CC BY
70
НА УЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА сер. Радиофизика и радиотехника
УДК 621.391
Структурно-оптимальные модели негауссовских помех
Д.И. КАСЫМОВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Прохоровым А.В.
Предложена и описана методика определения потенциальных помехоподавляющих свойств нелинейных радиотехнических каналов, основанная на синтезе структурно-оптимальных моделей негауссовских помех. На примерах типовых нелинейных преобразователей (НП), входящих в тракт радиотехнической обработки и включающих в себя степенной НП, ограничитель и усилитель с зонами нечувствительности, рассматриваются потенциальные помехоподавляющие свойства соответствующего тракта обработки. Эффективность оптимального помехоподавления соответствующего канала сравнивается с эффективностью неоптимальных процедур, использующих непараметрические методы обработки.
Известно [1], что для защиты от негауссовских помех на входе гауссовского приемника (ГП) включается безынерционный нелинейный преобразователь (НП), амплитудная характеристика которого должна быть согласована с одномерным распределением помехи. Однако, по тем или иным причинам, характеристика НП может отличаться от оптимальной и поэтому возникает задача определения потенциальных возможностей помехозащиты трактов обработки сигналов, представляемых в виде схемы НП-ГП, при применении НП с произвольной амплитудной характеристикой. Задачи подобного типа могут быть решены с помощью структурно-оптимальных моделей негауссовских помех.
Цель работы - исследование потенциальных возможностей помехозащиты нелинейных радиотехнических каналов, содержащих в своем составе НП с произвольными характеристиками преобразования, путем синтеза структурно-оптимальных моделей негауссовских помех.
Можно дать следующее определение. Структурно-оптимальной моделью (СМ) мы будем называть такие модели негауссовских помех, для которых НП с произвольной (нечетной) характеристикой преобразования / (х) мгновенных значений является оптимальным. Иначе
говоря, к СМ помехам относятся такие негауссовские помехи, подавление которых НП с заданной амплитудной характеристикой является максимальным. Поскольку распределение СМ - помехи определяется амплитудной характеристикой НП, то следует говорить о СМ - помехах, порождаемых данным НП.
Следует различать СМ узкополосных и широкополосных негауссовских помех, порождаемых НП заданного типа. Для широкополосной негауссовской помехи СМ находится путем решения уравнения вида [1]:
/(х) = -^-\™(х), (1)
ах
относительно одномерной плотности вероятности Н (х) помехи. Для узкополосной СМ - путем решения уравнения [1]:
относительно распределения огибающей Ж (А) негауссовской помехи. При этом функция g(А) из (2) определяет собой так называемую амплитудную характеристику НП по первой гармонике.
1 2В (А) = -1 / (л СОБу) СОБуёу, (3)
- 0
где / (х) - амплитудная характеристика НП.
Для найденных таким образом СМ - помех можно вычислить потенциальные возможности помехозащиты негауссовского приемника с НП с заданного типа, определяя соответствующие им коэффициенты подавления [1]
то = °Хі | /2 (х) н (х)ёх, (4)
тор = 2 ^1 в 2 (А)Ж (А)ёА, (5)
2 2
где сх1, ох 2 - дисперсии СМ-помех на входе приемника, определяемые как
2 <* 2 2 1 <* 2 стх1 = J х н(х)ёх; ох2 = — J АЖ(А)ёА. (6)
Таким образом, коэффициенты До, тоР из (4), (5) определяют собой предельные возможности помехозащиты негауссовского приемника с НП заданного типа, если функции (х), Ж(А) в формулах (4), (5), (6) определяются решением уравнений (1), (2) соответственно.
С помощью СМ-помех удобно анализировать негауссовские каналы обнаружения сигналов с произвольными НП на входе. Особенно это удобно в тех случаях, когда характеристика НП является не настраиваемой (без параметров), при построении алгоритмов обнаружения слабого детерминированного сигнала, в которых используются функции / (х), не зависящие от
параметров (хп, ех, 1п х, Б§п х и т.д.). Рассмотрим построение СМ-помех на конкретных примерах.
Предположим, что на входе негауссовского полинома включен НП степенного типа
/ (х) = х , к = 1,2,... (7)
Вычислим СМ-помеху, порождаемую заданным НП. Решая уравнения (1), (2) с учетом (3), (7), получаем
12 к
н (х>=кГ ч2к12к ] ехр
1/ к
Ж(А)=2кГ-1 (11)Аехр
х
2к
_а^л2к
2к
(8)
(9)
где Г (х) - гамма функция; ак = 2 (2к -1)||/(2к)!!.
Распределениями (8), (9) определяются СМ широкополосных и узкополосных
негауссовских помех, порождаемых функциональным преобразованиям степенного типа. Как следует из (8), (9), при к = 1 , СМ-помеха является гауссовской. С помощью найденных распределений можно исследовать потенциальные возможности помехозащиты негауссовского приемника с НП вида (7).
Подставляя (8), (9) в формулы (4), (5), принимая во внимание (6), получаем
то (к) = (2к)' ГШГ’ (2к)Г(2 “Й ■ (10) (Й- (11)
При к = 1 (гауссовская СМ-помеха - гауссовский приемник) выражения (10), (11), как и следовало ожидать, дают т0 =т0р = 1- Графики зависимостей т0 (к), т0р (к), рассчитанные по
формулам (10), (11), представлены на рис. 1 кривыми 1, 2 соответственно. Из этих графиков следует, что потенциальные возможности амплитудного подавления СМ-помехи негауссовким приемником с НП степенного типа весьма значительны, особенно при больших значениях к. При этом эффективность оптимального амплитудного подавителя СМ-помехи слабо зависит от характера ее спектра. Это позволяет ограничить анализ негауссовских каналов амплитудного подавителя СМ-помехи одним из полученных распределений.
Мо Ш)р
Рис.1. Коэффициенты подавления Рис.2. Структура широкополосных
структурно-оптимальных моделей структурно-оптимальных моделей помех
Рассмотрим структуру широкополосных СМ-помех, порождаемых нелинейными преобразователями (НП1, НП2) в виде отрезков прямых (рис. 2). В аналитической форме указанные характеристики могут быть записаны как
Л(х)
|0, |х| < х0,
1 ёsgnх, |х| > х0,
, ч [0,
л(х>=)к(
х < х0,
х - х.
sgnх), |х| > х0,
где к, ё, х0 - параметры функций.
Воспользовавшись соотношением (1), для функций (12), (13) получаем
[с1ехр(-ёх0), |х| < х0,
1 ( ) |с1ехр(-ё|х|), |х| > х0,
:( х ) =
С2,
с2 ехр
- | (I х1 - х0)
|х| < х0, |х| > х0,
где ех, с2 - коэффициенты, определяемые из условия нормировки. Они равны
(12)
(13)
(14)
-1
С
(16)
Формулами (14)-(16) решается задача определения СМ-помех, порождаемых нелинейностями указанного типа. Легко показать, что при x0 = 0 распределение (14) становится
лапласовским, тогда как распределение (15) преобразуется в гауссовское. Этим распределениям соответствуют характеристики НП в виде ограничителя и в виде линейной функции.
Пользуясь найденными распределениями, легко рассчитать потенциальные возможности помехозащиты трактов обработки с рассматриваемыми НП. Подставляя (14), (15) в формулу (4), принимая во внимание (6), (16), получаем
Коэффициенты т01, т02 из (17), (18) определяют собой максимально возможные значения характеристик помехоподавления каналов с НП вида (12), (13). Это означает, что при воздействии любых других помех с распределениями, отличными от (14), (15), величина коэффициентов подавления, достигаемых негауссовским приемником с НП вида (12), (13), будет меньше аналогичных значений, соответствующих (17), (18).
Графики зависимостей Дм (у), т02 (2) из (17), (18) представлены на рис. 3 кривыми 3.
Сплошная кривая 3 на этом рисунке соответствует функции (17), пунктирная кривая 3 -функции (18). Как следует из представленных кривых, потенциальные помехоподаляющие свойства каналов с НП1 и НП2 различны при различных значениях у, г . Помехоподавляющие
свойства канала с НП1 при малых значениях у < 1.3 превосходят помехоподавляющие свойства
канала с НП2 при аналогичных значениях г . Если значения аргументов функций (17), (18)
превышают величину 1.3, то помехоподавляющие свойства канала с НП2 существенно
превосходят помехоподавляющие свойства канала с НП1. При у = г = 0 из (17), (18) получаем
что соответствует лапласовской и гауссовской СМ-помехам [2]. Отметим, что характеристика т01 (У) из (17) имеет экстремум-минимум в точке у0 = 1.196 и при этом т01 (У0 ) = 1 326. Это означает, что помехоподавляющие свойства канала с НП1 при наихудшем значении аргумента у = у0 на 32.6% выше, чем помехоподавляющие свойства у линейного приемника.
(17)
(18)
Аргументами функций (17), (18) служат величины у = х0ё и г = х0у[к
соответственно.
т01 2 ; т02 1 ,
0 1 2 3 4 5
Рис. 3. Коэффициенты подавления структурно-оптимальных моделей
Представляет интерес сравнить эффективность оптимального подавления рассмотренных СМ-помех с эффективностью других (неоптимальных) процедур. В качестве таковых будем рассматривать наиболее распространенные непараметрические обнаружители сигналов, основанные на знаковых и знаково-ранговых статистиках, асимптотическая эффективность
которых по сравнению с линейным алгоритмом составляет [2]
2 2 7 ч
Рі = 40^ (0), (19)
(20)
где (х) - плотность вероятности помехи.
Отметим, что коэффициент асимптотической относительной эффективности знакового обнаружителя (19) численно совпадает с коэффициентом т амплитудного подавления помех
негауссовским, в котором применяется НП вида / (х) = 8§п х.
Подставляя (8) в (19), (20), принимая во внимание (6), для СМ-помех, формируемых НП степенного типа, получаем
2
Рі (к) = (2к) Г
V 2 к у
р2 (к ) = 12к '2"’к Г
Г
_1_
2к
2 -’к
3
2к
Г
у
2к
При к = 1 (гауссовская СМ-помеха) выражения (21), (22) дают
23 р1 = » р 2 = ’ р р
(21)
(22)
(23)
что совпадает с приведенными в [2]. Графики зависимостей р1 (к), р2 (к), построенные с помощью (21), (22), приведены на рис. 4 кривыми 1, 2 соответственно.
л
у
1
Р2^)
Р1^)
1.1
1.0
0.9
0.£
2
1 / 1
/
0.6
0.5
0.4
1 3 5 7 9 11
Рис. 4. Асимптотическая эффективность непараметрических обнаружителей
Отметим, что относительная эффективность знаково-рангового алгоритма, по отношению к знаковому из (21), (22), составляет
V*к) = Р,/Р1 = 3/2'" . (24)
При к выражение (24) дает нам: Ншп(к) = 3. Это означает, что при к = ¥ знаковоранговый алгоритм в три раза эффективнее знакового в условиях действия на входе идентичной СМ-помехи. Это столько же, сколько и для помехи с равномерным распределением [2].
Вычислим теперь коэффициенты вида (19), (20) для СМ-помех с распределениями (14), (15). Подставляя (14) в формулы (19), (20), принимая во внимание (6), (16), получаем
( 1 3 2 V ,-3
р1 = ~У + У + 2У + 2 (у +1) ,
3
1 3 2 1 2 -
~У + У + 2У + 2 (2У +1) (У +1)
3 )
Аналогичные вычисления и для СМ-помехи с распределением (15) дают нам
-3
Р1 =
г + ,
Р 2 = 3
^1 3 [к 2 Л [к 1( [к
32 Ч? +2241 2Ч2
(25)
(26)
(27)
(28)
Графики зависимостей (25)-(26) приведены на рис. 3 кривыми 1, 2 соответственно. Сплошные кривые 1, 2 на этом рисунке соответствуют значениям из (25), (28), а пунктирные кривые 1, 2 построены по формулам (27), (28). Подставляя значение у = 0 в формулы (25), (26),
получаем р1 = 2, р2 = 3/2, что соответствует лапласовской помехе [2]. При 2 = 0 формулы (27),
(28) дают значения, аналогичные (23) и соответствующие гауссовской помехе. Нетрудно
л
убедиться, что при y = z = ¥ предел отношения limр2/р1 для рассматриваемых моделей негауссовских помех равняется трем. Это означает, что асимптотическое поведение коэффициентов р1 и р2 для всех рассматриваемых СМ-помех совершенно аналогично.
Из приведенного анализа можно сделать следующие выводы.
1. Применение СМ-помех весьма эффективно в тех случаях, когда требуется определить потенциальные возможности помехозащиты негауссовского приемника типа НП-ГП при применении НП с заранее заданной характеристикой.
2. Использование в негауссовском приемнике НП степенного типа при к >> 1 эффективно как в широкополосном, так и в полосовом вариантах СМ-помех. При этом потенциальные помехозащитные свойства канала с НП степенного типа тем больше, чем больше к . Этот вывод согласуется с результатами анализа эффективности негауссовского приемника с НП степенного типа при воздействии на входе приемника частотно-модулированных помех [4].
3. Помехозащитные свойства каналов с НП1, НП2 зависят от способа настройки ширины
зоны нечувствительности применяемого НП. Если для канала с НП1 величина зоны соответствует минимальному значению коэффициента подавления, то помехоподавляющие свойства рассматриваемого канала на 32.6% превосходят помехоподавляющие свойства линейного (гауссовского) приемника.
4. Потенциальные помехозащитные свойства каналов с НП рассмотренных типов существенно выше эффективности неоптимальных процедур, основанных на непараметрических статистиках.
ЛИТЕРАТУРА
1.Теория обнаружения сигналов; Под ред. П. А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984.
2.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 3. М.: Сов. радио, 1976.
3.Антонов О.Е., Понкратов В.С. // Радиотехника и электроника. Т. 13, № 6, 1968.
4. Данилов В. А. // Радиотехника, № 11, 1987.
D.I. Kasymov
Structural - optimum models of non-gaussian noise
The technique of definition potential noise suppressing properties of the nonlinear radio engineering channels, based on synthesis of structural - optimum models non-Gaussian noise is offered and described. By the example of typical nonlinear converters (NC), included in a path of radio engineering processing, and including degree NC, the terminator and the amplifier with zones of tolerance, are considered potential noise suppressing properties of a corresponding path of processing. Efficiency optimum noise suppressing the corresponding channel is compared to efficiency of not optimum procedures using nonparametric methods of processing.
Сведения об авторах
Касымов Дмитрий Игоревич, 1979 г.р., окончил Северо-Кавказский филиал московского технического университета связи и информатики (2001), аспирант кафедры авиационных радиоэлектронных систем МГТУ ГА, автор 7 научных работ, область научных интересов - повышение эффективности обнаружителей радиосигналов при негауссовских помехах полосового типа.
