CC BY
25
УДК 519.6
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫМИ ПРОЦЕССАМИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА МЕТАЛЛА
© 2010 г. А.П. Ефимов, Ю.Э. Плешивцева, О.Ю. Шарапова
Самарский государственный технический State Technical University,
университет Samara
Формулируются и решаются задачи оптимизации стационарных процессов непрерывного нагрева. Применяются сложные цифровые модели взаимосвязанных нелинейных процессов в электромагнитных и тепловых полях, моделирующие поведение управляемых величин с учетом всех основных особенностей реальных объектов, а также способы параметризации управляющих воздействий с учетом различных усложняющих факторов, существенно влияющих на качество процесса управления в реальной производственной обстановке.
Ключевые слова: оптимальное управление; полубесконечная оптимизация; параметризация; альтернансный метод; индукционный нагрев; технологические ограничения.
Optimization problems of stationary processes of continuous heating are formulated and solved in this article. Complex digital models of the interconnected nonlinear processes in the electromagnetic and thermal fields, modeling behavior of controlled variables are used in view of all basic features of real objects. Parametrization of control action is applied taking into account the various complicating factors essentially influencing quality control process in real industrial situation
Keywords: optimal control; semi-infinite optimization; parameterization; alternance method; induction heating; technological constraints.
Введение
Проходные индукционные нагревательные установки с непрерывной выдачей заготовок широко применяются на практике для индукционного нагрева металлов перед последующей обработкой давлением, поскольку они обладают рядом технико-экономических преимуществ по сравнению с конкурентоспособными технологиями.
В работе формулируются и решаются некоторые типовые задачи оптимизации стационарных процессов непрерывного нагрева, отличающиеся от известных, прежде всего, применением сложных цифровых моделей взаимосвязанных нелинейных процессов в электромагнитных и тепловых полях, моделирующих поведение управляемых величин с учетом всех основных особенностей реальных объектов, а также способами параметризации управляющих воздействий с учетом различных усложняющих факторов, существенно влияющих на качество процесса управления в реальной производственной обстановке.
Постановка задачи минимизации длины индуктора
Рассмотрим применительно к линейной двумерной модели типичную задачу проектирования индукционного нагревателя непрерывного действия, обеспечивающего в стационарном режиме работы заданную абсолютную точность приближения к требуемой температуре на выходе из индуктора минимально возможной длины в условиях принятых ограничений.
Для описания процесса нагрева используем модель температурного поля 9(l,у), учитывающую пе-
редачу тепла теплопроводностью при нагреве изделий цилиндрической формы как в радиальном, так и в осевом направлениях.
При заданной скорости V = const перемещения заготовок через нагреватель 9(1,у) описывается в первом приближении линейным двумерным уравнением стационарной теплопроводности в относительных единицах [1]:
529(l, у) +1 89(1,у) 2 529(l, у) _
8l2 l 81 8у2
_PV + l, у) = 0, (1)
8у
0.
0 < l < 1; 0 < у < у' с граничными условиями
89(1у) = 9С _9(1,у)); 89(0у) = 0; 8l v c ' 8l
9(l,0) =6°(l); ß59(1, y0) = q(l) < 0.
(2)
Здесь I,у)- функция распределения внут-
ренних источников тепла, где - частота питающего индуктор тока в относительных единицах; 6С - температура окружающей среды; 60(1) - заданное радиальное распределение температур заготовки на входе в индуктор; р = к/у0, где R - радиус цилиндрической
заготовки, Y - длина нагревателя в абсолютных единицах; у0 - длина нагревателя, отвечающая времени ф0 нагрева заготовки в индукторе; q(/) - радиальное
распределение плотности потока тепловых потерь нагреваемого изделия на выходе из индуктора.
Во многих случаях для типовых схем загрузки нагреваемых изделий в цилиндрическом индукторе можно принять [1], что
Wд£, l, y) = W l )Wj( y),
(3)
0 < Wi(y) < Wlmax,0 <y < y0
(4)
max 0(l,y0)-9* <e0, le[0,1]l I
(5)
* 1
Wi (y) = 2
(
1 + sign
Y
1 ад
-T2 S Wn ©y n2( y) . ß
(6)
При экспоненциальной форме у п2(у) вида:
у п2(у) = С^'1^ + С2вГ1пУ, получим, что бесконечная сумма в (6) не равна тождественно нулю нигде на [0, у0 ], и W1* (у) принимает здесь характерный вид кусочно-постоянной функции
Wi (y) = -
W
lmax
[i+(-1)J+ ],
(7)
yj-1 < y < yj, J =i, N, yN = y .
где функция W /) радиального распределения интенсивности внутренних источников тепла фиксируется законом распространения электромагнитной волны по радиусу цилиндра и определяется решением уравнения Гельмгольца [1].
В качестве пространственного управляющего воздействия выберем распределение удельной мощности нагрева W1(y) по длине ИНУ. Ограничение на пространственное управление может быть задано в следующей форме:
Условие достижения на выходе нагревателя заданной точности е приближения к требуемой конечной температуре У = const принимает следующий вид:
где 9(/, у )- радиальное температурное распределение на выходе из индуктора.
Сформулируем следующую задачу на минимум длины индуктора: необходимо определить такое оптимальное управление W1* (у), при котором требование (5) к конечному распределению температуры, описываемому уравнениями (1), (2), выполняется при минимально возможной в условиях (4) длине индуктора у0.
Параметризация управляющих воздействий
Применяя конечное интегральное преобразование Ханкеля [2] по радиальной координате l к уравнениям (1), (2), можно получить в условиях (3) эквивалентное описание объекта системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для соответствующих коэффициентов разложения 9(/, у) в ряд по собственным функциям Бесселя [1].
Применим к полученному объекту стандартную процедуру принципа максимума Понтрягина. Искомое оптимальное управление W1* (у) принимает вид
Нагреватель оптимального конструктивного исполнения следует спроектировать в виде последовательно расположенных по направлению движения заготовок чередующихся друг с другом отдельных секций с максимальной интенсивностью нагрева и полным его прекращением.
В итоге, согласно алгоритму (7), W1* (у) задается с
*
точностью до числа N и значений параметров Аг- , по существу являющихся длинами соответствующих секций ИНУ. Оптимальная конструкция нагревателя заведомо задается с точностью до числа N и протя-женностей Аг-, / = 1, N таких секций, к определению которых и сводится в результате рассматриваемая задача.
Редукция к задаче полубесконечной оптимизации
Если принять в обычной относительной системе
единиц у0 = 1, а в роли неизвестной вместо у0 рас-« К
сматривать величину р = —— , то для типичного случая
у
равномерного распределения температуры на входе в нагреватель 90(/) =9° =9С можно получить выражение для 9(/,у0,А) = 9(/,1,А) в виде функции вектора искомых параметров А = (А1, А2,...,АN).
После этого исходная задача оптимального управления редуцируется к специальной задаче математического программирования вида [1]:
I(А) = i ^ min;
i=1 л
Ф(А) = max 0(l,y0,А)-0 <e. le[0,1]l I
Данная задача полубесконечной оптимизации может быть решена на базе альтернансного метода по общей схеме, как это показано в работе [3].
Проектирование нагревателя минимальной длины в задаче оптимизации с численной моделью температурного поля
В данной статье для определения температурных кондиций заготовки 9(/, у0) на выходе из индуктора перед последующими операциями пластической де-
2
формации в качестве модели объекта управления рассматривалась численная математическая модель тепловых и электромагнитных полей в проходной индукционной печи непрерывного действия, разработанная в Институте электротехнологий (Университет им. Лейбница, г. Ганновер, Германия). Модель позволяет производить расчёты тепловых и электромагнитных параметров при постоянной скорости продвижения заготовки в печи и неизменных параметрах процесса нагрева заготовки [4].
Расчётные системы уравнений альтернансного метода с описанным численным моделированием температурного поля решались с помощью специально разработанного алгоритма, предназначенного для проведения численной многопараметрической оптимизации стационарных режимов работы промышленных электротермических линий [5, 6].
Применение разработанного алгоритма как для тестовых задач, так и для задач многопараметрической оптимизации стационарных режимов работы проходных электронагревателей, демонстрирует его достаточно высокую скорость сходимости, эффективность и надёжность [5].
Проектирование односекционного нагревателя минимальной длины
Проектированию односекционного индуктора с равномерным распределением по его длине максимальной мощности нагрева, равной ^1тах в (7), соответствует случай однопараметрического представления управляющего воздействия. Здесь имеем N = 1 в (7), в качестве единственного параметра Д° = (Д°) = у0 выступает длина индуктора, а максимальное абсолютное отклонение распределения температуры в поперечном сечении заготовки на выходе нагревателя от заданного значения представляет собой минимакс е = 8тп .
Поскольку входным параметром численной модели электромагнитных и тепловых процессов является ток источника питания, то можно перейти от управляющего воздействия №*(у) к управлению током индуктора I *(у). Тогда, в соответствии с (7), алгоритм оптимального управления током источника питания будет иметь вид:
I *( У) = % [1 + (-1);+1 ]
У,-1 < У < У,, J =1N, Ум = У
(8)
а соответствующее ограничение запишется подобно (4)
0 < I (У) < Imax, 0 < У < Yи.
(9)
Согласно альтернансным свойствам температурных полей в конце оптимальных процессов нагрева
[1] при е = е«п , форме кривой распределения темпе-
ратуры по радиусу цилиндрической заготовки на выходе у = у0 из нагревателя соответствует следующая расчетная система уравнений:
6(0, у 0)-9* =-s
- .od) ■
min'
9(/э2, у 0)-9*=smiin
(10)
Э6(/э2, У0)
д/
= 0.
Решение системы (10) определяет искомую минимальную длину индуктора У0.
Рассмотрим задачу минимизации длины нагревателя, состоящего из одного индуктора. Некоторые исходные данные по конструктивным характеристикам нагревателя и параметрам заготовки: радиус поперечного сечения стальных заготовок 32 мм, начальная температура заготовки 20 °С, заданная температура заготовки 1250 °С, длина индуктора 1,396 м, частота питающего тока 1993 Гц.
На основании выполненной серии расчетов для 1тах = 4023;4182;4365;4581; 4839; 5019; 5153; 5545; 6052; 6750 А были получены результаты, представленные на рис. 1.
Iю, м
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
4,0 4,5
5,0
5,5
60 50 40 30 20 10 0
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Imax^ 10 , A
б
Рис. 1. Зависимость минимальной длины односекционной индукционной установки от максимальной величины питающего тока (а) для случая е0 = и максимально достижимой точности нагрева от максимальной величины питающего тока (б)
0
3
6,0 Imax* 10, A
а
s
Как следует из приведенных результатов расчетов, для фиксированного отношения длины индуктора к количеству витков минимальная длина варьируется от 0,755 м до 2,63 м. При этом максимально достижимая точность нагрева изменяется в пределах от 16 до 61 °С. Таким образом, в односекционном нагревателе не во всех случаях может быть достигнута точность нагрева 10 - 30 °С, отвечающая типовым требованиям технологии. Следовательно, для обеспечения более высокой точности нагрева и предотвращения недопустимого перегрева, необходимо использовать нагреватели более сложной конструкции, реализующие многоинтервальные алгоритмы управления вида (7).
Проектирование двухсекционного нагревателя минимальной длины
Если нагреватель состоит из двух секций, то, согласно алгоритму (7), в первой секции по ходу движения заготовок должен производиться их нагрев при максимальной мощности, равной W1max, а во второй должно осуществляться выравнивание температур при W1* (у) = 0. В качестве управляющего воздействия выбирается ток источника питания, ограниченный заданным значением Iтах в (9).
Данному случаю соответствует двухпараметриче-ское представление управляющего воздействия при N = 2 в (8). В качестве оптимизируемых параметров
А0 = (А0, А2) выступают длины активной и пассивной секций, а максимальное абсолютное отклонение распределения температуры в поперечном сечении заготовки от заданного значения представляет собой
(2)
минимакс в0 = втП .
Для случая в0 = ВтП получаем систему уравне-
ний:
- _о(2) •
9(0, А?, Д 2) -0* =-Е:
0(i э2, Д0, Д2)-0*=«&
0(1, Д0, А 2)-9* =-е
- _о(2) •
min >
00(1э2, Д0, д0)
dl
= 0.
Решение этой системы относительно всех неизвестных, в роли которых здесь выступают оптимальные длины секций индуктора А0 и А2, минимакс
,(2)
и промежуточная неизвестная
э2
определяет,
А», м 2,0 1,5 1,0 0,5 0
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
-^max* 10 , A
0,5
1,0
1,5 б
0
2,0
2,5 Д0, м
Рис. 2. Зависимость длины А0 активной секции двухсекционного нагревателя от величины максимального тока источ-
максимальнои
согласно выражению у0 = Д° + Д2, искомую минимальную длину индуктора Y0.
Для исходных данных по конструктивным характеристикам нагревателя и параметрам заготовки, на основании выполненной серии расчетов для /Х = 4011; 4560; 4811; 4987; 5118; 5497; 6647 A
ШаХ 7 7 7 7 7 7
были получены результаты, представленные на рис. 2.
ника питания 1тах (а) для случая в0 = в^П температуры 9тах, °С, достигнутой в процессе нагрева, от минимальной длины активной секции А^м при в = в^П (б)
Во всех рассчитанных случаях величина максимального абсолютного температурного отклонения б^тт на выходе нагревателя не превышает 5 °С; при этом наблюдается перегрев заготовки, который при длине активной секции 0,94 м превышает 50 °С. Таким образом, оптимально спроектированный двухсекционный нагреватель обеспечивает значительно более высокую точность нагрева, чем односекционный, однако оптимальные режимы нагрева могут потребовать существенного перегрева заготовки относительно искомой конечной температуры для компенсации её последующего охлаждения в пассивной секции индуктора или во время транспортировки. При этом могут быть превышены допустимые температурные максимумы, и учёт соответствующих технологических ограничений становится обязательным.
Учет технологических ограничений в задаче проектирования нагревателя минимальной длины
При решении поставленной задачи могут быть учтены дополнительные технологические ограничения на поведение температурного поля. Ограничение на максимальную температуру 9тах принимает вид:
0„
= 0(l, y) < 0доп . l, ye[0,1]
(11)
а
Н
'mux- ^
Рассмотрим задачу оптимального проектирования нагревателя применительно к типовому требованию отсутствия перегрева относительно заданной конечной температуры по всему объему заготовки, когда
0доп = 0*. В этом случае для заданной неравномерности нагрева е0 > 0 выполняется неравенство е > 0доп -0* = 0. В такой ситуации предельно допус-
тимая величина s0 совпадает с s
(1)
а оптимальное
^0 ~ ~тт •
распределение мощности источников тепла по длине нагревателя принимает простейший вид [3]:
W (у) = ■
I W1 max , 0 < У < Уб ;
W6 (у), уе< У < У0.
(12)
WA (У) = W(k) = const, у е (ук_1, ук), к =1,Ь Уе = Уо <У1 <... <Ух = У0.
(13)
W *( у ) W,„„
Ув У1 У 2 У
Рис. 3. Кусочно-постоянная аппроксимация оптимального распределения мощности нагрева по длине индуктора
Параметры аппроксимации - мощности Ш(к) и координаты ук точек, фиксирующих расположение и размеры этих секций, при заданном их числе % > 1 могут быть найдены из условий минимизации отклонений 0тах от 0доп на отрезке [ у0, у0] при определении 0тах на множестве узлов пространственной сетки
по известной зависимости температурного поля от этих параметров, рассчитываемой по численной модели при управлении вида (11). Координаты (1тах, у0) точки выхода 0тах на ограничение 0доп фиксируются равенствами:
6(lmax , У6 ) = 6доп =6
*. d6(lmax, Уе) dl
= 0.
Согласно (12), нагреватель должен состоять из двух секций. В первой из них длиной у0 осуществляется равномерное распределение мощности нагрева, равной Ш1тах, а во второй - распределение Ш0(у),
обеспечивающее стабилизацию 0тах на уровне *
0доп = 0 вплоть до выхода заготовки из индуктора.
Реализация таких воздействий в проходных индукционных нагревательных установках связана со значительными трудностями из-за технических сложностей обеспечения неравномерного распределения мощности нагрева в пределах второй секции. Поэтому здесь оказывается предпочтительной кусочно-постоянная аппроксимация Ш0 (у) алгоритма Ш0 (у), при которой он с некоторым приближением реализуется в % > 1 секциях индуктора с равномерным распределением мощностей нагрева, равных Ш(к), к = 1,2,...,%, %> 1 (рис. 3):
При найденных из условий своего определения значениях у0 и Ш0(у) в форме (13) в роли единственного неизвестного параметра оптимальной программы (12) в случае е = 8^^ опять выступает искомая длина индуктора Д1 = у0.
При известной форме кривой результирующего радиального распределения температур на выходе из индуктора (рис. 4, а) получаем здесь вместо (10) расчетную систему уравнений
6(1, до) -е* = -s:
-_s0) • min >
6(0, д0) -6 =-s
= -s(D
min
относительно Д° и е^.
В силу зависимости температурного поля в попе*
речных сечениях у < у0 от поведения (у) на будущем участке у е (у0, у0), здесь нельзя разделить задачи вычисления Ш0 и параметров Ш*(у) и их
следует решать совместно [3].
На рис. 4 представлены результаты расчета оптимального режима ускоренного непрерывного нагрева
*
с ограничением на 0тах =0 = 1250 °С по описанной методике в простейшем случае % = 1.
Распределение температур по длине индуктора
(рис. 4, а) свидетельствует об удовлетворительной
*
точности приближения 0тах к 0доп =0 на всем отрезке [у0,у0] даже при грубой аппроксимации Ш0 (у) равномерным распределением мощности нагрева (у) = Ш(1) < Ш11шк, у е Оъ,у0).
Кривая на рис. 4, б иллюстрирует оптимальное распределение температуры в поперечном сечении
заготовки на выходе нагревателя при величине Ш(1),
0
найденной из условия минимизации отклонения тах
*
от 0доп =0 . В данном случае оптимальное значение
Ш(1) оказывается равным 0,43 Ш1тах При этом неравномерность нагрева заготовки на выходе нагревателя не превышает 8 °С.
Полученный простейший алгоритм пространственного управления может быть легко реализован путем двухсекционного исполнения индуктора с размерами и мощностями секций, отвечающими расчетным значениям у0 и
История процесса нагрева
Температура на выходе
4,60 9,40 15,40 21,79 28,19 34,59
0,004 0,006 0,009 0,012 0,014 0,016
б
Рис. 4. Оптимальное пространственное управление с учетом ограничения на 0тах: а - распределение температуры по длине индуктора; б - радиальное распределение температуры на выходе из индуктора при аппроксимации мощности источников тепла (12)
Литература
1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М., 1993. 279 с.
2. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М., 1985. 480 с.
3. Плешивцева Ю.Э. Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубесконечная оптимизация алгоритмов управления объектами с распределенными параметрами : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Самара, 2009. 51 с.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1980. 321 с.
5. Ефимов А.П. Численные методы многопараметрической
оптимизации процессов взаимодействия тепловых и электромагнитных полей // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : тр. VIII междунар. конф. Самара, 2006. С. 195-199.
6. Special methods of parametric optimization of induction heating systems / Yu. Pleshivtseva [et al.]. // Proc.: International Scientific Colloquium «Modelling for Electromagnetic Processing». Hannover, 2008. P. 229 - 234.
Поступила в редакцию
30 ноября 2009 г.
0
а
Ефимов Александр Порфирьевич - доцент, кафедра «Управление и системный анализ в теплоэнергетике», Самарский государственный технический университет. Тел. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
Плешивцева Юлия Эдгаровна - доцент, кафедра «Управление и системный анализ в теплоэнергетике», Самарский государственный технический университет. Тел. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
Шарапова Ольга Юрьевна - аспирант, кафедра «Управление и системный анализ в теплоэнергетике», Самарский государственный технический университет. Тел. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
Efimov Alexander Porfirevich - assistant professor, department «Heat-and-Power Engineering», State Technical University, Samara. Ph. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
Pleshivtseva Yulia Edgarovna - assistant professor, department «Heat-and-Power Engineering», State Technical University, Samara. Ph. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
Sharapova Olga Yurievna - post-graduate student, department«Heat-and-Power Engineering», State Technical University, Samara. Ph. (+7 846) 332-42-34. E-mail: [email protected]
