CC BY
456. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения / пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 487 с.
7. Гайворонский Д. В. Выработка предложений по модернизации пользовательского радиоинтерфейса спутниковой радионавигационной системы
D. V. Gayvoronsky, L. V. Azin Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"
ГЛОНАСС: автореф. дис. ... канд. техн. наук / СПбГЭТУ "ЛЭТИ". СПб., 2010. 16 с.
8. Анализ совместимости новых сигналов ГЛОНАСС с существующими и модернизированными навигационными сигналами / С. Б. Болошин, Д. В. Гайворонский, В. П. Ипатов и др. // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 6. С. 56-65.
Estimation of the multiple access interference in the new GLONASS signal ensembles
Estimation of the multiple access interference in modernized GLONASS L1 and L2 signal ensembles for wide Doppler frequency deviations are provided.
Satellite navigation systems, GLONASS, Kasami set, Gold set, signal code division, multiple access interference
Статья поступила в редакцию 16 июля 2013 г.
УДК 621.396.9
В. А. Данилов, А. В. Данилов Московский технический университет связи и информатики
Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских узкополосных помех
Изложены теоретические основы и представлена методология защиты типовых каналов обнаружения известного сигнала с учетом воздействия на приемник узкополосной негауссовской помехи.
Негауссовская помеха, амплитудное подавление, эффективность подавления, амплитудная характеристика
Стремительное развитие радиотехнических и связных систем выдвигает на первый план принципиально новые задачи. Одной из таких задач является обеспечение заданного уровня помехоустойчивости приема сигнала при условии высокой плотности внешних помеховых воздействий.
Реальные помехи для радиотехнических, связных и других информационных систем - почти всегда негауссовские. В качестве негауссовских помех рассматриваются любые мешающие воздействия, аддитивно влияющие на полезные сигналы и имеющие статистическое описание, отличающееся от гауссовского случайного процесса. Например, атмосферные помехи в длинно-, средне- и коротковолновом диапазонах, радиолокационные пассивные помехи при отражении от Земли и моря, электромагнитные излучения мешающих радиосистем всегда являются негауссовски-ми. Наиболее опасны среди них помеховые воздействия узкополосного типа, ширина спектра
© Данилов В. А., Данилов А. В., 2013
которых соизмерима с шириной спектра сигнала или более узкополосные.
Существующие методы помехозащиты, такие как фильтрация, выбор метода модуляции, увеличение мощности сигнала, связаны с существенным усложнением схемы приемника и, как следствие, с увеличением стоимости аппаратуры. В силу этих причин такие методы не в состоянии обеспечить требуемый уровень помехоустойчивости. В качестве альтернативы можно указать ряд технических решений, позволяющих в отдельных случаях получить существенное увеличение помехоустойчивости приема за счет введения в аппаратуру сравнительно простых и недорогих элементов помехозащиты.
Цель настоящей статьи - изложение теоретических основ и методологии защиты типовых каналов обнаружения сигнала с учетом воздействия на приемник негауссовской помехи узкополосного типа.
15
Вероятностное моделирование негауссов-ской радиопомехи. Исчерпывающей характеристикой любого случайного процесса является его многомерная плотность вероятности (ПВ) [1]. Однако при решении конкретной задачи целесообразно использовать некоторые упрощенные модели, основанные на распределениях ограниченного порядка. Такой моделью может быть представление многомерной ПВ в форме марковской модели первого порядка [1], при которой многомерная ПВ полностью определяется условной Н (хц/Х2 ) либо совместной ПВ н (1, Х2 ):
Н (Х1/Х2 )= Н2 (х1, Х2 (х2 ), (1)
где Х1 = х (?), Х2 = х ( + т) - отсчетные значения рассматриваемого узкополосного случайного процесса (УСП). В настоящем разделе рассмотрено представление двумерной ПВ УСП, заданного ограниченным набором априорных сведений. Таким набором в ряде задач могут быть одномерная ПВ (х) мгновенных значений случайного процесса х0) и его корреляционная функция Вх (т). Для УСП вместо одномерной ПВ можно задать распределение его огибающей Шд(А), А > 0, связанное с характеристической функцией (ХФ) 0 (у) функциональным соотношением [2]
= 701 (у) Jo (Ау)у—у, (2)
А 0
где 01 (у) - ХФ для ПВ (х); Jo - функция Бесселя нулевого порядка.
Известно [1], что только для гауссовских случайных процессов полное вероятностное описание возможно на основании одномерного распределения и корреляционной функции. Для негауссов-ских случайных процессов описание на основе м\ (х) и Вх (т) всегда имеет приближенный характер и фактически может быть выполнено только в классе случайных процессов марковского типа.
Определение двумерной ПВ на основании одномерной ПВ и корреляционной функции не обеспечивает точных значений высших моментов описываемого УСП. Поэтому для контроля по высшим моментам, вытекающим из полученной двумерной ПВ, необходимо ввести дополнительный критерий. В качестве такого критерия может выступать количество информации по Фишеру [3], определяемое по условной ПВ:
= 7 7 н(х1 х2)
Н2 (х[, х2 )—х1—х2. (3)
Настоящий раздел посвящен обоснованию методики вероятностного моделирования УСП, заданного одномерным распределением и корреляционной функцией, при которой определяется двумерная ПВ с известным значением количества информации по Фишеру.
Формулировка задачи моделирования. Рассмотрим один из возможных способов задания информационной характеристики (3), соответствующей имеющимся априорным данным. Предположим, что относительно помехи известны (х) и Вх (т). По виду функции Вх (т) уже можно судить о типе спектра помехи. Рассмотрим два простейших типа спектра: широкополосный и полосовой, оставив в стороне промежуточные варианты.
При задании величины (3) будем исходить из того, что моделируемая двумерная ПВ н (1, х2 ) должна обеспечивать максимальное значение 1ф2 [н (х^ х2 . В задачах приема сигналов это
условие эквивалентно минимуму ошибок приема или максимуму коэффициента цач совместного амплитудно-частотного подавления негауссовской помехи. На основании результатов [3] получим
Мач = ст2!ф2 [н (х2, где а2 - мощность помехи на входе приемника, а величина 1ф2 рассчитывается по формуле (3).
Верхняя граница значений коэффициента совместного амплитудно-частотного подавления не-гауссовской помехи определяется в виде неравенства Мач —М0аМ0ч [4], где М0а и М0ч - оптимальные значения коэффициентов амплитудного и частотного подавлений соответственно. Положим, что задание значения информации (3) для моделируемой двумерной ПВ сводится к определению коэффициентов М0а и М0ч, соответствующих имеющимся априорным данным и обеспечивающих выполнение равенства
Мач = М0а М0ч. (4)
Рассмотрим сначала способ задания коэффициентов амплитудного подавления (АП) в широкополосном Ц0аш и полосовом ^0ап вариантах. На
основании [4] для этих коэффициентов получим:
2
М0аш =а х
—1п н (х) dx
Н (х) —х, (5)
—ад —ад
ст
2 <ю
0
d_ dA
ln
WA (A)
W (A) dA. (6)
Коэффициенты (5), (6) характеризуют увеличение отношения "сигнал/помеха" за счет включения нелинейного преобразователя (НП) с оптимальной амплитудной характеристикой (АХ) в широкополосный и полосовой каналы обнаружения соответственно.
Задать коэффициент частотного подавления Ц0ч в общем виде (без учета структуры обработки и типа сигнала) невозможно. Поэтому будем считать, что в схеме обнаружителя применяется частотный подавитель в виде линейного декорре-лятора (Дк), оптимального для гауссовской (марковской) помехи с экспоненциальной корреляционной функцией. В этом случае для коэффициента частотного подавления получим [4]: цоч=
= 1 (1 - р2 ), где р = Вх (т)/Вх (0) - нормированная функция корреляции.
Величина Цоч показывает, во сколько раз возрастает отношение "сигнал/помеха" на выходе приемника за счет применения Дк в виде череспериод-ного вычитающего устройства. При обработке помех с характеристиками, отличающимися от характеристик гауссовской экспоненциально-коррелированной помехи, такой Дк будет неоптимальным, поэтому указанные помехи будут подавляться в нем в меньшей степени и характеризоваться реальным ко -эффициентом подавления |Мрч, меньшим цоч.
Для негауссовских помех широкополосного типа коэффициент (4) составляет
Мач = 1ф2ш = М0аш М0ч = М0аш /(1 - Р2 ).
Для негауссовской помехи полосового типа в результате аналогичных рассуждений получим:
Мачп = М0ап М0ч = М0ап /(1 - р2 ), (7)
где М0ап определяется по формуле (6).
Таким образом, задача вероятностного моделирования негауссовской помехи со спектром полосового типа сводится к нахождению совместной двумерной ПВ ^2 (х1, Х2) по заданным ^^ (х) и Вх (т), для которой количество информации по Фишеру (3) на основании (7) составляет:
'Ф2П
:Юап/ [ст2 (1 -Р2 )]. (8)
Вероятностное ограничение для УСП. Рассмотрим стационарный случайный процесс со спектром узкополосного типа, при котором нормированная корреляционная функция имеет вид
Р(Т) = Р0 (т)cos(со0т), (9)
где Ро (т) - медленно спадающая функция; Ю0 -центральная частота узкополосного спектра. Будем также считать, что эффективная ширина спектра частот (Дюэф) рассматриваемого УСП
удовлетворяет неравенству Дюэф ^ юо- Перечисленные требования не налагают никаких ограничений на вероятностные характеристики УСП. Поэтому в дополнение к указанным спектральным ограничениям потребуем выполнения вероятностного ограничения для УСП, которое состоит в следующем.
Предположим, что из двух отсчетных значений xi = х(t) и Х2 = х(t + т) случайного процесса х (t) сформирована случайная величина
ЭТ( Х2) = ^xi2 + х2 - 2р(т)X1X2]/[l - р2 (т)], (10)
где р(т) - коэффициент корреляции отсчетных значений. При известной совместной ПВ отсчетных значений W2 (xi, Х2) ПВ случайной величины (10) имеет вид [5] 2л
W(ЭТ) = Kcosр J w2 [«cos(0-р), ^sin©]d©, (11)
где
cos p = V 1 -р2 (т). (12)
В общем случае функция W (ЭТ) зависит от параметров корреляционной функции р(т), и эта зависимость учитывается в выражении (11) через величину в (12). Однако можно указать класс случайных процессов, для которых распределение (11) не зависит от р(т) и при этом распределение W (ЭТ) совпадает с распределением Wa (A) огибающей A (t) рассматриваемого УСП:
W(ЭТ) = WA (A). (13)
Такие случайные процессы относятся к классу процессов с эллиптически симметричной (ЭС) двумерной ПВ. Они подробно рассмотрены в работе [6]. Далее подобные процессы названы процессами ЭС-типа.
Рассмотрим основные вероятностные характеристики для процессов ЭС-типа. Согласно определению из [6] двумерная ПВ такого процесса имеет вид
^2ЭС (xb x2) = С1/(ЭТХ
где Q - нормировочная константа;
(14)
1Л;
/ (ЭТ) = (2лcos р)-1 J Q (v) J0 (ftv)vdv. (15)
0
Таким образом, задание одномерной ПВ и корреляционной функции исследуемого УСП позволяет моделировать двумерную ПВ в виде (14) для специального класса процессов ЭС-типа. При этом двумерная ПВ ЭС-переменной вида (10) пропорциональна преобразованию Бесселя одномерной ХФ Q1(v).
Для процесса ЭС-типа выполняется тождество (13). Действительно, подставив (14) в (11) и учитывая (15), получим:
W (ЭТ) ЭТ
:C1 JQ (v)J0(*v)vdv.
0
(16)
Полученное выражение с точностью до постоянного множителя совпадает с формулой (2). На этом основании заключаем, что для класса процессов ЭС-типа распределение переменной (10) совпадает с распределением огибающей Шд(А) рассматриваемого УСП.
Определим информационную характеристику (3) для УСП с двумерным распределением (14). Продифференцировав обе части равенства (1) по переменной х1 и приняв во внимание (10), (14) и (15), получим:
д
In w (Ix2) =
X1 - X2P 1 d
1 -P
2 ЭТ d ЭТ
dx1
Следовательно
1Ф2 [w1 (I x2)] = (1 -P2)
ln f (ЭТ).
-2
J J
(X1 - X2P)
ЭТ
2
d ln/(ЭТ)
dЭТ
w2 (x1, X2)d>qdc2.(17)
Перейдя в (17) к обобщенным полярным ко -ординатам л =^cos (9-Р); Х2 =^sin 9, где величины ЭТ и в определяются при помощи (10) и (12), и учитывая, что Х1 - Х2Р = ЭТcos 9cos р, по-
сле вычисления интегралов с учетом (6), (13), (14) и (16) найдем:
/Ф2,
[w (( X2 )] = Аоап /Й (1 -P2 )] . (18)
Здесь имеется величина р-оа , аналогичная коэффициенту АП (6), определяемая при помощи распределения (16). В силу идентичности распределений W (ЭТ) и WA (Л) (см. (13)) для УСП с
ЭС-двумерной ПВ Доап = М-0ап. Следовательно, выражение (18) соответствует 1ф2 , определяе-
п
мой формулой (8).
Таким образом, для УСП с ЭС-двумерной ПВ (14) информационная характеристика (3) отвечает соотношению (8). Поэтому вероятностное ограничение в форме (13) может быть принято за основу моделирования УСП с корреляционной функцией (9).
К классу процессов ЭС-типа относятся гаус-совские случайные процессы и синусоидальный сигнал со случайной начальной фазой, равномерно распределенной на интервале (0, 2п). Благодаря этому ЭС-распределения можно использовать для описания произвольных негауссовских УСП, являющихся квазигармоническими процессами.
Структура асимптотически оптимального обнаружителя. Полученные вероятностные характеристики позволили определить структуру оптимального обнаружителя и исследовать его эффективность. Известно [7], что при марковской аппроксимации помех асимптотически оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала определяется алгоритмом вида n-1
Z = Х[Sk+1Ф1 (к, Ук +1) + SkФ2 (к, Ук +1), (19)
к=0
где n - объем выборки, по которой принимается решение; Sk = S (tk ) - обнаруживаемый сигнал;
( ) 5 1 w2 (Ук, Ук+1) Ф1 (Ук, Ук+1) = -1п-■
дУк+1 w1 (Ук)
( ) д l w2 (Ук, Ук+1)
Ф2 (Ук, Ук+1 )=-^—ln—г~{—;
дУк W (Ук )
(20)
Ук = + хк - наблюдаемая смесь сигнала с помехой.
Конкретизируем структуру обнаружителя (19) для случая коррелированной радиопомехи, двумерное распределение которой представлено в форме (14). Подставив (14) в соотношения (20) и с учетом выражения
да
X
Ф1 (Ук, Ук +1 ) =
Ук+1 -рук _!_ [_±_ 1п 1 -р2 Як [ dЩ [ Щ
Ф (у У ) Ук -рУк+1 1 х
Ф2 (Ук, Ук +1) =-2— х
1 -р2 Як
(21)
х]-^ 1п
V (Щк)
Як
d
+^У^1П Н1 (Ук ), (22)
где
Щк = ^+1 + Ук - 2рУкУк+1 )1 -р2 ), (23)
с помощью (19) получим:
п-1
* = 1
к=0
ф (Ук, Ук +1 ))°ЩЩк ) -/0 (Ук )5к
, (24)
где
ф (Ук, Ук+1 ) = = (Ук+1 - рУк ) Бк+1 + (Ук - рУк +1) Бк (25) " 1 -р2 '
Я0 (Як) = - ^1п V (Щ )Щк ]; (26)
d
/0 (Ук) = -^[1п Н1 (Ук^,
(27)
причем V (Як) - распределение случайной величины Як (23), определенное по (16) и совпадающее с распределением огибающей рассматриваемой ЭС-модели.
Первое слагаемое в (24) является результатом весового накопления значений gо (Як )/Як , полученных пропусканием статистики Як (23) через безынерционный нелинейный преобразователь НП2 с характеристикой
(Як ) = gо (Як )/Як. (28)
Весовой функцией здесь является величина Ф (Ук, Ук+1) (25).
Второе слагаемое в (24) соответствует безынерционному нелинейному преобразованию НП1 с амплитудной характеристикой (27) выборочных значений Ук принимаемого колебания с последующей фильтрацией в фильтре, согласованном с сигналом Бк.
Характеристики нелинейных преобразователей НП1, НП2 определяются распределениями щ (х) и IV (Я) соответственно. При этом функция (27) яв-
ляется оптимальной характеристикой НП для АП широкополосных негауссовских помех, а функция g0 (Як) из (26), (28) соответствует колебательной характеристике (КХ) по первой гармонике оптимального НП с амплитудной характеристикой /0р (х).
Функции gо (Як) и /ор (х) связаны между собой интегральным соотношением [4] 1 2п
g0 (Як) = 1 [ /0р (Як С08ф)С08Ф с<Ф. (29) п 0
Алгоритм (24) реализуется структурной схемой на рис. 1. Данная схема представляет инерционно-нелинейный преобразователь (ИНП) и содержит инерционный и безынерционный каналы обработки. Инерционный канал состоит из устройства задержки принимаемого сигнала на интервал дискретизации т, формирователя случайной величины Як (23) и безынерционного НП2 с АХ вида (28). Безынерционный канал включает в себя нелинейный преобразователь НП1, настраиваемый в соответствии с одномерным распределением радиопомехи. Структура обнаружителя на рис. 1 содержит также устройства, выполняющие арифметические операции (+, х), накопитель X и решающее устройство (РУ). Сигнальные компоненты
4 = ^БК и §к +1 = формиру-
1 -р
1 -р
2
ются отдельным генератором.
Структура обнаружителя, соответствующего алгоритму (19), является асимптотически оптимальной при воздействии коррелированной негаус-совской радиопомехи с двумерной ПВ ЭС-типа.
Схема ИНП (рис. 1) в общем случае двухканаль-на, т. е. обнаружитель нельзя свести к простейшим
Ук+1
Ук
1-1 т Як НП2
РУ
7\
о 1
Рис. 1
схемам последовательного соединения безынерционного НП и согласованного фильтра (СФ). Однако рассмотренный далее в настоящей статье случай, когда на входе приемника действует узкополосная радиопомеха, спектр которой соизмерим со спектром сигнала, является исключением. В результате рассмотрения показано, что оптимальной при этом является КХ комбинированного типа [8].
Эффективность оптимального обнаружителя. Расчет эффективности оптимального обнаружителя проведен в соответствии с методикой, изложенной в [9], при необходимой конкретизации двумерной ПВ радиопомехи. Считая объем выборки п достаточным для нормализации статистики обнаружения (24), охарактеризуем качество обнаружения параметром
Мор! = а2 [(Ф2 > + (Ф2 ) + 2\{ Ф1Ф2) ], (3°)
где а2 - мощность помехи на входе приемника; Ф1, Ф2 - функции, определяемые формулами (20);
п—1 /п—1
¿1 = ^ +1 / ^ - коэффициент формы к=0 / к=0 сигнала; О - знак статистического усреднения.
Параметр ц^ можно рассматривать в качестве
оценки повышения отношения "сигнал/помеха" при переходе от типового СФ к оптимальной обработке (24) с учетом двумерной ПВ радиопомехи.
Воспользовавшись выражениями (21), (22) для функций ф1, ф2, входящих в соотношение (30), выполнив статистическое усреднение с учетом двумерной ПВ в форме (14) и приняв во внимание соотношение (16), получим:
Müp
:(.-Р2)
; (ф2):
Müp
(1 -р2 )
МО .
ст2 ' ст х
(Ф1Ф^ = -
М0р
-Р-
ст2 (i-р2 )
Подставив найденные величины в (30), най-
дем:
Мор! = 2М0р ( — ¿1Р)/с1 — р2 ) — М0. (31)
В (31) величина М0 характеризует энергетический выигрыш от введения НП с характеристикой /0(х) в широкополосном тракте обработки и определяется с помощью соотношения
М0 = ст2 J /02 (х) w1 (х) dx, (32)
-ю
где функция /0(х) рассчитывается по формуле (27). Коэффициент |0р в (31) характеризует энергетический выигрыш от введения НП с КХ по первой гармонике g0 в полосовом тракте обнаружителя [4]. Значение |0р рассчитывается по формуле
2 ю
М0р =СТХígo (A)WAdA, (33)
20
где КХ g0 (A) определяется с помощью соотношения (26) при учете тождества (13).
При гауссовской помехе |Mq = l0p = 1- В этом
случае |0pt = (1 - 2¿1p + р2 )/(1 - р2) показывает,
во сколько раз увеличивается отношение "сигнал/помеха" от применения линейного Дк. Этот результат согласуется с известными результатами для коррелированного гауссовского шума [1]. Если спектр помехи соизмерим со спектром сигнала, в (31) следует положить:
p(x)= b1 (т). (34)
В этом случае из (31) получим:
lopt = 2М0р -М0 =11. (35)
Для иллюстрации полученных соотношений рассмотрим характеристики эффективности обнаружителя для негауссовской помехи синусоидального типа. Такими сигналами могут быть сигналы сторонних радиосистем, а также сигналы, отраженные от крупных мешающих объектов. На входе синусоидальная помеха U (t) складывается с гаус-совским шумом приемника n (t), образуя смесь
x(t) = U (t) + n (t). (36)
Распределение смеси (36) для нормированной переменной X = x/Aq ( Aq - амплитуда составляющей U (t)) определяется по формуле [2]
1 /а2? Г - 21 W1(X) = —. — í exp_-а(Х- sin t) 1 dt. (37) 2? V ? О
Вид распределения (37) зависит от параметра а= Aq I(2ct^j ), равного отношению мощности составляющей U(t) к мощности гауссовского
И, дБ
20
10
10
20
а, дБ
Рис. 2
шума стш. Возможные амплитудные флуктуации составляющей и (?) можно учесть эквивалентным увеличением шумового компонента п (?).
Огибающая Ах смеси (36) распределена по обобщенному закону Рэлея [2], который для нормированной переменной А = Ах/Ао принимает вид
1а (А) = 2аА ехр [-а (А2 + 0] 10 (2аА), (38)
где 1о - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
На рис. 2 отражены результаты расчетов по формулам (32), (33) и (35) для синусоидальной помехи с распределениями (37), (38). Кривые 1, 2 показывают зависимости Мо (а) (32) и Мор (а) (33) соответственно; кривая 3 - результаты расчета функции М1 (а) (35). Зависимости на рис. 2 позволяют заключить, что рассматриваемый асимптотически оптимальный обнаружитель подавляет узкополосную синусоидальную помеху до уровня шума. Эффективность обнаружителя может быть выше эффективности безынерционных методов АП негауссовской помехи.
Обоснование вида КХ комбинированного типа. Как уже отмечалось, двухканальную схему обнаружителя можно свести к одноканальной схеме типа НП-СФ для негауссовской помехи узкополосного типа. В [8] показано, что при выполнении равенства (34) двухканальная схема обнаружителя сводится к одноканальной, в которой применяется безынерционный НП с КХ комбинированного типа. Настоящий раздел посвящен математическому обоснованию характеристик применяемого НП.
Задача формулируется следующим образом. Требуется найти КХ НП, обеспечивающую в оптимальном случае эффективность обнаружителя, соответствующую (35). Подобного рода задачи могут быть решены с использованием методики анализа каналов АП с применением специальных функциональных преобразований [10]. В рассматриваемом
случае используются функциональные преобразования, связывающие распределения 1а (А) и щ(х) с ХФ вида 01 (у), позволяющие модернизировать интегральные формулы (32) и (33), определяющие коэффициенты М0 и М0р соответственно.
Запишем модифицированную формулу для ко -эффициента Мор. Подставив в (33) функцию
1а (А)¡А, определенную с помощью соотношения (2), после изменения порядка интегрирования по переменным А, V получим:
2
М0р | Й(у)Fl (У)<у, (39)
где
F (v) = v J g2 (A) J0 (Av) AdA.
Последняя формула является преобразованием Фурье-Бесселя от функции gQ(А). Тогда
функция g° (А) может быть получена обратным преобразованием:
"" _(у)
V
g0 (A) = J J0 (Av)vdv. (40)
J л;
Полученное соотношение определяет оптимальную КХ для радиопомехи, заданной распределением 1а (А). Следует заметить, что функция g0(А), определяемая формулой (40), отличается по форме записи от основного выражения (26).
Аналогичными выкладками с использованием интегрального преобразования, связывающего между собой функции щ (х) и 01 (у) [1], для ко -эффициента (32) получим: 2ст2 ю
М0 = — 101 (у) F2 (у) dу, (41)
где
F2 (v) = J /о2 (х)cos(vx) dx. (42)
0
Таким образом, коэффициенты Ц0р и Ц-0 записаны в форме (39) и (41) посредством ХФ заданной радиопомехи. Подставив выражения (39), (41) в (35), получим:
ю
и = 2И)р -Ц0 =ст2х J Q1(v) F(v) d v,
0
где
Fр (у) = Г1 (у) —(2/л)(у).
(43)
Отметим, что характеристика эффективности обнаружителя, определяемая соотношением (35), по аналогии со значениями М0р и М0 записана с
помощью ХФ вида 01 (у).
Выражение (43) позволяет определить оптимальную КХ Щ (А) для искомой АХ /1 (х) в форме соотношения, аналогичного выражению
2 ( ) ^р (у) ( )
(40): ¿2 (А) = I —-J0 (Ау)у—у. Подставив в
0у
последнюю формулу ^р (у) из (43) и с учетом
(40), (42), после вычисления интегралов с помощью [11] получим:
¿0 (А) = (А^/Щ. (44) л 0л/ А2 — х2
В последней формуле характеристика go(А) определяется соотношением (26), а функция /0 (х) находится с помощью (27). Характеристику в форме (44) назовем комбинированной, так как она определяется с помощью комбинации функций g0(А) и /0 (х).
Найденная КХ позволяет записать искомую АХ вида /1 (х) для рассматриваемого случая. Функции ¿0(А) и /1(х) связаны между собой интегральным соотношением, аналогичным формуле (29). Рассматривая (29) как интегральное уравнение типа Абеля, найдем искомую функцию /1(х) обращением интегрального соотношения [4]:
/1(х ) =
М (0) 1 х— [хЬр(7)] 0;
+ I i- , х ^ 0;
2 х
20 л/х2^2
/1 (—х ) = — /1 ( х ),
(45)
где М ( 7) = ( 7).
Рассмотрим пример расчета с использованием найденных соотношений. Допустим, что в качестве помехового колебания рассматривается нормальный случайный процесс. В этом случае распределение Шд (А) описывается законом Рэлея [1]:
(А) = (А/а2 )ехр {—[а/(2а2 )]}, (46) а функция щ(х) имеет вид
щ (х ) = (1/\£02 ) ехр{—[ х2/(2а2 )]}. (47) Подставив (46), (47) в (26), (27), получим
g0(А) = А а2; /0 (х ) = х/ а2.
Подставив найденные значения в (44), после вычисления интеграла с помощью [11] найдем:
Ь0 (А) = А/(72а2).
(48)
Приняв во внимание найденное значение, с помощью (45) получим /1 (х ) = х/ (72а).
Таким образом, искомая АХ для гауссовского случайного процесса является линейной, как и следовало ожидать.
Определим теперь характеристику эффективности применяемого НП. С этой целью найдем усред-
(¿0(А^а для соотношения (44):
ненное значение
(¿2 (А))а = (go2 (А))а
(49)
Первое слагаемое в (49) на основании (33) может быть записано как
(А))А = 2М0^/а2. (50)
Проведя усреднение второго слагаемого в (49), с учетом соотношений [2]
( ) 1 7 Ша(а) щ (х) = - I
л| хлЙ2^
связывающего в явном виде функции щ(х) и Шд (А), и (32) получим:
/А ,2,
2 а2'
Л ^0
а2
(51)
Подставив найденные выражения (50), (51) в соотношение (49), имеем:
(к0 (А))А = (2М0р — М0))2 = ш/а2х.
Таким образом, окончательно
М1 =а2х
(¿2 (А))А
(52)
Из полученных соотношений можно заключить, что НП с КХ в форме (44) обеспечивает эффективность, соответствующую значению (35). При помехе гауссовского типа с помощью (48)
получим (А))А = (А2/(2ст4))А = 1 ст2. Следовательно, величина (52) в данном случае составит м1 = ст2(Ьо (А))А = 1.
Такой же результат может быть получен из общей формулы (35) при Мор = Мо = 1.
Основными результатами настоящей статьи являются следующие.
1. Обосновано вероятностное описание негаус-совской помехи узкополосного типа, заключающееся в определении двумерной ПВ на основании одномерной ПВ щ(х) и заданной корреляционной функции Вх (т). Вероятностное моделирование сводится к определению двумерной ПВ ЭС-типа, при которой выполняется тождество (13).
2. Синтезирован асимптотически оптимальный обнаружитель слабого сигнала на базе двумерной ПВ. Обнаружитель представлен двухканальной схемой ИНП (см. рис. 1), содержащей два НП, настроенных по заданным функциям щ (х) и (А).
3. Проанализирована эффективность синтезированного обнаружителя, оцениваемая общим соотношением (31). В случае когда спектр помехи соизмерим со спектром сигнала, эффективность обнаружителя оценивается коэффициентом М1 вида (35), значение которого существенно превышает исходные оптимальные значения Мр и Мо.
4. Показано, что если спектр помехи соизмерим со спектром сигнала, двухканальная схема обнаружителя сводится к одноканальной схеме типа НП-СФ, в которой применяется НП с КХ, определенной общим функциональным соотношением (44).
Таким образом, описание узкополосного по-мехового колебания марковской моделью первого порядка с учетом применения теории ЭС-распре-делений приводит к легко реализуемым схемам обнаружителей слабого сигнала. Эти схемы имеют ясный практический смысл и могут быть реализованы комбинацией нелинейных и линейных инерционных звеньев как в аналоговой, так и в цифровой форме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. 656 с.
2. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
3. Фомин А. Ф., Хорошавин А. И., Шелухин О. И. Аналоговые и цифровые синхронно-фазовые измерители и демодуляторы. М.: Радио и связь, 1987. 248 с.
4. Теория обнаружения сигналов / П. С. Акимов, П. А. Бакут, В. А. Богданович и др.; под ред. П. А. Баку-та. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.
5. Данилов В. А. Вероятностные характеристики модуля радиус-вектора точки с коррелированными негауссовскими компонентами // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 11. С. 2120-2124.
6. Mc. Graw D. K., Wagner J. F. Elliptically symmetric distributions // IEEE Trans. on information technologies. 1968. Vol. IT-14, № 1. Р. 110-120.
7. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. 320 с.
8. Валеев В. Г., Данилов В. А. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне негауссовских коррелированных радиопомех // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1991. Вып. 7. С. 30-34.
9. Валеев В. Г., Сосулин Ю. Г. Многоканальный прием сигналов при негауссовских распределениях наблюдаемых данных // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1970. № 2. С. 190-194.
10. Данилов В. А., Данилов А. В. Анализ каналов амплитудного подавления негауссовских помех с использованием аппарата функциональных преобразований // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 5. С. 43-54.
11. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.
V. А. Danilov, A. V. Danilov Moscow technical university of communications and informatics
Signals optimum detection against non Gaussian selective interferences
Theoretical bases are explained and the methodology of protection of standard channels of detection of a known signal taking into account impact on the receiver of a narrowband non Gaussian noise is provided.
Non Gaussian noise, amplitude suppression, suppression efficiency, amplitude characteristic
Статья поступила в редакцию 26 июня 2013 г.
