Прямые и плоскости в 4-мерном пространстве-времени с W-сибсоном Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7

А. И. Долгарев, О. В. Синицина, Ю. А. Королева, Е. А. Липикина

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В 4-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С W-СИБСОНОМ

Рассматривается 4-мерный W-сибсон - нильпотентный 4-мерный одуль Ли, и начато построение геометрии с этим одулем Ли. Описаны 4-мерные сиб-соны. Изучаются свойства W-сибсона, рассмотрены прямые и плоскости пространства с W-сибсоном и их свойства, введена квазинорма, схожая с галилеевой, что привело к пространству с 3-мерным временем.

Некоммутативные одулярные галилеевы геометрии 3-мерных пространств и коммутативная геометрия Галилея 3-мерного классического пространства изучаются в работе [1]. Построены указанные геометрии в схеме Г. Вейля с использованием разрешимых 3-мерных одулей Ли, обобщающих линейное пространство. Одули Ли получены посредством введения внешних операций умножения элементов групп Ли на действительные числа. В общем виде одули над кольцом на произвольной алгебраической структуре определены Л. В. Сабининым в 1977 г. [2]. В работе [1] одули Ли представляются преобразованиями известных пространств; изучается 3-мерный сибсон -нильпотентный одуль Ли, он состоит из движений плоскости Галилея. Пространство, построенное псевдоев в схеме Г. Вейля с использованием одуля Ли, называется вейлевским одулярным пространством (коротко - ВО-пространством). На одулях Ли в работе [1] определена галилеева норма, относящаяся к квазинормам, что превращает ВО-пространства в одулярные галилеевы пространства с 1-мерным временем. Сибсонные функции дифференцируемы, что позволяет строить дифференциальную геометрию ВО-пространства с сибсоном [1].

В настоящей работе рассматривается 4-мерный W-сибсон - один из нильпотентных 4-мерных одулей Ли и начато построение геометрии с этим одулем Ли. Изучаются свойства W-сибсона, рассмотрены прямые и плоскости пространства с W-сибсоном и их свойства, введена квазинорма, схожая с галилеевой, что привело к пространству с 3-мерным временем. Описаны 4-мерные сибсоны.

1. W-сибсон размерности 4

1.1 Одули Ли

Пусть Q, = (Q, + ) - действительная группа Ли, групповая операция обозначается «+», т.е. записывается аддитивно, и R - поле действительных чисел. Элементы группы Ли Q, будем обозначать а, в, ..., ю,...; числа -

5, t,..., w,.... Задано отображение oír (+):R xQ,^Q,, называемое операцией умножения элементов группы Ли Q, на действительные числа. Для всех t,5е R и юеО требуется выполнение аксиом:

10.5 (trn) = (st )ю;

20. (г + 5)ю = гю + 5ю ;

3°.0-ю = # , г •# = #;

40.1 •ю = ю,(—1)ю = -ю .

Алгебраическая структура й = (,+,ю^ (+)), удовлетворяющая аксиомам 1°-4°, называется одулем Ли. Элементы одуля Ли называются одулярами.

В аксиомах # - нулевой одуляр, одуляр -ю противоположен одуляру ю .

Если операция «+» коммутативна, то одуль Ли является линейным пространством. В работе [1] рассматривается одуль Ли, являющийся сибсоном

3 3

Е , который определен на многообразии R . Элементы многообразия запи-

12 3

сываются в виде (х , х , х). Сибсон Е задается операциями:

(, X2, х ) + (, У2, У ) = ( + У1, х2 + у2, х + у + х2 у1),

1 2 (г— 1)г 1 2

х г, х г, хг + ------— х1х2

л

(1)

, г є И.

/

Элементы сибсона называются сибсами.

1.2 ^-сибсон размерности 4 »4

Элементы многообразия И4 записываем в виде (, х2, х3, х); зададим следующие операции:

(, х2, х3, х ) + (у1, у2, у3, у ) = ( + У1, х2 + у2, х3 + у3, х + у + (х2 + х3) у1) г (, х2, х3, х )

Г 1 „2, „3, , (г 1)г ,2 , „3Л„1Л

х г, х г, х г, хг + -

■( + Г) х1

(2)

, г є И.

Операция сложения некоммутативна и ассоциативна. Относительно сложения элемент # =(0,0,0,0) является нулевым, противоположным для

/123\ /123\

элемента (х , х , х , х) является элемент —Iх , х , х , х) =

(-х1, — х2, —х3, — х + х1(х2 + х3)). Одуляры (,х2,х3,х| и у,у2,у3,у) равны, если и только если равны их соответствующие компоненты.

Многообразие И4 с операциями (2) называется Ж-сибсоном, обознача-

4 2 2 3 3

ем его Е^ . Если компоненты сибсов х = у = 0 или х = у = 0 , то опера-

3

ции (2) напоминают операции (1) на сибсоне Е .

Свойство 1. Пусть (1,0,0,0) = а,(0,1,0,0) = в,(0,0,1,0) = у,(0,0,0,1) = 8.

(1 2 3 \

х , х , х , х I однозначно представляется в виде разложения

а = х*а + х2р + х3у + х5 .

# Равенство доказывается на основе операций (2). #

Сибсы а, в, у, 5 составляют базис Б = (, в, у, 5) сибсона Ицг. Сложение сибсов некоммутативно. Коммутатор сибсов ю и а обозначается [ю, а]. Как во всякой группе, он равен [ю, а] = —ю — а + ю + а.

Свойство 2. Генетический код Ж-сибсона 1<Ж таков:

%Ж = (а, в, у, 5|[в, а] = [у, а] = 5, [в, у] = [в, 5] = [5, у] = [5, а] = ^.

# Вычислим коммутаторы базисных сибсов.

[в, а] = -в — а + в + а = (0,—1,0,0) + (—1,0,0,0) + (0,1,0,0) + (1,0,0,0) =

= (—1,—1,0,1) + (1,1,0,1) = (0,0,0,1) = 5,

[у,а] = 5, [в,у] = #, [в,5]=#, [5,у] = #, [5,а] = #.

Теперь получаем генетический код сибсона хЖ , который выписан выше. #

Согласно генетическому коду, сибс 5 выражается через сибсы а, в, у с помощью коммутаторов: 5 = [в,у] или 5 = [у,а]. Значит, сибс 5 можно исключить из числа образующих 4-мерного сибсона. Коммутаторы элементов группы относятся к необразующим элементам (см. [3, с. 177]). Выполняется

Свойство 3. Ж-сибсон еЖ порождается тремя сибсами а, в,у . #

1.3 Подсибсоны W-сибсонa еЖ

Подсибсон, порожденный сибсами р, а, является их оболочкой и обозначается <р, а> . Сначала рассмотрим 3-мерные подсибсоны в еЖ .

Свойство 4. Сибсон Еж содержит 3-мерные подсибсоны ^а, в),(У, а} , являющиеся сибсонами, подсибсон (у, в, 5) является 3-мерным линейным

пространством.

# Найдем комбинации сибсов а, в :

га+ ^в = г (1,0,0,0) + 5(0,1,0,0) = (г ,0,0,0) + (0,5,0,0) = (г, 5,0,0),

5в + га = (0,5,0,0) + (г ,0,0,0) = (г, 5,0,5г).

Подсибсон (а, в), содержащий все такие комбинации, состоит из всех

1 2

сибсов вида (х , х ,0, х) и является 3-мерным сибсоном. Аналогично, подсибсон (а,у) тоже есть 3-мерный сибсон.

Сибсы в, У, 5 попарно перестановочны (см. свойство 2), они порождают линейное (в, У, 5) пространство в Ж-сибсоне еЖ . #

Свойство 5. Сибсы р, а порождают 3-мерный подсибсон ^р, а} , если и

только если они неперестановочны, и порождают 2-мерный подсибсон, если и только если они перестановочны.

# Для сибсов выполняется равенство [1, с. 117]:

- 1)г т

t (р + а) = гр + га + —-— [а, р].

Если [а,р] = т^#, то базис подсибсона (р,а) есть (р,а,т), и подсибсон (р, а является 3-мерным. Если [а, р] = Ф , то t(р + а) ^р + ta, третий сибс в базисе подсибсона (р, а} не появляется, поэтому подсибсон является

2-мерным. #

Как следствие, получается

Свойство 6. Всякий 2-мерный подсибсон W-сибсона ^W является линейным пространством. #

1.4 Правые сдвиги и представление W-сибсона !$у матрицами

Все разрешимые 3-мерные одули Ли в работе [1] представлены матрицами и преобразованиями. Каждый из указанных одулей Ли является по-додулем Ли в аффинном одуле Ли; точнее - в одуле аффинных преобразований в классической аффинной плоскости. Аналогичные свойства верны и для

W-сибсона !>W .

Свойство 7. W-сибсон 1<W представляется квадратными матрицами порядка 5 и аффинными преобразованиями аффинного пространства размерности 4.

# Правый сдвиг сибсом n = (a\a2,a3,a) на сибсоне !>W есть отображение

: а' = а + п ,

(-1 л л V л / 1 О \

x , x , x , x І - любой сибс из I.W ; а' = I xr , x , x , x І - образ сибса а в правом сдвиге. Имеем соотношение

а + п = (x1 + a1,x2 + a2,x3 + a3,x + a + (x2 + x3)a1 ) = ( \x2,x3,x ) = а ,

откуда получаем формулы правого сдвига:

x'1 = x1 + a1,

пп'

x2 = x2 + a2, x3 = x3 + a3,

х = х + (х2 + х3)«1 + а.

Это частный случай формул аффинного преобразования 4-мерного аффинного пространства. Матрица сдвига, как матрица аффинного преобразования , такова:

тц--

1 0 0 0 0Л

а1 1 0 0 0

а2 0 1 0 0

а3 0 0 1 0

а 0 а1 а1 1,

В теории групп известно, что множество правых сдвигов группы является группой относительно композиции преобразований, изоморфной данной

группе. Поэтому множество правых сдвигов Ц-сибсона Ец относительно

композиции преобразований является группой, изоморфной группе (еЦ ,+). Композиция сдвигов сибсами п и \ есть сдвиг сибсом п + ^ ; композиции сдвигов соответствует произведение их матриц, а произведению матриц сдвигов соответствует сумма сибсов п + ^ .

12 3 1 2 3 1

Сибс гп = (аг,а г,а г,аг + — г(г-1)(а + а )а ) определяет правый сдвиг: а + Щ = ( х1 + а1г, х2 + а2 г, х3 + а3г, аг +1 г (г - 1)(а2 + а3)а1 + (х2 + х3)а1г),

которому соответствует преобразование Ц-сибсона еЦ

п

щ

х1 = х1 + а1,

^ _ 2 . 2

х = х + а ,

/3 3.3

х = х + а ,

х = х + (х + х )а г +------(а + а )а + а,

и матрица

тщ

а1г

а2г

а3г

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 а1г а 2г 1

На этом основании определим степень матриц т^ правых сдвигов:

тП _ тгп.

Таким образом, Ц-сибсон Ец представляется матрицами тп правых сдвигов Пп и аффинными преобразованиями Пп . #

а =

1.5 Норма на ^-сибсоне еЦ

На Ц-сибсоне еЦ определим скалярное произведение ар сибсов

/123\ /12 3 \

(х ,х ,х ,х) и р = (у ,у ,у ,у):

| (х2 + х3) у1, если х2 + х3 Ф 0, или у1 Ф 0, ар = 1

2 3 1

I ху, если (х + х )у = 0.

II /2 2

Норма сибса а равна а = \/ а , где а есть скалярный квадрат сибса а;

2 3 1 2 3 1

■\](х + х )х , если х + х Ф 0, или х Ф 0;

|х|, если (2 + х31 х1 = 0.

а =

Эта норма сибсов относится к квазинормам, как и галилеева норма.

123 / 1 2 3 \

Компоненты х , х , х сибса а = ( х , х , х , х I считаем временными,

компоненту х сибса а считаем пространственной. Тем самым, Т.Ц является нормированным одулем Ли с 3-мерной временной составляющей. Согласно работе [4], определение нормы на одуле Ли с многомерным временем должно приводить не к римановой, а к финслеровой метрике. Операции на Ц-сибсоне

приводят к определенной выше норме. Пространственная компонента одна, поэтому не существует 2-мерных подсибсонов с евклидовой нормой в пространственной составляющей Ц-сибсона ЕЦЦ . Подсибсон (8) является

1-мерным евклидовым векторным пространством.

1.6 Нормы на 3-мерных подсибсонах ^-сибсона ЕЦЦ

Установим, какие нормы определяются на 3-мерных подсибсонах Ц-сибсона ЕЦЦ с квазинормой из п. 1.5. Рассмотрим подсибсоны Е3, состоящие из сибсов а = (, х2, х3, х) =(хг, х), г = 1, 2, 3, с одной нулевой г-й

координатой. Это подсибсоны Е3 с сибсами хг = 0 .

На подсибсоне Е3 , состоящем из сибсов а1 = (, х2, х3, х), согласно п. 1.5, норма определяется следующими равенствами:

[а^2 = (х2 + х3)х1 = 0; [а^2 = |х|.

3

Это полуевклидова норма. Подсибсон Е1 = <в, у, 8> является линей-

3

ным пространством (свойство 4). На подсибсоне ^, состоящем из сибсов а2 =|х1,0, х3, х), норма такова:

|а212 = х3х1; |а2|2 = |х| .

Такую норму можно считать галилеевой (квазифинслерова норма). На

3 3 3

подсибсоне Е3 имеем норму того же вида. По свойству 4, ^ = <а, У>, ^3 =

= <а,в>.

2-мерные подсибсоны с сибсами (,0,0,х), (,х2,0,х), (,0,х3,х) имеют полуевклидовы нормы.

(1 2 3 \ 2 3 1

х , х , х , х) при (х + х )х Ф 0 равен

||2 2 3 1 2 3 1

а = (х + х )х ; выражение (х + х ) у не является суммой квадратов каких-либо компонент сибса а. Поэтому W -сибсон 1,W не содержит 3-мерных и 2-мерных евклидовых подсибсонов. Доказано.

Свойство 8. W -сибсон 'Ï,W имеет 2-мерные и 3-мерные подсибсоны с полуевклидовой и галилеевой нормой и не имеет таких подсибсонов с евклидовой нормой. #

2. Пространство с ^-сибсоном

2.1 ЛС-пространство

ВО-пространства определены в работе [1, с. 128]. Рассмотрим ВО-пространство, одулем которого является W-сибсон 1,W .

Пусть Л- множество точек, которые обозначаем A, B, C, ..., и задано

отображение множества пар точек Л ^ х Л в W-сибсон . Если паре (A, B)

соответствует сибс а, то пишем АВ = а . Выполняются аксиомы Г. Вейля:

10. Для всякой точки А и всякого сибса а существует единственная точка В, что АВ = а .

20. Для любых трех точек А, В, С, если АВ = а , АС = п, то ВС = а + п . Л^ называется ЛС-пространством.

Введем координаты точек ЛС-пространства. Пусть О - некоторая точка из Ли Б = (а, в, у, 8) - базис сибсона . Репером ЛС-пространства называется множество В = (О, а, в,у, 8). Произвольная точка М определяется сиб-

сом ОМ. Координатами точки М в репере В называются координаты сибса

12 3

ОМ в базисе Б. Если в базисе Б ОМ = (х , х , х , х), то координаты точки М

12 3 12 3

есть (х , х , х , х), используется обозначение М = (х , х , х , х). В частности,

О = (0,0,0,0).

12 3 12 3

Свойство 9. Точкам А = (а , а , а , а), В = (Ь , Ь , Ь , Ь) соответству-

ет сибс

АВ = (Ь1 - а1,Ь2 - а2,Ь3 - а3,Ь - а - (Ь1 - а1)(а2 + а3)). (3)

# По аксиоме Г. Вейля 20 для трех точек: О, А, В имеем: ОА + АВ = ОВ, следовательно, АВ = -ОА + ОВ. Сибсы -ОА и ОВ непереста-

новочны. Используем координаты противоположного сибса для ОА (п. 1.2):

12 3 12 3

-ОА = (-а ,-а , - а , - а + а (а + а )). Равенство АВ = -ОА + ОВ записываем

в координатах, используем сложение сибсов из (2).

АВ = -ОА + ОВ = (Ь1 - а1,Ь2 - а2,Ь3 - а3,Ь-а-(Ь1 -а1)(а2 + а3)).

Получаем сибс (3) по условию равенства сибсов (п. 1.2). #

2.2 Задание прямой

Прямую ЛС-пространства лЖ с Ж-сибсоном еЖ определим по аналогии с аффинной прямой. Точка А и ненулевой вектор т аффинного пространства задают прямую, которая обозначается < А, т > . Точка М принадлежит прямой < А, т > , если и только если вектор АМ коллинеарен вектору т , а в этом случае АМ = гт, где г е И . Значит прямая есть множество точек

< А,т >= {М | АМ = гт,ге И}.

Пусть теперь А - точка из Л Ж и а - сибс из еЖ . Рассмотрим множество точек М, для которых АМ = га. Это множество точек называется прямой линией ЛС-пространства. Обозначаем ее < А, а>. Таким образом, прямая является следующим множеством точек

< А, а>= {М | АМ = г а, г е И}.

В ЛС-пространстве ЛЖ выберем репер В = (О, а, в, у, 8) и составим параметрические уравнения прямой < А, а >. Зададим координаты точек А, Ми сибса а :

А = (а1,а2,а3,а), М = (х1,х2,х3,х), а = (с1,с2,с3,с).

Свойство 10. Параметрические уравнения прямой < А, а > таковы:

11 122 233 3

х = с г + а, х = с г + а , х = с г + а ,

х = 1 г (г - 1)с1(с2 + с3) + (с + с1(а2 + а3))г + а. (4)

# Прямую < А, а > определяет равенство АМ = га. Запишем это равенство в координатном виде. На основании (3) имеем сибс АМ:

АМ = (х1 - а1,х2 - а2,х3 - а3,х - а + а1(а2 + а3) - х1(а2 + а3)).

Воспользуемся внешней операцией на сибсоне, получем сибс га :

га = (гс1,гс2,гс3,г(г 1 с1(с2 +с3) + гс), ге И.

Равенство АМ = га выполняется, если равны соответствующие координаты сибсов. Для четвертой координаты:

сг +1 с1(с2 + с3)г(г -1) = х- а - (х1 - а1)(а2 + а3),

х = — с (с + с )г(г -1) + сг + с (а + а )г + а.

Получаем уравнения (4). #

В общем случае уравнения прямой нелинейны и имеют порядок 2. Нелинейные уравнения прямой задают Галилеев цикл (см. [1]). Очевидно, что

2 3 2 3 1

при соотношениях с = с = 0, с + с = 0, с = 0 уравнения прямых линейны.

2.3 Взаимное расположение прямых

Пусть даны сибс а = (с1,с2,с3,с) и две точки А и В. Прямые р = (А,а)

и д = ( В, а), имеющие общий ненулевой сибс а, называются ко-

12 3

параллельными. Пусть сибс ц = (т , т , т , т) неперестановочен с сибсом

а. Тогда сибсы а и р=-ц+а+ц независимы, т.е. р^(а^. Прямые

р = (А, а} и г = (В, р) называются тран-параллельными. Ко-параллельные и

тран-параллельные прямые называются параллельными.

Свойство 11. Не существует плоскости, которая содержит две тран-параллельные прямые.

# Находим координаты сибса р через координаты сибсов а и ц :

123 123 123

р = -ц + а + ц = -(т , т , т , т) + (с , с , с , с) + (т , т , т , т) =

1 2 3 2 3 1

= (-т ,-т , -т ,-т + (т + т )т ) +

+ (с1 + т1, с2 + т2, с3 + т3, с + т + (с2 + с3)т1) =

= (с1, с2, с3, т1(с2 + с3) - с1(т2 + т3) + с).

Далее вычислим коммутатор:

[а,р] = -а-р + а + р = (0,0,0,т1(с2 -с3)-с1(т2 + т3)) .

Сибсы а и р неперестановочны, они порождают 3-мерный подсибсон. Следовательно, не существует плоскости, проходящей через точку В и имеющей сибсы а и р = -|1 + а + ц. #

Уравнения прямых д = (В, а) и г =(а р> , соответственно, ко- и тран-

параллельных прямой р = (А, а) , согласно свойству 10, таковы:

х1 = с1г + Ь1, х2 = с 2г + Ь2, х3 = с3г + Ь3,

х = 1 г (г - 1)с1(с2 + с3) + сг + с1(Ь2 + Ь3)г + Ь,

и

х1 = с1г + Ь1, х2 = с 2г + Ь2, х3 = с3г + Ь3, х = 1<„ - 1)с1(с2 + с3) + (,п\с2 + г3, + А,я2 + ,я3) + с„ + с><Ь2 + ь3), + Ь.

3. Плоскости в ЛС-пространстве л4

3.1 Задание плоскости

Плоскость одулярного пространства определяется по аналогии с плоскостью аффинного пространства: точкой и двумя неколлинеарными сибсами. Плоскость п, которая задается точкой А и сибсами а, р, обозначается п=< А, а, р>. Эта плоскость является следующим множеством точек М :

п = {м | АМ =ма + ур,(м,V) є И2}.

Свойство 11. Всякая плоскость ЛС-пространства является аф-

финной.

# Сибсон плоскости п есть <а, р> , его размерность равна 2. По свойству 5, сибсы а,р перестановочны, т.е. сибсон плоскости п=< А, а,р> является линейным пространством (свойство 6) и всякая плоскость ЛС-простран-ства является аффинной. #

Пусть в ЛС-пространстве выбран репер В = (О, а, в,у,8).

Свойство 12. Существуют координатные плоскости < О, а, 8>,

< О, в,у > , < О, в, 8 > , < О,у, 8 > , не существует координатных плоскостей с сибсонами <а, в> , < а, у > .

# Сибс 8 перестановочен со всяким сибсом, сибсы в, У перестановочны (см. генетический код Ж-сибсона , свойство 2). Поэтому плоскости

< О, а, 8>, < О, в,У> , < О, в, 8> , < О,у, 8> существуют. Сибсы а, в и а,у неперестановочны, они порождают 3-мерные подсибсоны. Плоскость не может иметь 3-мерного сибсона. Поэтому плоскости с сибсонами <а, в>, <а, у> не существуют. #

3.2 Уравнения плоскости

Пусть в ЛС-пространстве А^ : А = (а1,а2,а3,а) - фиксированная точ-

12 3 12 3

ка; М =(х , х , х , х) - произвольная точка; а = (с , с , с , с) - произвольный

12 3

сибс. Найдем условия на координаты сибса ц = (т ,т ,т ,т), ц£ <а>, перестановочного с сибсом а, чтобы задать плоскость п = < А, а, ц >. Коммутатор сибсов а, ц равен

[ц,а] = (0,0,0,(т2 + т3)с1 -т1(с2 + с3)).

Поэтому сибс ц перестановочен с сибсом а, если и только если

1 2 3

т = 0 и т + т = 0.

Таким образом, если в задании плоскости используется сибс а, то вторым сибсом может служить только сибс вида

ц = (0, т2,-т2, т).

Свойство 13. Параметрические уравнения плоскости п = < А, а, ц > таковы:

11122 2 23 2 3 3

х = су + а , х = т и + су + а , х = -т и + с V + а ,

х = ти + су +1 у(у - 1)(с2 + с3)с1 + (а2 + а3)с1у + а.

# Плоскость п = < А, а, ц> определяется сибсонным равенством (см. п. 3.1):

2

АМ = иц + уа , (и, V) е И .

Сибс АМ найден ранее (в п. 2.2):

АМ = (х1 - а1,х2 - а2,х3 - а3,х - а - (а2 + а3)(х1 - а1)).

По формуле (2) вычисляем:

22 123 1 231

иц = (0,т и,-т и,ти), уа = (с V,с V,с V,су + ~у(у-1)(с +с )с ),

12223 1 231

иц + уа = (с V,т и + с V,-т и + с V,ти + су + — у(у - 1)(с + с )с ).

На основании условия равенства сибсов (п. 1.2) сравниваем соответствующие компоненты сибсов АМ и иц + уа и получаем параметрические уравнения плоскости < А, а, ц >, указанные выше. В записи четвертого уравнения используем соотношение х1 - а1 = с1у из первого уравнения. #

Уравнения плоскости в общем случае нелинейны. Эти уравнения становятся линейными при следующих условиях:

с1 = 0 или с2 + с3 = 0.

Для примера рассмотрим плоскость т = < О,р,8> , где р = (1,'1,0,0) и 8 = (0,0,0,1) - базисный сибс. Согласно свойству 13, уравнения плоскости

< О, р,8> таковы:

1 2 3 1

х = V , х = V , х = 0, х = и +— у(у -1).

При и = 0 имеем прямую

1 2 3 1

х = V , х = V , х = 0, х = — у(у -1),

лежащую в плоскости т . Эти уравнения напоминают уравнения галилеева цикла [1]. Точка А = (0,0,0,а) лежит на прямой < 0,8> плоскости т , через А проходит прямая < А, р > в этой плоскости, уравнения которой

1 2 3 1

х = V, х = V, х = 0, х = — у(у -1) + а.

Всякие две прямые такого вида параллельны между собой; при различных значениях а эти прямые не имеют общих точек.

При V = 0 имеется прямая

12 3

х = 0, х = 0, х = 0, х = и , она лежит в плоскости т. Эти уравнения линейны. Точки В = (Ь, Ь,0,1 Ь(Ь -1)) расположены на прямой < О, р> плоскости т . Прямые

< В,8 > лежат в плоскости т , их уравнения

х1 = Ь , х2 = Ь , х3 = 0 , х = 1 Ь(Ь -1).

Прямые такого вида параллельны между собой, все они параллельны прямой < 0,8 > . На плоскости т = < О, р, 8 > имеется координатная сеть, состоящая из прямых < А, р > и прямых < В,8 >.

3.3 Виды плоскостей

На основе метрики W -сибсона 1,W (п. 1.5) определим вид плоскостей ЛС-пространства, используя п. 1.6. Если плоскость п имеет своими

2 3 2 3

сибсами а1 = (0, х , х , х), то плоскость п полуевклидова. а1 = (0, х , х , х),

1 2 3

следовательно, т = 0 (см. п. 3.2), поэтому ц = (0,т ,т ,т). То есть а1 и

ц одного вида, плоскость ^А, а, Ц с подсибсоном ^а, ц^ существует. Ее

уравнения:

х1 = а1,

2 2 2 2

х = т и + су + а,

<

3 3 3 3

х = т и + су + а ,

2 3 2 2

х = ти + су + (а + а )(т и + с V) + а.

3

Сибсон Е (по п. 1.6), является галилеевым, следовательно, плоскости (А, а, ц^ галилеевы. Галилеевыми являются плоскости с сибсами

13 12

а2 = (х ,0, х , х), а3 = (х , х ,0, х). Согласно п. 1.6, пространство с нормой,

определенной в п. 1.5, не содержит евклидовых плоскостей.

4. Нильпотентные одули Ли размерности 4

4.1 Нильпотентные группы

Напомним основные положения. Рассматривается непустое множество О, его элементы обозначаются а, в,..., ю,.... Бинарную операцию на множестве О, называем сложением: если а,реО, то а + реО. Считаем, что множество О относительно сложения, т.е. структура (О,+) является группой. Нулевой элемент группы обозначается #; элемент -а является противоположным для а . Сложение на О ассоциативно.

Если а + р = р + а , то элементы а, р называются перестановочными. Если а + р^р + а, то в О существует элемент к такой, что а + р = р + а+ к. Из этого равенства находим к = -а-р + а + р. Элемент -а-р + а + р называется коммутатором элементов а и р и обозначается

-а - р + а + р = [а, р] = к.

Для перестановочных элементов а, р: [а, р] = Ф . Подгруппа группы

О =( О ,+), порожденная коммутаторами всех элементов группы О, называется коммутантом группы О и обозначается С( О).

Коммутант группы содержит коммутаторы:

[а,р] = к, [к,т] = к1 = [ [а,р],т], [к1,п] = [ [ [а,р],т],я], ....

Это коммутаторы длины 2, 3, 4 и т.д. Если всевозможные коммутаторы длины 5 элементов группы равны нулевому элементу #, то группа О называется нильпотентной ступени 5 - 1. При [а, р] = Ф для всех элементов а,р

группы О имеем, что все элементы группы О перестановочны, т.е. группа

О коммутативна, или абелева. Это нильпотентная группа ступени 1. Если существуют [а, р]^^ и [ [а, р], т] = # для всех элементов группы О, то О есть нильпотентная группа ступени 2.

Равенство [ [а, р], т^| = # для всех а, р, т означает, что коммутаторы

всех элементов группы перестановочны с каждым элементом группы. Если некоторый элемент группы перестановочен со всеми элементами группы, то он называется центральным. Множество всех центральных элементов группы

О составляет подгруппу в группе О, она называется центром группы и обозначается Z( О). В нильпотентной группе О ступени 2 коммутант группы С( О) содержится в ее центре Z( О); это записывается в виде С( О) < Z( О). Центр Z( О) группы О является абелевой группой. Группа, являющаяся многообразием, называется группой Ли. Такие группы называются также непрерывными. Группы матриц, группы картежей действительных чисел относительно определенных на них операций являются группами Ли.

4.2 Одули Ли. Сибсоны

Алгебраическая структура с внешней операцией называется одулем (см. [2]). Если (О,+) - группа Ли и задано умножение (+) элементов группы Ли на действительные числа, удовлетворяющее приведенным в п. 1.1 аксиомам, то определен одуль Ли О =( О,+, ю^ (г)). Свойства группы Ли, на которой задан одуль, определяют свойства одуля Ли. Одуль с нильпотентной группой являются нильпотентным. Нильпотентный одуль Ли называется сиб-соном. Мы рассматриваем одули Ли на кортежах действительных чисел. Элементы сибсонов называются сибсами. В п. 1.1 выписаны операции на

3-мерном сибсоне £3 и на 4-мерном W-сибсоне . Сибсы первого из них

есть кортежи длины 3 ю = (х1, х2, х) , w-сибс0н состоит из сибсов

12 3

а = (х , х , х , х) - кортежей длины 4.

Имеем однозначные разложения:

ю = х1а + х2в + ху, а = (1,0,0), в = (0,1,0), у = (0,0,1);

а = х1а + х 2в + х3 у + х8, а = (1,0,0,0), в = (0,1,0,0), у = (0,0,1,0), 8 = (0,0,0,1). Это разложения по базису каждого из сибсонов. Для 3-мерного сибсона

3

£ выполняются следующие равенства (см. [1]):

[в, а] = у, [у, а] = [ [в, а], а ] = 0, [у ,в] = [ [в, а],в] = 0.

Следовательно, сибсон £3 является нильпотентным одулем Ли ступени 2. В п. 1.2 вычислены коммутаторы базисных сибсов W-сибсона £W :

[в, а] = [у, а] = 8, [8, а] = [8, в] = [8, у] = 0.

W-сибсон является нильпотентным одулем Ли ступени 2. Условия

нильпотентности достаточно проверить для базисных сибсов.

4.3 Сибсоны размерности 4

Сибсон £ размерности 3 порождается двумя сибсами а и в, элементами базиса, они неперестановочны, их коммутатор отличен от нуля и является третьим элементом базиса сибсона Б = (а,в,у), где у = [в,а]. Имеется

единственный 3-мерный сибсон £3 = (а, в,у) , всякий сибс ю = (х1, х2, х) рассматривается в разложении по базису. Возможны и записи сибсов

1 2

ю = (х, х , х ), если базисные сибсы упорядочены иначе (у, а, в). К существенным изменениям свойств сибсона это не приводит (см. [1]).

Рассмотрим сибсон £4 размерности 4 ступени 2. В его базисе содержится четыре сибса, обозначаем их а, в, У, 8 . Сибсы а, в считаем неперестановочными и полагаем [в, а] = 8. Для сибса у имеются следующие возможности:

а) у перестановочен с сибсами а, в,у,8 и в : [у, а] = [у, в] = 0;

б) [у,а] Ф 0, [у,а]е< 8 >, [у,в] = 0;

в) [у,а]ф0,[у,в] Ф0,[у,а]е (8),[у,в]е (8).

В случае (а): [у, 8] = 0 и у перестановочен поэлементно с подсибсоном

(а, в, 8), порожденным сибсами а, в,8, это 3-мерный сибсон £3 . Обозначим

(у) = Ь1. Это 1-мерное линейное пространство над полем И. Имеем прямую сумму

£4 = £3 + Ь1,

где £4 =(а,в,У,8), £3 =(а,в,у) . Коммутант С(£4) сибсона £4 совпадает с коммутантом сибсона £3 : С( £4)=(8}, является абелевым, т.е. линейным

пространством размерности 1: центр Z (4 ) = (у, 8) = Ь2 - линейное пространство.

В случае (б) обозначим [у, а] = т8, т Ф 0. Воспользуемся свойствами коммутаторов элементов нильпотентных групп [5, с. 87-88]:

[а, р] = -[р, 8]; [а, р + т] = [а, р] + [а, т]; [ка, тр] = кт [а, р].

Для сибса — у имеем т

1

—Y, a m

= — [y, a] = — mS = S. m m

Сибс у в базисе сибсона Z4 можно заменить сибсом — Y . Поэтому счи-

m

таем, что сибс у таков, что [у, a] = 5 . Для сибса у -ß выполняются равенства

[у -ß, a] = [у, a] + [-ß, a] = [у, a] -[ß, a] = 5 - 5 = ö,

[у-ß, ß] = [у, ß] + [-ß, ß] = Ö.

Ввиду нильпотентности сибсона [у -ß, 5] = Ö.

Сибс у в базисе сибсона Z4 можно заменить сибсом п = у-ß. Коммутаторы сибсов нового базиса Б' = (,ß,п,5) сибсона Z4 таковы:

[ß, a] = 5, [п, a] = [п, ß] = [п, 5] = ö.

Подсибсон (п) является 1-мерным линейным пространством L1, сибс п

перестановочен с остальными сибсами базиса Б', поэтому сибсон Z4 является прямой суммой:

Z4 = (a, ß, 5} + (п) = Z3 + L1.

В случае (в) обозначим

[у, a] = mS, [у, ß] = к5, m Ф 0, к Ф 0.

Рассмотрим сибс

т = у + к a- mß.

Находим

[т, a] = [у + к a- mß, a] = [у, a] + к [a, a]- m [ß, a] = ö,

[т, ß] = [у + к a - mß,ß] = [у, ß] + к [a, ß] - m [ß,ß] = Ö.

Сибсон Z4 обладает базисом Б* = (а,ß,т,5), для сибсов которого выполняется

[ß, a] = 5, [т, a] = [т, ß] = [т, 5] = ö.

Сибс т порождает 1-мерное линейное пространство (х) = і} , и Е4 =(а, в, 8) + (т) = Е3 + і1.

В рассмотренных случаях (а), (б), (в) предполагалось, что С( Е4)=^ 8),

т.е. что коммутант сибсона Е4 имеет размерность 1. Если размерность коммутанта С( Е4) равна 2, то [у, а] = п и размерность сибсона увеличивается до 5,

вместо Е4 имеем Е5 = (а, в,у,8,п) . Следовательно, 4-мерный сибсон ступени

2 не может иметь 2-мерный коммутант. Предположим, что ступень нильпотентности сибсона больше 2. Это возможно только при [у,8] = Е, Ф 0 , что увеличивает размерность сибсона.

Тем самым доказана

Теорема. 4-мерный сибсон Е4 имеет ступень нильпотентности 2, размерность его коммутанта С( Е4) равна 1, размерность центра Z( Е4) равна 2, и сибсон Е4 является прямой суммой 3-мерного сибсона и 1-мерного линейного пространства Е4 = Е3 + I1. #

4.4 Операции на сибсоне

На многообразии И4 сибсон Е4 можно задать операциями на основе операций (1):

(, X2, X) + (, У2, У ) = ( + У1, X2 + У2, х + У + X2 у1),

1 2 X—1 2

X I, X I, XI + --— X X

Л

V

, г є я,

У

на 3-мерном сибсоне (см. п. 1.1) и на основе разложения Е4 = Е3 + I: (X1, X2, X3, X) + (, У2, У3, У ) = ( + у1, X2 + У2, X3 + У3, X + У + X2 у1),

/

12 3 X Чг 1 2

X г, X г, X г, XI + --— X X

л

V

, г є я.

у

(5)

В п. 1.1 заданы операции (2) другого вида. Перепишем их здесь для сравнения:

(, X2, X3, X) + (, У2, У3, У ) = ( + У1, X2 + У2, X3 + у3, X + у + (X2 + X3) у1 ),

/

Л

x1г, x2г, x3г, xг + -----------(X2 + X3) X1

V 2 J

, г є я.

Это операции на сибсоне для случая (б) из п. 4.3.

Согласно генетическому коду сибсона £4 с операциями (5):

Е4 =

(а,в,у,8|[в,а] = 8,[в,у] = [в,8] = [8,у] = [8,а] = [у,а] = 0 ,

мы имеем случай (а), рассмотренный в п. 4.3. По теореме из п. 4.3, в случае (б) это тот же сибсон, что и £4 , но его операции записаны в других определяющих соотношениях, т.е. с другим генетическим кодом. В связи с этим

4-мерный сибсон с операциями (2) назван W-сибсоном и обозначается £^ .

Операции (2) и (5) приводят к различным уравнениям прямых и плоскостей в ЛС-пространствах размерности 4, к различным галилеевым метрикам, различным правилам дифференцирования сибсонных функций и, в итоге, -к различным галилеевым геометриям с одним и тем же 4-мерным сибсоном.

Норму на сибсоне £4, т.е. сибсоне с операциями (5), можно задать сле-

12 3

дующим образом. Пусть а = (х , х , х , х). Положим:

, если х1 Ф 0;

ф2 )2 + (х3)

а =

а|| = \/(х2 ) + (х3)2 + (х)2, если х1 = 0.

Имеется аналогия с определением нормы на 3-мерном одуле Ли в [1], здесь изменены обозначения координат сибсона по сравнению с работой [1].

В пространстве с сибсоном £4 с такой нормой имеются евклидовы плоскости, а в пространстве с W-сибсоном £^ евклидовых подпространств нет.

Указанная норма сибсов отлична от нормы на W-сибсоне £^ (см. п. 1.5). На сибсоне размерности 4 возможны и другие нормы, а значит, и другие геометрии. W-сибсон с нормой из п. 1.5 имеет временную составляющую размерности 3 и пространственную составляющую размерности 1. Для сиб-

12 3 12 3

са а = (х , х , х , х) компоненты х , х , х считаются временными, а компонента х считается пространственной. Многомерное время рассматривается, например, в работе [4].

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

2. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.

3. Холл, М. Теория групп / М. Холл. - М. : ИЛ, 1962. - 468 с.

4. П авлов Д. Г. Хронометрия трехмерного времени / Д. Г. Павлов // Гиперком-плексные числав геометрии и физике. - 2004. - № 1. - С. 20-32.

5. Курош, А. Г. Теория групп / А. Г. Курош. - 3-е изд. - М. : Наука, 1967. - 648 с.