Альтернативное 2-мерное действительное линейное пространство. Группа Ли замен базисов пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, Выпуск 2, С. 9-20

УДК 512.5

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ 2-МЕРНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ГРУППА ЛИ ЗАМЕН БАЗИСОВ ПРОСТРАНСТВА

А. И. Долгарев, И. А. Долгарев

Определено 2-мерное линейное действительное пространство, операции над векторами которого заданы нелинейными формулами. Это пространство составляет альтернативу классическому линейному пространству. Изучаются алгебраические структуры замен базисов линейных пространств — группы Ли и одули Ли. Замены базисов классического пространства составляют некоммутативный одуль Ли, замены альтернативного пространства составляют некоммутативную группу Ли с инвариантной подгруппой линейных замен.

Ключевые слова: альтернативное линейное пространство.

1. Альтернативное линейное пространство на многообразии И,2

1.1. Определение другого линейного пространства на И2. Обычное линейное пространство на многообразии И2 задается операциями

(ж, у) + (и, V) = (ж + и, у + V); ¿(ж, у) = (ж£, у4), £ £ И. (1)

Для приведенных операций на многообразии И2 выполняются аксиомы линейного пространства. Множество И2 с операцией сложения, т. е. структура (И2, +) является абеле-вой группой Ли. С операцией сложения связана операция умножения на действительные числа, обозначаем ее шя(+). Структура на носителе И2 с операциями (1) + и шя(+) является линейным пространством над И, обозначаем ее Ь2 = (И2 , +, шя (+)). Векторы из Ь2 обозначаются а,Ь,..., ж,... Линейность структуры (И2, +, шя(+)) с операциями (1) обусловлена свойствами

¿(ж + и) = ¿ж + ¿и, (£ + в)ж = ¿ж + ¿и. (2)

Умножение вектора на число можно понимать как оператор /а(ж) = аж. Этот оператор обладает свойством линейности

/а^ ж + ви) = ¿/а (ж) + в/а (и),

совпадающим с первым из свойств (2) при а = 1. Операции (1) называются линейными.

В [1, с. 242-244] и [2] приведены 2-мерные линейные пространства с операциями, не такими, как (1); для того, чтобы эти операции отличать от (1), в [1] использованы другие

© 2008 Долгарев А. И., Долгарев И. А.

символы операций. На множестве пар И,2 рассмотрим одно из пространств из [1], употребляя обычные обозначения операций. Это пространство обозначаем аЬ2, пары из пространства аЬ2 обозначаем а, в, • • •, т, а,... Пусть т = (ж, у), а = (и, V) две произвольные пары. Относительно введенных операций (3) и (4) пары из аЬ2 называются векторами. Операция сложения векторов из аЬ2 такова:

т + а = (ж, у) + (и, V) = (ж + и, у + V + жи). (3)

Внешняя операция на структуре (аЬ2, +) задается равенством

¿т = ¿(ж,у) = + ж2^^ , ^ ^ И. (4)

Векторы из аЬ2 равны, если и только если равны их соответствующие компоненты.

Теорема 1. Многообразие К2 с операциями (3) и (4), т. е. структура аЬ2 = (К2, +,шд(+)) является 2-мерным линейным пространством над К; в частности, выполняются условия линейности:

¿(т + а) = ¿т + ¿а, (£ + з)т = ¿т + зт.

< Сложение (3) коммутативно. Нулевым является вектор $ = (0, 0). Противоположный для вектора т = (ж, у) есть вектор

- т = (ж, у) = ( - ж, ж2 -у). (5)

Легко проверяется ассоциативность сложения, р = (г, ад) еще один вектор:

(т + а) + р = ((ж, у) + (и, V)) + (г, ад) = (ж + и, у + V + жи) + (г, ад) = (ж + и + г, у + V + ад + жи + (ж + и)г),

т + (а + р) = (ж, у) + ((и, V) + (г, ад)) = (ж, у) + (и + г, V + ад + иг) = (ж + и + г, у + V + ад + иг + ж(и + г)).

Результирующие пары в рассмотренных суммах оказались одинаковыми. Таким образом, структура (аЬ2, +) — множество И2 с операцией сложения (3), есть абелева группа Ли.

Остальные аксиомы линейного пространства для И2 с операциями (3) и (4) выполняются. Проверим, например, выполнимость равенства ¿(т + а) = ¿и + ¿р. Воспользуемся определением операции (4). Имеем:

¿(т + а) = ¿((ж, у) + (и, V)) = ¿(ж + и, у + V + жи)

= ^(ж + и)£, (у + V + жи)£ + (ж + и)21)

= ^(ж + и)£, (у + v)t + жи + (ж2 + и2) ^ 1) + ¿(^ — 1)жи ¿и + ¿а = ¿(ж, у) + ¿(и, V) = ( ж£, у£ + ж2——^ ) + ( и^ vt + и21)

2 / V 2

2 ¿(4 - 1) 2 ¿(4 - 1) 2 ж£ + и^ у£ + vt + ж -2--+ и -2--+ ж^

Сравнивая результаты вычислений, убеждаемся в справедливости доказываемого равенства. >

Линейное пространство аЬ2 с операциями (3) и (4) альтернативно линейному пространству Ь2 с операциями (1).

Результаты линейных операций (3) и (4) во второй компоненте зависят от первой компоненты векторов из аЬ2. Согласно [1, с. 109-110], первая компонента векторов из аЬ2 является ведущей в операциях. В операциях (1) на классическом линейном пространстве Ь2 ведущих компонент нет. В некоммутативном нильпотентном одуле Ли, который называется сибсоном, имеется 2-мерный подсибсон, являющийся линейным пространством, операции над векторами в подсибсоне такие же как (3) и (4), [1, с. 118 и с. 168]; в [1] это линейное пространство только упоминается, но не изучается; оно изучается ниже. Мы приходим к следующим выводам:

(а) Линейное пространство на многообразии И,2 определяется не единственным образом.

(б) Линейные пространства Ь2 и аЬ2 не изоморфны. Действительно, пусть вектор ж = (ж, у) из Ь2 соответствует вектору т = (ж, у) из аЬ2 во взаимно однозначном отображении ^ между аЬ2 и Ь2, т. е. ж^> = т — соответствуют один другому векторы из рассматриваемых пространств с одними и теми же компонентами. Пусть еще и = (и, V),

= а = (и, V) £а Ь2. Имеем:

(ж + и)^> = ж^> + = т + а = (ж + и, у + V + жи).

1.2. Некоторые свойства пространства аЬ2. Оболочкой (и) вектора и = (ж, у),

как известно, называется множество векторов (и) = {¿и, 4 £ И}. Для вектора а = (1, 0) оболочка (а), согласно (4), состоит из векторов

¿а = ^г,г(г - ^, г £ И. (6)

При г = 0, г =1, векторы ¿а двухкомпонентны в том смысле, что обе компоненты векторов отличны от нуля. В (а) входят векторы

(0, 0); (1, 0); (2,1); (3, 3); (4, 6);...

Но в оболочке (а) нет, например, векторов (2, 2); (1, 2) и т. д. Оболочка (а) не исчерпывает пространства аЬ2. Геометрически векторы из (а) можно представить точками параболы на аффинной плоскости А2:

1 2 1 ж = г, у = - г — г.

22

Для вектора в = (0,1) оболочка (в) состоит из векторов

гв = (0,г), г £ и.

Геометрическое представление этой оболочки есть прямая аффинной плоскости А2, параллельная координатной оси с единичным вектором (0,1).

Теорема 2. Упорядоченное множество векторов Б= (а, в), где а = (1, 0), в = (0,1), является базисом линейного пространства аЬ2.

< Векторы а, в линейно независимы, т. е. (а) П (в) = ($). Всякий вектор и = (ж, у) обладает однозначным разложением

и = (ж, у) = жа +( у - ж(ж ~ 1М в, г £ И. (7)

В правой части разложения (7) имеем, согласно (4) и (3): ха + (у - ^^^ в = х(1,0) + (у - (0,1)

= (х, ) + (о. у - ) = (*. ■>+у - ) = (*, у).

Таким образом, линейное пространство аЬ2 является оболочкой векторов а, в: аЬ2 =

(а, в )• >

1-мерные подпространства и 1-мерные многообразия (смежные классы по 1-мерным подпространствам) составляют сеть линейного пространства [1, 2]. Сеть можно описать покомпонентными равенствами векторов, составляющих 1-мерные многообразия — сетевыми уравнениями линейного пространства.

Теорема 3. Линейное пространство аЬ2 имеет следующие сетевые уравнения

х = сЛ + С, у = с2^ 2 1) + (¿с + с^ + С (с = 0);

или, при с = 0:

х = С, у = с14 + Сь

< Пусть а = (с, С1) произвольный вектор из аЬ2, тогда (а) есть 1-мерное подпространство в аЬ2 и 5 + (а) — 1-мерное линейное многообразие в аЬ2. Обозначим 5 = ¿1). Всякий вектор и = (х, у) из многообразия 5 + (а) равен и = 5 + ¿а. Подставим в это равенство координаты векторов и сравним соответствующие компоненты различных частей равенства. Получаем записанные выше сетевые уравнения, см. [1, с. 246] и [2]. >

Уравнения сети пространства аЬ2 при с = 0 нелинейны, они представляются параболами 2-го порядка; при с = 0 имеем линейные уравнения.

Сетевые уравнения классического линейного пространства Ь2 все являются линейными. Для сравнения приведем их. Пусть с = (с1, с2), с? = (С1, С2) — произвольные векторы из Ь2, с? + (с) есть 1-мерное линейное многообразие в Ь2. Всякий вектор х = (х1,х2) рассматриваемого многообразия равен х = с? + ¿с. Покомпонентные равенства, записанные по этому векторному равенству, дают сетевые уравнения [2], линейного пространства Ь2:

х = с4 + С1, х2 = с2£ + С2.

Уравнения линейны.

2. Одуль Ли и группа Ли замен базисов линейных пространств

2.1. Замена базиса в классическом линейном пространстве Ь2. В линейном пространстве Ь2 вместе с базисом Б = (ё*1, ¿2), где ¿1 = (1, 0), ё*2 = (0,1), рассматривается базис Б' = (ё 1, ¿2), где ё 1 = (с1, с2), = (с2, с2); векторы ё 1 и неколлинеарны. Пусть (х, у) — координаты вектора х в базисе Б, (х',у') — координаты вектора х в базисе Б'. Формулы замены координат векторов при переходе от базиса Б к базису Б' и матрица замены базиса, как известно, таковы:

(х = Iх,' + 1у/ С = ( 1 с1 ) , <!<* С = 0.

1у = с2х' + с2у'; V с1 с2 /

2.2. Одуль Ли замен базисов пространства Ь2. Для замен базисов классического линейного пространства Ь2 выполняется следующая

Теорема 4. Множество всех замен базисов классического линейного пространства Ь2 относительно композиции замен является группой Ли, изоморфной полной линейной группе Д) квадратных матриц 2-го порядка; это 4-параметрическая группа Ли.

< Зададим еще одну замену базиса в Ь2: базис Б' заменим базисом Б" = (е/',е2'), векторы е/', е2' заданы в базисе Б': е/' = е2' = (¿2, ¿2), и в базисе Б'' задан

ж = (ж'', у''). Имеем формулы замены координат векторов при переходе от базиса Б' к базису Б'' и матрицу замены базиса:

ж = ¿ж' + 4у', п _ ( 4

V = d?*' + D = 1 4 4) • det D = °

Выполним последовательно две замены базисов, т. е. композицию замен: Б ^ Б' (базис Б заменяется базисом Б') и Б' ^ Б'', ф = ^^ : Б ^ Б''. Получаем формулы замены с матрицей F:

f* = (<М + ^ + №? + c? f = CD, det F =

\y = (c?d¡ + cid?)*'' + (c|d? + c| d|)y'';

Композиции замен базисов соответствует произведение матриц замен. Композиция замен базисов ассоциативна, поскольку произведение их матриц ассоциативно. Тождественной замене базиса $ : Б ^ Б соответствует единичная матрица замене ^>-1: Б' ^ Б соответствует матрица C-1. >

Алгебраическая структура линейного пространства обобщается алгебраической структурой, которая называется одулем. Одули введены Л. В. Сабининым в [3]: одуль над кольцом K на алгебраической структуре П получается в результате введения на структуре П внешней операции умножения элементов структуры П на скаляры из K. Если w Е П, t Е K, то определяется элемент tw, принадлежащий П. Требуется выполнение аксиом одуля:

s(tw) = (st)w, (s + t)w = sw + tw

для всех w Е П, t, s Е K. Если П структура с нейтральным элементом то еще выполняется равенство t$ =

Одули Ли определены в [1] в результате введения внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа.

Теорема 5. Множество всех замен базисов линейного пространства L2 является 4-мерным одулем Ли.

< В [4] дано описание одуля Ли аффинных преобразований аффинной плоскости A2. Аффинному преобразованию плоскости соответствует матрица из GL(2, R). Согласно [4], каждая матрица из GL(2, R) является представлением либо ненулевого комплексного числа z = r(cos a + i sin a), i2 = -1; либо двойного числа, записываемого в виде z = r(cha + isha), i2 = 1; либо дуального числа, записываемого в виде z = r(1 + ia), i2 = °, r > Среди указанных 2-мерных чисел нет делителей нуля. Числа каждого вида составляют мультипликативную группу 2-мерных чисел. Для рассматриваемых чисел определены операции возведения в действительную степень

z* = (r (cos a + i sin a))* = rt (cos ta + i sin ta); z* = (r (ch a + i sh a))* = rt (ch ta + i sh ta); z* = (r (1 + ia))* = r*(1 + ita).

В результате получаются 2-мерные мультипликативные линейные пространства. Степени 2-мерного числа соответствует степень матрицы из ОЬ(2, И,). Тем самым на группе Ли ОЬ(2, И) определен одуль Ли (одули Ли рассматриваются в [1]). Заменам базисов пространства Ь2 тоже соответствуют матрицы из ОЬ(2, И), это означает, что одуль Ли аффинных преобразований аффинной плоскости содержит пододуль Ли замен базисов пространства Ь2. Степени Сг матрицы С соответствует степень ( замены базиса Б базисом Б'. Формулы замен зависят от четырех параметров, т. е. одуль Ли является 4-мерным. Тем самым, получено уточнение теоремы 4. >

Одуль Ли замен базисов пространства Ь2 обозначим Ф.

Теорема 6. Одуль Ли Ф замен базисов линейного пространства Ь2 порождается родственными преобразованиями и растяжениями с подпространствами инвариантных векторов (в1), (<3*2) — оболочками векторов базиса Б.

< Параметры замены р базиса линейного пространства Ь2 обозначим и, V, т, г; они могут изменяться непрерывно. В этих обозначениях формулы замены р имеют вид

р:(Х = иХ' + ^ С = ( и v 1, а* С = 0. [у = тх' + гу'; \ т г у

Рассмотрим 1-мерные пододули одуля Ли Ф. Обозначим Фи одуль Ли замен по формулам

:{X = иХ'' С- = ( '0 0) • ^С- = °'

Это одуль Ли растяжений с подпространством (<2) инвариантных векторов. Пусть Ф^ есть одуль Ли замен

/х =х' + V' /1 V \

рV : < . Сь = , ёе! Сь = 0.

[у = У ; V 0 1 /

Это одуль Ли родственных преобразований с подпространством (ё1) инвариантных векторов. Фш есть одуль Ли замен

Рш А Х Х ', , Сш = ( 1 0 ) , ёе! С- = 0. [у = тхХ + у'; V т 1 /

Это одуль Ли родственных преобразований с подпространством (<2) инвариантных векторов. Наконец, Фг есть одуль Ли замен

Р* :(Х = Х''' Си 40 0) ' ^ Си = 0 [у = гу'; V 0 г /

— одуль Ли растяжений с подпространством (<1) инвариантных векторов. Имеем

п п п п _ ( 1 0 А ( и v А _ ( и v

СшCvСи — I I I Г, I — I

\ т г у \ 0 1 у \ ит г

Следовательно, одуль Ли Ф порождается 1-мерными пододулями Фи, Фv, Фш, Фг. Сомножители Фи, Фv, Фш, Фг неперестановочны. (Здесь важно,что в левом нижнем углу последней матрицы находится число, отличное от других трех элементов матрицы.) >

Заметим, что одуль Ли аффинных преобразований плоскости порождается не только родственными преобразованиями и растяжениями, оси которых совпадают с осями координат.

Отметим еще одно свойство матриц С^ и .

Теорема 7. Одуль Ли замен базисов линейного пространства Ь2 порождается мультипликативными линейными пространствами дуальных чисел и 1-мерными мультипликативными линейными пространствами действительных чисел.

< Матрицами С и представляются дуальные числа 1 + «V, г2 =0 и соответственно 1 + ш, г2 = 0. Справедливы равенства

г

V 1

1 V + V' 01

vt 1

1

w

1

w

1

1

w

1

wt

w + w'

Следовательно, множество {С, V £ И} всех матриц вида С^ и множество родственных преобразований , V £ И} представляются мультипликативным линейным пространством дуальных чисел модуля 1 и множество сдвигов ^ £ И} представляются мультипликативным линейным пространством дуальных чисел модуля 1. Матрицы и 0 1 0

0 1 ) ' С = I 0 г

Си -

обладают свойствами

СиСи' - Си

С7. С7.' - С7.

поэтому множества матриц {Си,и £ И}, {С7, г £ И} и множества растяжений {^>и, и £ И}, {^>7, г £ И} представляют 1-мерное мультипликативное линейное пространство действительных чисел. (Здесь мы рассматриваем только линейные пространства над полем И.) Линейные пространства мультипликативное дуальных чисел модуля 1 и 1-мерное мультипликативное пространство изоморфны. С учетом теоремы 6, утверждение доказано. >

Отметим, что среди всех замен базисов классического линейного пространства Ь2 выделяются гомотетии — замены 7: Б ^ Б', где е ! = ке!, е2 = ¿ег, к = 0.

Теорема 8. Гомотетии линейного пространства Ь2 составляют одуль Ли Н. Пододуль Ли Н гомотетий линейного пространства Ь2 является инвариантным пододулем одуля Ф замен базисов линейного пространства Ь2, более того, Н есть центр одуля Ли Ф.

< Формулы замены-гомотетии с коэффициентом к

7

— !

'

<Х/ - ГУ/<Х/ ^

у' = ку;

К =

к0 0к

к = 0.

Гомотетии составляют пододуль Н в одуле Ли Ф всех замен базисов, являющийся 1-мерным мультипликативным линейным пространством. Операции на пространстве Н индуцируются операциями на скалярных матрицах

к0 0к

т 0

0 т

кт 0 0 кт

к1 0

0

кг

Для всякой замены базиса с матрицей С выполняется соотношение

С—!КС = к,

г

г

которое означает поэлементную перестановочность и рассматриваемых замен, и что по-додуль гомотетий Н не только инвариантен в одуле Ли Ф, но и является его центром Ф. > 2.3. Замена базиса в альтернативном линейном пространстве аЬ2. Базис Б = (а, в) линейного пространства аЬ2, неоднороден, он состоит из векторов а, в различных свойств. Произведение га, вектора с одной ненулевой компонентой а = (1, 0) на число г есть вектор с двумя ненулевыми компонентами (6), компоненты вектора га не пропорциональны компонентам вектора а; а произведение вектора с одной ненулевой компонентой в = (0, 1) на число г есть также вектор с одной ненулевой компонентой. Всякий базис Б' = (а', в') линейного пространства аЬ2, должен обладать такими же свойствами: векторы га' должны иметь две ненулевые компоненты, не пропорциональные компонентам вектора а'; а векторы гв' должны иметь одну ненулевую компоненту. Для всякого вектора / = (т, к), т = 0, вектор г/ = ^тг, кг + т2) (4), имеет компоненты, не пропорциональные соответствующим компонентам вектора а'. Вектор а' может иметь две ненулевые компоненты, но обязательно первая компонента ненулевая. Поэтому возможно только, чтобы базис Б' = (а', в') состоял из векторов

а' = (а,р), а = 0, в' = (0,Ь), Ь = 0;

заданных в базисе Б.

Теорема 9. Формулы замены координат векторов при заменах базисов альтернативного линейного пространства аЬ2 нелинейны; они таковы:

{ж — а^ж, , .

у = (а2 - Ь)^^ + рж' + Ьу'. (8)

Формулы замены координат нелинейны, имеют порядок 2.

< Рассмотрим координаты произвольного вектора и в разных базисах. В базисе Б обозначим и = (ж, у), в базисе Б' обозначим и = (ж', у'). Выразим компоненты ж', у' через компоненты ж, у. Имеем, с использованием разложения (7):

„' „.л ™'„' I /О ж (ж — д' '/ ч / ' ж (ж — 1)

(ж, у) = ж'а' + ( у — -^^ в = ж (а,р) + ^у' — -^ ) (0, Ь)

аж>ж' + а2 ^ ^ + (0, Ьу' — Ьж'(ж' — 1)

2 ) \ 1 ° 2 = ^аж',рж' + Ьу' + (а2 — Ь) —^—= (ж, у).

Мы получили различные выражения для компонент вектора и в одном и том же базисе Б линейного пространства аЬ2; эти выражения соответственно равны одно другому, что дает зависимость (8) между координатами вектора и в различных базисах. >

Рассматриваемая замена базисов обозначена ^ в формулах (8). При замене базиса Б базисом Б' координаты всякого вектора и = (ж, у) в базисе Б заменяются координатами (ж', у') того же вектора и в базисе Б'.

2.4. Группа Ли замен базисов пространства аЬ2. Проведем аналогию с линейным пространством Ь2 в изучении замен базисов альтернативного линейного пространства аЬ2.

Теорема 10. Множество замен базисов пространства аЬ2 относительно композиции замен является группой. Это 3-параметрическая группа Ли.

< Из формул (8) замены имеем формулы обратной замены

{ж' = X

у' = -(«2 - ь) -ах+ь. (9)

Вторая формула этой замены в стандартной записи, т. е. как в (8), имеет вид

а2 - Ь ж (ж - 1) /р а + 1\ у

' а2 - Ь ж (ж - 1) /р а + 1\

у = 02ь 2 V аЬ + ж + Ь"

Ввиду нелинейности формул замены базиса в аЬ2, заменам не соответствуют матрицы и композициям замен нет возможности сопоставить операции над матрицами. Воспользуемся тем, что при замене базиса компоненты вектора заменяются взаимно однозначно, т. е. каждой замене базиса соответствует преобразование пар из И2. Пусть задана еще замена базиса Б' ^ Б'':

ж' = сж'', у' = (с2 - й)ж''(ж'2 - 1) + дж'' + йу'', тогда композиция замен Б ^ Б' ^ Б'' описывается формулами

ж = асж'', у = ((а2 - Ь)с2 + Ь(с2 - ¿)) ж"^ - 1) + - ^ - 1)рс + Ь^ ж'' + Ьйу''.

Это формулы вида (8). Формулы (9) говорят об обратимости преобразований вида (8). На основе сопоставления замен базисов и преобразований множества И2 получаем, что доказываемое утверждение выполняется. Формулы замены зависят от трех параметров а, Ь,р. >

Рассмотрим частные случаи замен базисов альтернативного линейного пространства аЬ2, а именно: линейные замены и гомотетии.

При следующем соотношении между параметрами Ь = а2. В этом случае векторы базиса Б' в базисе Б задаются координатами

а' = (а,р), в' = (о, а2), а = 0.

Такие базисы пространства аЬ2 обеспечивают линейную замену координат. Формулы замены (8) превращаются в линейные с соответствующей матрицей:

/ж = ^ /а 0 \

А Ч ' , 2 р а2 К а = 0, (10)

[у = рж' + а2у; \р а / линейны и формулы обратной замены (9):

' = ж ' = - + _у.

ж --, у --о ж +1- Г) .

а а3 а2

Для линейных замен (10) базисов имеем

Теорема 11. В группе Ли всех замен базисов пространства аЬ2 выделяется подгруппа Ли линейных замен. Она является инвариантной в группе Ли всех замен базисов.

< Если ж' = Ьж'', у' = дж'' + Ь2у'', еще одна линейная замена базиса, то композиция замены (10) и указанной замены описывается формулами

{ж = аЬж'', (11)

у = (рЬ + а2д)ж'' + а2Ь2у'',

которые также линейны.

Далее, рассмотрим замены базисов ^>-1, ^ — произвольные замены и линейную замену базиса А; в замене ^>-1 : (х, у) ^ (х', у'), в А : (х', у') ^ (х'', у'') в ^ : (х'', у'') ^ (х''', у'''). Формулы замены ^>-1 есть (9), формулы А есть (10), формулы ^ есть (8). Выпишем эти формулы заново применительно к новым обозначениям:

и-1 I х =

^ ^ у = -а2-ь х,(х'-1) _ (+ а+1 )х' + £;

= а2Ь 2 (аЬ + 2а2Ь)х + Ь ;

А:

х' = гх'',

у' = дх'' + г2у'';

{х'' = ах''',

у'' = (а2 - 6) ж,"(ж2"-1) + рх''' + 6у'''.

Найдем формулы композиции замен базисов ^>-1А^>, подставив последовательно одни формулы в другие. В результате получаем

- 1 х = гх''',

^ 1А^ : < 2

I у = вх''' + г2у''',

где в = рГ + (а2аЬ)Г + + ТТ. Формулы замены ^>-1А^> имеют вид (10), поэтому замена ^>-1А^> является линейной. Подгруппа линейных замен инвариантна в группе всех замен. >

Гомотетии с коэффициентом к линейного пространства аЬ2, как и пространства Ь2, соответствует замена базиса Б базисом Б', где а' = ка, в' = к в. Формулы замены координат векторов в гомотетии получаем из (9) при а = 6 = 1, р = т-■:

{'У' — 1с ГР

х = кх,

у' = - ^ х2 + ку. (12)

Формулы нелинейны.

Теорема 12. Гомотетии линейного пространства аЬ2 составляют группу Ли.

< Если

{х'' = тх',

у'' = - «(т-) (х')2 + ту'

— еще одна гомотетия, то композиция двух гомотетий описывается формулами

{х'' = ткх,

'' тк(тк-1) 2 п -.\кж(кж-1) , ?

у'' =----х2 - т(к - 1)——- + тку,

которые имеют вид (12). >

Теорема 13. Только линейной заменой х = х', у = рх' + у', являющейся сдвигом, гомотетия пространства аЬ2 отображается на гомотетию.

(В теории преобразований, как известно, отображение преобразования 7 преобразованием ^ есть преобразование ^>-17^>.)

< При а = 1 замене (10) соответствует сдвиг с подпространством (¿2) инвариантных векторов. Обозначим замену (8) через гомотетию (12) через 7. Пусть ^>-1 : (х, у) ^

(х',у'), 7 : (х',у') ^ (х'',у''), р : (х'',у'') ^ (х''', у'''). На основании формул (9), (11), (8) получаем формулы замены р-17р:

Х = кх''', у = - а2 ■ (х''')2 + ку'''.

Эти формулы имеют вид (12), т. е. определяют гомотетию только в случае а = 1. >

Сравнивая свойства группы Ли замен базисов пространства аЬ2 со свойствами группы Ли замен базисов классического пространства Ь2, см. п. 2.2 (превращающейся в одуль Ли замен), видим, что свойства группы Ли замен базисов Ь2 богаче, чем свойства группы Ли замен базисов пространства аЬ2. Это закономерный результат, так как операции (3) и (4) на векторах в аЬ2 не симметричны относительно компонент векторов. Интересно было бы посмотреть свойства линейного пространства с симметричной операцией сложения (х, у) + (и, V) = (х + и + yV' у + V + хи), но таким линейным пространством мы здесь не занимаемся.

Опишем еще структуру линейных замен базисов пространства аЬ2. Композиция (11) линейных замен есть линейная замена. Для матриц замен имеем:

а 0 \ ( Ь 0 \ = ( аЬ 0 р а2 / уд Ь2 / = ^ рЬ + а2д а2Ь2

Всякое положительное действительное число а можно представить в экспоненциальном виде а = ёг, г = 1п а. Сопоставим замене (10) пару действительных чисел

а 02 I ^ (г, р), а = ёг.

р а2

Тогда композиции замен (11) соответствует пара (г + 5,рё5 + дё2г). Тем самым, на множестве пар И2 определена операция

(г,р) + (в,д) = (г + 5,рё5 + дё2г). (13)

Нулевой является пара (0, 0), т. е. (г,р) + (0, 0) = (г,р). Пара, противоположная паре (г,р), такова

— (г,р) = (-г, —рё-3г).

Следовательно, множество пар И2 с операцией (13) является неабелевой группой Ли. На парах из И2 зададим внешнюю операцию, согласованную с внутренней операцией (13):

¿(г,р) = (г£,рёг('-1)ёт—у) , I е И. (14)

Множество пар И2 с операциями (13) и (14) является 2-мерным одулем Ли. Согласно [5, с. 83] существует только два вида 2-мерных алгебр Ли, одна абелева, другая неабелева, она тоже разрешима, ступень ее разрешимости равна 2. В [1] на 3-мерных (а, значит и 2-мерных) разрешимых группах Ли определены внешние операции умножения элементов групп Ли на действительные числа, тем самым определены и 2-мерные одули Ли. Абелев 2-мерный одуль Ли является линейным пространством, а неабелев — растраном. Получена

Теорема 14. Линейные замены базисов альтернативного 2-мерного линейного пространства аЬ2 составляют 2-мерный неабелев одуль Ли, являющийся растраном.

Операции на этом растране отличаются от операций на растранах, определенных в [1].

В следующей работе авторов строится аффинная плоскость с альтернативным линейным пространством аЬ2 над полем действительных чисел И,.

Литература

1. Долгарев А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств.— Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.—306 с.

2. Долгарев А. И. Сетевые уравнения двумерных линейных пространств над К. Движения в обобщенных пространствах // Межвуз. сб. научн. тр.—Пенза: ПГПУ, 2000.—С. 117-124.

3. Сабинин Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // Докл. АН СССР.—1977.— № 5.—С. 800-803.

4. Долгарев А. И. Одулярное описание аффинных преобразований плоскости.—М., 1997.—59 с.—Деп. в ВИНИТИ 02.07.97.—№ 369.

5. Петров А. З. Пространства Эйнштейна.—М.: Наука, 1961.—464 с.

Статья поступила 23 июля 2007 г.

Долгарев Артур Иванович Пензенскйи государственный университет Пенза, 440026, РОССИЯ

Долгарев Иван Артурович Пензенский государственный университет Пенза, 440026, РОССИЯ E-mail: [email protected]