CC BY
32
His
К E S E А К С И
ТЕХНОЛОГИИ
Методика оптимальной аппроксимации заданного распределения вероятности простейшим показательным распределением
Обоснована методика оптимальной аппроксимации заданного распределения вероятности простейшим показательным распределением, выполнен анализ сходимости полученной аппроксимации
Ключевые слова: Аппроксимация, плотность вероятности, критерий, негауссовская помеха.
Данилов А.В., Малышко А.В.,
Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики, г. Ростов-на-Дону
При решении задач статистической радиотехники, связанных с негауссовскими входными воздействиями, иногда возникает необходимость в вероятностном описании помеховых сигналов простыми аналитичесими функциями. Такие задачи возникают, например, при построении приёмных устройств, адаптивных к распределению негауссовских помех, воздействующих на входе приёмника.
Исчерпывающей характеристикой негаус-совской помехи с независимыми выборочными значениями является одномерная плотность вероятности (ПВ) w](x). Помимо этой функции, можно также рассматривать связанную с ней характеристическую функцию О, (и) — преобразование по Фурье данной плотности.
Описание помехового сигнала с помощью функций ^ (х), О, (и) характерно для негаус-совского случайного процесса с широкополосным спектром . Если помеховое колебание является узкополосным случайным процессом (УСП), то вместо этих функций целесообразно задавать распределение огибающей М^А), А > 0, связанное с функцией О, (и) интегральным соотношением вида :
Ш(Л)/Л=| д1(х)10(Л • х)хСх, (1)
0
где .^(и) — функция Бесселя нулевого порядка.
Распределение ^А) для большинства по-меховых сигналов представляется сложной аналитической функцией, зависящей от некоторого параметра. Для построения приёмного устройства адаптивного к распределению по-мехового сигнала, требуется аппроксимировать реальную ПВ некоторой простой аналитической функцией Wa(А), представляемой че-
рез элементарные функции. Особенно это важно в том случае, когда распределение реальных радиопомех неизвестно, и в процессе приёма требуется аппроксимировать неизвестную ПВ с помощью эмпирических моментов, получаемых на основании данных выборки.
Цель работы — обоснование методики оптимальной аппроксимации заданного распределения вероятностей простейшим показательным распределением; анализ сходимости полученной аппроксимации применительно к не-гауссовским помехам синусоидального типа; сопоставительный анализ двух видов аппроксимации с использованием ПВ ^ (х) и W(А).
Как уже отмечалось, основной характеристикой негауссовского УСП является функция W(А). Будем считать, что эта функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой оси (А > 0). Этим условиям удовлетворяют распределения реальных радиопомех.
В силу аналитичности заданного распределения его можно представить в форме показательной функции:
^ХЛ)/Л = С1ехр( -Ё ^Л1), (2)
й к
где С, > 0 — нормировочная константа; коэффициенты полинома определяются как:
1
(k -1)! dAk
-ln
W(A)
(3)
Для построения приёмного устройства, адаптивного к ПВ W(А), желательно ограничить сумму в показателе (2). Распределение вида
Wa(A)/A = Caexp( -^Ak), (4)
k=i k
Technique of optimum approximation of the given distribution of probability
the elementary demonstrative distribution
Danilov A.V., Malyshko A.V.,
North-Caucasian branch of the Moscow technical university relationship and informatics
Abstract
The optimal approximation method of a given probabilities distribution by a simplified exponential distribution is proved, the convergence analysis of received approximation is performed.
Keywords: Approximation, probability density, criteria, nongaussian noise.
Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли
8 № 1-2011
TECHNOLOGIES
His
где п > 1 - целое число; Са - нормировочная константа; при Ьк = ак в общем случае не является лучшим приближением к (2). Существуют такие значения параметров Ьк = Ьк, не обязательно совпадающие с ак, при которых распределение (4) наилучшим образом приближается к (2). Найдём связь параметров Ьк с распределением (2).
За критерий наилучшего приближения к У/(А) примем условие минимума ошибок приёма, соответствующих устройству, оптимальному к распределению \\?а(А), в условиях воздействия помехи с распределением У/(А). Для случая обнаружения слабых сигналов в когерентном полосовом тракте выбранный критерий совпадает с условием максимума параметра:
1
Ца = 21П2
ga(A) + dga(A)
А
dA
где
= -—In dA
¡(А) Wa(A)
(5)
(6)
ггц - дисперсия помехи; угловые скобки
<•> - означают статистическое усреднение с учётом функции ^/(А).
Коэффициент
Иа
(5)
X kbkMk_2 k-l
S bkbmMk+m-2
k,m-l
где
Mk = jAkW(A)dA
(7)
(8)
начальные моменты распределения \*У(А)
и при этом м^ = 2т2 ■
ции и вектора моментов распределения \Л/(А): М=(М_1,М0,М1,М2,...,Мп_2)-
Оптимальные коэффициенты аппроксимации ф* удовлетворяющие
1 2 п
условию и (Ь*,Ь*,...,Ь*)=тах и (Ь*,Ь*,...,Ь*)'
а 1 2 п а 1 2 п
определяются по формуле :
b* = B-det||Drl(k)|| ,В>0,
где
uri 0е) ~
Мг+1_2 , к, гМг_2 , 1 = к ,
(9) (10)
(г, I, к= 1 , 2, 3 ,..., п)
Величину коэффициента (7) при оптимальных значениях параметров (9) аппроксимации следует определять по формуле:
, * М,
= , - У кЬ. М, ,,
1 ' 2' ' п 4Г) к к-2'
^^п к=1
(П)
max = pa(b?,b*
где 0
п
определитель п-го порядка,
составленный
элементов
вида
зависит от
параметров (Ь15Ь,,...,ЬП) аппроксимации (4) и от моментов распределения (2) . Определим параметры Ьк = Ьк, при которых коэффициент (5) достигает максимального значения . С этой целью представим выражение (5) с учётом (4),(6) в таком виде :
, 2
Из формулы (7) вытекает что параметр ц _ ^ ф является функцией вектора
а
Б = (Ь1 ,Ъ2,..„Ьп) параметров аппроксима-
и = М - (г,/ = 1 , 2 ,..., п).
"г1 г+1-2 ,1,1
Отметим, что оптимальные значения коэффициентов ь* аппроксимации (4)
могут быть получены из определителя р путём замены в нём к-го столбца значениями | м_1,2М0,ЗМ1,...,пМп_2 | из (10)
в соответствии с выражением (9) .Параметры ь* определяются из (9) с
точностью до некоторой постоянной величины В. С целью однозначности аппроксимации В можно определить из условия равенства каких-либо моментов распределения, например, их дисперсий:
( и* ^
1 00 П П
|са|А3ехр <1А = т2-
Рассмотрим более подробно оптимальную аппроксимацию функцией (4) при п = 2 . В этом случае аппроксимирующая функция примет вид
\У(А)/А= Саехр(-Ь|А-^-Ь2А2).
Оптимальные коэффициенты Ь] , Ь-, функции (1 2) на основании (9) равны:
Ь, = В(М_,М2 - 2М0М|) I (13)
Ь*2 = В(2М^ -М,М_,) I' где величина М0 = 1 определяется на основании (8) . Для записи коэффициен-
та (11) в этом случае запишем сначала выражение определителя
D2 =
М0 м, Mj м.
= М2 — Mj.
(14)
С учётом (13), (14), коэффициент (11) представляется в виде :
maxh, = Mbi>b2) =
= 1-м,:
M^+lM^M.l/fl-Mr/M,).
Таким образом, величина (15) численно определяет меру отличия функции
(А) вида (4) от заданной плотности ЩА) при п= 2.
Значение (15) в точности соответствует аналогичному коэффициенту, полученному в работе. В данной работе рассматривалась возможность кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного преобразования в схеме амплитудного подавления негауссовской помехи со спектром полосового типа.
Рассмотрим погрешность аппроксимации (4)при Ьк = Ьк на примерах. Для гауссовского случайного процесса с распределением огибающей по закону Релея [1]
А
А
\У(А) = — ехр(- —) а 2 а
из (9), (1 0) получаем
ВБ
М-
— , к = 2 ,
[0 , к ^ 2; В = 1, и в этом случае Wa (А) = W(A) при всех А. Принимая во внимание выражения для моментов релеевского закона М_, = 7л72о-_1; Мх = л/л72о; М2 = 2<Т, с помощью (15) находим тах/ла = В = 1, что совпадает с предельным значением //„при \¥а(А)=\¥(А).
В качестве второго примера рассмотрим аналогичные вычисления для плотности вероятности вида
\У(А) = Д-Аехр( -^-А), о а
которая определена в работе [3] как распределение предельного типа. Данная ПВ названа предельной так как для этой плотности характеристика нелинейного преобразователя в схеме амплитудного подавления [2] вырождается в «жесткий» ограничитель. Выполняя аналогичные вычисления с применением (9), (1 0), получаем
High technologies in Earlh space research № 1-2011
ш
ТЕХНОЛОГИИ
м-а
2 3 57 Ю ?0 ЗОТОЮО 200 3.00 500 ТОО <Х
Рис. 1. Показатели качества аппроксимации для синусоидальной помехи
BD,
k = 1,
М , = s/ml,
М,
[О , к > 1; В = 1, и в этом случае также \\^(А)= W(A) при всех А. С помощью (15) находим тахца =3/2, что совпадает с предельным значением при \¥а(А) = \¥(А). Отметим, что оба рассмотренных примера входят в состав простейшей аппроксимации (12) при п = 2. Для других негауссовских распределений равенство \Уа(А) = \¥(А) не выполняется.
В качестве примера аппроксимации более сложной функции рассмотрим распределение огибающей суммы ЧМ -процесса и гауссовского шума. В этом случае распределение огибающей подчиняется обобщенному закону Релея и имеет вид [1 ]:
,№(А) = 2аАехр[-а(А2 +1)]/0(2аЛ),
(16)
где б- параметр распределения, равный отношению мощности ЧМ - процесса к мощности гауссовского шума; 1к(г) - модифицированная функция Бесселя порядка к.
Для расчёта характеристики тахца по формуле (15) запишем требуемые выражения моментных функций, соответствующих (1 6)
гУг
(1+«)М§)+«Ч|
М2 =(1 + а)/а.
На рисунке 1 даны зависимости показателей качества аппроксимации тах|ха от параметра распределения (16). Пунктирной кривой представлена зависимость предельного значения коэффициента (5) при ^ДА) = W(A) . Эти
данные рассчитывались по формуле [2]
. 2
1 "
dA
-In
W(A)
W(A)dA, с
учётом применения распределения (16). Сплошная кривая на рис. 1 соответствует аппроксимирующей функции (4) при п = 2. Данные этой кривой рассчитывались по формуле (15) с использованием моментных функций (17). Графики на этом рисунке подтверждают возможность достаточно точной аппроксимации распределений реальных радиопомех функций плотности (4) при двух членах в показателе \¥а (А).
Заключение
В результате проведенного анализа можно заключить, что применение экспоненциальной аппроксимации для
функции W(A) обеспечивает приемлемые результаты уже при двух членах суммы в показателе. Данная двухчленная аппроксимация позволяет сравнительно просто описывать реальные функции W(A), что очень удобно при анализе каналов амплитудного подавления, работающих в адаптивном режиме.
Также приведен сопоставительный анализ экспоненциальной аппроксимации для функций W[(x) и W(A). Показано, что аппроксимация для W(A) обеспечивает лучшую сходимость результата и является более адекватной для многих реальных ситуаций.
Литература
1. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982.
2. Акимов П.С., Бакут П. А., Богданович В.А. и др. Теория обнаружения сигналов / Под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1 984.
3. Данилов A.B., Жабинский Ю.В. Нега-уссовские распределения предельного типа // Сб. трудов НТК СКФ МТУСИ "Инфоком -2010", Ростов-на-Дону, 2010.
4. Данилов В.А. Радиотехника, 1 998, №2.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, суммы, рядов и произведений. -М.: Наука ,1971.
6. Данилов В.А. Радиотехника и электроника, 1 984, Т.29, №9.
Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли № 1-2011
