Амплитудное подавление негауссовских узкополосных помех нелинейным преобразователем инерционного типа Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Статья поступила в редакцию 17 января 2012 г.

УДК 621.391.01

В. А. Данилов, А. В. Данилов

Северокавказский филиал Московского технического университета связи и информатики (г. Ростов-на-Дону)

Амплитудное подавление негауссовских узкополосных помех нелинейным преобразователем инерционного типа

Рассмотрены возможности метода инерционно-нелинейного подавления негауссовских узкополосных помех, заданных двумерным распределением. Проведена оптимизация нелинейного преобразователя. Проанализирована эффективность метода при подавлении негауссовских помех в некогерентных каналах обнаружения слабых сигналов.

Инерционно-нелинейное подавление, негауссовская узкополосная помеха, двумерное распределение, эффективность подавления, некогерентный канал обнаружения

Исследование вопросов оптимального обнаружения слабых сигналов при воздействии негауссовских помех, выполненное в работах [ 1 ]—[4], завершилось определением структуры оптимального приемного тракта и потенциальных возможностей приема. Структура оптимального обнаружителя слабого сигнала при коррелированных негауссовских помехах марковского типа в указанных работах представлена инерционно-нелинейным преобразователем (ИНП), осуществляющим декорреляцию (обеление) наблюдаемых данных. При негауссовских помехах произвольного типа, не сводящихся в общем случае к марковским, вместо оптимального обнаружителя целесообразно рассматривать совместное применение декоррелирующей процедуры и безынерционного нелинейного преобразования наблюдаемых данных в целях защиты фильтровых или корреляционных каналов обработки, рассчитанных на гауссовскую помеху. Для канала с когерентным накоплением сигнала при негауссовских помехах широкополосного типа такая задача решена в работе [5].

В настоящей статье аналогичная задача решена для канала с некогерентным накоплением сигнала. Обоснованы помехозащитные свойства метода ИНП в указанных каналах. Рассмотрена оптимизация ИНП при выполнении нелинейной обработки, в том числе с использо-ванем полиномиальных преобразователей. При этом предполагается, что негауссовская узкополосная помеха х ? представляет стационарный случайный процесс, заданный совместной плотностью , Л"2 коррелированных составляющих Л'| = х I и Л"2 = х 1-х . В этом

случае исследуемый ИНП, включаемый на входе некогерентного накопителя, представляется в виде последовательного соединения инерционного звена с характеристикой преобразования

41 *2 = Х1~РХ2> (!)

|р т | < 1 - произвольная действительная функция времени т и безынерционного нелинейного преобразователя (БНП) с характеристикой преобразования мгновенных значений £ г|| .

Возможности метода проиллюстрированы примером подавления помех гармонического типа, ширина спектра которых соизмерима со спектром сигнала или более узкополосных.

© Данилов В. А., Данилов А. В., 2012

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 4======================================

Эффективность и оптимизация ИНП. Рассмотрим прохождение аддитивной смеси и ? сигнала я ? и помехи х ? через ИНП, представляющий последовательное соединение трех элементов: блока задержки на время х, формирователя статистики г|| щ, и2 , соответствующей (1) при //| =и I , и2 = и 1 — т , и БНП с характеристикой преобразования £ г|| . Будем считать, что входной сигнал я I удовлетворяет ограничениям

Ы = Ы = ъ (4) = (*2> = Рс, (2)

где = 5 ^ ; s2=s t-^ ; Рс - мощность сигнала на входе приемника; (•) - символ усреднения по времени.

Пусть на приемной стороне известен параметр \ х , такой, что

К * | = (3)

Параметр Ъу х назовем коэффициентом формы сигнала.

Помеха - стационарный эргодический процесс, заданный двумерной плотностью м?2 Л}, х2 составляющих 1[=х ( их2=х^-х с коэффициентом взаимной корреляции Я т = Вх т /Вх О (Вх х - корреляционная функция помехи). Помеха и сигнал статистически независимы; отношение мощности сигнала Рс к мощности помехи Рп на входе приемника двх = РС/РП'^ 1-

Представим процесс на выходе ИНП разложением в ряд:

g[r]l щ, и2 ] = g[r]l Щ, и2 ] + [ ^/2*1 ¿1+ ^/дх2 +

+0.5 д2g|дx2 + 2Л|Л'2 д2g| дххдх2 + д2g|дx2 . (4) Предположим, что характеристика ИНП удовлетворяет условию

М я[тц *ь*2 ] =0, (5)

где М • - статистическое усреднение.

Наличие сигнала на входе ИНП приводит к изменению среднего значения:

М g[r]I х1+эъ x2+s2 ]

Проведя в (4) усреднение по времени с учетом (2), (3), а затем усреднение по координатам с учетом (5), получим

М хх + sl,x2+ s2 ] = Рс/2 1 — 2^1^ + р2 М .

К помехе отнесем лишь первое слагаемое суммы (4). Тогда отношение "сигнал/помеха" (ОСП) на выходе ИНП определится как

? = Рс4/4 1-2Й1Р + Р2 2 [М ¿^/¿тц2 ]2/м^2 гц ] . (6)

Выражение (6) определяет величину отношения "сигнал/помеха" на выходе ИНП, содержащего в своем составе БНП с характеристикой ^ г]| . Найдем вид этой характери-

стики, при которой достигается максимум коэффициента (6). Выполнив преобразование в числителе последнего сомножителя в (6) с применением формулы интегрирования по частям, наложив дополнительное условие

[У Л1 W Л1 -g TU W Л1 ]!œ=0 (7)

\w г|| - плотность вероятности случайной величины г|| х\, Xj (1)], можно показать [3], что максимум ОСП (6) достигается при

g Л1 = go 41 Л1 ¡w Л1 =[lnW Л1 ]"+[lnW m f (8)

и составит

maxq = q g = g0 = P? /4 1-2^ + p2 2 J [W" щ /W щ fw щ d4. (9)

Следовательно, для ИНП, максимизирующего ОСП, характеристика БНП должна быть согласована с распределением W r|i статистики гц хъ х2 ■> определяемой в соответствии с

(1). Это положение относится к помехам с произвольными шириной и формой спектра.

Необходимо сделать следующие замечания. Прежде всего, отметим, что оптимальные решения (8), (9) существуют, если плотность вероятности W r|i удовлетворяет условиям,

вытекающим из (7) с учетом (8). Кроме того, формула (8) совпадает с выражением для оптимального БНП в некогерентном широкополосном обнаружителе [3]. Разница состоит только в том, что характеристика оптимального БНП в некогерентном обнаружителе выражается через распределение w x мгновенных значений помехи на входе приемника. Следовательно, если распределение W r|i совпадает с распределением \i'| je мгновенных

значений помехи, ИНП в оптимальном случае будет иметь те же энергетические характеристики, что и амплитудный подавитель помех в некогерентном обнаружителе сигналов.

Конкретизируем изложенные положения на примере гауссовской плотности с дис-

2

Персией ах и коэффициентом автокорреляции R х . В этом случае

W тц =l/^2no2 exp -л, (10)

2 2 2

где аТ1=ах 1 + р — 2Rp - дисперсия линейной комбинации гауссовских величин (1). Подставив (10) в (8) и (9), для квадратического БНП при гауссовской помехе найдем ^ :

£0 Л 1 ^ Л 1 /а2т (11)

maxq = qKBT 1-2^р + р2 / 1-2^р + р2 J. (12)

Таким образом, при гауссовской помехе оптимальный БНП в тракте ИНП является квадратичным, а величина ОСП на выходе ИНП определяется формулой (12). Следует заметить, что величина (12) в общем случае зависит от параметров bi, R, определяющих

спектральные характеристики сигнала и помехи. При Ь\ т = R т , что характерно для не-гауссовской помехи, спектр которой соизмерим со спектром сигнала, имеем

тах 4 = 2> (13)

при этом ОСП на выходе ИНП не зависит от параметра р т инерционного звена и пропорционально квадрату ОСП на входе ИНП. Значение (13) соответствует ОСП на выходе квадратичного нелинейного элемента при гауссовской помехе для некогерентного обнаружителя [3].

Предположим теперь, что в схеме ИНП при произвольных значениях Ьу, Я используется БНП с квадратичной характеристикой. Подставив (11) в (6), получим для квадрати-ческого БНП при негауссовских помехах

п2

(14)

<7квнг=<7вх/2[ 1-2^р + р2 / 1-2Яр + р2

V,

где

(15)

\ = 2 м4/м2

причем М^, М2 - начальные моменты распределения Ж гц .

Как следует из (15), использование квадратичного БНП при произвольных значениях />1, К приводит к изменению ОСП на выходе ИНП на величину V. Если же в этих условиях вместо квадратичного БНП использовать оптимальный (8), то приращение ОСП составит

тахц. = тахд/двх = / 2у ] 1-2Яр + р2 гц

(16)

Следовательно, эффект от оптимизации БНП в схеме ИНП определяется формулой (16), а при применении нелинейного преобразователя с произвольной амплитудной характеристикой g г|| расчет эффективности подавления негауссовских помех следует опре-

2

делять по формуле [3]: ц = 2у 1-2Яр + р2 м2[^"г)1]/м

ё1 Л1

Хорошее приближение к оптимальному БНП может дать полиномиальная обработка:

п

8 = = 2, ... . (17)

к=О

Эффективность ИНП, осуществляемого с применением (11), зависит от выбора коэффициентов полинома. Определим коэффициенты а^, при которых подавление помехи в

полиномиальном преобразователе максимально.

Для ОСП (6) при характеристике (11) получим

-|2

п

^2к 2к-\ акМ21^-2 к=1

Ч а\,

а„

= ^с/4

1-2^р + р

(18)

ЕЕМ2к+21~М2кМ21 к=\1=\

Оптимальные коэффициенты а*, удовлетворяющие условию ч а*, = тахд а-у, ..., ап , определяются по формулам

=

где

hrl к =

а^-с det jhrf к , к > 1, с > 0;

* п * (19)

а0=-ЪакМ2к,

к=1

\M2r+2l -M2rM2h 1фк;

[2г 2г-1 М2г_ъ l = k, k,l,r = 1, 2, ..., и.

Таким образом, при осуществлении ИНП с оптимизированным полиномиальным преобразователем значение коэффициента ц следует определять по формуле

* *

H = q а*, аъ..., ап /q

Акв нг , (20)

где q а1,а2,..., ап определяется по (18), а ¿/^щ. - по (14) при оптимальных значениях переменных.

Инерционно-нелинейное подавление помех узкополосного типа. Далее рассмотрим эффективность метода ИНП для узкополосного случайного процесса (УСП), спектр которого соизмерим со спектром сигнала или более узкополосного. Математической моделью УСП, адекватно описывающей негауссовский процесс с вероятностной и информационной точек зрения, является стационарный случайный процесс с эллиптически симметричной (ЭС) двумерной плотностью вероятности [6], определяемой как

1-1

м/2эс ХЪ х2 ~

2nJ\-R2 т ] fx 51 , (21)

где R т - коэффициент корреляции негауссовских переменных х^, х2;

Л = ¡Qi W Jo 9б/9 - преобразование Фурье-Бесселя одномерной характери-

о

стической функции Q^ & заданного случайного процесса из [7], причем

91 x1, x2 = -^x2 + xf-2Rx1x2 / 1- R2 ; (22)

./о ■ - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Стационарный случайный процесс x t , для которого двумерное распределение эллиптически симметрично и определяется заданиями одномерной плотности и корреляционной функции в соответствии с (21), (22), назовем процессом ЭС-типа. К процессам данного класса относятся гауссовские процессы и синусоидальный сигнал со случайной начальной фазой. Благодаря этому, распределениями ЭС-типа можно описывать произвольные негаус-совские радиопомехи, являющиеся квазигармоническими случайными процессами.

Сумма произвольного числа независимых случайных процессов ЭС-типа порождает ЭС-процесс при условии, что автокорреляционные функции (АКФ) суммируемых процессов одинаковы. Таким образом, сумма квазидетерминированного гармонического колебания и узкополосного гауссовского шума является ЭС-процессом, когда АКФ суммируемых процессов пропорциональны функции [7]: г^ т = cos coqT .

Рассмотрим вероятностные характеристики случайной величины (1) для процесса ЭС-типа с двумерной плотностью вероятности вида (21). На основании [8] запишем:

Жэс л1 = 1Д/1 + р2-2Яр ^ тц/^1 + р2"2Яр . (23)

Из формулы (23) следует, что линейное преобразование (1) коррелированных ЭС-пе-ременных Ху, Х2 инвариантно относительно одномерной плотности вероятности. Иными словами, для класса ЭС-двумерных плотностей (21) линейное преобразование (1) оставляет неизменной плотность вероятности Wl х мгновенных значений процесса х I , а изменяет лишь масштаб этой плотности. Масштабный множитель линейно преобразованной

плотности вероятности Су = 1 ^1 + р2 -2Яр зависит от коэффициента корреляции преобразуемого процесса и от параметра р. Формула (23) обобщает выражение (10) на случай произвольной негауссовской ЭС-плотности.

Определим характеристику эффективности тракта ИНП для произвольного ЭС-про-цесса. Подставив (23) в формулу (8), найдем:

Яо Л1 =С[\ Л1 , (24)

где

/го гц =4 Л1 М Щ (25)

- оптимальная характеристика БНП некогерентного обнаружителя [3]. Подставив (24) в выражение (16), учтя при этом (15), получим

тг&\1 = \_Р2¡2\ М г|1 ^тах^, (26)

где тах Ц| - аналогичная величина для некогерентного широкополосного тракта с оптимальной характеристикой БНП [3].

Соотношение (26) получено при выполнении равенства р т — 0, при котором С\= 1. Если указанное равенство не выполняется, то величина (\ отлична от единицы и в этом случае выполняется очевидное соотношение:

Л / Л

8 = тах Цу/тах ц = Су =1/ 1 + р -2Яр , (21)

что справедливо для всех негауссовских распределений с ЭС-двумерной плотностью вероятности. Рассматрев 8 из (27) как функцию от параметра р т ИНП, можно показать,

2

что эта функция имеет максимум: 8тах = 1-р при р т т .

Последний результат позволяет заключить, что применение только декоррелирую-щей процедуры в форме (1) может обеспечить высокую эффективность схемы ИНП для негауссовских помех с двумерным распределением ЭС-типа. Отношение (21) совпадает с аналогичным выражением из [4], полученным для случая линейной режекции гауссовско-го шума, но по другой методике.

Негауссовская помеха гармонического типа. В качестве примера применения приведенных формул при негауссовских помехах рассмотрим инерционное подавление помех

гармонического типа. К помехам этого вида относятся мешающие непрерывные сигналы с произвольной угловой модуляцией. Математическую модель помехи примем в виде

х Г =у Г +п Г , (28)

где у ? = соз[юо^ + Ф ( + ©] - гармоническое колебание с фиксированными амплитудой Д) и частотой со0 и со случайной фазой ©, равномерно распределенной на интервале О, 2к (Ф I - нормальный случайный процесс, характеризующий угловую модуляцию);

п ? - гауссовский шум с дисперсией а2 и с коэффициентом автокорреляции Гу х .

Вероятностные характеристики линейной комбинации (1) для суммы (28) приведены в работе [8], где рассмотрен случай произвольной автокорреляции суммируемых составляющих. Процесс (28) относится к классу процессов ЭС-типа, если АКФ слагаемых одинаковы и пропорциональны функции соб ЮдТ [8].

Далее приведены вероятностные характеристики линейной комбинации (1) для процесса (28) при отсутствии угловой модуляции. На основании [8] при Ф ? =0 получим

а ¡-Гусозшот р2 ~ 2

W r\i =

а

ехр

п 1 + р - 2гур

*2 агц

l + p* -2/1р

1 -if

ХЕ 4hk Ч\ h Чг cos k z-2\\>l ,

k=0

(29)

где а = A0 / 2а2 - отношение мощности гармонической составляющей y t к мощности

гауссовского шума;

p2=-a/[l-r12 l + P2-2rlP

2 2

1 + P 1 + -4рг^+2 р 1-р Гу cosro0x

lk ■

- модифицированные функции Бесселя порядков 2к и к

so=1; ч = Ъ кhk •

соответственно;

q1 + р2-2р r ; q2=^$\+ $2/^ 2+PlP2cos 2^2 Pi ="[a/ l~r\ _ cosro0x"rl ^ vj/2 = arctg [ 1-p / 1 + p ][ 1 + rx / 1 -rx ]tg ю0т/2 ; z = arctg [ 1/2 p2sin 2y2 ]/[p:+ 1/2 p2cos 2y2 ] ; \\Jl = arctg [ 1 + p / 1-p ]tg coqt/2 .

* /

Выражение (29) соответствует распределению случайной величины гц = Л'| — рх2 j А{) при произвольных значениях р, .

Для расчета эффективности тракта ИНП с полиномиальным преобразователем по формулам (19), (20) необходимы выражения для моментных функций распределения (29). Воспользовавшись результатами из [8], получим

М1п = 2п-\ !!

1 + р -2г:р 2а

п I

z —

k=0 ^ •

ykj

а 1 + р -2pcosfo0T

l + p2-2r:p

,п = 1, 2, ... . (30)

Ln а

(31)

При р = 0 из формулы (30) получим

М1п =[ 2п-\ !|/ 2а

где Ьп ■ - полиномы Лаггера //-го порядка [9]. Выражение (31) соответствует аналогичному соотношению из [10] для начальных моментов одномерной плотности вероятности процесса (28). Эта плотность может быть записана в форме

2

1 _

а x-coscp

d ср.

АКФ для суммы (28) при отсутствии угловой модуляции в составляющей y t может быть записана как

R т =[acos root +гу т ]/ а + 1 . (32)

Результаты расчета. Далее приведены результаты расчета характеристик эффективности метода ИНП, полученные с применением распределения (29) и моментных функций (30) (см. рисунок, где |л.2 — 101g ju.^; a2 = lOlga ). Основной задачей этих расчетов являлась оценка отличия эффективности ИНП при помехе вида (28) с ЭС-двумерной плотностью вероятности от аналогичной характеристики для произвольной совместной плотности. Как уже отмечалось, для процесса вида (28) отличие двумерной плотности от распределения ЭС-типа при Ф ( =0 возможно лишь при отличии АКФ слагаемого п t от функции cos Юот • Для упрощения изложения примем АКФ процесса n t в форме

-aJt|

Гу х =е """cos coqT , (33)

где X > 0 - параметр огибающей АКФ этого шума. С учетом (32) и (33) получим

R х = a + cos со0т / а + 1 . (34)

При А, = 0 процесс (28) является процессом ЭС-типа и его АКФ (34) равна cos со0т .

Зависимость эффективности ИНП для этого случая отображена на рисунке штриховой линией. Данные для нее рассчитаны по формуле (26) с учетом (25) для одномерной плотности (29) при выполнении равенства \ т =

= R х =cosraoT- На рисунке сплошными кривыми приведены результаты расчетов эффективности ИНП при действии негаус-совской помехи (28) для X Ф 0 в формуле (34). Кривая 1 построена для значения параметра = х jA, кривая 2 - для пара-

М-2

20 -

15 -

10

5 — ^—

—~ |

0 4

62

12

16

к

п

8

2

метра л2' = тк/2, кривая 3 - для параметра A31 = тк, где интервал корреляции tr определялся по огибающей коэффициента корреляции (33). Кривые 1-3 рассчитаны с применением полиномиальной аппроксимации (17) при п = 4 для коэффициентов полинома, полученных по формуле (20) с учетом (14) и (19) при использовании значений для мо-ментных функций M2n, определенных с помощью (30).

В результате проведенного анализа можно заключить, что применение декоррели-рующей процедуры (1) существенно повышает эффективность метода ИНП в каналах с некогерентным накоплением сигнала. Метод ИНП может быть эффективен как при широкополосных помехах, так и при помехах с полосовым спектром, причем эта эффективность в полосовых каналах реализуется без применения узкополосных фильтров. При негауссов-ских помехах с двумерной плотностью ЭС-типа эффективность метода ИНП не зависит от параметров р, R и эквивалентна эффективности некогерентного широкополосного обнаружителя. Полученные в работе вероятностные характеристики для линейной комбинации (1) негауссовских случайных величин гармонического и ЭС-типа имеют самостоятельное значение для использования в других задачах статистической радиотехники.

Список литературы

1. Левин Б. Р., Кушнир А. Ф., Пинский А. И. Асимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения и различения сигналов на фоне коррелированных помех // Радиотехника и электроника. 1971. Т. 16, № 5. С.743-754.

2. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. 320 с.

3. Теория обнаружения сигналов / П. С. Акимов, П. А. Бакут, В. А. Богданович и др.; под ред. П. А. Ба-кута. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.

4. Валеев В. Г., Данилов В. А. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских коррелированных радиопомех // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1991. № 7. С. 30-34.

5. Валеев В. Г. Помехоустойчивость типовых каналов обнаружения при коррелированных негауссов-ских помехах // Радиотехника и электроника. 1974. Т.19, № 8. С. 1638-1643.

6. Данилов В. А. Вероятностное моделирование негауссовских случайных процессов со спектром узкополосного типа // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41, № 8. С. 946-950.

7. Мс. Graw D. K., Wagner J. F. Elliptically symmetric distributions // IEEE Trans. on information theory. 1968. Vol. IT-14, № 1. P. 110-120.

8. Данилов В. А. Вероятностные характеристики линейной комбинации коррелированных случайных величин негауссовского типа // Радиотехника. 1997. № 12. С. 17-20.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука,1971. 1108 с. 10. Данилов В. А. Вероятностные характеристики гармонического колебания с амплитудно-угловой модуляцией // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, № 1. С. 208-211.

V. A. Danilov, A. V. Danilov

North Caucasian branch of the Moscow technical university of communications and informatics (Rostov-on-Don)

Amplitude inhibition of non-Gaussian selective interferences by the non-linear transformer of inertial type

Possibilities of a method of inertial non-linear inhibition of non-Gaussian selective interferences which have been given by two dimension distribution are considered. Optimization of the non-linear transformer is carried out. Efficiency of a method is analyzed in case of inhibition of non-Gaussian interferences in no coherent channels of feeble signals detection.

Inertial non-linear inhibition, non Gaussian selective interference, two dimension distribution, inhibition efficiency, no coherent detection channel

Статья поступила в редакцию 24 мая 2012 г.