CC BY
7расхода сетевой воды при режимной наладке систем отопления этих потребителей.
Соблюдая принцип ограничения максимального расхода сетевой воды на вводе теплового пункта, для компенсации недогрева здания в часы прохождения максимального водоразбора график температур, задаваемый регулятору, следует повысить на 3°С против отопительного. Хотя при этом в часы максимального водоразбора график всё равно не будет выдерживаться, за счёт превышения его в остальные часы здание в целом за сутки получит требуемое по норме количество теплоты.
Рассмотренная методика позволяет значительно снизить объём экспериментальных работ при наладке систем автоматического регулирования с погодными компенсаторами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
). СНиП 11—А—6 72 Строительная климатология и геофизика. М.; Стройиэдат, 1972.
2. Немчеико В.И. Применение приборов автоматического регулирования в системах коммунального теплоснабжения // Веет. Самар, тех. ун-та. Серия Технические науки. 2001. Вып. 13. С. 163-169.
3. CII41-101-95 Проектирование тепловых пунктов / Минстрой России. М., 1997. 78 с.
УДК 621.785-669.2 Ю.Э. Плештцева
Самарский государственный технический университет
АЛЬТЕРНАНСНЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОХОДНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ ПО ЭКОНОМИЧЕСКИМ КРИТЕРИЯМ КАЧЕСТВА
Индукционные нагревательные установки непрерывного действия широко применяются в ведущих отраслях промышленности. Согласно типичным технологическим требованиям проходная индукционная печь в установившемся режиме работы должна обеспечивать достижение заданного конечного температурного состояния нагреваемого изделия перед последующей обработкой давлением. В данной работе рассматриваются возможности применения альтернансного метода для решения задач оптимизации проходных нагревателей по экономическим критериям качества. С помощью предложенной инженерной методики решаются практические задачи минимизации длины индуктора.
Induction through heating installations are of considerable current use in leading industries. One of the main typical technological requirements to through heating is to provide outlet temperature distribution on the level of required temperature in steady-state modes of heater operation. The paper presents the special alternance method for solving problems of induction through heaters optimization with respect to economical cost functions. Some examples of inductor length optimization are presented.
Введение
В настоящее время в ведущих отраслях промышленности для нагрева металла перед обработкой давлением широко применяются индукционные нагревательные установки (ИНУ) непрерывного действия. В условиях современного развития производства особое значение приобретает проблема достижения предельных качественных показателей работы ИНУ путём оптимизации их конструктивных характеристик и режимов работы.
Особенности реальных производственных процессов вызывают необходимость решения ряда специфических задач оптимального управления стационарными режимами работы ИНУ непрерывного действия. Подобные задачи могут формулироваться и решаться как задачи оптимизации по экономическим критериям одно- и многосекционных нагревателей типовой конструкции.
Основная цель данной работы заключается в применении альтернансного метода оптимизации для решения подобного круга задач.
Проблема оптимизации стационарных режимов непрерывного нагрева по экономическим критериям качества
Рассмотрим ИНУ непрерывного действия с постоянной скоростью V перемещения заготовок в индукторе длиной у0. "Холодные" заготовки поступают в печь с некоторой начальной температурой и нагреваются до требуемой температуры по мере продвижения к выходу нагревателя.
А-Л
Рис 1. ИНУ непрерывного действия и качественное распределение температуры в поперечном сечении заготовки на выходе
Основная задача ИНУ в технологическом комплексе «нагрев - обработка давлением» сводится к обеспечению заданных температурных кондиций нагреваемых заготовок перед последующими стадиями технологического процесса (прокатка, прессование, штамповка, резка и т.д.). Согласно типовым технологическим требованиям, ИНУ должна обеспечить достижение заданного (как правило, равномерного) температурного распределения на выходе нагревателя с определенной допустимой неравномерностью по объёму заготовки. Для оценки отклонения от заданного температурного распределения чаще всего используется максимально допустимая
величина 8* абсолютного отклонения 8(/,^°) от 0* в пределах всего объёма нагреваемого тела:
шах !9(/,^°)-0* (1)
/е[0, Я]1
где 0(/, — температурное распределение в поперечном сечении заготовки на выходе из на-
гревателя, работающего в стационарном режиме (рис. ]); К - характерный размер заготовки.
Применительно к установившимся режимам работы ИНУ экономическими критериями качества являются либо производительность ИНУ, либо себестоимость процесса нагрева. В первом случае задача оптимизации сводится к минимизации длины нагревателя у0 при заданной скорости V движения заготовок либо к обеспечению максимума скорости V (максимума производительности нагревателя) при заданном _у° . Во втором случае задача оптимального управления состоит в минимизации себестоимости конечной продукции, и тогда в роли критерия оптимальности могут выступать различные показатели, такие как точность нагрева, энергетические и материальные затраты.
Установившиеся режимы работы ИНУ непрерывного действия моделируются неизменными во времени распределениями температуры по радиальной и осевой координатам. Во многих ситуациях адекватное реальным объектам описание температурных полей требует достаточно сложных моделей процессов нагрева. В частности, при нагреве ферромагнитных заготовок уравнения теплопроводности становятся нелинейными за счет ярко выраженных температурных зависимостей электромагнитных и теплофизических характеристик нагреваемого материала.
Требуемые температурные кондиции заготовок в ИНУ могут быть получены путем обеспечения соответствующего распределения мощности внутренних источников тепла по длине нагревателя. Во многих случаях для типовых схем загрузки нагреваемых изделий в цилиндрическом индукторе можно записать функцию пространственного распределения электромагнитных источников тепла в виде
W{^l,y) = W^,l)u{y). (2)
Здесь функция W^,l) описывает изменение интенсивности внутреннего тепловыделения по радиусу заготовки в зависимости от частоты питающего тока, а и(у) - распределение удельной мощности нагрева по длине индуктора, которое остается в распоряжении проектировщика и может рассматриваться в качестве пространственного управляющего воздействия. Применительно к стационарным процессам непрерывного нагрева существуют различные реализуемые способы управления характером распределения мощности тепловыделения по направлению движения заготовок. К ним, в первую очередь, относится многосекционное исполнение индуктора. В этом случае выбор различных мощностей для разных секций, а также их числа и размеров, позволяет осуществить кусочно-постоянный характер зависимости с приблизительно постоянным значением мощности в пределах каждой секции и ступенчатым её изменением от секции к секции. В определенной степени такой вид зависимости «(у) корректируется наличием межсекционных промежутков и связанных с ними краевых эффектов. Кроме того, могут применяться такие специальные способы регулирования распределения мощности нагрева по длине индуктора, как намотка витков с переменным шагом, применение специальных схем питания ИНУ и др.
Основной особенностью рассматриваемых управляющих воздействий является их неизменность во времени. При этом в задачах оптимизации ИНУ заданного конструктивного исполнения такое управление производится только путем выбора напряжений (мощности нагрева) для отдельных секций. В задачах оптимального проектирования ИНУ в роли оптимизируемых параметров дополнительно могут рассматриваться и такие элементы проектных решений, как число и размеры секций нагревателя.
Ограничения на пространственное управление и(у) в ИНУ непрерывного действия задаются, если для проектируемого нагревателя устанавливается по предварительным техникоэкономическим соображениям величина £/тал максимальной мощности нагрева по всей длине нагревателя:
0<м(у)йС/тах, (3)
Технологические ограничения на поведение температурного поля в процессе нагрева сводятся к ограничению максимального значения температуры по всему объёму нагреваемых заготовок на всём протяжении процесса нагрева некоторой заданной предельно допустимой величиной Qdon. Превышение этой величины приводит к необратимым нежелательным изменениям структурных свойств материала обрабатываемых изделий и (или) к их оплавлению.
Данное условие должно выполняться во всех поперечных сечениях заготовки по всей длине индуктора:
QmaxOO = max < edon, 0<у<у°. (За)
/е[0,Л]
Проектирование нагревателя минимальной длины
Рассмотрим типичную задачу проектирования индукционного нагревателя непрерывного действия, обеспечивающего в стационарном режиме работы заданную абсолютную точность
е* приближения к требуемой температуре на выходе из индуктора минимально возможной длины. В качестве управляющего воздействия выберем распределение мощности нагрева по длине ИНУ, стесняемое ограничением (3). Условие достижения на выходе нагревателя (т,е. при
у = >'°) заданной точности е* приближения к требуемой конечной температуре 9* = const принимается в виде (1).
В результате можно сформулировать следующую задачу оптимизации непрерывного нагревателя в стационарном режиме нагрева.
Необходимо определить оптимальное управление и(у), при котором требование (1) для конечного распределения температуры выполняется при минимально возможной в условиях (3)
длине индуктора у0.
Можно строго доказать [1], что оптимальное управление и*(у) принимает здесь вид кусочно-постоянной функции (рис. 2):
ГЛ™ [1 + (-1У+1
и (у) = тах 2
(4)
(■■(.О
1 < ■ ™ к
< *1 > д\ А*4 сл’*
V, У 2 >’з У .г
Р и с. 2 Оптимальное распределение мощности нагрева по длине ИНУ
Р и с. 3. Температурное распределение по ра- Р и с. 4. Температурное распределение по радиу-диусу заготовки на выходе ИНУ при е* = е^п су заготовки на выходе ИНУ при е‘ =е^’п
В рамках рассматриваемых модельных постановок задач оптимизации это означает, что нагреватель оптимального конструктивного исполнения следует спроектировать в виде последовательно расположенных по направлению движения со скоростью V чередующихся друг с другом отдельных секций с максимальной интенсивностью нагрева и полным его прекращением. Согласно алгоритму (4), общий вид оптимального управления мощностью внутреннего тепловыделения известен, однако остаётся определить число /V и протяженности (размеры) Д = (ДГ ;-1,Л’) секций с максимальной интенсивностью нагрева и полным его отсутствием. Следовательно, исходная задача сводится к специальной задаче математического программирования, имеющей вид
■ ' N
/(Д) = £д, -> гшп;
< <=1 Д (5)
Ф(Д)= шах 9(/,у°,Л) - 9* <£*.
/е[0,Л]
Для решения этой задачи применим альтернансный метод [1], базирующийся на качественных универсальных свойствах оптимальных результирующих температурных полей. Эти свойства позволяют построить расчетные системы уравнений относительно неизвестных искомых параметров оптимального управления Д = (Д,, * = 1,Л0.
Согласно альтернансному методу для рассматриваемой модели процесса нагрева число N
интервалов постоянства м*(ф) однозначным образом определяется по заданному значению е с помощью следующего правила:
N = 5* длявсех е: < е < е^“1), (6)
где б^л - минимальное из возможных значений е, достижимых в классе управляющих воздействий (4) с 5 интервалами постоянства (т.е. - максимальная точность нагрева (мини-
макс), достижимая в данном классе управлений).
Рассмотрим два простейших, но в то же время наиболее типичных случая: и
е* = е^п в (5), где е^]п , е{^п - максимально достижимые точности нагрева соответственно в классе одно- и двухинтервальных управлений.
При е*=Е^„ задача сводится к проектированию односекционного индуктора длиной
уи = Л° с равномерным распределением по его длине максимальной мощности нагрева, равной IIта);. Тогда форма кривой распределения температуры по радиусу цилиндрической заготовки в момент ее выхода из нагревателя будет иметь вид, представленный на рис. 3. В некоторой внутренней точке с координатой /3 достигается максимально допустимая температура, а в центре заготовки - минимальная температура. Расчетную систему уравнений для этого случая можно записать в виде
еС0.Д°)-е* —еЦ„;
<е(;э,4")-е-=е<1; (7)
ге(/э,4°)
. ы '
Если е* = , то N = 2. Нагреватель должен состоять из двух секций с длинами д“ и Д°2,
в первой из которых по ходу движения заготовок производится их нагрев с максимальной интенсивностью {/тах, а во второй осуществляется выравнивание температур при г/(у) к 0 .
Для случая е* =Е^П кривая распределения температуры по радиусу цилиндрической заготовки в момент ее выхода из нагревателя имеет одну точку максимума температуры в некоторой внутренней точке с координатой /э и две точки минимума температуры - в центре и на поверхности заготовки (рис. 4). Тогда система уравнений имеет вид
'е(0ЛлЪ-е%-8Й,;
е(/э,Д»,Д°)-е,=42>1;
■е(Л,Д^,Д0г)-е'=-4«; ®
ае(/э,д!,д")=0
. 8! '
Фактически вторая секция ИНУ представляет собой в рассматриваемых условиях «термостат», где не требуется осуществлять нагрев; длина индуктора ограничивается размерами первой секции, и задача сводится к минимизации длины всей нагревательной установки в целом.
При решении данной задачи могут быть учтены дополнительные технологические ограничения на поведение температурного поля, в частности, наиболее характерное ограничение на максимальную температуру в виде (За).
Рассмотрим теперь задачу оптимального проектирования нагревателя применительно к типовому требованию отсутствия перегрева относительно заданной конечной температуры по
всему объему заготовки, когда 9^оп = 9*, В этом случае длк заданной неравномерности нагрева е* > 0 выполняется неравенство е* > 0ЙОЛ - 9* = 0. В такой ситуации предельно допустимая
величина б* совпадает с е^]п, а оптимальное распределение мощности источников тепла по длине нагревателя при N -1 принимает простейший вид:
Согласно (9), нагреватель должен состоять из двух секций. В первой из них длиной у9 осуществляется равномерное распределение мощности нагрева, равной итш, а во второй -распределение и0(у), обеспечивающее стабилизацию 0т(К на уровне 0аоп =0* вплоть до выхода заготовки из индуктора. Реализация таких воздействий связана со значительными трудностями из-за технических сложностей обеспечения неравномерного распределения мощности нагрева в пределах второй секции. Поэтому здесь оказывается предпочтительной кусочнопостоянная аппроксимация иА(у) алгоритма ив(у), при которой он с некоторым приближением реализуется в р > ] секциях индуктора с равномерным распределением мощностей нагрева, равных к = 1,2р> 1:
ивА(у) = и[к) = сопэг, уе(ук-1,ук),к = 1,р, ув=у0 <уу <...<ур =/. (10)
Параметры аппроксимации: мощности и^ и координаты ук точек, фиксирующих расположение и размеры этих секций при заданном их числе р > 1, могут быть найдены из условий
минимизации отклонений 0тах от вдоп на отрезке [у0,У°] гтри известной модели зависимости температурного поля от этих параметров. Координаты (/тах,_уе) точки выхода 0тах на ограничение 0^ фиксируются равенствами
в('««.л)=вЛ1,=е,1 (11)
3/
в которых температура 0{/тах,>'е) должна находиться по соответствующим математическим моделям при управлении (9), (10).
0
При найденных значениях у0 и иА(у) в роли единственного неизвестного параметра оптимальной программы (9) опять выступает искомая длина индуктора у0, которая может быть найдена вместе с б^-п из расчетной системы уравнений:
6(0, Л-е*-*®,; ад/)-0,.-«2в.
В силу зависимости 0(/,>О для у е (0,у§) от поведения и*(у) на участке (у$,у ) для нагревателя непрерывного действия нельзя разделить задачи вычисления координат /тах и у0 и определения параметров г/(у), решая отдельно системы уравнений (11) и (12). В данном случае все неизвестные /тах, у9, у0 и е^]п для каждого фиксированного набора величин а[к> ,ук, к = 1 ,р находятся совместным решением этих систем уравнений.
Последующий цикл поиска и^к\ук из условий минимизации погрешности отклонения 0тах от 0ао„ завершает решение задачи.
Ниже приводятся некоторые конкретные результаты исследования оптимальных по точности режимов работы промышленной ИНУ многосекционного исполнения, предназначенной для нагрева стальных цилиндрических заготовок диаметром 65 и 80 мм и квадратных заготовок размером 65 и 80 мм.
Все расчеты выполнены с использованием комплексной электротепловой модели температурного поля ферромагнитной загрузки, разработанной в Институте электротермических процессов Ганноверского университета (Германия) [2, 3]. Специализированный пакет прикладных программ осуществляет электрический расчет индуктора и моделирует изменение во времени радиального распределения температуры в поперечном сечении нагреваемого тела в зависимости от напряжений (токов, мощности) на отдельных секциях нагревателя. Развертка получаемых температурных кривых по длине ИНУ описывает стационарное температурное поле в процессе непрерывного нагрева.
Расчёт оптимальной длины индуктора проводился по описанной выше универсальной схеме альтернансного метода для типового случая управления процессом нагрева с точностью
,(1)
а оптимальное распределение мощности источников тепла по длине нагревателя прини-
малось в виде (9). Значения результирующих температур в точках их максимального отклонения от 0* определялись в соответствующих узлах пространственной сетки по цифровой модели температурного поля.
£ » « і
S5
X
Л
§
2
х
а
л
■65 (круг) -65 (квадр) -80 (круг) ■80 (квадр)
70 75 80 85 90 95 100
Длина нагревателя, %
Р и с. 5. Результаты оптимизации длины индуктора для различной номенклатуры нагреваемых заготовок
Кривые на рис. 5 иллюстрируют возможности сокращения длины индуктора (в % от номинальной длины) в зависимости от заданной максимально допустимой температуры в процессе нагрева изделий различной номенклатуры. При этом достигается точность нагрева
emln =±120С . Как показывают расчёты, аппроксимация и6(у) равномерным распределением мощности нагрева является удовлетворительной. Полученный простейший алгоритм пространственного управления может быть легко реализован путем двухсекционного исполнения индуктора с размерами и мощностями секций, отвечающими расчетным значениям ув и и®4 (у).
Полученные численные результаты подтверждают сделанные ранее качественные выводы о сохранении характера результирующего распределения температур в поперечном сечении заготовки на выходе ИНУ.
Таким образом, рассмотренная инженерная методика применения альтернансного метода может быть эффективно использована для оптимизации по экономическим критериям качества проходных индукционных нагревателей различного конструктивного исполнения. Она позволяет определить предельно достижимые показатели качества работы индукционных нагревательных установок для ряда случаев постановки задач оптимального управления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металлов. М: Металлургия, 1993. 278 с.
2. Boergerding R., Muehtbauer A. Numerical Calculation of Temperature Distribution and Scale Formation in Induction
Heaters for Forging, International Seminar on Simulation and Identification of Electroheat Processes, June 17-19, Lodz, Poland. P. 134-141.
3. Yu. Pleshivtseva, £. Rapoport, A. Efimov, B. Nacke, A. Nikanorov, S. Galunin, Yu. Blinov. Optimal Control of Induction
Through Heating for Forging // Heating by Electromagnetic Sources HES-04, Padua, Italy, June 23-25, 2004. P 97-105.
