АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА МОДУЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ В ОЦЕНКЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЧАСТИЧНОЙ СУММОЙ ЕЕ РЯДА ФУРЬЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Book S. Large deviation probabilities for weighted sums // Ann. Math. Statist. 1972. 43, N 4. 1221-1234.

3. Соболев И.В., Шкляев А.В. Большие уклонения для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных величин с функционально заданными весами // Фунд. и прикл. матем. 2020. 23, № 1. 191-206.

4. Kaminsky K., Luks E., Nelson P. Strategy, nontransitive dominance and the exponential distribution // Austral. J. Statist. 1984. 26, N 2. 111-118.

Поступила в редакцию 10.05.2023

УДК 517

АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА МОДУЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ В ОЦЕНКЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЧАСТИЧНОЙ СУММОЙ ЕЕ РЯДА ФУРЬЕ

Т. Ю. Семенова1

Приводится способ нахождения точного значения аргумента модуля непрерывности в оценках скорости сходимости ряда Фурье.

Ключевые слова: ряд Фурье, скорость сходимости, модуль непрерывности.

A method is given for finding the exact value of the argument of the modulus of continuity in estimates of the rate of convergence of Fourier series.

Key words: Fourier series, rate of convergence, modulus of continuity.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-2

1. Введение. Обозначим через С2п пространство непрерывных на R действительнозначных 2-^-периодических функций с нормой \\f У = max \f (x)\, а через w(f, y) = max | f (x\) — f(x2)\

—п^х^п xi,X2 €R,

I X1—X2 К7

n

модуль непрерывности функции / e C^. Пусть Sn(f) = Sn(f, x) = Щ- + ^ (a.kcos(kx) +bksm(kx)),

k=i

n

n € R, — частичные суммы ряда Фурье функции /, Dn(t) = | + ^ cos(fci) — ядра Дирихле, а

к=1

п

Ln = ^ / \Dn(t)\dt — константы Лебега.

—п

Многие авторы (см., например, [1-4]) выводили оценки следующего вида:

\\f — Sn(f)\\ < Knu(f,Y), 4f e С2п■ (1)

Обозначим

;C(7,= Sl,p ЫЖ.

fec'2n, "(f> Y)

f=const

Известно [5, 6], что K*(y) ^ (Ln + 1)/2 для любого y > 0. Возникает задача нахождения оптимального значения аргумента модуля непрерывности в неравенстве (1) c наилучшей константой Kn = (Ln + 1)/2, а именно величины

7,: = mi {7 > о, кь) =

1 Семенова Татьяна Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].

Semenova Tatiana Yuryevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

© Семенова. Т. Ю., 2024 © Semenova T. Yu., 2024

[ссП

В работе [7] доказано, что

Ln + 1 ^ 2п

I/ - &>(Л1 < w{f' штш)' (2)

3(n + 0.5)

при этом выполнено двойное неравенство

2п п2 , „ , 2п

< 7п < 777-Vn G N- (3)

3(n + 0.5) 4(n + 0.5)3 m 3(n + 0.5)

Таким образом, значение аргумента модуля непрерывности в оценке (2) таково, что при больших значениях n его нельзя существенно уменьшить. Однако при небольших значениях n зазор в (3) не так уж мал:

0.665181... ^ Y* < 1.396263 0.679844 ... ^ y1 ^ 0.837758 0.540849 ... ^ y* ^ 0.598398

Поэтому при небольших конкретных значениях n для улучшения оценки приближения функции частичной суммой ее ряда Фурье есть смысл найти точное значение Yn и заменить им аргумент модуля непрерывности в (2). В настоящей работе предлагается алгоритм для вычисления Yn, а также получены значения y*, Y*, Y*.

Заметим также, что заменить аргумент 5) в модуле непрерывности на величину Yn можно и в оценке нормы остатка ряда Фурье:

и/--адли < Ог^г^Ь+ °03МЛ ст)-

доказанной в работе [8] для произвольной непостоянной функции f из С2П, имеющей ограниченную на отрезке [—п, п] вариацию V (f). Это даст более точный результат в силу монотонного возрастания функции In ^ + 1.303) ш при допустимых значениях ш.

2. Вспомогательные результаты. Обозначим через С(y) класс непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих условию w(f, y) ^ 1. Сформулируем доказанную в работе С. Б. Стечкина и В. Т. Гаврилюк [7] лемму, которая нам понадобится в дальнейшем.

x

Лемма 1 [7]. Пусть a < с < b, ф £ L[a, b], ф(^ ^ 0 на [a, с], ф({) ^ 0 на [с, b], Ф(ж) = f ^(t)dt,

Ф^) = 0, "

b

M(ф, y) = sup J f (t^(t)dt

feo(j) a

Тогда для любого значения y, — a) ^ 7 ^ b — а, справедливо равенство

M(ф, y) = шах(Ф(с), n(Y)),

где

n(Y)= шах (Ф^) + Ф^ + y)).

Заметим, что из условий на функцию ф^) следует монотонное возрастание Ф^) на (а, с) и монотонное убывание Ф^) на (с, b). Докажем небольшое уточнение леммы 1.

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1, функция Ф(^ не имеет промежутков постоянства, и пусть

Y* = inf {0 < y < b — a, M(ф, y) = Ф(с)} .

Тогда для любого значения Y, 0 < y < Y*, справедливо неравенство M(ф^) > Ф(с). Если же Y* ^ y ^ b — а, то M(ф, y) = Ф(с).

Доказательство. Зафиксируем y £ (0, b — а]. Пусть величина tY £ [a, b — y] такова, что n(Y) = Ф(^у) + Ф(t7 + y). Понятно, что tY £ [a, с] и tY + y £ [с, b]. Возьмем произвольное значение y' £ [0, y). Для любых значений t' £ [t7, с] и t" £ [с, tj + y] с условием t" — t' = y' выполнено неравенство

П(т') ^ Ф(^) + Ф(^') > Ф(£7) + Ф(£7 + 7) = П(7)- Таким образом, мы получили, что функция п(7) строго убывающая на [0, Ь — а] и непрерывная в силу непрерывности Ф(£). Поскольку п(0) = 2Ф(с), П(Ь — а) = 0, существует такое 7, что п(7) = Ф(с). Поскольку п(Ь — с) ^ Ф(с) + Ф(Ь) = Ф(с), то 7 ^ Ь — с. Аналогично 7 ^ с — а. Значит, 7 ^ — а). Из леммы 1 следует равенство М(ф, 7) = тах(Ф(с), п(7)) = Ф(с)-

Возьмем произвольное значение 7 € (0, 7). Тогда п(7) > п(7) и для некоторого ¿7 выполнено ц(ч) = Ф(£7) + Ф(£7+7). Найдем такое е > 0, что Ф(£7 — е) + Ф(£7+7+е) > п(7). Определим функцию /е(£) следующим образом: /е(£) = 1 при £ € [а, ^ — е], /е(¿) = 0 при £ € [¿7, ¿7 + 7], /е(¿) = —1 при £ € [¿7 + 7 + е, Ь], /е(£) линейна на отрезках [¿7 — е, ¿7] и [¿7 + ¿7 + 7 + е]. Тогда /е € С(7) и

Ь —е Ь

м(ф,7) ^/е(г)Ф(г)йг> ! ф(г)йг + J ф(г)йг = ф(ц — е) + Ф(ц + 7 + е) >п(7) = Ф(с).

t7 +7+е

Теперь пусть 7 £ (7, Ь —а] - Тогда 7 > \{Ь — а) и из леммы 1 и монотонного убывания функции г/ следует, что М(ф,ч) = тах(Ф(с),п(7)) = Ф(с).

В итоге при 7 € (0,7) выполнено неравенство М(ф,7) > Ф(с), а при 7 € (7, Ь — а] — равенство М(ф,7) = Ф(с). Отсюда следует равенство 7 = 1* и утверждение леммы.

71

Обозначим Фп(х) = / В [7] доказано, что на (0, п) функция Фп (ж) имеет п простых

х

(п) (п)

зй 0 < х\ < ... < хп < п, для которых верны хп+1 = п, 1т,п = [хт\ хЦл. Легко показать, что

» (Л ^ (n) . (n) , п(т-0.5) , (n) пт глг-

нулеи 0 < Ц < ... < Жп < 7Г, для которых верны неравенства vra+0 5 ' < хт < J+o 5 • Обозначим

(n)

х:т п

J Dn(t)dt = 0, J Dn(t)dt = J Dn(t)dt = I

при всех т = 1,...,п.

Применим лемму 2 к отрезку [а, Ь] = 1т,п и функции фт,п(¿) = (—1)т+1 Оп(Ь). На промежутке \Хт) , п+О 5 ) ФУНКЦИЯ фт>п (¿) положительна, а на (^Щ^^т+г] отрицательна. Обозначим

t

фm,n(t)= / (-l)m+lDn(r)dr, ат,п = ± J \Dn(t)\dt = ^m,n(-^^).

(n)

Мы получим следующее утверждение.

Следствие 1. Существует единственное значение 7 = 7т,п, удовлетворяющее системе

Фт^) + Ф m,n(t + Y) = ar,

Dn(t)+ Dn (t + Y) = 0,

t

n+0.5) ' 7 ^ ^m"*]'

Если Y £ [Ym, n, xm,+ 1 — xm,)] ; то для люб°й функции f £ С2п выполнено неравенство

J f(t)Dn(t)dt\ J \Dn(t)\dt ■ ui(f, 7). (4)

fm,n Im,n

3. Основной результат. Пусть 7n = max{x1n) ,Ym,n, m = 1,... ,n}.

Теорема 1. Для любой функции f £ С2п верно неравенство

IIf(x) - SnU, я)II < u{f, 7п), Уп £ N, (5)

при этом 7n = Y*n.

!m,n

m

Доказательство. Неравенство (5) доказывается аналогично неравенству (2) работы [7], поэтому приведем его без подробностей. В силу линейности оператора Бп(/) и инвариантности модуля непрерывности относительно сдвига аргумента можно считать, что / (0) = 0, и оценивать сверху \/(0) — Бп(/, 0)|. Используем интегральное представление разности функции и ее частичной суммы ряда Фурье [9, гл I, с. 103-104]:

\/(0) — Бп(1,0)\ =

1

7Г

/ (г) Бп(г)сг

2

7Г

7(г) Бп (г)сг

где /(ж) = /(ж)+2/( Разобьем интеграл на сумму интегралов по отрезкам [0, ], Имеем

\/(0) — Бп(1,0)\ <

7Г

Л") С1

¡(г) Бп (г)ссг

п

+ -Е

7Г ^

т=1

7(г) Бп (г)сг

(6)

Учитывая, что на [0, х^] значения Бп(г) положительны, и применяя к слагаемым суммы (6) неравенство (4), получаем

Ж1П) п 1/(0)-^(/,0)1 ^ / + I

т=1

(Ж1 п \ п к=и ) 4

(7)

Теперь докажем, что значение 7п в оценке (4) нельзя уменьшить. Для произвольного положительного 7 < 7п построим непрерывную 2^-периодическую функцию /, для которой верны соотношения

и(/>7) = 1, |/(0)-ЭД,0)|>^ + 1

2

Положим е0 = тт{^5 - х(т\ - ^ЩЕ, т = 1,... ,п}.

Рассмотрим случай, когда 7п = х1п). Пусть Л = Бп(х1п)). Зафиксируем значение е так, что

(п)л

е € (0, во) и в < (^|1)2+2Л < Х1 2 7 - Определим

/п,е(г) =

0, 1, 2,

г = 0;

г е [е, е + 7]; г е [2е + 7, х1п)];

линейна на [0, е] и [е + 2е + 7],

(_1)т + 1 2 '

. г (п) тг т 1.

I Ь [Хт , га+0.5 ,

' 1 2 ' ^ t I-га+0.5 Хт+1Ь

7гт, __жги I 1

ь> га+О Я "Г Ь]

. линейна на [-га+0 5 о, п+0 5

при т = 1,... ,п. Несложно показать, что Бп(1;) монотонно убывает на [0, п™0 5], поэтому Бп(1;) Л для г е [0, х1п)]. С учетом этого, а также неравенства \Бп(г)] < п + 1, верного для любого г, имеем

оценки:

г(п) 1

г(п) С1

У /п,е(г) Бп(г)сг > ^ Бп(г)сг — е(п +1) + (х1п) — 7 — 2е)л

(8)

П

П

I

2

I

т,п

I

т,п

т,п

У /т>е(*) АЛ^ = У \fmAt) > ^ I \Вп(1)\сМ - е(п + 1)

(9)

Определим функцию /е так, чтобы она совпадала с /о)£ на [0, х ™'] и была равна /т>£ +1 на каждом отрезке 1т,п. На [—п, 0] продолжим /£ четным образом. Функция /£ непрерывна на [—п, п], /£(—п) = /£(п) и при этом ш(/,^) = 1- Поскольку / Бп(г)Сг = 0, верно равенство

1т.п

У /т,е(г) Бп(г)сг = у /е(г) Бп(г)сг

С учетом этого факта, а также неравенств (8) и (9) получаем следующую оценку:

»

|/е(о)-зде,о)| = -

7Г

/£ (г) Б (г)сг

2

7Г

"1 п \ I /п,е(г) Бп(г)сг + ^ I /т,е(г) Бп(г)сг I >

п т=1 / /

2

> -

7Г

(п)

(Х1 П N

У дда* - е(п + 1) + - 7 - 2е)Л + ^ У I - Ф + 1)п ) =

п „(п) '

Х1

(п)

(Х1 П X

^ У £>га(*)£Й + ± У |ад)И-е((п + 1)2+2А) + (4га) -7)А >

пп

(п)

1 г 1 г 11

> - / дда* + - /1£>„(*)= - + -ь

п У п ] 2 2

22 пп

Теперь рассмотрим случай, когда 7п = 7т, п при некотором т. Если 7 < 7т,п, то для функции ^(7) = шах(Фт,п(г) + Фт,п(г+7)), где максимум берется по г е [х-^, х<~'+1 — 7], согласно доказанному в лемме 2 свойству монотонности выполнено неравенство п(7) > п(7т, п)- Найдем г* е 1т, п такое, что

Фт,п(«*) + ФтЖ + 7) > »7(7т,п) = \ У I

В силу непрерывности функции Фт, п существует такое положительное е < ео, что

1 2

(10)

при этом Определим

Тогда

дДг) =

-I.* (п) I I ^ (п)

г — е > хт!, г + 7 + е<хт+1-

{(—1)т+1, г е [х<£\г* — е]; ), г е [г*, г* + 7];

(—1)т, г е [г* + 7 + е, х(т+1]; ч линейна на [г* — е, г*] и [г* + г* + 7 + е].

де(г) Бп(г)сг >

г* _£

Г(п)

„т + 1

У Бп(г)сг — у Бп(г)сг

„(п) г"+~<+£

= Фт,п(г* — е) + Фт,п(г* + 7 + е). (11)

I

I

1

гп. п

■т.п

т. п

I

I

гп. п

т.п

П

т.п

1

П

I

т.п

I.

■т.п

т. п

Теперь положим

( 1

£

1

Ш =

I € [0, е];

I € [е,х1п)]; t € 1т,п при т < т;

^ t £ 1т,П1

, ¡ш,е{Ь) + 1 + (-1)"1> t е 1т,п при ГП > Ш.

/т,е(^) + 2 > 9е® + ^

На отрезок [—п, 0] продолжим /е четным образом. Функция /е непрерывна на [—п, п], /е(—п) = /е(п) и при этом ш(/,^) = 1. Учитывая оценки (9)-(11), получаем

х(и)

|/е(0) -аде,0)| > ч I Д>(*)£Й - е(п + 1) + ^ I + I деф >

^ 0 т=т Тт п Т^ „ /

2 п

( I Д^сЙ - е(п + 1) + ^ ^ I \опф\<И-е(п + 1)(п-1) + ^ ^ \ВП(Щ<11 + е(п + I)2 ) >

\о т=тт т /

»

1 Г 1 Г 11

> - / ДДО* + - / |£>га(*)|£й = - + -Ьп п ] п ] 2 2

1 1 2 + 2Ьга"

00 Теорема доказана.

4. Вычисление значений 7п при п = 1, 2, 3. Для применения результата теоремы заметим,

что

п

п

Фт

£ 1

Й=1

Фт

пт п + 0.5

1

пт

--Ь > т вт ,

2п + 1 ^ Л Уп + 0.5

&=1

2

птк

Следствие 2. Имеют место следующие утверждения: 1) есть решение системы

(12) (13)

£ + \ + 8т£ + + 7)

_ Уз I 5-7Г

2 6'

1 + со8 £ + со8(£ + 7) = 0,

(14)

а именно 7= 1.310179... , Щ < < 2) есть решение системы

+ 8Н1(г + 7) + \ вт(2£) + \ вт(2£ + 27) = 8Ш ^ + ^ 8Ш ^ + 1 + со8 г + со8(£ + 7) + со8(2£) + со8(2£ + 27) = 0,

8тг I 9тг 10 '

(15)

5ж .

а именно 7! = 0.8164.., ^ < < 19, 3) 7* есть решение системы

' £ + ^ + вт £ + вт^ + 7) + \ 8т(2Ь) + \ sin(2í + 27) + | 8т(3£) + | 8т(3£ + З7) =

= вт ^ + \ вт ^ + | вт ^ + ^, 1 + сов £ + со8(£ + 7) + со8(2£) + со8(2£ + 27) + со8(3£) + со8(3£ + З7) = 0,

а именно 73 = 0.5903 ..., || < 7з < •

Доказательство. Рассмотрим случай п = 1. Значение х^ есть наименьший положительный

Х (1 корень уравнения / Вп(1,)<И = § или уравнения ^ж + втж = Численно получаем х\ = 1.2461____

а

т,п

По формулам (12), (13) имеем равенства a\ti = —f и Ф1Д(í)+Ф1Д (í+t) = í+^+siní+sin(í+7)— 7г. Значит, y = Yi ,1 есть решение системы (14). Численно получаем 71 д = 1.310179.... Таким образом,

Y1 = шах{ж(11), Yi ,1} = 1.310179....

Рассмотрим случай n = 2. Значение ж12) есть наименьший положительный корень уравнения

\х + sin ж + ^ вт(2ж) = Численно получаем ж® = 0.7619____Далее по формулам (12), (13) имеем

равенства

г, __2-7Г , 1 • 4-7Г Зя"

ai,2 - sin — + 2 sin — - jq ,

„ __4тг 1 • 8jt i ir

2,2 - - Sin — - 2 Sin — + w ,

^l,2(i) + Ф1,2(* + 7) = t + I + sini + sin(i + 7) + I Sin(2i) + i sin(2t + 27) - 7Г,

*2,2(í) + ^2,2(í + Y) = -(^1,2(í) + ^1,2(í + Y)).

Значит, Y = 71,2 есть решение системы

t + 2 + sin t + sin(í + 7) + i sin(2í) + i sin(2í + 27) = sin ^ + i sin ^ + 1 + cos t + cos(t + y) + cos(2t) + cos(2t + 2y) = 0,

а Y = 72,2 — решение системы (15). Численно получаем 71,2 = 0.8074..., 72,2 = 0.8164.... Имеем (2)

72 = шах{ж1 ), 71,2, 72,2} = 72,2 = 0.8164....

Случай n = 3 рассматривается аналогично. Приведем лишь результаты окончательных расчетов: ж13) = 0.5472 ..., 71,з = 0.5809 ..., 72,3 = 0.5883 ..., 73,3 = 0.5903 .... Отсюда имеем y3* = 0.5903 .... Следствие доказано.

5. Оценка уклонения функции от n-й частичной суммы ее ряда Фурье через модуль непрерывности, взятый с аргументом, меньшим 7^. Продемонстрируем еще одну возможность применения лемм 1 и 2. Посмотрим, насколько увеличится постоянная ¿n2+1 в оценке (5), если в аргументе модуля непрерывности взять значения f§> f > ff для случаев п = 1,2,3 соответственно. Согласно теореме 1

11/0*0 - Si (/, ж)II < • и(f, 7Í)> где iíl±i = 1.21799...;

||/(ж) - ЗД, х)\\ < -u(f, 72*), где = 1.32109... ;

||/(ж) -53(/, ж)|| < 73), где = 1.38916....

Теорема 2. Для любой функции f <Е С2п верны неравенства

\\f - S1(f)\\ < 1.219 • uj{f, 5п/12), \\f - S2(f)\\ < 1.339 • uj{f, n/4), \\f - S3(f )\\ < 1.3896 • ujf, 3n/16). Доказательство. 1) Пусть n = 1. Так как ж^ = 1.2461... < 5п/12, то

т(!) „С1)

f (t) D1(t)dt

0

5тг/12) J D1(t)dt = ^-u(f, 5тг/12).

В силу того что ^(тг — ж^) < < 7Г — ж^ и ^ < 7^ = 71 д, применяя лемму 1 и лемму 2 и делая численные расчеты, для любой f £ будем иметь

J f (t) D1(t)dt 11,1

< w(f, 5п/12) шаx(Фl,l(t) + Фl,l(t + 5п/12)) < 0.343 • u(f, 5п/12). Ii,i

В итоге аналогично неравенству (7) получаем

Н/-Зд)|| < -(тг/2 + 0.343) -u{f, 5тг/12) < 1.219 -u{f, 5тг/12).

п

(2)

2) Пусть n = 2. Имеем ж1 ; = 0.76198... < п/4, поэтому

„(2)

„(2)

f (t) D2 (t)dt

0

тг/4) J D2(t)dt = ^-Uj{f, тг/4). 0

Далее, так как ж^ = 1.93213..., то ^(ж^ — ж^) < | < ж® — при этом верно неравенство ^ < 71,2) поэтому по леммам 1 и 2 для любой / £ С2ж получим

f (t) D2(t)dt

Ii ,:

< u(f, п/4) max (Фl>2(t) + Фl>2(t + п/4)) < 0.31622 • u(f, п/4).

Ii, 2

Поскольку \{п — ж|,2)) < j < П — Ж^2) И при ЭТОМ J < 72,2) ТО ДЛЯ любой / £ Сгтг выполнено

неравенство

f (t) D2(t)dt

I2 2

< п/4) max (Ф2>2(t) + Ф2>2(t + п/4)) < 0.21578 • u(f, п/4).

I2 2

Получаем

II/(ж) - 52(/, ж) II < — (тг/2 + 0.31622 + 0.21578) • и(/, п/4) < 1.339 • и(/, п/4).

Для п = 3 рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

Автор выражает глубокую благодарность ведущему научному сотруднику А. Ю. Попову за внимание к работе и полезные замечания.

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киш О. Оценка отклонения частных сумм ряда Фурье // Acta math. Acad. sei. hung. 1971. 22, N 1-2. 173-176.

2. Гаврилюк В.Т. Приближение непрерывных периодических функций полиномами Рогозинского и суммами Фурье // Вопросы теории приближения функций и ее приложений. Киев, 1976. 46-59.

3. Гаврилюк В.Т. Приближение непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами // Теория приближения функций. М., 1977. 101-103.

4. Miloradovic S. Aproksimacije funckcija Fourier-ovim sumama i gorns granica Fourierovih koeficijenta. Beograd: Magistarski rad, 1977.

5. Даугавет И.К. Об одном свойстве вполне непрерывных операторов в пространстве C // Успехи матем. наук. 1963. 18, № 5. 157-158.

6. Стечкин С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1971. 109. 26-34.

7. Гаврилюк В.Т., Стечкин С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1985. 172. 107-127.

8. Попов А.Ю., Семенова Т.Ю. Уточнение оценки скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной вариации // Матем. заметки. 2023. 113, № 4. 544-559.

9. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

Поступила в редакцию 09.06.2023