е0г )/ Е0г = 0, 1, 2, 3, 4, 4.5.
4. Циклическое нагружение
4.1. Накопление повреждений в материале зоны предразрушения
Масштабные уровни процессов усталостного разру-бражены диаграммы квазихрупкого разрушения для шения металлов, приведенные в табл. 3.1 из [2, с. 146],
Рис. 1. Диаграммы квазихрупкого разрушения: обычные (а) и двойные логарифмические координаты (б)
Рис. 2. Единая кривая иеуиругих удлинений в зонах предразрушения для упругопластических материалов, (еи — Ео,-)/е01. = 1, 2, 3, 4, 4.5
очень напоминают масштабные уровни процессов деформации по В.Е. Панину, см. [2, с. 39, табл. 1.2 ]. По этой причине естественно воспользоваться диаграммами квазихрупкого разрушения материалов с иерархией структур из [10]. В этом подразделе рассматривается простейший случай, когда структурные уровни деформаций не взаимодействуют.
Пусть задано пульсирующее нагружение, для которого ст* (N)/oYi — максимальное значение напряжений (их амплитуда) в единичном цикле нагружения, ст* (N)/CTYi = 0 — минимальное значение напряжений в цикле, N — общее число циклов. Пусть уровень нагружения ст* (N)/CTYi ф const таков, что выполняются строгие неравенства в соотношениях (18) для подобласти диаграммы разрушения при циклическом нагружении
0 + * ст*,
CTYi CTYi CTY
, (19)
JYi CTYi CTYi
эта подобласть расположена между кривой I и кривыми ст!!=;'/ст^, ctV/CTYi на рис. 1, т.е. рассматриваемый режим нагружения соответствует малоцикловой усталости. Рассматривается плоское напряженное состояние при постоянном уровне нагружения ст* (N)/CTYi = const, далее ct*/ctY;- . При малоцикловой усталости на каждом цикле нагружения в окрестности вершины реальной трещины формируется зона пластичности (зона пред-разрушения). За один цикл нагружения при заданном уровне нагружения ct*/ctYi- вершина реальной трещины не может продвинуться, если длина исходной трещины /0 удовлетворяет неравенствам 2/0 < 2l0 < 2/+*, см. рис. 1. Напомним, что 2/+* / r — безразмерная критическая длина трещины по достаточному критерию для заданной амплитуды нагрузки ct*/ctY;- = const при циклическом нагружении. На отрезке 2/0 < 2/0 < 2/** прямой II (рис. 1) выполнены строгие неравенства (19). После первого цикла нагружения образуется своеобразный композит: перед вершиной трещины в зоне предразрушения появляется материал с измененными свойствами, вне зоны предразрушения остается материал в состоянии поставки. В каждом цикле нагружения в зоне предразрушения накапливаются повреждения
материала до очередного продвижения вершины трещины скачком (/—номер скачка). Имеет место охрупчивание материала [8, 9] в зоне предразрушения. Из-за суммирования (линейного или нелинейного) повреждений в материале зоны предразрушения происходит сужение зоны устойчивого роста модельной трещины, ср. диаграммы квазихрупкого разрушения, соответствующие парам кривых 1-6, 1-5,1-4, 1-3,1-2 при уменьшении параметра (еи-е01-)/е01- на рис. 1. Иначе, горизонтальный отрезок прямой II на рис. 1 укорачивается из-за охрупчивания. В зоне предразрушения квазихрупкий материал приближается по своим свойствам к хрупкому материалу. На каком-то sij -м цикле до /-го скачка вершины трещины система теряет устойчивость, т.к. уровень нагружения ст* превосходит критическую нагрузку по достаточному критерию для материала с повреждениями, точнее разрушается охрупченный материал зоны предразрушения — номер цикла до/-го скачка
трещины). Реализуется продвижение вершины трещины скачком, после которого новая вершина трещины останавливается, упираясь в исходный материал (гипотеза об останове трещины).
Исследуем изменения подобласти (18) диаграммы квазихрупкого разрушения для циклов нагружения между скачками трещины, когда принимается во внимание охрупчивание материала зоны предразрушения. Изменения в подобласти диаграммы квазихрупкого разрушения для циклического нагружения с учетом накопления повреждений описываются неравенствами
^ < ^1.
ст^- ст^
ст0 < ст*(s) ст©о/ < стсо/
ст*м *i
ст^
*( s)
Yi
1 < Sij < Njj -1, j = 1,2,..., j* -1,
*(2) *(1) * . < ст*2 < ст*1 = ст*
(20)
sij = Nij >
j = 1,2,..., j*
0
ст* <ст!("), i = 1,2,...,r,
*
когда критическое число циклов нагружения N под-
0
считывается так:
N* = 1 + £/ -1 Nj, Nij >2, j = 1,2,...,/-1,
N... = 1, i = 1,2,...,iu
(21)
Здесь ст*s) — критическая нагрузка, полученная по достаточному критерию квазихрупкого разрушения на ^-м цикле нагружения до j = 1,2,..., j* -1 скачка; sij — номер цикла между (j - 1) и j скачками, sij = 1 соответствует состоянию поставки материала после каждого скачка вершины трещины, j = 0 соответствует состоянию поставки материала образца с исходной трещиной длиной /0; j* — критическое число скачков; Щ — число (группа) циклов между ( j - 1) и j скачками для
*
соответствующей структуры г; Ni — критическое число циклов нагружения. Таким образом, критическое (общее) число циклов нагружения N* разбивается на j*
групп, в каждой из которых Nij циклов (j = 1, 2, ...,
.*ч j ).
Первая строка соотношения (20) описывает накопление повреждений в зоне предразрушения. Во второй строке соотношения (20) выписано условие, при котором происходит скачок трещины, напомним, что ст* — амплитуда напряжений в каждом цикле, а материал образца рассматривается как своеобразный композит. После j* скачков длина исходной трещины /0 изменяется так, что система разрушается за один цикл Nj* = 1. Исходный образец с трещиной длиной /0 выдерживает N* циклов нагружения. Подчеркнем, что, как правило, N* » j*, т.к. NiX > N,2 >... > N. .-1 > 2 и N... = 1. Ниже изучим накопление повреждений в зонах предразрушения на каждом s. цикле нагружения, принимая во внимание, к какой из групп циклов j = 1, 2, ..., j* рассматриваемый цикл принадлежит. В соотношении (20) используется только одно значение ст*, для критической нагрузки по необходимому критерию (16), это соответствует рассмотрению циклически стабильных материалов. Соотношения (20) описывают перестройку диаграмм квазихрупкого разрушения материалов при циклическом нагружении.
Остановимся на процессе продвижения вершины трещины скачками. В работах [6, 7] была высказана гипотеза об останове макротрещины раскалывания при стационарном пульсирующем нагружении ст*/ст^- = = const, эта гипотеза была подтверждена экспериментально [21-23]. Исходная острая трещина длиной 2/у после j-го скачка распространяется только по охрупчен-ному материалу зоны предразрушения, продвижение ее осуществляется скачком на Ду после N.циклов из соответствующей группы циклов j = 1, 2, ..., j* (Ду — длина зоны предразрушения перед вершиной реальной трещины длиной 2/, у-1). После останова перед новой вершиной реальной трещины расположен исходный материал, имеющий квазихрупкий тип разрушения. Длины реальных трещин после каждого скачка таковы:
При формулировке гипотезы использованы обозначения: 2/0 = 2/i0 — длина исходной (реальной) трещины при циклическом нагружении; 2/. — длина реальной трещины послеj-го скачка (j = 1, 2, ..., j*); 2/,+* — критическая длина реальной трещины при циклическом нагружении стJ*|стYІ = const; Д. — длина зоны предраз-рушения для всех циклов из соответствующей группы циклов j = 1, 2, ..., j*. Для трещины длиной 2/у при
j < j* в ограничениях (20) выполняется строгое нера-
+ *(1) * 1
венство ст* < ст*- = ст*, при первом цикле s = 1 из соответствующей группы циклов. Только для трещины кри-
^ 1+* + ■'s.,
тической длины 2/, выполняется ограничение ст* >
^ *(1) * TLT
> ст*у = ст*, уже при первом цикле нагружения N.,* = = 1, см. вторую строку соотношения (20).
Кроме длин 2/у реальных трещин при циклическом нагружении надо рассматривать в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла длины
2/, j+j фиктивных трещин:
2/i, j+1 = 2/ij + 2 Д1, j+1,
(23)
2/д = 2/j + 2Ду, j = 1,2,...,j*, 2/,0 ^ 2/0,2/+*= 2j i = 1,2,...,i0
(22)
j = 1,2,..., j*-1, i = 1,2,..., i0 Соотношения (23) отличаются от соотношений (22) только индексами.
На рис. 3 представлена схема, иллюстрирующая продвижение вершины трещины скачками. Ради простоты рассматривается случай, когда число таких скачков пять, т.е. j* = 5. После первых четырех скачков вершины трещины образец сохраняет целостность, а после пятого скачка вершины трещины образец разделяется на части. Группы циклов для j = 1, 2, ..., 5 на схеме отделены, хотя рассматриваемое пульсирующее нагружение не имело разрывов по времени. Вверху на схеме приведены полудлины реальных трещин как до, так и после скачка вершины трещины. Внизу приведены числа Nj для каждого из скачков j = 1, 2, ..., 5 и указаны номера s циклов между соответствующими скачками. На рис. 3 последний цикл из каждой группы циклов Nj (j = 1, 2, 3, 4) изображен пунктирной кривой, т.к. на этой ветви нагружения имеет место скачок вершины трещины. На рис. 3 последний критический цикл N* = 14 для критического скачка j* = 5 изображен без
Рис. 3. Схема, иллюстрирующая продвижение вершины трещины скачками. Сплошными кривыми нарисованы при пульсирующем стационарном нагружении циклы, соответствующие длинам трещин 2/0, 2/0 + 2Д,1, 2/й + 2Д-2, 2/-2 + 2Д-з до первого, второго, третьего и четвертого скачков. Скачки в каждой группе циклов нарисованы пунктирными кривыми. Ниспадающая кривая в последнем цикле не нарисована, так как образец разделяется на части
ниспадающей ветви, т.к. на восходящей ветви нагружения этого цикла выполняется вторая строка ограничения (20), и образец разделяется на части.
Переходим к построению соотношений для описания диаграммы квазихрупкого разрушения (20), см. рис. 1. Так как рассматривается циклически стабильный материал, то левая часть первого из соотношений (20) не меняется, критические напряжения ст*, по необходимому критерию разрушения отыскиваются из соотношения (16). Для правой части соотношения (20) аналитические выражения для критических напряжений *(1) *
ст*\- = ст* по достаточному критерию разрушения приведены в (13), (14) для трещин разной длины 2/у после j-го скачка, но только для первого цикла нагружения s, = 1 после каждого скачка вершины трещины. После первого цикла нагружения s, = 1 в каждой группе j из N, циклов формируется своеобразный композит в окрестности вершины трещины (j = 1, 2, ..., j* -1): зону предразрушения перед вершиной реальной трещины занимает после разгрузки охрупченный материал, вне зоны предразрушения свойства исходного материала не меняются. При последующих циклах нагружения s, (2 < s,, < N,, -1) продолжается охрупчивание материала зон предразрушения этого композита. После каждого скачка вершины трещины все повторяется.
Из соотношений (13), (14) по заданному уровню нагружения ст*/сту-, = const оцениваются критическая длина 2/,+*/r трещины и критическая длина Д+* зоны предразрушения для последнего цикла нагружения:
Yi
25
£ь- £0
Yi
/Г, i = 1,2,
(24)
(25)
Подчеркнем, что полученная оценка (24) не зависит от критического числа циклов нагружения Ni*. Как прави-
* +*
ло, критические длины трещин /i и /i соответственно при однократном и циклическом нагружениях различаются существенно, что отражают соответствующие точки на кривых диаграмм разрушения на рис. 1, иногда /+* >> /,*. Критическая длина зоны предразрушения (25) пропорциональна критической длине трещины, т.е. Д+* ~ /+* Иначе максимальное расстояние между усталостными бороздками наблюдается перед разделением образца на части.
Рассмотрим постепенное охрупчивание материала зоны предразрушения на каждом цикле нагружения за счет накапливания повреждений (20). На каждом цикле s, (1 < s, < N,, -1) для трещины длиной 2/yjr при заданном уровне ст*/сту-, нагружения отыскиваются максимальные неупругие удлинения материала в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Даг-
дейла: ст+*
ст^-
51 - А ст*. е+, -1 -£0,6
8п ст
Д 52 5
Yi
£, j -1 -£(
b0i
( ~+ Y
l2/i, j -1 yfni + Щ_ I r, k k
Yi
(27)
i = 1,2,...,i0, j = 1,2,..., j*.
Здесь (e+j -1 -e0i )/e0i — относительные неупругие удлинения материала зоны предразрушения в вершине реальной трещины длиной 2/, ,-xjr, см. (22). Выражения (26) и (27) имеют смысл, если
1 -
5ст
Д, ei j-1 e0
8п ст
> 0,
(28)
Yi
i = 1,2,...,i0, j = 1,2,..., j*.
По известным значениям ст+|стYІ, 2/,,,-\jr и сттД,/стт, из соотношения (26) отыскиваются неупругие удлинения (e+j-1 - e0i )je0i, а из соотношения (27) подсчитываются длины Ду зон предразрушения, которые используются в соотношениях (22) при вычислении длин реальных трещин после каждого скачка. Очевидно, что e+j-1 < e1i для j = 1, 2,..., j* -1, по этой причине ограничение (28) всегда выполняется, если справедливо неравенство (15).
При малоцикловой усталости имеем /^ < /0 < /+*, поэтому максимальная длина /,+* - /0 продвижения усталостной трещины при малоцикловой усталости получается из соотношения, см. (13), (16), (24):
Г- /0 Г- Г
1 k±
2 n,
Yi
.П.
k
Y
v
6-2
8п ст,„
-1
(29)
Оценка (29) продвижения усталостной трещины может оказаться полезной при освидетельствовании конструкций с трещинами, подрастание которых имеет скачкообразный характер: максимальная длина /,+* - /0 продвижения усталостной трещины тем больше, чем больше максимальное неупругое удлинение материала
(e1i -e0i У e0i.
На рис. 4 приведены максимальные относительные длины /+*//f продвижения усталостных макротрещин
i = 1 при малоцикловой усталости в зависимости от параметра (e11 -£01)/e01. Кривые 1, 2, 3 на рис. 4 соответствуют материалам с «зубом» текучести стД1/ст^ = 0.8 или частичному разрушению материала за пределом упругости, классическому упругопластическому материалу стД1/ ст^ = 1, упругопластическому материалу стД1/стY1 = 1.1, моделирующему некоторое упрочнение. Приведенные графики демонстрируют существенную
0 12 3 (Єц—S0i)/Soi
Pmc. 4. Oтнocитeльныe длины l.*/^0 пpoцвижeния ycтaлocтныx мaкpoгpeщин
зaвиcимocть макодмальгой длины ycтaлocтнoй тpe-j+*
щины l1 oт a-є-диaгpaммы иcxoднoгo мaтepиaлa на yчacткe плacтичнocти. Paнee oтмeчaлocь, чтo пapaмeтp aA1 / aY1 ябляєтся вгopocтeпeнным в cooгнoшeнии (13). Oднакo c тoчки зpeния влияния пapaмeтpa aA1 / aY1 на oтнocитeльныe длины lj+*/1° пpoдвижeния yCTanoCT-ных мaкpoтpeщин пoдoбнoe yтвepждeниe, вooбщe ro-вopя, oшибoчнo, cp. кpивыe 1 и 3 на p^. 4 для квази-xpyпкиx мaтepиaлoв ^и (є11 -є01)/є01 > 2.
^у^угие удлинєния мaтepиaлa є+ - є07, вoзникaю-щиє на кaждoм циклє нaгpyжeния s7j (1 < s7j < N7j -1), накапливаются в мaтepиaлe зoны пpeдpaзpyшeния, чтo мoжeт пpивecти к paзpyшeнию cтpyктypы в вepшинe peaльнoй тpeщины. Oцeним этo нaкoплeниe пoвpeждe-ний. Л.Ф. Кoффин [1, 24] и ere пocлeдoвaтeли экcпepи-мeнтaльнo ycтaнoвили зaвиcимocть мєжду нeyпpyгoй дeфopмaциeй мaтepиaлa в циклє и чиотом циклoв. Пpи дpyгoм пoдxoдe для учета топления пoвpeждeний в мaтepиaлe зoны пpeдpaзpyшeния [25] ввoдитcя гоняше «^тиче^ая величина диccипиpyeмoй paбoты», ^и кoтopoй мaтepиaл paзpyшaeтcя. Cooтнoшeния пepвoгo [1, 24] и втopoгo [25] пoдxoдoв мoгyт быть зaпиcaны eдинooбpaзнo. Чиcлo циклoв N7j между (j - 1) иj жач-ками вepшины тpeщины пoдcчитывaeтcя так:
(N-])Cl = є1- -є0і , (30)
є7,]-1 є0і
j = 1,2,..., j*-1, і = 1,2,...,і0.
Зде№ 0.2 < C7 < 1 — нeкoтopыe пocтoянныe ^ффина, чиcлeнныe значения кoтopыx зaвиcят oт cвoйcтв мате-pиaлa [1, c. ?б, ??]. Cooтнoшeниe (30) ^и линeйнoм (C7 = 1) или нелинейгом (C7 Ф1) cyммиpoвaнии го-вpeждeний oпиcывaeт пpoцecc oxpyпчивaния мaтepиa-ла в вepшинax peaльныx тpeщин. Эти пocтoянныe C7 ^дб^аются пo нaтypнoмy экcпepимeнгy [1, 24].
Ha pro. 5 для paзныx пocтoянныx Кoффинa 0.5 < < C7 < 1 пpивeдeны ^ивые, xapaктepизyющиe уменьшение мaкcимaльнoгo вдунутого удлинения мaтepиaлa в зaвиcимocти oт чиcлa циклoв. Кpивыe 1-3 cooтвeт-cтвyют значениям пapaмeтpoв C7 = 1, 0.?, 0.5 и
(Єу-80і)/Єоі |
1.0
\д\5
0.7
0.5
V4
0.3
0.2
0.1
1 2 5 10 20 50 100 Njj
Phc. 5. Уменьшение не^^утого удлинения мaтepиaлa пpи мaлoциклo-вoм нaгpyжeнии
(є1і -є 07 Vє 07 = 1 , ^ивые 4-6 cooтвeтcтвyют значениям пapaмeтpoв C7 = 1, 0.?, 0.5 и (є17 - є07)/є07 = 2. Пocтpoeн-ные кpивыe в двoйныx лoгapифмичecкиx кoopдинaтax на плocкocти (N7j, (є+ -є07)/є07) пpeвpaщaютcя в ^я-мые, кoтopыe пepeceкaютcя в oднoй из тoчeк (1, 1) и (1,2) cooтвeтcтвeннo для (є17 -є07 )/є07 = 1 и 2. Т>чка (1, 1) на pro. 5 пoмeчeнa кpyжкoм, т.к. cooтвeтcтвyeт кpитичecкoмy cocтoянию пpи oднoкpaтнoм нaгpyжeнии. Oднoкpaтнoe нaгpyжeниe имеет меето пpи N7j = 1, ^o-цecc мaлoциклoвoгo нaгpyжeния xapaктepизyeтcя чдо-лoм циклoв N7j > 2.
Для кaждoй длины l0 = 2li0 peaльнoй тpeщины пo неу^угим удлинениям мaтepиaлa є+0 - є07 из cooгнoшe-ний (2б), (30) пoдcчитывaютcя величины N71, xapa^ тepизyющиe гpyппy циклoв дo пepвoгo теачка j = 1 вepшины тpeщины, пpeдвapитeльнo для зaдaннoгo мате-pиaлa пoдбиpaютcя пocтoянныe Кoффинa C7 из rapa-вoчникa [1] или нaтypнoгo экcпepимeнтa. Для цикла s71 = N71 мaтepиaл зoны пpeдpaзpyшeния в вepшинe peaльнoй тpeщины пoвpeдитcя так, что амплитуда на-гpyзки а++ coвпaдaeт или нeзнaчитeльнo пpeвocxoдит
_*( s)
кpитичecкyю нaгpyзкy а”, , пoлyчeннyю пo дocгaтoч-нoмy кpитepию (втopaя cтpoкa cooтнoшeния (20)). Bep-шина тpeщины cкaчкoм пepeмeщaeтcя в нoвoe ycTO^ чивoe пoлoжeниe, длина жачка coвпaдaeт c длинoй зoны пpeдpaзpyшeния A71 и пpивeдeнa в cooтнoшeнии (2?), длина пoдpocшeй тpeщины тaкoвa: 2l71 = 2l0 + 2A71 = = 2l70 + 2A71, cм. cooтнoшeниe (22). Далее для пoдpoc-шей тpeщины 2l71 вce пoвтopяeтcя. Пpи пpoизвoльнoм пoдбope пocтoянныx C7 в cooтнoшeнии (30) для roo^-него цикла на^уженил N* cпpaвeдливo cooтнoшeниe N7j* = 1, так как є+* -єо- = є^ -єо- и l 7j* = l7*, то ^и пocлeднeм цикле oбpaзeц paздeляeтcя на чacти. B o^ личие oт Л.Ф. Кoффинa [24] в чистителе cooтнoшeния
(30) иcпoльзoвaнo мaкcимaльнoe плacтичecкoe удлинение мaтepиaлa ^и oднoкpaтнoм нaгpyжeнии, чтo coглacyeтcя c пpeдлaгaeмoй мoдeлью.
Cooтнoшeниe (30) oпиcывaeт пpoцecc oxpyпчивaния мaтepиaлa глaдкoгo oбpaзцa, кoгдa peaлизyeтcя замкнутый цикл нaгpyзкa-paзгpyзкa мaтepиaлa. Пpи пyльcи-
Рис. 6. Число циклов N до первого скачка вершины трещины
рующем циклическом нагружении образца с трещиной замкнутый цикл нагрузка-разгрузка материала зоны предразрушения реализуется не полностью из-за пластического затупления вершины трещины. Корректное использование соотношения (30) для образца с трещиной возможно, если рассматривается квазихрупкое разрушение, но при таком ограничении нагружение зоны предразрушения можно считать жестким, когда трещина после снятия нагрузки закрывается полностью. Автор считает нагружение жестким при снятии нагрузки только тогда, когда выполняется первое ограничение из (20). Нагружение жестким не является на ниспадающих участках, когда выполняется второе ограничение из (20). На рис. 3 жесткое нагружение при снятии нагрузки отмечено сплошной кривой, произвольное нагружение при снятии нагрузки отмечено пунктирной кривой, а разделение образца на части не отмечено какой-либо кривой при последнем цикле нагружения.
Оценим число циклов Мй до первого скачка вершины трещины в зависимости от длины 2/0/г исходной трещины, причем 2/0/г- < 2/0/г < 2/+*/г. Число циклов кроме упомянутой длины 2/0/г-, зависит от уровня нагружения , максимального неупруго-
го удлинения материала (еи -е0-)/е0;- и постоянных Коффина С;. Воспользовавшись соотношениями (26) и (30), после преобразований получим
-є 6 є1і є0і
^ Є0і <
8п ст^- 1 -
5 стді
^і
А
к
-V Сі-
РІ)
Кроме основных четырех параметров 2/0/г, |стYi,
(єи -є0і)/є0і, С{ в соотношение (31) входят второстепенные параметры стД1/ ст^, щ, к.
На рис. 6 построены кривые для числа циклов Ni1 до первого скачка вершины трещины в зависимости от длины 2/0/г- исходной трещины, когда ст+/стУі = 0.1, щ = к = 1: кривые 1-3 соответствуют Сі = 1, 0.7, 0.5 при (є1і -є0і)/є0і = 2, кривые 4-6 соответствуют С{ = 1, 0.7, 0.5 при (єи -є0і)/є0і = 4. Кружками на рис. 6 поме-
чены критические состояния систем при однократном нагружении.
После подробного обсуждения зависимости числа циклов Ыа от параметров материала и параметра нагружения переходим к оценкам длины Д^/г скачков в рамках предлагаемой модели, когда 7 = 1, т.е. рассматривается первый скачок вершины трещины произвольной длины /0/ г. Воспользуемся соотношением (27), после преобразований получим длину Дл /г первого скачка в зависимости от длины 2/0/г исходной трещите причем 2/г0/г- < 2/,,/Г < 2/Г/Г:
т2 Л
JYi
-"Ді
1 -
к
Г ~+ 62
JYi
/0
Г
(32)
(33)
\2/0 ТП”_
Из соотношения (32) очевидна оценка
Дя/ Г~ Стд)2(/^ Г)
при /0/ Г- » 1, СТУг/ а2+ > 1.
На рис. 7 изображена зависимость длины Дл/г скачков от длины 2/0/г исходной трещины: кривые 1-3 соответствуют упругопластическим материалам с аД1/аУ1 = 1.1, 1, 0.8 при уровне нагружения о'0/ау- = = 0.1; кривые 4-6 соответствуют упругопластическим материалам с стД1/ стУ1 = 1.1, 1, 0.8 при уровне нагружения = 0.05. Построенные графики на рис. 7 со-
гласуются с оценками (33). Длины Дл/г скачков прене-
Рис. 7. Зависимость длины Дй/г скачков от длины 2/^г трещины
брежимо малы, когда длина 2 /0 /г исходной трещины несущественно превосходит длину 2/°/Г- , точнее
2/0/г = 2/г0/г, но 2/0/г- > 2/г0/г-. Выявлено существенное влияние параметров ст-е-диаграмм материалов на длины Дд/г- скачков, когда длина 2/0/г исходной трещины значительна, точнее /0 2 /+* < 2/0/г,- < 2/(+*. Отметим, что процесс накопления повреждений в материале зоны предразрушения не влияет на длину скачков, поскольку изучается поведение циклически стабильных материалов.
На рис. 8 приведены профили «усталостных бороздок», сформировавшихся на мезомасштабном уровне на нижней половине образца при постепенном продвижении правой вершины трещины. Заметим, что при квазихрупком разрушении какие-либо вращательные моды отсутствуют, так как в зоне предразрушения имеет место, по сути дела, растяжение пучка волокон; по этой причине «усталостные бороздки» взяты в кавычки. При формировании «бороздок» учитывалось только линейное суммирование остаточных деформаций материала зоны предразрушения, напомним, что зона предразрушения в предлагаемой модели [10] занимает прямоугольник. Шаг «усталостных бороздок» постепенно увеличивается слева направо, как в оценке (33), это увеличение напоминает увеличение вклада при сложном проценте. На изломе образца существенное отличие шага «усталостных бороздок» наблюдается только после сотен скачков вершины трещины при малоцикловой усталости. Приведенные профили «усталостных бороздок» согласуются с аналогичными профилями реальных усталостных бороздок, полученными в натурных экспериментах [5, с. 164, рис. 3.25]. Если шаг «усталостных бороздок» связан с длиной Дд /г зон предразрушения, то рельеф поверхности между «усталостными бороздками» зависит как от функции, характеризующей раскрытие фиктивной трещины в области предразрушения, см. второе соотношение достаточного критерия разрушения (5), (6), так и от накопления остаточных деформаций (30) при неупругом деформировании материала зоны предразрушения.
4.2. Взаимодействие между процессами разрушения на разных структурных уровнях
Рассмотрим взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях [10]. Для простоты рассмотрим продвижение вершины реальной макротрещины мезо-(Д1 у Ф 0, - = 1) и микроскачками (Д2у Ф 0, - = 2) при
Рис. 8. Профили «усталостных бороздок»
усталостном нагружении квазихрупкого материала с двухуровневой структурой. Для построения диаграмм разрушения на разных структурных уровнях i = 1, 2 примем, что характерные линейные размеры г1, г2 и пределы текучести стУ1, стУ2 гранулированных материалов различаются в несколько раз, а максимальные относительные неупругие удлинения материала (еи - е0-)/е0-почти совпадают, точнее:
Л/г2 = 8, стУ2/СТУ1 = 3, (е11 -е01Vе01 = 4,
(34)
(е12 -е02)/е02 = 4
На рис. 9 приведены совмещенные диаграммы разрушения указанного квазихрупкого материала (34). При расчетах использовались формулы (13), (16), в которых г1 = 8г2, стУ2 = 3стУ1. На плоскости 2//^, сто/стУ1 кривые 1 и 2 соответствуют нагрузкам ст^ /стУ1 и ст^ /стУ1,
0 1 * / кривые 3 и 4 — нагрузкам сто2/ стУ1 и сто2/стУ1. Таким
образом, области между кривыми 1 и 2, 3 и 4 и преобразования этих областей при усталостном нагружении суть области, описывающие малоцикловое разрушение на двух структурных уровнях в соответствии с ограничениями (20). В заштрихованной подобласти этой плоскости возможно одновременное усталостное разрушение на двух разных структурных уровнях i = 1, 2. Рассмотрение конкурирующих механизмов продвижения вершины трещины на двух разных масштабных уровнях не противоречит бимодальному распределению усталостной долговечности [2, с. 20-27]. На профиль усталостной бороздки, сформировавшийся на мезомасштабном уровне (рис. 8), может налагаться профиль усталостной бороздки, соответствующей микромасштабному уроню, ср. [5, с. 164, рис. 3.25]. Однако предлагаемая здесь модель описывает образование только первой микроусталостной бороздки на поверхности разрушения, соответствующей мезомасштабному уровню.
4.3. Продвижение вершины трещины при малоцикловом нагружении
В этом разделе рассматриваются только макро- и мезомасштабные уровни i = 1 продвижения вершины
0.1 1 10 100 Ю00 2/0/Г|
Рис. 9. Диаграммы разрушения квазихрупкого материала с двумя структурными уровнями
реальной трещины. Продвижение вершины трещины осуществляется скачками (22). В соотношениях (22) 2/1 у — длина реальной трещины после у-го скачка (макроуровень, j - 1, 2, ..., у*), Д1 у — длина зоны предраз-рушения для всех циклов из соответствующей группы циклов у - 1, 2, ..., у* (мезоуровень, Д1 у << /1 у). Длины этих скачков совпадают с длинами Д1 у зон предраз-рушения перед вершиной реальной трещины длиной 2/1 у-1. При усталости естественно иметь оценки безразмерной средней скорости (Д1 у /г1)/N у продвижения вершины трещины за один цикл нагружения:
61С
(35)
Ду/П 52 Ч+у -1 -Е0/ ^ 2 ° + 1 - Е -
N 29 Е0/ 1° - О
5 ст+ 62 / стм 1
-’У/
у -1
у = 1, 2, ..., у -1, i = 1.
Эта средняя скорость (Д1 у/^)/ N у достаточно легко измеряется в натурных экспериментах.
Переходим к анализу полученной оценки (35). Так как полученное соотношение (35) содержит параметры ст+, /1 у в нужной комбинации, то перепишем его в виде соотношения
Ду/Г _ 52 Ч+у -1 -Е0/ ^ 2 5 е+ - е 6 °О ,у -1 °0/
N уу 29 п °0/ Ъ ы -
.(Кц-1)2
стУ,2г-
у -1 2, ..., у -1, i - 1, в котором используется обозначение К+ у -1 для амплитуды коэффициента интенсивности напряжений при пульсирующем нагружении квазихрупкого материала:
(37)
когда длина 2/1 у реальной трещины меняется скачками, как в (22).
Соотношениям (35), (36) можно придать другой вид, если воспользоваться следствием, полученным из (26):
N.
JYi
JД^
1 -
Р/.,у -1^0
JYi
.0.
к
2+V С
е0/
; °1/ - е0/ J 1СТу/ )
1, 2, ..., у* - 1, i -
(38)
(*+,--1)2
е1> е0
-’Д/
5ст сту/ о' Сту/ г
1ст+ к У К:+, -1]
2+V С
у - 1, 2, ..., / -1, i - 1.
Соотношения (35), (36) и (38), (39) с учетом обозначений (37) описывают осредненный процесс продвижения вершины реальной трещины. Упомянутые четыре соотношения имеют смысл для следующих длин трещин 2/° < 2/1 у < 2/+* при заданном уровне нагружения ст+ или для следующих амплитуд коэффициентов интенсивности напряжений:
< у _а:
Полученные соотношения (38), (39) можно рассматривать как структурные формулы для построения кривых Пэриса [26]. В структурные формулы (38), (39) входят семь безразмерных параметров: относительные длины трещин /1 у/г1, интервалы осреднения п1г1 и поврежденности материала к/п1 в вершине модель-нойтрещины, силовой стД1/сту1 и деформационный (е11 ,-Е 01)/ е 01 параметры, параметр нагружения ст+/сту1 и постоянная Коффина С1, ср. со структурными формулами (13), (16). Основными параметрами в структурных формулах (38), (39) являются четыре (36) параметра /1 у/г1, (е11 -е01)/е01, ст+/стУ1, С1. По срав-
нению со структурной формулой (13) к двум основным параметрам добавились два новых параметра: параметр нагружения ст+/стУ1 и постоянная Коффина С1, первый из которых связан с уровнем нагружения при малоцикловой усталости, а второй описывает накопление повреждений в материале зоны предразрушения. Ранее было обращено внимание на то, что иногда второстепенный силовой параметр стД1 /сту1 оказывает существенное влияние на процесс разрушения при малоцикловой усталости.
Правая часть полученного уравнения (39) в рамках модели представляет собой произведение трех сомножителей: первый сомножитель для выбранного материала — постоянная, второй — степенная функция от К+у, а третий сомножитель в фигурной скобке — достаточно сложная функция, зависящая от параметра нагружения ст+/стУ1, коэффициента интенсивности напряжений К+у и постоянной Коффина С1. Таким образом, установлена структура соотношений (39), которые подробно обсуждаются во втором параграфе X главы о распространении усталостных трещин, см. [19]. Автор согласен с Д. Броеком, что уравнение, справедливое в
х
х
общем случае малоциклового нагружения, имеет сложный вид. Действительно, основной функций, определяющей структуру кривых Пэриса, целесообразно признать сомножитель (К+у )2. По этой причине при построении кривых Пэриса очень часто используются двойные логарифмические координаты, а третий сомножитель вносит существенные коррективы. В рамках предлагаемой модели удалось соотнести среднюю скорость (Д1 у I п) IN у продвижения вершины трещины за один цикл нагружения с раскрытием трещины, см. (5), (6) и (20).
Соотношения (38), (39) не описывают резкое увеличение средней скорости (Д1 у/г)!Му продвижения вершины трещины на последних циклах нагружения [1, 19]. Вероятнее всего, это увеличение связано с тем, что при натурных экспериментах испытываются образцы конечной ширины. Напомним, что соотношения (38), (39) получены для трещин в пластинах бесконечной ширины. Чтобы учесть влияние конечности ширины образца на процесс продвижения вершины трещины при усталости, надо сначала перестроить диаграмму разрушения, изображенную на рис. 1, см., например, [27].
Так как для длины 2/1 у макротрещины выполняются строгие ограничения 2/10 < 2/1 у < 2/1+*, то рассмотрим два предельных и один промежуточный случай. Каждый из изучаемых случаев соответствует характерным точкам на кривых Пэриса [26]. Предельные случаи соответствуют началу и завершению процесса продвижения вершины трещины, а промежуточный случай — установившейся стадии процесса:
1) начало процесса 2/1 у = 2/°, но 2/1 у > 2/1;
2) завершение процесса 2/1 у = 2/1+*, но 2/1 у < 2/1+*;
3) промежуточная стадия процесса 2/1 у ~ /+* +1^.
Проведем анализ для каждого случая.
1. Для начала процесса продвижения вершины трещины имеем оценку
lim
А
1j
Л _
j ^1°+° N1
_ °,
(40)
1j
т.е. для начала процесса характерны очень маленькие скорости продвижения вершины трещины. Теоретиче-ки установлен порог усталости, ниже которого трещина не распространяется при малоцикловом нагружении.
2. При завершении процесса продвижения вершины трещины имеем оценку (надо принять во внимание соотношения (24), (25) и то, что М1 * _ 1)
lim
А
ij
, ^/+*-° Ni
' Г1 _ lim ^ ll j ^li*-°
5
°1
6'
b°1
5
'1
62
Y1
(41)
т.е. при завершении процесса, когда образец разделяется
на части, имеет место наибольшая скорость (Д1 у /г1)/N1 у продвижения вершины трещины за последний цикл нагружения. Для этой скорости получено аналитическое представление (41), которое зависит от трех параметров /* /п, ст+ /стУ1, (е11 - е01)/е01. Подчеркнем, что наибольшая скорость (Д1 у Iг)IN1 у в соотношении (40) не зависит от постоянной Коффина.
3. При описании промежуточной стадии процесса скорость (Д1 у 1п)/N1 у продвижения вершины трещины можно представить в виде:
А1/ '1
N1
(/1*+/1°)/2
1/С1
Y1
А1
1 -
Y1
nL
k1
2+V C
Ь°1
1 (KT)2
^Y12'1
£11 £
°1
(42)
ir+*° - rr‘ KI1 _ a.
^(/+*+/^/2.
Последнее соотношение (42) соответствует простейшей аппроксимации
(у riV N1 _ C(OV aY12'1, (43)
где C — постоянная материала, в которую сложным образом входит постоянная Коффина. Кривая, построенная по соотношению (43), очень напоминает среднюю часть кривой Пэриса [19, 26]. Таким образом, промежуточная стадия процесса хорошо описывается простой квадратичной функцией с постоянной С, зависящей от постоянной Коффина и некоторых других параметров.
На рис. 10 приведены кривые Пэриса в общепринятых двойных логарифмических координатах. Рассматривается продвижение вершин трещин в упругопластических материалах с (е11 -£01)/£01 _ 4 при уровне нагружения ст+ /aY1 _ 0.1; кривые 1 и 2 соответствуют материалам, которые имеют постоянные Коффина C1 _ 1 и 0.5. Для выбранных материалов продвижение вершин трещин слабо зависит от линейного или нелинейного суммирования повреждений в зонах предразрушения.
Пороговый коэффициент интенсивности напряжений при циклическом нагружении (порог усталости) соответствует длине 2/]°/r1 трещины, подсчитанной по необходимому критерию для заданного уровня нагружения /cty1 , для этого в соотношении (26) надо положить (e+j-1 -£01)/£°1 _ 0. Критическая длина 2/1+*/r1 трещины при циклическом нагружении иногда существенно больше длины 2/]°/r1, т.е. 2/+*/r1 >> 2/°/r1, но при таких соотношениях этих длин начинает влиять конечность ширины образца на кривую Пэриса в области высоких скоростей роста усталостных трещин. Полученные соотношения (38), (39) и построенные кривые
X
(Л^г,)/^
1
10"2 10"4 10"6
1 1 5 2 3 Ки/(а¥1гУ2)
Рис. 10. Кривые Пэриса
на рис. 10 не отражают существенного увеличения скорости продвижения вершины трещины перед разделением образца конечной ширины на части, когда образцы изготовлены из квазивязких или вязких металлов
[1, 19].
5. Обсуждение и заключение
Все построения, приведенные выше для малоциклового нагружения, опирались на диаграмму квазихруп-кого разрушения [10]. Модифицированная модель Лео-нова-Панасюка-Дагдейла [13, 14] дополнена соотношением, учитывающим накопление повреждений в зоне предразрушения, имеющей конечную ширину. Предложенная в [10] модель «чувствует» структуру зоны пред-разрушения, когда рассматривается композит [28]. По сути дела, предложенное рассмотрение накопления повреждений происходит в зоне предразрушения композиционного материала, так как исходная однородная механическая система преобразуется после нагружения в неоднородную механическую систему.
В справочнике [1, с. 204] содержится утверждение, что «... для отражения основных особенностей типичной кинетической диаграммы усталостного разрушения математическая модель должна содержать шесть параметров». В табл. 4.1 на с. 200-201 этого справочника приведены 17 уравнений для определения скорости роста трещины. Упомянутые 17 уравнений и математическая модель из раздела 4.11 на с. 220 построены на основе анализа экспериментальных данных. Правомерность использования тех или иных уравнений при обработке экспериментальных данных связывается со средними значениями среднего квадратичного отклонения для различных уравнений роста усталостных трещин, см. табл. 4.2 на с. 403 и табл. 4.7 на с. 222 справочника [1]. Большинство рассмотренных уравнений достаточно хорошо описывают Б-образную кривую типа кривой Пэриса.
Полученные структурные формулы (38), (39) и построенные кривые на рис. 10 не отражают существенного увеличения скорости продвижения вершины трещины перед разделением образца конечной ширины на
части, когда образцы изготовлены из квазивязких или вязких металлов [1, 19, 26]. В предлагаемой модели усталостного роста трещин пока задействованы четыре основных параметра. К четырем основным параметрам на последнем участке кривой Пэриса надо добавить безразмерную ширину пластины. Таким образом, окончательное число параметров в предлагаемой модели будет пять, причем все параметры имеют четкий механический смысл.
Здесь обсуждалось взаимодействие разрушения на разных структурных уровнях для материалов с иерархией структур при усталости, когда при получении оценок накопления повреждений используется инженерный подход. Дж. Си [29] использовал мультискейлин-говый подход для описания деградации материала при усталости. Предложенная здесь модель для наноуровня, вероятно, отличается от модели работы [30] некоторой относительной простотой. Выявленное взаимодействие разных структурных уровней не противоречит мультимодальному распределению усталостной долговечности сложного сплава из [31].
Было бы желательно проверить на натурных экспериментах предложенные структурные формулы (38), (39). Предварительный анализ выявил целесообразность их использования при обработке экспериментов, описываемых кривыми Пэриса [19, 26]. Существующая техника позволяет записать и обработать поля смещений перед вершиной усталостной трещины [32], подчеркнем, что вершина трещины в предлагаемой модели продвигается скачками [21-23].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-08-00220) и в рамках проекта №23.16 программы Президиума РАН.
Литература
1. Романив О.Н., Ярема С.Я., Никифорчин Г.Н., Махутов Н.А., Стадник М.М. Усталость и циклическая трещиностойкость конструкционных материалов. Т. 4 // Механика разрушения и прочность материалов: в 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1990. - 679 с.
2. Шанявский А.А. Моделирование усталостного разрушения металлов. Синергетика в авиации. - Уфа: Монография, 2007. - 495 с.
3. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Данилов В.И и др. Структурные уровни
пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. -Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.
4. Махутов Н.А., Гаденин М.М., БуракМ.И. и др. Механика малоцик-
лового разрушения. - М.: Наука, 1986. - 264 с.
5. Шанявский А.А. Безопасное усталостное разрушение авиационных
конструкций. Синергетика в инженерных приложениях. - Уфа: Монография, 2003. - 800 с.
6. Корнев В.М. Двухмасштабная модель малоцикловой усталости. Переход от квазивязкого разрушения к хрупкому // Деформация и разрушение материалов. - 2008. - № 2. - С. 2-11.
7. Kornev V.M. Two-scale model of low-cycle fatigue. Embrittlement of pre-fracture zone material // Proc. Engin. - 2010. - V. 2. - No. 1. -P. 453-463.
8. Laird C., Smith G.C. Crack propagation in high stress fatigue // Philos.
Mag. A. - 1962. - V. 7. - No. 77. - P. 847-857.
9. Laird C. The influence of metallurgical structure on the mechanism of fatigue crack propagation // Fatigue Crack Propagation. - 1967. -P. 131-168.
10. Корнев В.М. Оценочная диаграмма квазихрупкого разрушения тел с иерархией структур. Многомасштабные необходимые и достаточные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13.- № 1. - С. 47-59.
11. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannung-srechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937.
12. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 212-222.
13. ЛеоновМ.Я., ПанасюкВ.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.
14. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-108.
15. Корнев В.М. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. -2000. - Т. 41. - № 2. - С. 177-187.
16. Корнев В.М. Многомасштабные критерии сдвиговой прочности блочных хрупких сред. Сателлитное зарождение микропор // ФТПРПИ. - 2000. - Т. 40. - № 5. - С. 7-16.
17. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Механика разрушения и прочность материалов: В 4-х т. - Киев: Наукова думка, 1988. - Т. 2. - 620 с.
18. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2-х т. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 448 с.
19. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980.- 368 с.
20. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.
21. Демешкин А.Г., Карпов Е.В., Корнев В.М. Малоцикловая усталость образцов с краевой трещиной из сталей с разными степенями предварительного деформирования // Физ. мезомех. - 2009. -Т. 12. - № 3. - С. 91-99.
22. Kornev V, Karpov E., Demeshkin A. Damage accumulation in the pre-fracture zone under low-cyclic loading of specimens with the edge crack // Proc. Engin. - 2010. - V. 2. - No. 1. - P. 465-474.
23. Демешкин А.Г., Карпов Е.В., Корнев В.М. Накопление повреждений в образцах с краевой трещиной в зоне предразрушения при нестационарном малоцикловом нагружении // Изв. РАН. МТТ. -2011. - № 4. - С. 141-154.
24. Coffin L.F., Schenectady N.Y. A study of the effects of cyclic thermal stresses on a ductile metal // Trans. ASME. - 1954. - V 76. - No. 6. -P. 931-950.
25. НикитенкоА.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. - Новосибирск: Изд-во ИГиЛ СО РАН и НГАСУ, 1997. - 278 с.
26. Paris PC., Gomez M.P., Anderson WE. A rational analytic theory of fatigue // The Trend in Engineering. - 1961. - V. 13. - P. 9-14.
27. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Диаграмма квазихрупкого разрушения тел со структурой при наличии краевых трещин // ПМТФ. -2011. - Т. 52. - № 6. - С. 152-164.
28. КорневВ.М., АстаповН.С. Модель разрушения кусочно-однородной среды при расслоении упругопластических структурированных материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16. - № 3. - С. 347-360.
29. Си Дж. Мезомеханика, понятие сегментации и мультискейлинго-вый подход: нано-микро-макро // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. -№ 3. - С. 5-18.
30. Внук М.П., Рузбехани А. Модель мезомеханики развития усталостной трещины для прикладных нанотехнологий // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 3. - С. 89-102.
31. Шанявский А.А., Захарова Т.П., Потапенко А.Ю. Мультимодальное распределение усталостной долговечности титанового сплава ВТ9 в области долговечности до 3 • 108 циклов в интервале температур 20-500 °С // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - С. 71-82.
32. Кибиткин В.В., Плешанов В.С., Солодушкин А.И. Модель деформационной структуры усталостной трещины смешанного типа (I + II) // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - Спец. выпуск. - С. 57-60.
Поступила в редакцию 08.04.2011 г., после переработки 15.09.2011 г.
Сведения об авторе
Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, kornev@hydro.nsc.ru
