Оптимальное управление многомерными моделями процесса периодического индукционного нагрева Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Системный анализ и управление

УДК 621.785, 669.2, 519.6

О.Ю. Шарапова

оптимальное управление многомерными моделями процесса периодического индукционного нагрева

Индукционные нагревательные установки (ИНУ) периодического действия широко применяются на практике для индукционного нагрева металлов перед последующей обработкой давлением, поскольку они обладают рядом технико-экономических преимуществ по сравнению с конкурентоспособными технологиями.

В статье сформулированы и решены задачи оптимального по критериям быстродействия и энергосбережения управления (ЗОУ) процессом индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок в ИНУ периодического действия. Моделирование процесса индукционного нагрева в ИНУ проводится с помощью численной двумерной электромагнитно-тепловой модели, разработанной в конечно-элементном специализированном программном пакете Cedrat FLUX.

Постановка и решение задачи оптимального по быстродействию управления двумерными численными моделями. Процесс периодического индукционного нагрева цилиндрической заготовки рассматривается в качестве объекта управления с распределенными параметрами, состояние которого определяется пространственно-временным распределением температуры по объему нагреваемого тела T(l, y, т), где т - время; 1,у - пространственные координаты, учитывающие неравномерное распределение температуры как по радиусу R (l е [0;R]), так и вдоль оси цилиндрического слитка конечной длины L (ye [0; L]).

Для численного моделирования ИНУ используется конечно-элементный специализированный программный пакет Cedrat FLUX, предназначенный для многопараметрического электромагнитного и теплового анализа. Для построения сетки заготовки, витков индуктора и окружающего пространства применяются треугольные элементы, а

для разбиения области скин-эффекта - четырехугольные элементы [1]. Алгоритм решения задачи моделирования представляет собой последовательную итерационную процедуру, включающую гармонический электромагнитный анализ и переходный тепловой анализ [1, 4].

В качестве управляющего воздействия рассматривается напряжение источника питания и(т). Ограничение на управляющее воздействие и(т) вводится исходя из некоторой заранее известной максимальной величины Umax, определяемой энергетическими возможностями ИНУ, и имеет вид:

0 < и(т) < Umax. (1)

В качестве критерия оптимальности в задаче быстродействия рассматривается время тк процесса нагрева заготовок до требуемых температурных кондиций, а решение ЗОУ должно обеспечить возможно меньшую величину т и максимальную производительность ИНУ.

Применительно к исследуемому классу задач оптимизации индукционная установка в конечный момент времени тк должна обеспечивать нагрев заготовки до заданной температуры T(l,y,zк) = T (l, y) = T = const с допустимым температурным отклонением s0:

(тах|г(/,);,тк)-^<£0. (2)

Задача оптимального по быстродействию управления ИНУ может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти такое переменное во времени управляющее воздействие и(т) =мопт(т), стесненное ограничением (1), которое обеспечивает перевод нагреваемого изделия с начальным распределением температуры T(l, y, 0) = T0 (l, y) = T0 = const в заданное целевое множество (2), за минимально возможное время т =Т°. .

Для общей нелинейной задачи оптимального по быстродействию управления процессами нестационарной теплопроводности с внутренним тепловыделением [2] стандартные процедуры принципа максимума определяют Д(' - параметризованное представление управляющего воздействия мопт(х) в форме кусочно-постоянной функции времени:

и (т) = -

опт4 7 j-1

-[1+(-1)j+1],

£а, <T<XAi, j = 1,N

(3)

однозначно задаваемой с точностью до числа N и длительностей Д;,г = 1, N интервалов своего постоянства, выступающих в роли искомых параметров и зависящих только от требуемой точности нагрева е° в (2), где N может быть найдено по заданной величине е° по общей методологии аль-тернансного метода [2]. В итоге осуществляется процедура редукции исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации:

I (А) = £ А, ^ min; А = (А„ А2, ..., А N),

' * Л

(4)

Ф(А) = max T(l, y, А) - T < в,

/е[0;Д] i i

ye[0;L]

где зависимости T(l, y, А) находятся по численной FLUX-модели объекта при управлении вида (3).

Ниже приводятся примеры решения ЗОУ по критерию быстродействия процесса индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок для следующих исходных данных по конструктивным характеристикам нагревателя и параметрам заготовки: радиус заготовки R = 52,5 мм, длина L = 900 мм, начальная температура заготовки 20 °C, заданная температура заготовки 1250 °C, длина индуктора 1046 мм, частота питающего тока 2300 Гц, напряжение источника питания 470 В. Рассмотрим случай, когда заданная точность нагрева совпадает с предельно достижимой точностью в0 = в®п при одноинтервальном управлении. Согласно альтернансным свойствам форме кривых результирующего распределения температур соответствует следующая система уравнений:

дТ(1Э2,уЭ2, Д°) _ дТ(1Э2,уЭ2, Д°)

(5)

э/

ду

= 0,

решаемая относительно искомой длительности Д° интервала нагрева, минимакса е^ и координат точки экстремума /Э2, уЭ2.

На рис. 1 а представлен результат расчета температурного распределения по объему стальной заготовки в конце оптимального по быстродействию процесса нагрева. Длительность процесса нагрева 541,6 с, минимальное температурное отклонение на выходе е®п = 78 °С. Полученная точность нагрева не соответствует технологическим требованиям, предъявляемым к данному процессу. Поэтому необходимо применение двухинтер-вального алгоритма оптимального управления.

Данному случаю соответствует двухпараме-трическое представление управляющего воздействия при N = 2 в (3). В качестве оптимизируемых параметров выступают длительности интервалов нагрева и выравнивания температур, а максимальное абсолютное отклонение распределения температуры по объему заготовки от заданного значения представляет собой минимакс е° = е^П. Результирующая система уравнений имеет вид:

Т(0,Ь,А1А1)-Т*=-е™; Г(/Э2,уЭ2,Д?,Д°)-Г*=+г^;

- _с<2> ■ min >

T(R, ь, А°,А°2)-Г ЭТ(1Э2,уЭ2, А°,А°2) _ дТ(1Э2,уЭ2, Д?,Д°)

(6)

= 0.

д1 ду

На рис. 1 б представлено температурное распределение по соответствующим сечениям заготовки в конце оптимального процесса управления. Длительность интервала нагрева составляет 563,85 с, интервала выравнивания температур -13,3 с, в^п = 66,4 °C.

Постановка и решение задачи оптимального по энергосбережению управления двумерными численными моделями. ЗОУ по энергосбережению формулируется аналогично рассмотренной выше ЗОУ по критерию быстродействия [3].

Необходимо найти такое переменное во времени управляющее воздействие u(t) = иопт(т), стесненное ограничением (2), которое обеспечивает перевод нагреваемого изделия с начальным распределением температуры T0 (l, y) = T0 = const в заданное целевое множество, согласно (2), при минимальном значении критерия оптимальности:

'■к

= \p{x)dl

тш,

(7)

¡■=1

где Р(т) - закон изменения во времени потребляемой ИНУ мощности.

На сформулированную задачу также распространяется принцип максимума Понтрягина [3], следовательно, оптимальное управление иопт(т) необходимо искать в классе релейных функций времени, отличающихся от решения задачи быстродействия другими значениями длительностей интервалов постоянства.

Проблема вновь сводится к поиску числа N и длительностей Д; ,1 = 1, N интервалов постоянства иопт(т). Ввиду зависимости потребляемой ИНУ мощности Р(т) от функции и(т) и согласно представлению управляющего воздействия в виде релейной функции времени, критерий 1Э превращается в сумму длительностей нечетных интервалов постоянства управляющего воздействия. Тогда исходная ЗОУ трансформируется в следующую за-

а)

дачу математического программирования:

л.

т.° с

90 70 50 30 10 -10 -30 -50 -70 -90

£¡1 -—" I \ ~ 1 ^ 1

1 1

1 У 1

у=уэ2 / 2/ г 1 1 1

1 /. ММ

/ 20 3 / 0/ 4 0 э 5 0

1 /

-е™

7э= i

/=1,3.5.....лг,

А, —> 1ШП,

' &

Ф(А) = тах Ж, у, А) - 0 < г;

;е[0;1] I I

(8)

А = (А,,А2,..., = N для нечетных Ы,

N^N-1 длячетных ЛТ.

Для процесса нагрева, оптимального по расходу энергии, сохраняются правила соответствия между числом интервалов постоянства и(2) (т) и числом точек с предельными отклонениями результирующих температур от заданной величины, что позволяет и здесь применить альтернанс-ный метод расчета оптимального процесса.

Расчетная система уравнений, соответствующая оптимальному по энергозатратам процессу

г.°с

70

50

30 ■

10 ■

-10

-30

-50

-70

е2г " у=уэ2

\ 1

V

< 1 0 2 п зк ' 5 л п ад

у=у1=3 '3 \ 2

Рис. 1. Результирующие распределения температур по объему заготовки: а - при одноинтервальном управлении по критерию быстродействия; б - при одноинтервальном по критерию расхода энергии; в - при двухинтервальном управлении 1 - сечение заготовки с точкой температурного максимума; 2 - сечение с температурными минимумами

а)

б)

580 575 570 565 560 555 550 545 540 535

1, с ........

С - - el - ——

25.5 25,4 25,3 25,2 25,1 25,0 24,9 24,8 24,7

24.6

.РмВт

2

"Т" ..„1_____________

!

Nl1

i i

¡С е™

65

70

75

80

85

90

65

70

75

80

85

90

Рис. 2. Зависимости длительности процесса (а) и расхода энергии (б) от заданной точности нагрева при е^П < е < е^ 1 - в задаче оптимального быстродействия; 2 - в задаче на минимум энергопотребления

управления для s = s, принимает вид:

\т (0, yi АО, А2) - T • = -s«;

•0, АО

.0 ТО 70s

T (R, y20, АО, А2) - T * = -s

(i)

min'

(9)

где Д°, Д2 - длительности интервалов постоянства оптимального управления. Данная система решается относительно двух неизвестных Д1, Д2 при заданном значении е^п с учетом того, что минимальные значения конечной температуры на оси и боковой поверхности цилиндра достигаются в одном торцевом сечении заготовки при

0 °т

У1 = У 2 = 1 .

На рис. 1 б представлен результат расчета температурного распределения по объему заготовки по окончании процесса. В качестве е^п рассмотрим точность, которая достигается при одноинтервальном управлении по критерию быстродействия. При этом длительность интервала нагрева составляет 530 с, интервала выравнивания температур - 15,1 с. Расход энергии, необходимый для индукционного нагрева цилиндрической заготовки, равен 33 мВт.

Значению е = е ^П соответствует единственный вариант формы кривой Т(I, у, ДО1, Д2) , представленный на рис. 1 в. В таком случае задача на минимум расхода энергии сводится к задаче быстродействия в классе двухинтервальных управ-

лений. Ее решение «вынужденно» оказывается оптимальным как по критерию быстродействия, так и по энергозатратам. В результате для решения поставленной задачи получаем систему из пяти уравнений, аналогичную системе (6).

Сравнительный анализ решения ЗОУ по критериям быстродействия и расхода энергии. На рис. 2 приведены сравнительные результаты расчета процесса индукционного нагрева цилиндрической металлической заготовки, оптимальных по критериям быстродействия и расхода энергии при изменении требуемой точности нагрева е0 в интервале от е^ до е^п. Именно в этом диапазоне изменения е оптимальные алгоритмы управления по указанным критериям различаются, совпадая лишь на границе е = е^П . Расчеты оптимальных по энергосбережению длительностей интервалов нагрева и выравнивания температур сводятся при всех е : е^П < е < е^П к решению системы уравнений (9).

Полученные зависимости наглядно демонстрируют, что при переходе к алгоритмам, оптимальным по энергосбережению, расход энергии сокращается, но при этом производительность процесса падает.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., проект № 14.740.11.1282.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарапова, О.Ю. Численное моделирование FLUX [Текст] / О.Ю. Шарапова // Вестник Самар. процесса периодического индукционного нагрева гос. техн. ун-та. Сер. Техн. науки. -Вып. №7 (28). на базе конечно-элементного программного пакета -C.180-185.

2. Рапопорт, Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла [Текст] / Э.Я. Рапопорт. —М., 1993. -279 с.

3. Rapoport, E. Optimal Control of Induction Heating

Processes [Text] / E. Rapoport, Y. Pleshivtseva. -CRC Press, NY, 2007.

4. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http:// www.cedrat.com

УДК 519.863

Н.А. Гильманова

метод трехфазовой декомпозиции для решения задачи построения маршрутов следования транспортных средств

с учетом размещения грузов

Задачи упаковки и построения маршрутов, актуальные для развивающейся быстрыми темпами сферы транспортной логистики, с давних пор изучаются многими исследователями в области комбинаторной оптимизации; разработаны точные и эвристические методы их решения. Однако лишь в последние годы появились работы, посвященные решению этих задач в тесной взаимосвязи: поиску набора маршрутов с одновременным выяснением возможности размещения грузов в транспортных средствах (ТС). Такое объединение способно точно описать реальные ситуации грузоперевозок, но, очевидно, что вычислительная сложность задачи построения маршрутов с трехмерным размещением грузов в ТС (Capacitated Vehicle Routing Problem with Three-Dimensional Loading Constraints, 3L-CVRP) существенно выше, чем сложность задач трехмерной упаковки контейнеров (3DBPP) и маршрутизации (CVRP) по отдельности, при том, что обе эти задачи яв-

ляются NP-трудными. На рис. 1 приведен пример решения задачи 3L-CVRP с 5 клиентами. Получено два маршрута и, соответственно, две схемы размещения грузов в ТС.

Задача 3L-CVRP была впервые представлена в работе [1] в 2006 г.; для ее решения предложен алгоритм поиска с запретами (Tabu Search, TS) и приведены результаты численного эксперимента с применением данного алгоритма. В более ранней работе [2] представлена аналогичная задача с двумерным размещением грузов (2L-CVRP), ее формулировка в виде задачи целочисленного линейного программирования (ЛП) и точный алгоритм решения. Для задачи 3L-CVRP единой ЛП-формулировки и точного метода решения до настоящего момента не создано, целесообразность их разработки ставится под сомнение в связи с чрезвычайно высокой сложностью задачи. Задачам 2L-CVRP и 3L-CVRP посвящена докторская диссертация Fuellerer [3], в которой для их

Рис. 1. Пример решения задачи 3L-CVRP