CC BY
24
МАТЕМАТИКА
УДК 512+514.126
И. А. Долгарев, А. И. Долгарев
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА РАЗМЕРНОСТЕЙ 2, 3 И 4
Аннотация. Рассматриваются абелевы подгруппы действительных унитре-угольных групп третьего, четвертого и пятого порядков и изоморфные им группы кортежей длины 2, 3, 4 действительных чисел. На последних получены линейные пространства, альтернативные арифметическому пространству. Операции над векторами альтернативных пространств задаются нелинейными формулами. Группы автоморфизмов пространств одной размерности задаются нелинейными формулами различного вида. Все рассматриваемые линейные пространства являются подсибсонами. Определены сибсоны размерностей 3, 6, 10. Ключевые слова: действительные линейные пространства с нелинейными операциями, сибсоны.
Abstract. The article considers Abelian subgroups of real unitriangular groups of the third, fourth and fifth orders and isomorphic to them - tuple length groups of 2, 3, 4 real numbers. The authors receive linear spaces alternative to arithmetical space on the basis of tuple length groups. Operations over alternative space vectors are set by nonlinear formulas. Groups of automorphism spaces of one dimension are set by nonlinear formulas of a various kind. All considered linear spaces are subsibsons. The article defines sibsons of dimensions 3, 6, 10.
Key words: real linear spaces with nonlinear operations, sibsons.
Введение
Ранее изучались действительные линейные пространства размерности 2
[1], которые определены следующими операциями на парах действительных чисел:
(X,y) + (a, b) = (x + a, y + b), t(x, y) = (xt, yt), t e R ; (1)
(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b + ax), t (x, y) = ^ xt, yt + x2 j , t e R . (2)
2
Первое из пространств является арифметическим и обозначается L , второе составляет альтернативу арифметическому пространству и обозначается a L2. Для векторов из L2 используются обычные обозначения:
О, a,..., x,...; векторы второго пространства обозначаются строчными греческими буквами. Согласно (2) нулевым вектором в a L2 является # = (0,0); вектор, противоположный вектору р = (x, y), равен
-Р = -(x,y) = (-x, -y + x2).
Выполнимость всех аксиом для a Ь2 проверена в [1]. Во вторых компонентах векторов из a Ь2 операции над векторами заданы нелинейными функциями (это хорошо видно при использовании следующих обозначений: (x, у) + (и, V) = (x + u, у + V + xu); последнее слагаемое во второй компоненте имеет порядок 2. Удобство обозначений в (2) использовано ниже при записи
правых сдвигов на a Ь2). Одним из базисов пространства a Ь2 является Б = (а, Р), где а = (1,0), Р = (0,1). Всякий вектор р = (x, у) однозначно разлагается по векторам базиса Б:
Р = (х,у) = ха + |у- р. (3)
Компоненты x, у вектора р отличаются от его координат x, | у - ——— | в базисе Б . Оболочки векторов базиса Б таковы:
<а>= <!#,а = (1,0),2а = (2,1),...,tа = I t. ^ ^
2
< Р >={#, Р = (0,1), 2Р = (0,2),..., tр = (0,0,...} .
По (3), суммы xа + уР исчерпывают линейное пространство a Ь2, отсюда следует, что aЬ2 есть прямая сумма 1-мерных подпространств: a Ь2 = <а> + <Р>. Если Б' = (а', Р') - еще один базис пространства a Ь2 и а' = (а, p), Р' = (0,Ь) в базисе Б, то
x = ax',
/2 , ч (x' -1) х' , , ,
у = (а - ь)—2—+px + Ьу
есть формулы замены координат векторов при замене базиса Б базисом Б', см. [1]. Формулы нелинейны. Относительно композиции замен замены базисов линейного пространства составляют группу Ли. Замены базисов линейного
пространства Ь2 описываются линейными формулами и представляются матрицами. Нелинейные замены базисов пространства a Ь2 матрицами не представляются. Группы Ли замен базисов пространств Ь2 и a Ь2 изучаются в [1]. Эти группы неизоморфны. Следовательно, неизоморфны группы автоморфизмов линейных пространств Ь2 и a Ь2 . Указанные факты содержатся в [1].
В работе [2] построена альтернативная аффинная плоскость a А2 с линейным пространством a Ь2 . Пусть в репере В = (О, а, Р) : A = (а, И), M(x, у), ц = (т, р). Прямая < А, ц >, определяемая точкой А и вектором ц , описывается уравнениями
/ \ 2 ^ — 1)t х = mt + а, у = (ат + р) + т —----^ И.
Уравнения прямой нелинейны. Коллинеация аффинной плоскости задается двумя реперами. Пусть В' = (О', а', Р') - еще один репер аффинной плоскости а А2, О' = (с,й), а' = (а, р), Р' = (0,Ь), и точка М(х,у), заданная в репере В, отображается на точку М'(х', у'), тоже заданную в репере В, в репере В точка М' имеет координаты (х, у). Коллинеация альтернативной аффинной плоскости описывается формулами
х' = ах + с,
* у' =(а2 — + (р + ас)х + Ьу + *
Формулы нелинейны. Об альтернативной плоскости см. также [3, с. 237280]. Результаты по альтернативным линейным пространствам сообщены в [4, с. 35-36].
2
Аффинная плоскость А с арифметическим линейным пространством
2
Ь обладает коммутативной и линейной геометрией. Альтернативная аффинная плоскость а А2 имеет коммутативную и нелинейную геометрию. Группа коллинеаций плоскости а А2 неизоморфна группе коллинеаций классической аффинной плоскости А2 с линейным пространством Ь2 . Геометрии аффинных плоскостей А2 и а А2 различны, так как определяются неизоморфными группами коллинеаций, что согласуется с Эрлангенской программой Ф. Клейна.
Ниже рассматриваются неизоморфные между собой действительные линейные пространства размерностей 3 и 4, имеющие неизоморфные группы замен базисов.
1. Абелевы подгруппы унитреугольной группы ит (3)
1.1. Подсибсоны 3-мерного сибсона Рассмотрим один из действительных 3-мерных одулей Ли из [5]. Этот
3
одуль Ли задается следующими операциями на множестве троек Я действи-
тельных чисел:
(х,у, г) + (а,Ь, с) = (х + а, у + Ь, г + с + ау); (4)
^х, у, г) = ^xt,yt, zt + ху ^ 2^ ^, t е Я , (5)
см. [5, с. 107]. Сложение (4) троек некоммутативно. Указанный одуль Ли
3
называется сибсоном и обозначается Е , элементы сибсона называются сибса-ми и обозначаются строчными греческими буквами. В работе [5, с. 166-215] изучается дифференциальная галилеева геометрия пространства с сибсоном, геометрия является некоммутативной. Нулевой сибс есть # = (0,0,0); противоположный для сибса р = ( х, у, г) равен
-Р = -( х, у, г) = (-х, - у, - г + ху).
3
Одуль Ли Е нильпотентен ступени 2. В работе [6] описаны нильпо-тентные ступени 2 одули над полем Галуа простой нечетной характеристики.
3
Рассмотрим правый сдвиг sк сибсона Е сибсом к = (а, Ь, с). Обозначим:
р + к = р',
где р = (х, у, г) произвольный сибс; р' = (х', у', г') - образ сибса р в правом сдвиге sк.
На основании (4) имеем формулы правого сдвига сибсом к и его мат-
рицу:
х = х + а,
У = У + Ь г' = г + ау + с;
(1 0 0 0^ а 10 0
Ь 0 10
с 0 а 1
Вместе с тем сибсы р = (х, у, z') представляются матрицами
(10 0 ^ х 1 0
z у 1
\ * У
унитреугольной группы иТ(3) третьего порядка.
Произведение унитреугольных матриц таково:
(1 0 0 > (1 0 0 > (1 0 0"
х 1 0 а 1 0 = х + а 1 0
г у 1V V с Ь 1V г + ау + с у + Ь 1 V
(6)
В работе [7, с. 123] указана биекция между матрицами из иТ(3) и
тройками из Я :
(10 0 ^ х 1 0
г у 1
^ (х, у, г).
(7)
/
Умножение (6) матриц из иТ (3) определяет внутреннюю операцию (4)
на сибсоне Е3 . Биекция (7) определяет внешнюю операцию возведения унитреугольных матриц в действительную степень:
(10 0 V (1 0 0 ^
х 1 0
г у 1
хґ 10
И уґ 1
1 = гґ + ху
(ґ - 1)ґ
3
Тем самым имеем сибсон матриц Е т .
В группе иТ (3) содержатся подгруппы, состоящие из матриц следующего вида:
тк =
2
(1 0 0 > (1 0 0"
2 т = х 1 0 = ^ а 8 х 1 0
,г 0 1 V ,г х 1V
На основе операции умножения
(1 о о V1 о о ^
V
х 1 0
г 0 1
а 1 0
с 0 1
(1
/
(10 0 ^ х 1 0
г х 1
(10 0 ^ а 10 с а 1
(1
х + а
0 0'
1 0 ?
0 1V
0 0'
1 0
х + а 1 V
заключаем, что указанные подгруппы матриц абелевы.
В биекции (7) для троек имеем
(х, 0,2) + (а, 0, с) = (х + а, 0, г + с), t(х, 0, г) = (х(, 0,);
(х, х, г) + (а, а, с) = (х + а, х + а, г + с + ах), t(х, х, г) = ^ х1, xt, 21 + х Заменим биекцию (7) биекциями
т ^ (х, 2), ^ (х, 2);
2
на парах из Я получаем операции вида (1) и (2):
(х, 2) + (а, с) = (х + а, 2 + с), t(х, 2) = (xt, 2t), t е Я ;
(х, 2) + (а, с) = (х + а, 2 + с + ах), t(х, 2) =(xt, 2t + х2 ———
2 (ґ - 1)ґ
(8)
(9)
ґ є К,
Тройки вида (х,0,2) и тройки вида (х, х, 2) составляют в сибсоне Е коммутативные подсибсоны, являющиеся 2-мерными линейными пространствами. Линейные пространства Ь2 и а Ь2 соответственно с операциями (1) и
(2) изоморфны 2-мерным подсибсонам - линейным пространствам с операциями (8) и (9) соответственно. Указанные подсибсоны обладают, как отмечено во введении, неизоморфными группами автоморфизмов.
1.2. Автоморфизмы 2-мерных линейных пространств
Операция сложения в (1) определяет на Ь2 сдвиг: Sp : г + р = г', где вектор г' = (х', у') есть образ вектора г = (х, у) в сдвиге Sp вектором р = (а, Ь). Сложению (1) соответствуют формулы сдвига х' = х + а, у = у + Ь ;
матрица этого сдвига имеет вид шу
(100 ^
а 1 0
Ь 0 1
Сдвиг Sp на линейном пространстве Ь является параллельным переносом.
На альтернативном линейном пространстве а Ь2 операция сложения из (3) определяет сдвиг sп вектором п :
: Р + п Р ,
а2
где р' = (х', у'), р = ( х, у), п = (а, Ь). Формулы и матрица сдвига sп на а Ь' имеют вид
(10 0 ^ а 1 0
х = х + а, 2
та
у = у + ах + Ь;
1
Формулы сдвига sn на а Ь2 представляют собой частный случай галилеева движения плоскости:
(10 0 ^ а 1 0
I х = х + а,
[ у' = ух + у + Ь;
Ь у 1
В автоморфизмах арифметического пространства Ь2 инвариантами являются операция (1) сложения векторов и параллельные переносы Sp. В автоморфизмах альтернативного пространства а Ь2 инвариантами являются операция (2) сложения векторов и галилеевы движения плоскости. Груп-
пы автоморфизмов Л^Ь2 и Ли^Ь2, имея различные инварианты, неизоморфны. Они содержат неизоморфные подгруппы сдвигов.
2. Линейные пространства размерности 3
2.1. Абелевы подгруппы группы иТ(4)
В группе иТ (4) действительных унитреугольных матриц порядка 4 имеются абелевы подгруппы следующего вида:
(1 0 0 0 ^ (1 0 0 0^
1 0 0 0 1 0 0 0 1
; т1а"
/
V
а 10 0
Ь а 10 с001
т2а:
/
(1 0 0 0'
а 1 0 0
Ь а 1 0
V с а 0 1 V
3
т3а1
(1 0 0 0^ а 10 0
Ь 010
\
; т4а'
/
(1 0 0 0^ а 10 0
Ь а 10
с Ь а 1
ту =
(1
т2у~~
0 0 0 ^ а 10 0
0 0 10
0 0 Ь 1
(1
3
«2 =
0 0 0^
а 10 0
а 010 Ь а а 1
2 3
в иТ(4) матрицу ту из иТ(3) можно заменить блочной матрицей Ш2у.
Произведения матриц каждого из видов есть матрица того же вида:
Ш-
3
(1
X
У
г
0 0 0V1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 ^ (1
х + а У + Ь
0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
г + с
Ш1а :
3
Ш2а :
(1 0 0 0V1
х 10 0а
у х 1 0 Ь
г 0 0 1 .с
ч У V
(1 0 0 0V1
х 10 0а
ух 1 0 Ь
г х 0 1 М с
0 0 0^
1 0 0
а 1 0
0 0 1у
0 0 0^
1 0 0
а 1 0
а 0 1.
(1
х + а у + ах + Ь г + с
(1
х + а у + ах + Ь г + ах + с
3
Ш3а
(1
х
У
0 0 0 V1
1
0
У
0 0 1 0 х 1
У
0 0 0 ^ (1 1 0 0 0 1 0 Ь а 1
х + а У + Ь
0 0 1)
0 0 0"
1 0 0
х + а 1 0
0 0 1,
0 0 0 "
1 0 0
х + а 1 0
х + а 0 1,
0 0 0'
1 0 0
0 1 0
У + Ь х + а 1.
Ш4а :
(1 0 0 0 > (1 0 0 0 > (1 0 0 0
х 1 0 0 а 1 0 0 х + а 1 0 0
У х 1 0 Ь а 1 0 У + ах + Ь х + а 1 0
V г У х 1. Vс Ь а 1. г + аУ + Ьх + с У + ах + Ь х + а 1
(1 0 0 0 V1 0 0 0 ^
ШІ:
х1 0 0 0 0
0 0 1 0 У1
V
а 10 0
0 0 10
0 0 Ь 1
/
(1
х + а 0 0
0 0 1 0 0 1
0 У + Ь
0 ^ 0 0 1
3
«2:
(1 0 0 0 > (1 0 0 0 > (1 0 0 0"
х 1 0 0 а 1 0 0 х + а 1 0 0
х 0 1 0 а 0 1 0 х + а 0 1 0
V У х х 1. V Ь а а 1. V у + 2ах + с х + а х + а 1,
Для матриц каждого вида существует биекция с множеством троек Я :
т1 ^ (а,Ь, с), т3 ^ (а,Ь,с), I = 1,4 .
32 Матрицы т2у здесь не рассматриваем, они заменяют матрицы ту , которые рассмотрены в п. 1.1.
33 Произведение матриц т^а из иТ(4) определяет на Я сложение троек
пяти видов:
(х,У, г) +у (а,Ь, с) = (х + а,у + Ь, г + с) ^ ту^;
(х,у, г) +1а (а,Ь,с) = (х + а,у + ах + Ь,г + с) ^ т3а;
(х, у, г) +2а (а,Ь, с) = (х + а,у + ах + Ь, г + ах + с) ^ т2а; (х,у, г) +3а (а,Ь, с) = (х + а,у + Ь, г + ау + Ьх + с) ^ т-^ ;
(х,у, г) +4а (а,Ь, с) = (х + а, у + ах + Ь, г + ау + Ьх + с) ^ т4а .
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Относительно операций сложения (10)-(14) множество Я составляет
3 3 —
пять видов абелевых групп (Я , +у), (Я , +г'а ), I = 1,4 . В отображениях
3
Я ^ иТ (4) каждой сумме троек соответствует произведение матриц одной из подгрупп в иТ(4), поэтому и множества троек с указанными операциями
(10)-(14) являются группами. Для матриц т2 существует биекция
32 т2 ^ (а,Ь), в которой определяется операция сложения на парах из Я :
(х,у) +2 (а,Ь) = (х + а,у + 2ах + Ь) ^ т2 .
(15)
Автоморфизмы групп троек своими инвариантами имеют соответственно операции (10)-(14). Кроме того, операции (10)-(14) определяют на каждой группе соответствующие тройке (а,Ь,с) сдвиги , s^a :
(х, у, г) + (а,Ь, с) = (х', у', г') .
Матрицы сдвигов есть
(1 0 0 ^ а 10
3 3 3 . ГТ 2
ту, т2у, тш , I = 1,4, т2 =
Ь 2а 1
Матрицы сдвигов являются частными случаями матриц флагового движения (с матрицей т ) 3-мерного пространства [8, с. 301]:
(1 0 0 0"
х = х + а, а 1 0 0
у' = Ьх + у + Ь, т = Ь Ь 1 0
г' = ёх + ^у + г + с; Vс ё / 1,
Группы автоморфизмов указанных групп троек содержат неизоморфные подгруппы сдвигов, а потому сами неизоморфны.
2.2. Линейные пространства размерности 3
3 3 —
На каждой из групп (Я' ,+у^ (Я , +Ш ) , I = 1,4 , определим внешние
операции умножения троек на действительные числа:
- для (10):
- для (11):
- для (12):
ґ(х, у, г) = (хґ, уґ, гґ), ґ є Я ;
ґ(х, у, г) = І хґ, уґ + х2 ———, гґ |, і є Я :
/ ч і 2 (ґ- 1)ґ 2 (ґ- 1)ґ і
ґ(х,у,г) = І хґ,уґ + х -----------,гґ + х ---------|, ґє Я:
- для (13):
ґ(х, у, г) = (хґ, уґ, гґ + ху(ґ - 1)ґ), ґ є Я ;
- для (14):
ґ(х, у, г) = І хґ, уґ + х2 ———, гґ + ху(ґ - 1)ґ |, ґ є Я ;
- для (15):
ґ(х,у) = (хґ,уґ + х2(ґ - 1)ґ), ґ
є Я.
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Тем самым получено пять видов действительных линейных пространств размерности 3:
ь3 = (ы3, + V,тЯ (+у ))
а Ь = (к3, +х, 0ІЯ (+ш ) ), 7' = 1,4 .
Линейное пространство Ь3 является арифметическим, остальные а Ь3 ему альтернативны. Получено и пространство а Ь2. размерности 2 с операциями (15), (21), отличное от пространств Ь2 , аЬ2 .
Имеется биекция между матрицами группы иТ(4) и кортежами из Я6 :
^ (а,Ь, с, р, д, г).
(1 0 0 0'
а 1 0 0
Р Ь 1 0
V г д с 1.
В этой биекции произведению матриц
( 1 00 0 V 1 00 0 ^ (1
х 10 0
и у 10
\
1
а 10 0
р Ь 10
I с 1
\
/
0 0 0 ^
х + а 1 0 0
и + ау + р у + Ь 1 0
w + ау + рг + г V + Ьг + д г + с 1
соответствует сумма кортежей:
(х, у, г, и, V, w) + (a,b,c, р,д,г) =
= (х + а,у + Ь, г + с,и + ау + р,V + Ьг + д, w + ау + рг + г).
Следовательно, множество кортежей Я6 с выписанной операцией сложения является группой (Я6, +). Введем на (Я6, +) внешнюю операцию Юд (+) умножения кортежей на действительные числа:
^х, у, г, и, V, w) =
( и - Ш и - Ш , .и -1)^ и - 2)^ -1)^
= I xt, у1, Ш + ху------,VI + уг----, wt + (+ ги)------------+ хуг------------
V 2 2 2 6
Получен одуль Ли Е6 = (Я3, +,Юд (+)), который является 6-мерным
сибсоном, его ступень нильпотентности равна 3. Сибсон Е6 обладает пятью видами подсибсонов, являющихся линейными пространствами, они изоморфны линейным пространствам Ь3, а Ь3, I = 1,4, а Ь2». Указанные подсиб-соны состоят из матриц видов т3, т3а , т2 . Операции над векторами линейных пространств Ь3, а Ь3, а Ь2» индуцируются операциями на сибсоне Е6.
3. Линейные пространства размерности 4
3.1. Абелевы подгруппы в иТ(5)
В унитреугольной группе иТ(5) содержатся матрицы видов
4
т2а'-
(1 0 0 0 0 " ( 1 0 0 0 0 "
а 1 0 0 0 а 1 0 0 0
Ь 0 1 0 0 = т Ь а 1 0 0
с 0 0 1 0 с 0 0 1 0
V ё 0 0 0 1, ё \ 0 0 0 1,
( 1 0 0 0 0" (1 0 0 0 0'
а 1 0 0 0 а 1 0 0 0
Ь а 1 0 0 4 ; т3а = Ь а 1 0 0
с а 0 1 0 с а 0 1 0
V ё 0 0 0 1, V ё а 0 0 1,
mv =
(1 0 0 0 0 Л (1 0 0 0 0'
а 1 0 0 0 а 1 0 0 0
1 1 а 44 35 Ь а 1 0 0 4 ; т5а = Ь 0 1 0 0 ?
с Ь а 1 0 с 0 0 1 0
V <* 0 0 0 1V V ^ с Ь а 1 V
( 1 0 0 0 0' ( 1 0 0 0 0 Л
а 1 0 0 0 а 1 0 0 0
і і 8 Ь 0 1 0 0 а 35 = Ь а 1 0 0 ?
с а 0 1 0 с Ь а 1 0
V а с Ь а 1 V V а с Ь а 1V
(1 0 0 0 0 > (1 0 0 0 0 > (1 0 0 0 0"
а 1 0 0 0 а 1 0 0 0 а 1 0 0 0
Ь а 1 0 0 ? 4 т3 = а 0 1 0 0 4 ; т2,1 = а 0 1 0 0
0 0 0 1 0 а 0 0 1 0 Ь 0 0 1 0
V 0 0 0 с 1V V Ь а а а 1V Vс Ь а а 1V
4
т8а
Матрицы каждого вида составляют абелеву подгруппу в иТ(5); см. произведения:
4
т2а •
( 1
X
У z * (1
X
У
z
*
(1 0 0
X 1 0
У 0 1
z 0 0
V * 0 0
0 0 0
1 0 0
X 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
X 1 0
X 0 1
0 0 0
а
Ь
с
0 0 0 0 > ( 1 0 0 0 0 >
а 1 0 0 0 X + а 1 0 0 0
Ь 0 1 0 0 = У + Ь 0 1 0 0 ?
с 0 0 1 0 z + с 0 0 1 0
а 0 0 0 1V * + а 0 0 0 1V
0 0 0 0 " ( 1 0 0 0 0 Л
1 0 0 0 X + а 1 0 0 0
а 1 0 0 = у + ax + Ь X + а 1 0 0
0 0 1 0 z + с 0 0 1 0
0 0 0 1 V к * + а 0 0 0 1V
0 0 0 0 " (1 0 0 0 0"
1 0 0 0 X + а 1 0 0 0
а 1 0 0 = у + ax + Ь X + а 1 0 0
а 0 1 0 z + ax + с X + а 0 1 0
0 0 0 1 * + а 0 0 0 1 V
4
т3а :
(1 0 0 0 0 > (1 0 0 0 0 > (1 0 0 0 0
х 1 0 0 0 а 1 0 0 0 х + а 1 0 0 0
у х 1 0 0 Ь а 1 0 0 = у + ах + Ь х + а 1 0 0
г х 0 1 0 с а 0 1 0 г + ах + с х + а 0 1 0
ч w х 0 0 1V ч ё а 0 0 1V w + ах + ё х + а 0 0 1
(1 0 0 0 0^ (1
V
х 10 0 0
ух 10 0
г у х w
1
0 0 0
/
0 0 0 0 ^
10 0 0 а 10 0
Ь а 10
0 0 0 1
(1 0 0 0 0
х + а 1 0 0 0
у + ах + Ь х + а 1 0 0
г + ау + Ьх + с у + ах + Ь х + а 1 0
ч w + ё 0 0 0 1
0 0 0 0 ^ ( 1 0 0 0 0 "
4
т5а
х
у
г
w
10 0 0 0 10 0
0 0 1
г у х
(1
х + а У + Ь г + с
0
1
0
1
0
0
1
0
0 0 0 1 0 0
0 0 с Ь
0
0
1
0
1
а
0
0
0
1
w + аг + Ьу + сх + ё г + с у + Ь х + а
0 ^
0
0
0
1
4
т6а
(1 0 0 0 0 V1
х 1 0 0 0 а
у 0 10 0 Ь
г х 010 с а 0
ч w г у х 1 ё с Ь
0 0 0 0 ^
10 0 0
0 10 0
1 0
а 1 у
(1 0 0 0 0
х + а 1 0 0 0
у + Ь 0 1 0 0
г + ах + с х + а 0 1 0
w + аг + Ьу + сх + ё г + ах + с у + Ь х + а 1
( 1 0 00 0Л( 1 000 0 ^
2
ч (1
х + а у + ах + Ь 2 + ау + Ьх + с
х 10 0 0
ух 10 0
ух 10 2 У х 1
0 1
х + а у + ах + Ь
10 0 0
а Ь
4
т8а
V
(1 0
х 1
у х
0 0
V 0 0
1 0 0 =
а 1 0
Ь а 1J
0 0 0
0 0 0
1 0 0
х + а 1 0
у + ах + Ь х + а 1
0 0 0 0V10
0 0 0
0 0
а1 Ь а 0 0 0 0
0 0 0 ^ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 с 1
(1 0
х + а 1
у + ах + Ь х + а 0 0
0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
0 г + с
0 ^
0
0
0
1
(1 000 0 V1 000 0^
4
т
х 10 0 0
х 0 10 0
х 0 0 10
ч у х х х 1
а
10 0 0 а 0 10 0
а 0 0 10
Ь
а а а
/
(1 0 0 0 0"
х + а 1 0 0 0
х + а 0 1 0 0
х + а 0 0 1 0
V у + 3ах + Ь х + а х + а х + а 1 J
(1 0 0 0 0 > (1 0 0 0 0 "
х 1 0 0 0 а 1 0 0 0
4 т2,1: х 0 1 0 0 а 0 1 0 0 =
у 0 0 1 0 Ь 0 0 1 0
V 2 у х х 1J V с Ь а а 1J
(1 0 0 0 0"
х + а 1 0 0 0
х + а 0 1 0 0
у + Ь 0 0 1 0
V г + Ьх + (а + Ь) у + с у + Ь х + а х + а 1 V
Каждое из рассматриваемых множеств матриц составляет абелеву подгруппу в группе иТ(5). Группа матриц вида т^ изоморфна группе матриц
3 4 4
вида Ш\а и далее не рассматривается. Группы матриц вида тз и Ш2\ можно
заменить подгруппами в иТ(3) и иТ(4):
2
т3
3.2. Линейные пространства на Я4
Для матриц из иТ (5) используется биекция с множеством кортежей Я
(1 0 0 0 0 ^
а 10 0 0
р Ь 10 0 •о- (а,Ь,с,й,р,д,г,и,V,м).
и д с 10
' 1 0 0 >
а 1 0 II т и
ч Ь 2а 1
/
Г1 0 0 0'
а 1 0 0
Ь 0 1 0
V с Ь а + Ь 1,
10 .
w V
1
Выше, в биекции иТ(4) о Я6, выписанной в п. 2.2, производится
отождествление элементов кортежей, соответствующих одинаковым ненуле-
3 з —
вым элементам матриц mV , т^а , / = 1,4, обозначенных одинаковыми симво-
33
лами, и получаются биекции mV о (а,Ь, с), т^а о (а,Ь, с) между матрицами
3 3 3
mV , т^а и кортежами троек Я . Это позволило по умножению матриц получить сложение троек (10)-(14). Первый столбец в матрице произведения и есть результат сложения кортежей. Эту идею применяем и к матрицам т4, т4а , / = 1,7, отображая их во множество кортежей Я4 . Различные операции
на Я4 определяются произведениями матриц видов т4 , т4а . Имеем следующие операции сложения:
(х, у, г, м/) +V (а,Ь, с,й) = (х + а,у + Ь, г + с, м + й); (22)
(х, у, г, м) +1а (а, Ь, с, й) = (х + а,у + ах + Ь, г + с, м + й); (23)
(х,у,г,м) +2а (а,Ь,с,й) = (х + а,у + ах + Ь, г + ах + с, м + й); (24)
(х, у, г, м) +за (а,Ь, с, й) = (х + а,у + ах + Ь, г + ах + с, м + ах + й); (25)
(х,у, г, м) +4а (а,Ь, с, й) = (х + а,у + ах + Ь, г + ау + Ьх + с, м + й); (26)
(х,у, г, м) +5а (а,Ь, с, й) = (х + а,у + Ь, г + с, м + аг + Ьу + сх + й); (27)
(х, у, г, м) +ба (а,Ь, с,й) = (х + а, у + Ь, г + ах + с, м + аг + Ьу + сх + й); (28)
(х, у, г, м) +7а (а,Ь, с,й) =
= (х + а, у + ах + Ь, г + ау + Ьх + с, w + az + Ьу + сх + Л);
(29)
кроме того, имеются еще операции сложения для пар и троек:
2
(х, у) +3 (а,Ь) = (х + а,у + 3ах + Ь), о тз ;
(30)
(х,у,г) +2 1 (а,Ь,с) = (х + а,у + Ь,г + (Ь + а)х + ау + с), о т21. (31)
Для введения внешних операций на группах (Я" \ +V ); (^4, +1а ),
— 2 3
I = 1,7; (Я,+3); (Я ,+21) можно воспользоваться внешней операцией на сибсоне Е10 , который определяется следующими операциями:
(х, у, г, 5, р, д, г, и, V, м) + (а, Ь, с, й, е, /, g, И, к, I) =
= (х + а, у + Ь, г + с, 5 + й, р + ау + е, д + Ьг + /, г + с5 + g, и + ад + ег + И;
V + Ьг + + /5 + к, м + аv + ег + И5 +1);
1 (а, Ь, с, й, е, /, g, И, к, I ) =
, . , . О1 -1)1 (1 - 1)1 , (1 -1)1
= | а1, Ь, с1, , е1 + аЬ-------------------------------, / + Ьс-, gt + сй-,
і /г \ (ґ_ 1)^ г. (ґ_ 2)(ґ - 1)ґ (ґ - 1)ґ (ґ - 2)(ґ - 1)ґ
йґ + (а/ + се)------------------Н аЬс-------------------------, кґ + (Ьg + Л/)-----------------------------------Н ЬсЛ-,
7 ^ , Лі - 1)ґ . , „ . .(ґ - 2)(ґ - 1)ґ ,,(ґ - 3)(ґ - 2)(ґ - 1)ґ
Іґ + (ак + Лй + ^)-----Н (aЬg + аёк + сЛе)-----------------Н аЬсё—
24
432
Теперь запишем внешние операции на Я , Я , Я , 1 е Я :
- для (22): 1(а,Ь,с,й) = (а1,Ь1,с1,й1);
- для (23): 1(а, Ь, с, й) =
- для (24): і(а, Ь, с, Л) =
- для (25): ґ(а, Ь, с, Л) =
- для (26): ґ(а, Ь, с, Л) =
- для (27): ґ(а, Ь, с, Л) =
- для (28): ґ(а, Ь, с, Л) =
, 2 (ґ - 1)ґ . аґ,Ьґ + а ------------, сґ,Лґ І;
, 2 (ґ - 1)ґ 2 (ґ - 1)ґ
аґ,Ьґ + а ---------------, сґ + а ----------,
2 2 '
, 2 (ґ - 1)ґ 2 (ґ - 1)ґ
аґ,Ьґ + а ---------------, сґ + а ----------,
аґ, Ьґ + а2 ———, сґ + аЬ(ґ - 1)ґ,с
(ґ - 1)ґ
аґ,Ьґ,сґ,Лґ + ас(ґ - 1)ґ + Ь‘
(ґ - 1)ґ
, 2 (ґ - 1)ґ 2 (ґ - 1)ґ
аґ,Ьґ,сґ + а ---------------, Лґ + ас(ґ - 1)ґ + Ь -----------
..... . , ( 2 (1- 1)1 ,, 3(1 -2)(1 -1)1
- для (29): 1(а,Ь,с,ё) = I а!,Ы + а ---,& + аЬ(1 -1)1 + а ----------,
| 2 6
г ,ч 1-2(1 - 1)1 _ 2,(1 - 2)(1 -1)1 4(( - 3)(1 - 2)(1 -1)1 ^
Ж + ас(1 -1)1 + Ь-----— + 3а Ь---------— + а -----------------’ '•
2 6 24
- для (30): 1 (а,Ь) = | а1,Ы + 3а2 (1 2^ ^ ^ т2 ;
- для (31): 1 (а,Ь,с) = ^а1,Ь1,с1 + аЬ(1 -1)1 + а2 (1 ^ ^^ га2^
Как абелевы подсибсоны сибсона Е10 полученные структуры
(Я4, +,, Юд (+„)) = Ь4; (Я4,+г-а, Юд (+г-а)) = а Ь4 , I = 1/7;
(Я2, ^, ЮЯ (+3)) = Ь3; ( я3, + 2,1, ЮД (+2,1)) = Ь2,1 являются линейными пространствами над Я . Имеются прямые разложения: Ь4 = <а > + <Ь > + <с > + <ё >, а Ь4 = <а, Ь > + <с > + <ё >, аЬ,4 = < а, Ь, с > + < ё > .
Автоморфизмы пространств Ь4, а Ь4 , I = 1,7, Ь2, Ь3» 1 различны для
каждой пары пространств, каждая группа автоморфизмов имеет свои инварианты, к ним относятся операции над векторами и соответствующие флаговые
23
сдвиги линейных пространств. Пространства Ь3, Ь21 имеют группы автоморфизмов, неизоморфные группам автоморфизмов, приведенным ранее 2-мерного и 3-мерного пространств.
Группы автоморфизмов линейных пространств попарно неизоморфны, так как содержат неизоморфные подгруппы сдвигов этих пространств.
Заключение
Таким образом, существует по несколько линейных пространств одной размерности над Я с неизоморфными группами автоморфизмов: не менее двух 2-мерных, не менее пяти 3-мерных, не менее восьми 4-мерных. С увеличением размерности число линейных пространств с указанными свойствами увеличивается. Альтернативные к арифметическому пространству линейные пространства задаются на кортежах чисел нелинейными формулами операций в их компонентах.
Список литературы
1. Долгарев, И. А. Альтернативная аффинная плоскость / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Владикавказский математический журнал. - 2007. - Т. 9, Вып. 4. -С. 4-14.
2. Долгарев, И. А. Альтернативная аффинная плоскость / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Владикавказский математический журнал. - 2008. - Т. 10, Вып. 2. - С. 9-20.
3. Хубежты, И. А. Теория плоскостей / И. А. Хубежты. - Владикавказ (Дза-уджикау) : ГОУ ВПО СОГУ, 2009. - 476 с.
4. Долгарев, И. А. Действительные линейные пространства малых размерностей с нелинейными операциями / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Алгебра, логика и методика обучения математике : материалы Всерос. конф., посв. 100-летию со дня рожд. С. Л. Эдельмана (Красноярск, 5-6 ноября 2010 г.). - Красноярск : КГПУ, 2010. - С. 35-37.
5. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2005. - 306 с.
6. Долгарев, А. И. Описание конечных нильпотентных групп ступени 2 простого нечетного периода / А. И. Долгарев // Известия вузов. Математика. - 2008. -№ 12. - С. 17-27.
7. Скотт, П. Геометрии на трехмерных многообразиях / П. Скотт. - М. : Мир, 1986. - 168 с.
8. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы пространства / Б. А. Розенфельд. - М. : Наука, 1969. - 548 с.
Долгарев Иван Артурович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Dolgarev Ivan Arturovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
УДК 512 + 514.126 Долгарев, И. А.
Альтернативные действительные линейные пространства размерностей 2, 3 и 4 / И. А. Долгарев, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№ 1 (17). - С. 3-19.
