CC BY
16
Оптимальное значение напряжения смещения устанавливается таким образом, чтобы при отсутствии входного сигнала на разъеме XW1, напряжение на выходе детектора XW2 было примерно 3 - 5 милливольт.
Заключение
Показано, что в структуре измерителя параметров пьезокерамических элементов необходимо использовать линейный амплитудный детектор. В качестве такого детектора целесообразно использовать микросхему AD8361 фирмы Analog Devices.
ЛИТЕРАТУРА
1. Контроль и управление в системах прецизионного позиционирования на основе пьезоэлектрических актюаторов / В. А. Бардин, В. А. Васильев, П. Г. Рудаков, Р. В. Юлоськов // Надёжность и качество - 2016: Труды Международного симпозиума: в 2-х т. - Пенза, 2016. - Том 1. - С. 308 - 312.
2. Совокупные измерения электрических параметров пьезокерамических элементов / А. В. Светлов, А. С. Колдов, Н. В. Родионова, Е. А. Ломтев, Б. В. Цыпин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2015. - № 2 (34). - С. 123 - 135.
3. Колдов А.С., Родионова Н.В., Светлов А.В. Методика совокупных измерений параметров пьезоке-рамических элементов с использованием синусоидальных сигналов // Надежность и качество - 2015: Труды Международного симпозиума: в 2-х т. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2015. - Том 2. - С. 44 - 46.
4. PSoC5 Programmable System-on-Chip. URL: http://www.cypress.com/products/psoc-5.
5. OPA656 Wideband, Unity-Gain Stable, FET-Input Operational Amplifier. URL: http://www.ti.com/lit/ds/symlink/opa656.pdf.
6. AD9850 CMOS 125 MHz Complete DDS Synthesizer. - Analog Devices, Inc., 2004. URL: http://www.an-alog.com/media/en/technical-documentation/data-sheets/ad9850.pdf.
7. M. Pilotte. Operation of RF Detector Products at Low Frequency. AN-691 Application Note -Analog Devices Inc., 2005. URL: http://www.analog.com/media/ru/technical-documentation/application-notes/AN-691.pdf.
8. AD8361 LF to 2.5 GHz TruPwr™ Detector. - Analog Devices Inc. URL: http://www.analog.com/me-dia/en/technical-documentation/data-sheets/AD8 3 61.pdf.
9. Дворников, О.В. Микроэлектронные преобразователи переменного напряжения в постоянное по уровню среднеквадратического значения. Часть 2. Преобразователи на аналоговых умножителях напряжения // Компоненты и технологии. - 2005. - № 1. - С. 34 - 39.
10. N. Greenough. Improving the linearity of the AD8361 "Tru-Pwr" RF detector IC. - Princeton Plasma Physics Laboratory, PPPL-4697. - October, 2011 // IEEE Xplore Digital Library. URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/6 052 2 65/citations.
УДК 621.317.6
Куроедов С.К., Светлов А.В.
ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИАГНОСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИЗМЕРЕНИЙ УЗЛОВЫХ ИМПЕДАНСОВ В ВЫДЕЛЕННЫХ ГРУППАХ КООРДИНАТ
Дана общая постановка задачи диагностики электрической цепи, которая заключается в экспериментальном определении состояний ее компонентов различных уровней иерархии и связей между ними. Приведены результаты сравнительного анализа известных методов диагностики цепей с сосредоточенными параметрами. Сделан вывод о том, что для реализации преимуществ метода узловых импедансов необходима регуляризация решения задачи совокупных измерений узловых адмитансов. Рассмотрена возможность преобразования априорно неизвестной матрицы узловых адмитансов к виду матриц с доминирующей главной диагональю посредством подключения опорных двухполюсников к узловым парам цепи. Для уменьшения числа одновременно подключаемых двухполюсников и упрощения алгоритма оптимизации их параметров предлагается определять элементы обращаемых матриц узловых импедансов в выделенных группах координат. Для оценки эффективности описанной модификации метода узловых импедансов построена и исследована математическая модель совокупных измерений адмитансов в выделенных группах координат
Ключевые слова:
электрическая цепь, диагностика, адмитанс, импеданс
Общая постановка задачи диагностики электрической цепи заключается в экспериментальном определении состояний ее компонентов различных уровней иерархии и связей между ними. Энергетическое состояние цепи с сосредоточенными параметрами на макроуровне, когда цепь представлена одним компонентом, описывается независимыми и зависимыми координатами - напряжениями и токами узловых пар или контуров, значения которых могут быть заданы или определены с помощью внешних источников и измерителей напряжений и токов [1].
Состояние причинно-следственных связей между координатами описывается их инвариантами в виде временных или частотных характеристик цепи - импульсных или переходных характеристик, собственных и взаимных адмитансов и импедансов, передаточных функций напряжений и токов. Если цепь не содержит независимых источников электрической энергии, то данные характеристики полностью определяют оператор Ь:X^У из множества X независимых координат, описываемых вектором X €X , в множество У зависимых координат, описываемых вектором у € У .
Оператор цепи, содержащей независимые источники электрической энергии, не удовлетворяет
свойству сохранения нуля: L(0X) ^ôy ,
где 6x и
y
- нулевые A 2 x и
элементы нормированных пространств независимых и зависимых коор-
Ay 2 Y
динат. Полное описание цепей такого типа на макроуровне кроме характеристик связей между координатами, определяемых без учета влияния независимых источников, должно включать характеристики влияния данных источников на зависимые координаты. Для линейной цепи, оператор которой удовлетворяет условию
L(x) = L (x) + Щх) ,
(1)
где Ц :X ^У - оператор, описывающий неавтономную часть цепи, которая не содержит независимых источников, такой характеристикой является автономный сигнал, представленный вектором у = Ь(0х) или автономный сигнал, приведенный к независимым координатам, представленный вектором ха = Ц'(уа ) .
Результаты диагностики на макроуровне описывают макромодели цепей и могут быть использованы для функционального контроля цепей различного назначения. Для внутрисхемного контроля, целью которого являются функциональный контроль и локализация неработоспособных компонентов цепи, а также контроль характеристик их связей, необходимо определить состояние цепи на соответствующем микроуровне.
Диагностика цепи с априорно известной структурой на микроуровне заключается в определении координат ее компонентов и характеристик связей между координатами каждого компонента. Если же структура цепи априорно неизвестна, то для ее
идентификации необходимо определить соответствия множеств координат различных компонентов.
Координаты микроуровня не могут быть непосредственно измерены или заданы с помощью внешних источников и измерителей без физической декомпозиции исследуемой цепи. Например, ток внутреннего контура цепи не может быть задан или измерен без разрыва хотя бы одной ветви данного контура, а изоляция цепей не позволяет реализовать контактные изменения напряжений узловых пар. Бесконтактные же измерения контурных токов и напряжений узловых пар по сравнению с контактными характеризуются значительно более низкой точностью и их применение для решения задач диагностики на основе результатов совокупных измерений ограничено из-за эффекта усиления погрешностей прямых или косвенных измерений.
Характеристики микромодели цепи определенного уровня могут быть определены не только по координатам данного уровня, но и по результатам диагностики на более высоком или более низком уровне. С точки зрения точности исходных данных наиболее целесообразно использовать для диагностики цепи на микроуровне характеристики ее макроуровня.
Координаты макроуровня по определению должны удовлетворять условиям управляемости и (или) наблюдаемости, поэтому соответствующие характеристики цепи могут быть экспериментально определены с наиболее высокой точностью. Однако задача определения состояния цепи на микроуровне по ее состоянию на макроуровне относится к так называемым обратным задачам моделирования и может не иметь однозначного решения. Кроме того, при некорректной постановке данной задачи ее решение оказывается неустойчивым и относительно малые вариации характеристик макроуровня, обусловленные погрешностями средств измерения, могут вызывать большие вариации определяемых характеристик микроуровня.
Таким образом, выбор иерархического уровня, на котором осуществляется измерительный эксперимент, и соответствующей системы независимых и зависимых координат должен удовлетворять условиям однозначного определения диагностируемого состояния цепи и корректности постановки задачи определения данного состояния по результатам эксперимента.
В методе узловых адмитансов в качестве независимых координат макромодели цепи используются
напряжения Щ узловых пар (¿,/) , I 6 1,N , где N
- общее число узловых пар, а в качестве зависимых
координат - токи узловых пар ('',' ) , ' Е1,N ,
которые замыкаются через внешние цепи [2]. Описание цепи в данной системе координат определяется видом ее макромодели. Например, линейная нестационарная автономная цепь описывается матричным выражением
г
1 = [ ЬМйТ + \„ , (2)
i = J hudr + ia ,
i = [i
jel, N
и = [U]T
/el, N
векторы-столбцы ком-
плексных амплитуд токов и напряжений узловых пар, У = [ ¥71 ] - квадратная матрица узловых адми-
¿=1, N
тансов.
Измерительный эксперимент в рассматриваемой системе координат, схема которого показана на рис. 1, а, заключается в формировании многомерного воздействия на узловые пары с помощью ис-
точников гармонических напряжении
и измерении
токов I- узловых пар в режиме заданных напряжений. Системы независимых и зависимых координат цепи описываются в данном случае столбцами матриц им = ] и I м = [I'
¿61, N тб1, М
jmi je IN
mel, M
комплексных амплитуд
u
и токов lj . Решение уравнения
напряжении
Im = УИМ , связывающего данные матрицы, воз можно, если M >N и матрица И^- является мат рицеи полного ранга ( rank Им = N ):
Y = Im ИМ (Им ИМ Г1 , (4
Точность решения
зависит от точности вос-
произведения и измерения элементов матриц И^ и
I
м
соответственно, а также от обусловленности
обращаемой матрицы имЦм • Минимальное значение относительной погрешности косвенных измерений узловых адмитансов, соизмеримое с относительными погрешностями воспроизведения и измерения эле-
ментов матриц
И
м
и
I
, достигается при условии, что матрица Ц^Цм - унитарная. Из этого условия следует, что столбцы матрицы Ц^ должны
быть попарно-ортогональными.
Рисунок 1 - Схемы косвенных измерений узловых адмитансов при многомерном (а) и одномерном (б) воздействиях на узловые пары цепи
где i = [ij(t)f , U = [U/ijt)]] и ifl = [iaj(i)f - векторы-iel, N
- Jl_
jel, N
a L aj v jel, N
столбцы токов, напряжений и автономных токов узловых пар, Ь = [ Н^(г,т) ] - квадратная матрица им-j6]lN;i=ЪN
пульсных характеристик цепи, Т - символ транспонирования матрицы. Оператор стационарной неавтономной цепи удовлетворяет свойству сохранения нуля и инвариантен временному сдвигу: Ь6и=в^,ЬУти = , где Ут - оператор времен-
ного сдвига. Если координаты цепи такого вида описываются комплексными амплитудами, то модель (2) преобразуется к следующему виду:
I = Уи , (3)
Условие ортогональности столбцов матрицы Ц^-
может быть выполнено, в частности, если на каждой стадии измерительного эксперимента на одной из узловых пар создается режим заданного напряжения Щ , а на остальных - режим короткого замыкания. Схема соответствующего эксперимента показана на рис. 1, б. Матрица Ц^ в данном случае является диагональной, а для последовательных измерения элементов матрицы 1м достаточно только одного измерительного преобразователя тока.
Собственные и взаимные узловые адмитансы Y
JJ
вых пар с общим базисным узлом, однозначно определяют характеристики двухполюсных компонентов
и
где * - символ сопряжения матрицы
и Yij , определенные в каноническои системе узло
микроуровня, знаком равен щего узлы I
Взаимный адмитанс Yj с обратным
адмитансу двухполюсника, соединяю и j . Адмитанс Уj§ двухполюсника
включенного между узлом j и базисным узлом определяется суммой элементов
соответствующей N
строки матрицы узловых адмитансов:
=1
Преимуществом метода узловых адмитансов является потенциально высокая точность косвенных измерений на макроуровне, результаты которых достаточно просто интерпретируются на микроуровне. Однако реализация данного метода на практике связана с необходимостью создания на полюсах цепи режимов заданного напряжения или короткого замыкания, что исключает его использование для диагностики активных цепей и цепей оборудования в режиме его нормальной эксплуатации.
Указанных недостатков лишен метод узловых им-педансов, который заключается в совокупных измерениях узловых адмитансов на основе результатов косвенных измерений импедансов [3]. Для косвенного определения узловых импедансов используются независимые и зависимые координаты в виде
U узловых пар. Схемы кос-
а и б соответственно.
токов I- и напряжений
венных измерений узловых импедансов при многомерном и одномерном воздействии на узловые пары показаны на рис. 2,
Рисунок 2
Схемы косвенных измерений узловых импедансов при многомерном (а) и одномерном (б) воздействиях на узловые пары цепи
Независимые координаты в
ются источниками токов
J
данных схемах зада-а зависимые коорди-
наты определяются с помощью измерительных преобразователей напряжений Ы- в режиме заданного
-1 .
тока или холостого хода. Это позволяет при относительно малых значениях независимых координат осуществлять диагностику цепей различного оборудования, существенно не изменяя его рабочих режимов, включая режимы активных, параметрических и нелинейных компонентов.
Макромодель цепи, построенная в системе независимых и зависимых координат в виде токов и напряжений узловых пар, дуальна макромодели, независимыми и зависимыми координатами которой являются узловые напряжения и токи: U = ZI , где
Z=Y 1 - матрица узловых импедансов. Выражение, определяющее результат косвенных измерений элементов данной матрицы, также дуально выражению (4) для матрицы Y :
Z = UM IM (IM IM )-1 . (5)
Недостатком метода узловых импедансов является влияние обусловленности обращаемой матрицы Z на погрешность совокупных измерений матрицы
Y = Z 1 . При плохой обусловленности матрицы Z наблюдается эффект усиления погрешности косвенных измерений элементов Z при ее обращении и решение задачи определения элементов Y может оказаться неустойчивым.
Для регуляризации решения данной задачи в [4]
предложено приведение матрицы Y к виду матриц с доминирующей главной диагональю с помощью опорных двухполюсников, подключаемых к узловым парам цепи. В этой же работе предложен алгоритм последовательного выбора узловых пар, подключение к которым опорных двухполюсников обеспечивает уменьшение числа обусловленности CondZ
матрицы Z в наибольшей степени. Использование данного алгоритма обеспечивает минимизацию числа подключаемых опорных двухполюсников при наличии ограничения на значение CondZ , однако при решении практических задач диагностики это число оказывается близким к общему числу N узловых пар цепи.
Кардинальное уменьшение числа одновременно подключаемых двухполюсников может быть получено за счет регуляризации обратной задачи моделирования в выделенных группах координат. При выде-
лении узловых пар
(i, о
и
выделяются
( j, /) в
T
блоки IA(,;j) = [Ii Ij ]
jJ
векторах I
I
IB(i,j) = [ 1ki_
[ IkJ
kel, N kii,j
и
A(i,j)
"[Ut Uj J
и
B(i,j) = UkJ
Uj
kel, N kii,j
Z и Y
представ-
ляются в виде блочных матриц Z=
Y =
блоки которых связаны формулами
YAA = ZA4 + ZAAZ AB
(ZBB ZBAZA4ZAB ) ZBAZAA , YA
Z-1 Zz
! (Zb
" ZBAZA4ZAB ) ,
-1 ,
>f:
При подключении к выделенным опорных двухполюсников с адмитансами
узловым
Y
и только
(7)
r-1 Y
AA ,YBB
парам
и Y
один
(Z
Z
Схема косвенных измерений элементов матриц (I ^ показана на рис.
изменяются все блоки матрицы Ъ блок матрицы V :
Х^у) = Ул4 + diag(У- + Уj) .
Элементы матрицы V могут быть определены по результатам косвенных измерений элементов моди-
-1
фицированных матриц
Z(i,j) =
AAA(i,j)
AB
при
различных вариантах выделения групп координат.
Рисунок 3 - Схема косвенных измерений узловых импедансов с регуляризацией решения задачи совокупных измерений узловых адмитансов в выделенных группах координат
и
и
и
а
Yba =( Z
Результаты измерений при выделении различных групп координат могут быть использованы для формирования системы линейных алгебраических уравнений
Yaa - Z
Л YD Л — Z
-diag (Y + Yj),
'АЛа,7)^АВа,7) УВЛ = ^АА(и)
i = 1,...,( N —1) (8)
7 = (■ +1),..., N
при условии, что блок ^ матрицы ^ яв-
ляется хорошо обусловленным и может быть обращен без увеличения погрешности измерения его элементов.
Для исследования устойчивости решения системы уравнений (8) был использован тестовый пример цепи в виде ХС-фильтра, построенного по схеме двойного Т-образного моста, который был использован в работе [4]. Граф данной цепи с указанием адмитансов ветвей, нормированных по проводимости и по частоте, показан на рис. 4.
-О,1E0-1E0i
-0,5E0-4,9E0i
i 1 -3,4E-3*0,1E-0i -2E-3+0,1E0i 2 Г > 3 +1.03E-1-1.1E-3
15 4 ■2.8E-3+0.5E0i ■2,9E-4*2E-4i
6 0
Y (j)
Это объясняется плохой обуслов-
ленностью матрицы Z, число обусловленности которой по спектральной норме CondZ — 2,5 • 104 . Увеличение адмитансов опорных двухполюсников приводит к повышению точности и устойчивости ре-гуляризированного решения задачи диагностики, что иллюстрируется графиками SY1 и SY2 , которые
соответствуют значениям
Yo) —0,1 •
Рисунок 5 - Графики, показывающие изменение максимальных значений относительной погрешности измерения модулей узловых адмитансов в процессе многократного измерительного эксперимента при различных адмитансах опорных двухполюсников
При
Y (j) —1
( график SY3 )
погрешность сово-
Рисунок 4 - Граф тестового примера цепи с указанием адмитансов ветвей, нормированных по проводимости и по частоте
В математической модели совокупных измерений узловых адмитансов, построенной в канонической системе узловых пар, предусматривалось выделение пятнадцати пар полюсов для различных вариантов подключения двух опорных двухполюсников. При исследовании влияния модулей адмитансов опорных двухполюсников на погрешность регуляризирован-ного решения задачи совокупных измерений предельное значение относительной погрешности косвенных измерений узловых импеденсов принималось равным 0,1. Графики, показывающие изменение максимальных значений относительной погрешности измерения модулей узловых адмитансов в процессе многократного измерительного эксперимента при различных адмитансах опорных двухполюсников, показаны на рис. 5.
Из представленных графиков следует, что без регуляризации решение задачи совокупных измерений узловых адмитансов является неустойчивым (график ЗУ0 , который соответствует значению модуля нормированного адмитанса опорных двухполюс-
купных измерений адмитансов приближается к погрешности косвенных измерений адмитансов. Однако
при дальнейшем увеличении |¥(7)| погрешность совокупных измерений начинает увеличиваться (график ЗУ4 , соответствующий значению т)| = 10 ).
Приведенные результаты математического моделирования показывают, что регуляризация в выделенных парах зависимых и независимых координат обеспечивает устойчивость решения задачи совокупных измерений узловых адмитансов, при этом все коммутации в канонической системе узловых пар, включая подключение к исследуемой цепи опорных двухполюсников, генераторного и измерительного оборудования, могут быть осуществлены с помощью четырех подвижных зондов.
Для минимизации погрешностей совокупных измерений необходимо разработать алгоритм определения оптимальных значений адмитансов опорных двухполюсников и вариантов их подключения к узлам исследуемой цепи на основе результатов предварительных измерений ее импедансов. При этом следует учитывать, что число уравнений в системе (8) равно 2N(N — 1) , а число неизвестных узловых
адмитансов равно N2 . Поэтому для регуляризации решения задачи диагностики можно использовать не
менее N2 /4 вариантов выделения пар узлов, подключение к которым опорных двухполюсников обеспечивает наибольшее уменьшение числа обусловленности матрицы узловых импедансов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Куроедов С.К., Светлов А.В. Реляционная модель и алгоритмы аппаратурного анализа характеристик электрических цепей. // Надежность и качество: Труды Международного симпозиума. В 2 т. -Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - Том 1. - С. 36-38.
2. Куроедов С.К., Светлов А.В. Алгоритмы диагностики электрических цепей методами узловых адмитансов и импедансов // Надежность и качество - 2014: Труды Международного симпозиума: в 2-х т. -Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Том 2. - С. 52 - 57.
3. Демирчан К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2. СПб.: Питер, 2003. - 576 с.
4. Куроедов С.К., Светлов А.В. Инструментальная регуляризация решения задачи диагностики электрических цепей методом узловых импедансов. // Надежность и качество - 2016: Труды Международного симпозиума: в 2-х т. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2014. - Том 2. - С. 52 - 54.
