CC BY
65
УДК 621.317.6
Куроедов С.К., Светлов А. В.
ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия
АЛГОРИТМЫ ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДАМИ УЗЛОВЫХ АДМИТАНСОВ И ИМПЕДАНСОВ
Целью диагностики электрической цепи в общем случае является определение ее состояния на макро- и микроуровне. Результаты диагностики электрических цепей радиоэлектронных устройств и устройств силовой электроники на макроуровне могут быть использованы для их функционального контроля и тестирования связей с внешними устройствами, а на микроуровне - для локализации неисправностей и внутрисхемного контроля, включая контроль компонентов цепи, их сообщений и разобщений.
Характер описания состояния цепи на макро- и микроуровне зависит от вида ее микро- и макромодели. В условиях априорной неопределенности вид адекватной математической модели определяется экспериментально с использованием алгоритмов идентификации исследуемой цепи [1].
Состояние на макроуровне представляется состоянием связей диагностируемой цепи с внешними цепями, состояниями ее входов и выходов, а также соответствием данных состояний. Состояние связей диагностируемой цепи с внешними цепями характеризует структуру, а соответствие состояний входов и выходов - функции цепи на макроуровне. Состояние входов и выходов описывается с помощью независимых и зависимых переменных, в совокупности образующих систему координат макромодели цепи. Выбор системы координат заключается в определении соответствия множеств структурных единиц цепи и переменных. Данное соответствие определяет тип макромодели, которая может иметь альтернативные варианты. В разновидностях однородной системы сечений узловые напряжения или напряжения между узлами могут быть как зависимыми, так и независимыми переменными, а в гибридных системах координат множество данных напряжений включает подмножества зависимых и независимых переменных.
Состояние на микроуровне представляется состояниями связей между элементами цепи, состояниями их входов, выходов и соответствиями данных состояний. При этом объем, достоверность результатов и глубина диагностирования зависят от вида элементов, используемых для описания цепи на микроуровне. Для поиска вида микромодели, которая наилучшим образом соответствует поставленной задаче диагностики, требуется построение многоуровневой модели. Высший уровень данной модели должен быть представлен макромоделью, а низший - уровнем микромодели, соответствующим максимально возможной глубине диагностирования. При этом должна быть предусмотрена возможность перехода от уровня, информация о котором может быть получена в результате эксперимента, к любым другим уровням модели.
Число уровней, вид элементов на каждом уровне и другие свойства многоуровневой модели определяются априорной информации о структуре и функциях цепи, а также результатами ее идентификации. Структура электрической цепи с сосредоточенными параметрами описывается отношениями смежности и инцидентности ее структурных единиц - ветвей, сечений, контуров, узлов, пар узлов и других подмножеств универсальных множеств ветвей и узлов, а также элементов цепи - двухполюсников и элементов с большим числом внешних узлов - многополюсников. Рассматривая многополюсник как компонент цепи, его можно представить на более низком уровне в виде схемы замещения в элементном базисе многополюсников с меньшим числом полюсов, например четырехполюсников. Многополюсный компонент с меньшим числом полюсов, свою очередь, может быть представлен схемой замещения с двухполюсными элементами, а двухполюсный компонент - схемой замещения в базисе двухполюсных элементов с более простыми функциями, например идеальных пассивных и активных элементов.
Построенная таким образом многоуровневая модель цепи может служить основой для поэтапной разработки планов диагностического эксперимента и алгоритмов обработки его результатов. На первом этапе необходимо выбрать уровень и вид модели, которым соответствуют диагностируемое состояние и диагностическая информация, получаемая непосредственно из эксперимента. Виды диагностируемых состояний определяются целью, полнотой и необходимой глубиной диагностирования. Уровни, на которых осуществляются диагностический эксперимент, выбираются из условия возможности измерения, контроля и аппаратурного анализа характеристик соответствующего состояния цепи или ее компонентов. Кроме того, результаты эксперимента должны однозначно определять диагностируемое состояние.
Точность экспериментальных данных должна соответствовать требуемой точности определения состояния цепи. Для повышения точности можно использовать коррекцию погрешностей измерений, а также измерения в такой системе координат, которая обеспечивает снижение влияния неидеальности свойств используемых средств измерения.
Следующим этапом является построение алгоритмов обработки результатов эксперимента. Точность результатов обработки должна приближаться к точности экспериментальных данных. Если в рамках вида и уровня модели, выбранных для разработки плана эксперимента, достигнуть требуемых показателей точности не удается, то следует изменить вид или уровень модели. Преобразование модели к виду, при котором точность результатов обработки соответствует требуемому уровню, заключается в изменении координатной системы за счет дополнения, сокращения, выделения группы координат, изменения состава множеств структурных единиц и переменных модели, а также изменение графика соответствия данных множеств.
В процессе построения многоуровневой модели в нее включаются уровни, для которых может быть получена дополнительная или более точная диагностическая информация по отношению к информации, полученной для других уровней. Уровни, которые не отвечают данному условию, должны быть исключены их модели. В результате формируется модель, содержащая необходимое и достаточное число уровней.
На рисунке 1 показана схема многоуровневой модели цепи, совмещенная с возможными схемами диагностирования. Диагностические эксперименты на каждом уровне представляются в данной схеме моделями E0,Ex,...,En . При последовательной схеме диагностирования переход от экспериментальных данных,
полученных об одном уровне модели, например о макроуровне Mo , к данным о следующем, например первом уровне Mi микромодели, осуществляется с помощью алгоритма Д— обработки диагностической информации. Априорная модель на каждом уровне дополняется и уточняется по результатам экспериментов на предшествующем и данном уровне, в результате чего формируется соответствующая апостериорная модель.
Повышение степени адекватности апостериорной модели возможно при параллельной схеме диагностирования за счет обработки информации, полученной с помощью независимых экспериментов на нескольких уровнях, например на макроуровне и первом микроуровне. Алгоритм До\-п позволяет осуществить
переход от данных уровней к микроуровню Ып , который соответствует наибольшей глубине диагностирования .
При использовании циклических схем требуемая степень адекватности модели определенного уровня достигается в результате нескольких итераций, каждая из которых может включать диагностирование на различных уровнях по последовательным и параллельным схемам. Необходимость очередной итерации определяется по результатам верификации модели, построенной на предыдущей итерации.
Минимальная по числу уровней модель содержит только один уровень, который соответствует требуемой диагностической информации, получаемой непосредственно из эксперимента на данном уровне. Примером одноуровневой модели является макромодель, построенная в той или иной системе координат, которую можно использовать для определения структуры, состояний структурных элементов и функций
Рисунок 1. Схема, иллюстрирующая построение алгоритмов диагностирования на основе многоуровневой модели электрической цепи
цепи на макроуровне. Самостоятельной моделью, используемой для разработки планов диагностического эксперимента и алгоритмов обработки его результатов, может служить также микромодель любого уровня. Однако с увеличением глубины диагностирования и, соответственно, с понижением уровня микромодели, возникает проблема недоступности структурных единиц и компонентов цепи для экспериментального определения их состояний. Поэтому одноуровневые микромодели используются для диагностики цепей с небольшим числом структурных единиц и компонентов, например, методом раздельного преобразования [2] .
Двухуровневая модель может представлять цепь, все узлы которой являются ее полюсами (внешними узлами), а связи между узлами характеризуются комплексными или операторными проводимостями - ад-митансами. На микроуровне данной цепи адмитансы можно рассматривать как функции двухполюсных
элементов, соединяющих узлы i и j . Адмитансы Тф)- однозначно определяются элементами Y- матрицы Y узловых проводимостей макромодели данной цепи, построенной в канонической системе сечений [3]:
Ybi —т, Ты, - TYj, (1)
i
где Т(ы), - адмитанс, характеризующий связь узла j с базисным узлом.
Элементы Y, матрицы Y узловых адмитансов могут быть определены методом узловых проводимостей
(адмитансов) или узловых сопротивлений (импедансов) [4].
Метод узловых импедансов заключается в определении узловых адмитансов цепи по собственным и взаимным узловым импедансам Z, и Z, . При реализации данного метода источник тока i, подключается к одному из полюсов цепи. Напряжения на полюсе j и на всех остальных полюсах определяются с помощью измерительных преобразователей напряжения ИПНі, ..., ИП^, ..., ИПН^. Собственные и взаимные
узловые импедансы определяются при этом комплексными амплитудами гармонических напряжений u, , и,
j 1
и тока ij :
Z -ZZ = U
j - ij' j - ij
(2)
Схема модели соответствующего диагностического эксперимента показана на рис. 2. В данной модели для описания неидеальности свойств источников тока и измерительных преобразователей напряжения используется пассивный многополюсник с собственными узловыми адмитансами Y1?...,Y^ .
Рисунок 2. Модель диагностического эксперимента, реализующего метод узловых импедансов
Диагностический эксперимент в режиме малого тока ij можно использовать для тестирования цепей
электронного оборудования в рабочем режиме, так как измерения узловых напряжений осуществляется в режиме холостого хода. Для реализации данного метода достаточно всего трех подвижных зондов, один
из которых соединяется с базисным узлом, второй подключает источник тока ij к одному из узлов, а третий используется для последовательного измерения напряжений Ui на всех узлах цепи.
Измеренные значения Zj и Zj составляют матрицу Z узловых сопротивлений. Обращение данной
матрицы позволяет определить матрицу узловых проводимостей: Y = Z 1 . Точность полученных таким образом значений узловых проводимостей зависит не только от точности измерений узловых сопротивлений, но и от степени обусловленности решаемой задачи, которая характеризуется числом обусловленности condZ матрицы узловых сопротивлений [5]:
||AY||
IIyII
cond Z■ -
||AZ||
llzll
1 - cond Z ■
AZ
z||
(3)
где |^| - норма матрицы, AY и AZ - матрицы погрешностей элементов матриц Y и Z . Если взаимные проводимости Yj узлов i и j значительно превышают по модулю проводимости Yi и Yj , описывающие связи данных узлов с базисным узлом, то использование метода узловых сопротивлений стано-
<
вится практически невозможным из-за эффекта усиления погрешности измерения элементов Z при больших значениях числа обусловленности [б].
Метод узловых адмитансов позволяет определить собственные и взаимные адмитансы Yj и Yj узлов
линейной цепи по току ij от внешнего источника напряжения ej , подключенному к одному из узлов, и токам ii короткого замыкания других узлов, подключенных к базисному узлу цепи:
Ij I
Y . =— Y =-i-j U,. j U
(4)
где Ij Ji и Uj - комплексные амплитуды гармонических токов ij, ii и гармонического напряжения Uj . Схема диагностирования цепи методом узловых адмитансов показана на рисунке 3. Измерительные преобразователи ИПТі, ИПТ^ и ИПТ* тока используются в данной схеме для определения токов ii,ik ко-
роткого замыкания узлов и тока ij от внешнего источника напряжения ej .
Для нелинейных цепей характеристиками связей между узлами служат малосигнальные собственные и взаимные адмитансы, определенные при достаточно малых амплитудах U(m)j гармонических составляющих напряжений
Uj (t) = U(o)j + U(m)j cos(w0 , (5)
где U^Q)j - постоянная составляющая напряжения Uj(t) . Значения амплитуд U(m)j должны выбираться из условия адекватности линейного описания нелинейной цепи [7,8] . Зависимости модулей Y(mod)ij = \Yij (w)| и аргументов f (w) = arg Yy(w) , действительных Gy (w) = Re Yj- (w) и мнимых составляющих Gv (w) = Re Yj (w) и Bj (w) = ImYj (w) малосигнальных адмитансов от частоты w могут быть дополнены их
зависимостями от напряжений U(0)j смещения.
Возможно также определение узловых адмитансов нелинейной цепи методом гармонической линеаризации по первым гармоникам токов
ii(t) = I(o)i + ZI(m)ni cos(nwt + fni) , (6)
n
где I(o)i - постоянная составляющая, nw, I(m)ni и фы - частота, амплитуда и начальная фаза п-ой
гармоники тока ii (t) , Метод гармонической линеаризации обладает потенциально более высокой точностью, так как его реализация не связана с необходимостью ограничения амплитуд гармонических напряжений U j . Для более полного представления результатов, полученных данным методом, частотные
зависимости функций цепи могут быть дополнены их зависимостями от амплитуд U(m) j напряжений U j(t) .
Преимуществом метода узловых проводимостей является его потенциально высокая точность, которая определяется точностью воспроизведения временных зависимостей напряжений U j(t) и измерения токов
ij(t),ii(t) . На точность измерения узловых адмитансов, особенно при диагностировании низкоомных це-
пей, оказывают влияние внутренние импедансы источников напряжения и входные импедансы измерительных преобразователей тока.
Схема модели, описывающей влияние неидеальности свойств используемых средств измерения с помо-
щью пассивного 2Я-полюсника, показана на рисунке 4. Связь векторов Il512, Ul5 U2 токов и напряжений на входах и выходах 2Я-полюсника описывается в канонической системе сечений матричным выражением
U' ' Z11 K12' ' І1 '
І2 _ K 21 Y22 _ U2 _
Рисунок 4. Модель диагностического эксперимента в канонической системе сечений, описывающая влияние неидеальности свойств используемых средств измерения
Пренебрегая взаимным влиянием средств измерения, подключенным к различным полюсам диагностируемой цепи, блоки квадратной матрицы в правой части выражения (7) можно определить так:
Zu = diag(Zx,Z2,...,ZN),Y22 = 0,Kj2 =—K2! = E , (8)
где Zj, Z2,..., Zn - эквивалентные импедансы средств измерения, подключенных к полюсам цепи, E -единичная матрица порядка N. В выбранной системе координат диагностируемая цепь описывается выражением
І2 =—YU2 . (9)
На основе выражений (7) и (8) можно определить матрицу Yz результатов измерения узловых адми-
тансов цепи с учетом эквивалентных импедансов средств измерения, а также матрицу AYZ соответст-
вующих погрешностей:
YZ = [Zjj — K12(Y22 + Y)—JK21]—1,AYZ = YZ — Y . (10)
Коррекция данных погрешностей по результатам дополнительного эксперимента с использованием меры узловых иммитансов описывается следующим выражением:
Y = (Yz-1 — Y— + Yo—j)—1 , (11)
где Yz о - матрица результатов эксперимента с использованием N-полюсной меры узловых адмитан-
сов, Yo - матрица узловых иммитансов N-полюсной меры.
Мера узловых иммитансов может быть построена на пассивных линейных двухполюсниках, включаемых между базисным узлом и полюсами меры. В этом случае матрица Yo является диагональной и собственные значения данной матрицы совпадают с ее диагональными элементами Yi,Y2,...,Yn . Так как число обусловленности нормальной и, следовательно, диагональной матрицы определяется по спектральной норме отношением максимального и минимального модулей ее собственных значений, то при выборе равных значений адмитансов YiY2,...,Yn число обусловленности cond Yo принимает минимальное значение, равное единице.
Обращение такой матрицы не увеличивает погрешности воспроизведения ее элементов. Обращение же плохо обусловленных матриц YZ и YZ о с числами обусловленности много больше единицы связано с потерей точности и устойчивости решения данной задачи. Для уменьшения числа обусловленности обращаемой матрицы ее можно преобразовать к виду матриц с доминирующей диагональю [5] . Один из возможных способов такого преобразования заключается в суммировании матрицы узловых адмитансов Y с диагональной матрицей Y22 , элементы Y(22)ii главной диагонали которой удовлетворяют условиям N ___
Y + Y(22)ii| > El Yj I ,i el, N . (12)
j=1 j
На физическом уровне данное преобразование эквивалентно подключению к полюсам диагностируемой цепи многополюсника с нормированными элементами матрицы Y22 . Модель соответствующего диагностического эксперимента иллюстрируется схемой на рисунке 5. Для его описания можно использовать выражение (10), в котором блок Y22 следует рассматривать как диагональную матрицу узловых проводимостей N-полюсника, подключаемого к диагностируемой цепи. Схема такого N-полюсника аналогична рассмотренной выше схеме многополюсной меры узловых адмитансов.
Рисунок 5. Модель диагностического эксперимента в канонической системе сечений, описывающая преобразование матрицы узловых адмитансов цепи к виду матриц с доминирующей диагональю
Для нормирования элементов ^(22)// матрицы Y22 можно использовать оценки собственных значений
матрицы Y2 = Y + Y22 с помощью кругов Гершгорина [5] . Любое собственное значение 1 матрицы Y2 лежит, по крайней мере, в одном из кругов N ___
1- Y(2)//| £ El Y(2)j\,i є1, N , (13)
j=1
j*l
где Y(2)// = Y(22)// + YH и Y(2)j = YH - диагональные и недиагональные элементы матрицыY2 . Полагая, что
матрица Y2 - нормальная и
N ______
|Y(2)//| > El Y(2)j|,/Єї, N , (14)
j=ї
j *
для числа обусловленности данной матрицы по спектральной норме можно дать следующую оценку:
max
fe!,N
cond Y2 £
N
|Y(2)n| + E |Y(2) j I •
j=1 j Фі
min
/e1,N
|Y(2)ii
N
E |Y(2) ij
j=1 j *l
(15)
Из полученной оценки следует, что, во-первых Y2 необходимо выбрать значения Y(22)ii из условия
для минимизации числа обусловленности матрицы
|Y(22)ii + У = const , (16)
которое должно выполняться для диагональных элементов главной диагонали матрицы Y2 . Учитывая, что значения Yu априорно не известны, необходима их предварительная экспериментальная оценка. При
наличии многозначной меры узловых адмитансов эта оценка может уточняться на каждой итерации циклического алгоритма. Во-вторых, отношения сумм модулей недиагональных элементов матрицы Y2 и модулей соответствующих диагональных элементов данной матрицы должны быть минимизированы. Суммы N N _____
El Y(2)j|=El Y/j I,l є1, N (17)
j=i j=i
j j
являются характеристиками диагностируемой цепи, которые не могут изменяться в процессе оптимизации. Поэтому оптимальные значения Y^)// определяются только ограничениями, например, на максимальные выходные токи //max источников напряжения:
|Y(22)iiI £ ^ - \Y/,\. (18)
U(m) j
Учитывая, что при больших токах, близких к предельно допустимым значениям, входные и выходные цепи используемых средств измерения не могут быть адекватно описаны линейными моделями, узловые адмитансы, воспроизводимые N-полюсной мерой, должны удовлетворять условию равенства одноименных токов при подключении диагностируемой цепи и меры:
Y0 = d/aS(Y(2)11,Y(2)22,---,Y(2)NN) . (19)
Режимы короткого замыкания и заданного напряжения, используемые при реализации метода узловых адмитансов, могут вызвать отказ, в первую очередь, активных компонентов диагностируемой цепи. Необходимость использования данных режимов исключает также возможность применения метода узловых адмитансов для тестирования цепей функционирующего оборудования.
Для ограничения токов в диагностируемой цепи возможно искусственное увеличение эквивалентных импедансов источников напряжения и измерительных преобразователей тока. С этой целью в схему экс-
перимента в канонической системе сечений, которая показана на рисунке 6, между источниками напряжений и полюсами диагностируемой цепи включен пассивный 2.№-полюсник, описываемый выражением, аналогичным матричному выражению (7). Возникающая при этом погрешность диагностирования может быть скорректирована по результатам дополнительного эксперимента с мерой узловых адмитансов.
Характеристики 2Я-полюсника, показанного на рисунке 5, могут быть нормированы. В этом случае вектор I, комплексных амплитуд входных токов 2Я-полюсника определяется по результатам измерений
комплексных амплитуд его выходных напряжений, которые являются компонентами вектора U2 :
I = zpu, -. (20)
Это позволяет исключить из схемы эксперимента измерительные преобразователи тока, не связанные
общим проводом с базисным полюсом цепи или с общим проводом источников напряжения.
описывающая
адмитансов цепи в матрицу коэффициентов передачи напряжений
преобразование матрицы узловых
Для определения компонентов вектора U2 могут быть использованы измерительные преобразователи
напряжения ИПНі,
ИПН^
связанные общим проводом с базисным полюсом цепи и, следовательно,
общим проводом источников напряжения. Таким же образом может быть определен вектор U
комплекс-
ных амплитуд входных напряжений 2Я-полюсника. Учитывая, что U2=KU, , результаты измерений эле-
ментов матриц U2 и U, определяют матрицу к коэффициентов передачи напряжений цепи, которая состоит из 2Я-полюсника, и диагностируемого N-полюсника. Элементы данной матрицы, в свою очередь, определяют узловые адмитансы диагностируемой цепи согласно выражению
Y = Z“rK21(K12 -K-1)Y - Y22 . (21)
Существенный недостаток метода узловых адмитансов, ограничивающий область его применения, заключается в том, что для диагностирования связей между узлами требуется создание режимов заданного напряжения или короткого замыкания одновременно во всех узлах цепи, что затрудняет применение технологии подвижных зондов, а для сложных цепей с большим числом узлов использование такой технологии становится невозможным. Разработка же специализированных контактирующих устройств оправдана только для массовых однотипных изделий - печатных плат, гибридных и монолитных интегральных микросхем.
Создание режимов короткого замыкания на полюсах диагностируемой цепи можно рассматривать как сокращение числа координат ее модели, построенной в канонической системе сечений. Существует возможность декомпозиции полной модели цепи и уменьшения числа одновременно подключаемых полюсов за счет выделения групп координат. При этом каждая группа должна содержать хотя бы одно сечение, не имеющее общих ветвей со всеми сечениями, которые не входят в состав выделяемой группы. Поочередно сокращая координаты каждой группы, связанные с координатами других групп, можно заменить полную модель цепи, используемую при построении плана диагностического эксперимента, на ряд подмоделей меньшей размерности. Основная задача, которая должна быть решена при разработке алгоритма декомпозиции модели, заключается в минимизации числа выделяемых координат каждой группы на основе результатов идентификации связей между узлами диагностируемой цепи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Куроедов С.К. Идентификация и измерение параметров электрических цепей в условиях априорной неопределенности // Надежность и качество. Труды международного симпозиума в 2-х томах. Том 1 -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - С. 392-396.
2. Мартяшин А.И., Куликовский К.Л., Куроедов С.К., Орлова Л.В. Основы инвариантного преобразования параметров электрических цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 216 с.
3. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем. Изд. 2-е, перераб. и
доп. - М.: Сов. радио, 1976. - 608 с.
4. Демирчан К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2. СПб.: Питер, 2003. - 576 с.
5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. - Наука, 1984. - 320 с.
6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - Наука, 1986. - 288 с.
7. Куроедов С.К., Мартяшин В.А., Ханин И.В., Использование технологии виртуальных приборов для аппаратурного анализа электрических цепей в частотной области. // Надежность и качество. Труды
международного симпозиума в 2-х томах. Том 1 - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. - С. 350-
353 .
8. Добровинский И. Р., Куроедов С. К., Мартяшин В. А., Ханин И. В. Аппаратурный анализ объектов медико-биологических исследований с использованием технологии виртуальных приборов. // Надежность и качество. Труды международного симпозиума в 2-х томах. Том 1 - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. - С. 537-531.
