АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ВЗВЕШЕННЫХ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 511

АСИМПТОТИКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ ДВУХ ВЗВЕШЕННЫХ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

М. А. Ходякова1

В работе рассматривается пара взвешенных сумм, состоящих из независимых одинаково распределенных нерешетчатых величин. В крамеровских предположениях на слагаемые доказана предельная теорема для асимптотики вероятностей того, что первая сумма превосходит вторую, если среднее первой суммы меньше среднего второй. В качестве приложения рассматривается асимптотика вероятности победы команды в сражении двух больших команд гладиаторов в модели сражения гладиаторов, введенной К. Каминским, Е. Люксом, П. Нельсоном.

Ключевые слова: большие уклонения, взвешенные суммы, предельные теоремы, ин-тегро-локальные теоремы, модель игры гладиаторов.

We consider two weighted sums of independent identically distributed non-lattice variables. We assume that the mean of the first sum is less than the mean of the second sum and consider the probability of the rare event that the first sum is greater than the second one. We assume the Cramer's condition for the summands. Under some additional assumptions we study the asymptotical behaviour of the probability above. The results are applied to the gladiator model introduced by K. Kaminsky, E. Luks and P. Nelson.

Key words: large deviations, weighted sums, limit theorems, integro-local theorems, gladiator game.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-1

1. Введение. Пусть ... ,^n,n — случайные величины с нерешетчатым распределением, образующие схему серий. В работе [1] А. А. Боровковым получены интегро-локальные теоремы для случайных величин

n

Sn - ^ ^ Ci,n

i=1

в случае нормальных, умеренных и больших уклонений.

В настоящей работе рассматривается более частный случай — ai,nXi,n, где ain — некоторые константы, Xi,n — независимые одинаково распределенные случайные величины. Одним из первых исследований вероятностей больших уклонений для данной модели стала работа С.А. Бука [2]. Продолжением исследований в этой области послужила работа И. В. Соболева, А. В. Шкляева [3], в которой рассмотрен случай функционально заданных весов, т.е. ain — f (i/n), i ^ n, для некоторой дважды гладкой функции f.

Рассматриваются две суммы

ni n2

Sni,1 — ^ ^ ai,niXi, Sn2,2 — ^ ^ bj,n2 Yj , i=1 j = 1

где Xi, i — I,...,n1, — независимые одинаково распределенные нерешетчатые величины, Yj, j — 1,..., П2, — независимые одинаково распределенные нерешетчатые величины, для которых при некоторых параметрах h- ^ 0 ^ h+, k — 1, 2, выполнены условия:

EX2eh- Xi < +ж, EX2eh+Xi < +ж, EY?eh-Yi < EY12eh+Yi <

1 Ходякова Мария Александровна — студ. каф. математической статистики и случайных процессов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Khodyakova Mariya Alexandrovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Statistics and Stochastic Processes.

© Ходякова М.А., 2024 © Khodyakova M. A., 2024

Мы будем предполагать, что числовые коэффициенты ai,ni и bj,n2 являются значениями некоторых дважды гладких функций f и g в точках i/ni и j/n соответственно.

Будем считать, что ni,n2 стремятся к бесконечности, причем ni/(ni + n2) ^ p, где p G (0,1), тогда вероятность P(Sniд > Sn2,2) при условии

pEXi í f (x)dx < (1 - p)EYi í g(x)dx J 0 J 0

стремится к нулю в силу закона больших чисел Чебышёва. В настоящей работе доказывается соотношение

Р(£щ,1 > Sn2>2) = + ехр (п\ Лп Rl(f(t)h*)dt + n2 Лп R2(-g(t)h*)dt] ,

л/2п(п i + n2)B (h*)h* \ J о J о /

n

ni,n2—>+oo,--> p G (0,1),

n i + n2

где h* и функции C,B, Ri, i = 1, 2, определены в теореме 2.

Полученный результат можно применить для нахождения асимптотики вероятности победы первой команды в сражении двух больших команд из ni и n2 гладиаторов с силами ai,ni = f (i/ni), i ^ ni, и bj,n2 = g(j/n2), j ^ n2, соответственно, которое происходит по вероятностному механизму модели Каминского (см. [4]).

В пункте 2 приведены вспомогательные утверждения. В пункте 3 сформулирована и доказана теорема об асимптотике вероятностей больших уклонений для пары сумм Sni, i и Sn2r2. В пункте 4 представлен пример использования теоремы для нахождения асимптотики вероятности победы команды в сражении двух больших команд гладиаторов.

2. Предварительные сведения. Пусть Xi, i = 1,...,n, — независимые одинаково распределенные нерешетчатые случайные величины. Пусть ai,n — числовые коэффициенты, являющиеся значениями некоторой заданной функции в узловых точках:

a%n = f (i/n), f G C2[0,1], i < n. (1)

Пусть

n

Sn - ^ ^ ai,nXi.

i= i

Рассмотрим преобразование Крамера для случайной величины X с параметром h, где h G [h-,h+], h- ^ 0 ^ h+:

P (X(h) G dx) = R(h)-1ehxP(X g dx), R(h) = í ehxP(X G dx) = EehX,

•jR

при этом функция R(h) предполагается конечной. Распределение случайной величины X(h) будем называть сопряженным с параметром h по отношению к распределению X. Пусть m(h) = (ln R(h))'. В статье [3] доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть R(h) = EehXl, h G [h-,h+], EXfeh Xl и EXjeh+Xl конечны, последовательность {aitn} задана соотношением (1), тогда при n ^ для всех положительных последовательностей An, стремящихся к нулю достаточно медленно, верно соотношение

AnC {h \[ЪтВ {hx/n

где

P(S„ е + Д,,)) = ехр (-^„х + п jí' lnR (f(t)hl/n)át^ (1 + o(l)),

B4"]= i

Ю

Ь-х/п = Ьх/п(х/и] — решение интегрального уравнения

Сшатх/п)/т = -, Ст( тн~ )¡т^-Л1««( тн+

Уо ' и 7о \тахзе[о, 1] /(э)) и \тах5е[о, 1] /(я)

При этом о(1) равномерно мало по х.

Здесь и далее, говоря, что утверждение выполнено при всех последовательностях An > 0, стремящихся к нулю достаточно медленно, мы подразумеваем, что найдется такая положительная последовательность An — 0, что для любой последовательности An > An, An — 0, выполнено требуемое утверждение.

3. Основная теорема. Пусть выполнены следующие условия:

(A) Xi, i = 1, ...,U\, — независимые одинаково распределенные нерешетчатые величины, для которых выполнено условие R\(h) = EehXl при h Е [h-,h+] для некоторых h- ^ 0 ^ h+, EX2 ehi Xl и EX2eh+Xl конечны;

(B) Yj, j = 1,... ,n2, — независимые одинаково распределенные нерешетчатые величины, для которых выполнено условие R2(h) = EehYl при h Е [h- ,h+] для некоторых h- ^ 0 ^ h+, EY2eh2 Yl и EY12eh+Yl конечны.

Пусть mi(h) = (ln Ri(h))' при i = 1, 2.

Пусть f и g — некоторые положительные дважды гладкие функции на отрезке [0,1],

ai,nl = f (i/ni), i ^ ni,

bj,n2 = g(j/n2), j < n2. (2)

Положим

nl n2

Snl, 1 — ^ ^ ai,nlXi, Sn2,2 — ^ ^ bj,n2 Yj. i= 1 j=1

Будем считать, что nl,n2 стремятся к бесконечности, nl/(n 1 + n2) — p, где p Е (0,1). Вероятность P(Snl, l > Sn2,2) при условии

(C) p EXi I f (x)dx< (1 - p) EYi [ g(x)dx

J0 J0

стремится к нулю в силу закона больших чисел Чебышёва. Зададимся вопросом об асимптотическом поведении рассматриваемой вероятности.

Будем также считать, что выполнено условие

г1 г1 ( h+ h-

(D) р т 1 (f(t)u) f(t)dt > (1 -р) т2 (-g(t)u) g(t)dt, и = min ' 1 2

о .)о \тах«е[о,1 ] I{з) тахзе[о, 1 ] д{з)

Сформулируем вспомогательную лемму.

Лемма. Пусть случайные величины X^ и У^ независимы и удовлетворяют условиям (А), {В), последовательности {(Ц>П1} и {Ъ^>П2} заданы соотношением (2). Тогда при достаточно больших п1, п2 экстремум функции

^{х) = -{Н1 + ъ,2)х + т [ 1п К1 (I{г)Н1)йг + п2 [ ь Я2{д{ь)Н2)&

оо

по таким x, что

Г„,( 'w ) ( т>4 ,f(tm

о vmaxse[o,i] f (s)J ni Jo vmaxse[o,i] f (s) '

'1 ' g(t)h- ^ x ^ f' ( g(t)h+

/ m2[-2 \g(t)dt^ — < / m2 --, , 9®dt,

Jo Vmaxse[o,i] g(s)J n2 Jo Vmaxse[o,i] g(s) J

где hi = hi(x/ni), i = 1, 2, — решения соответствующих интегральных уравнений

fi x fi x

/ m\ ( f(t)h\) f(t)dt = —, / m2 (g(t)h2) g(t)dt = —, o ni o n2

ml{f{t)hl)f{t)dt= X ' ......

o

достигается в такой точке x*, что

ei г i

ni f mi (f (t)h*) f (t)dt = n2 l m2 (-g(t)h*) g(t)dt = x*. (3)

oo

При этом при и 1,и2 ^ и 1/(и 1 + и2) ^ р € (0,1) и выполнении условий (С), (О) величины

Ь* = Ь*(и1,и2) ограничены сверху величиной

Ь+ Ь9

Пип '

тах«е[о,1] /(яУ тах«е[о,1] д(я)

и при достаточно больших и1г и2 последовательность {Ь*(и1,и2)} отделена от нуля. Доказательство. Рассмотрим производную функции Е(х):

. (йЬ1 <1Ь2\ , , [1 е1(/(г)Ь1) г. ,йЬ1 , [1 я'2Ш)Ь2) , ЛЬ2 ,

р{х) =" (ж+ж)1-{к>++- I +*»I =

(dЬ1 (Ь2\ , , х dЬ1 х (Ь2 ,, . .

= - -Г- + -Г- ) Х - (П1 + 1г2) + П1--— + п2--1— = -(Л1 + п2),

\ (х (1х ) и1 dx и2 dx

где дифференцирование интеграла обеспечивается теоремой Лебега о мажорируемой сходимости. Приравнивая производную функции Е к нулю, получаем критическую точку Ь* = Ь1 = -Ь2,

Е (х*)= и1 [ 1п Е1 (/(г)Ь*)М + и2\ 1п Е2(-д(Ь)Ь* Щ оо

где Ь* и х* определяются соотношением (3) и величина Ь* ограничена:

Ь2 Ь+ \ ^ и* ^ ^ ( Ьг Ь2

тах --———,----— ^ Л, ^ тт

тах«е[о,1] /(яУ тах«е[о,1] д(я)/ ^ \тах«е[од] /(яУ тах«е[о,1] д(в))' Заметим, что Ь* и х* существуют в силу условия (О).

Покажем, что при достаточно больших и1,и2 последовательность {Ь*(и1,и2)} отделена от нуля. В силу выпуклости функций 1п Е1(Ь) и 1п Е2(Ь) функции т1(Ь) и т2(Ь) возрастают по Ь. Следовательно, первая из функций

Г т1 (/(г)Ь) /(г)м, С т2 (-д(г)Ь) д(г)а (4)

оо

возрастает по Ь, а вторая убывает. Введем следующие обозначения:

1И := ЕХ1 [ /(гщ 1^2 := ЕУ1 [ д(1)М.

оо

о

При достаточно больших и1 и и2 х*/(и1 + и2) принадлежит интервалу между р^1 и (1 — р)^2, поскольку

х* и1 1 и2 1 и1

-;-=-;- / ГП1 (/(£)/г*) =-;- / т2 (-#(£)/г*) дфйЬ, ----р, пг,п2 +оо,

и1 + и2 и1 + и2 Уо и1 + и2 Уо и + Щ

и в силу возрастания первой и убывания второй из функций в (4) верны неравенства

Г т1 (/(г)Ь*) /(т > С т2 (-д(г)Ь*) д(г)М < ц2.

оо

Заметим, что

—Г—т— С + [1т2(-д№*)д№

и1 + и2 2\ и1 + и2 ]о и1 + и2 ]о

Допустим, что х*/(и1 + и2) < (р^1 + (1 — р)^2)/2 при достаточно больших и1 и и2. Тогда Ь* > Ь, где Ь определяется соотношением

/о 4 / 2

(1 — р) ! т2 (-д(Щд(г)М =

Если Н = 0, то справедливо равенство рц1 = (1 — р) ц2, что противоречит условию (С). Таким образом, величина Н положительна.

Аналогично если для любого положительного е при достаточно больших п\ и и2 имеем х*/(п\ + п2) > (1—е)(рц 1 + (1—р)ц2)/2, то Н* > Н, где величина Н положительна и определяется соотношением

Таким образом, последовательность {Н*(и 1,п2)} отделена от нуля. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть случайные последовательности {Х1,... ,ХП1} и {У1,... ,УП2} независимы и удовлетворяют условиям (А), (В), числовые последовательности {(цп1} и {Ъ]П2} заданы соотношением (2). Тогда при стремлении п1,п2 к бесконечности, п1/(п1 + п2) ^ р € (0,1) и выполнении условий (С), (Б) справедливо соотношение

Р(5га1>1 > БП2>2) = ехр (щ [1\пК1(/(ф*)(И + п2 [\п К2{-д{Ь)к*)(И

Л/2п(п1 + п2)В (Н*)Н* \

где Н* введена в лемме,

С(Л) = 1 ^

Е1(/(1)Н) Е2(—9(1)Н)

ад(0)Н)У К2(—д(о)Н)'

В2(Н)= р[ ¡2{1)ш11(!(1)Н)йг + (1 — р) [ д2(1)ш12(—д(г)Н)йг. Доказательство. Заметим, что для любого положительного 5

Р(Б„,1 > БП2 , 2) = Р (х* — п1/2+6 < БП2 , 2 < БП1,1 < х* + п1/2+^ +

+Р (вп1,1 > X* + п1/2+6,БП111 > БП222) +

+Р (^„2, 2 < X* — п1^, БП1,1 < X* + п1^, Бпъ 1 > Бпъ2) , (5)

где точка х* та же, что и в лемме. Рассмотрим каждое из слагаемых суммы (5) отдельно. 1. Введем обозначение

Р := Р (х* — п1/2+ < БП2,2 < БПЪ1 < х* + п1/2+^ .

Заметим, что для любого положительного А вероятность Р оценивается снизу величиной М к-1

11 := I] Р(Бт,1 € [х* + кА,х* + (к + 1)А))Р(Б„2,2 € [х* + 1А,х* + (I + 1)А)), (6)

к=-М1=-М а сверху — величиной М+1 к

12 := ^ Р(Б„1,1 € [х* + кА,х* + (к + 1)А))Р(Б„22 € [х* + 1А,х* + (I + 1)А)),

к=-М-11=-М-1

где М := [п)/2^/А]. Рассмотрим более детально выражение (6). Пусть

= М —) : Г ггц (/(¿)м №<и = —, акь) = ¡1

,т/ ¿о п1 7о

Н- Н+

1 < ы < 1

ь2 = к2 -2- :

2 2 п2 о

тах«е[о,1] /(*) тах«е[о,1] /№'

т2{д{Ь)к2)д{Ь)(11 = ^, аЦк2) = [ д2{Ь)т'2{д{Ь)к2)(и, п2 о

^--^

тж^од] д(в) шах«е[о,1] д(8)'

Пусть также 5 < 1/6. Поскольку х,у € ^х* — и]1'2+&,х* + и11/2+&^, то т1(Ь1) — т1(Ь*) — 0 при

и1 — т2(Ь2) — т2(—Ь*) — 0 при и2 — Тогда Ь1 — Ь* — 0 равномерно по рассматриваемым х при и1 — Ь2 + Ь* — 0 равномерно по рассматриваемым у при и2 — Следовательно,

в силу теоремы 1 для всех положительных Ап1, стремящихся к нулю достаточно медленно, верно следующее соотношение:

г _п,,т1 1__1 щхт ¡Ы-д{ т)

1 1 ^ 1 у/ШГ^ъ*) у/ШГхтЖ-ъ*)^ Д1(/(0)Л*)V Ы-9(0)Ь*)

М - ( (х* + кАп \ (х* + 1Ап \\ х V V А2 ехр -щЛЛ-— )-п2А2[-— К П1,п2->+оо,

к=-мг=-м V V и1 ) V и2 ))

где М := [и1/2+6/АП1 ], Л^в) = Ь1(в)в — £ 1пЕ1(/(г)Ь1 (в)Щ Л2(в) = Ь2(в)в — £ 1пЕ2(д(г)Ь2(в))М. Разложим функцию Л^(х/щ) по формуле Тейлора в точке х*/щ до второго порядка:

В силу соотношений

л; (—) =к1 + к\—- Г Ш1 (/(¿)М №<и = Ни

и1 и1

1

а2(Ь1)

Т1 (Ь1

и аналогичных соотношений для функции Л2 справедливо следующее представление:

ехр^-щЛ!^^ = ехр(тц^ 1пД1(/(*)/&*)£Й + п2 ^ 1п х

Х ехр " " ё^т ~ 2п2а{Л*) + ° К1/2+30) ' ^ +00.

Следовательно, выполнено равенство

к=-м1=-м - , и1 ; V и2

= (1 + о(1))ехри1 ^ 1п Е1(/(г)Ь*)М + и2 ^ 1п Е2—д(г)Ь*х

м к-1 ( к2А2 \2 А2 \

х ^ еХР \Н*{к " 1)Ап1 " " 2 п2а1(-П*)) ' П1'П2

Пусть N := [и^/3/Ап1 ]. Заметим, что

м к-1 ( к2\2 ]2а2

к2 Л^ _ РА1 2 щаЦк*) 2 п2а1{-к*)

1 1 / к2А2 ]2Л2 \

+ Е Е ""Ва"+0°1 (7)

к=-м ¡=тз,х (-м,к-N) 4 1 п ' 2 ' 7

поскольку в силу положительности и отделимости Ь* от нуля выполнено следующее соотношение:

м max(-M,k-N )-1

к2А22 г2А1

V V А2 ехр -Л*(Л - 1)АП1----) £

¿М ¿М V 1 2п1(х2(/**) 2п2о1(-!1*)

^ ехр ^ = о (л/^Т)) п\,п2 —>• +оо.

При этом при \k\ ^ M и max (—M, k — N) ^ l ^ k — 1 выполнены следующие неравенства: если k < 0, то

если k > N, то

если 0 ^ k ^ N, то

к2Л2, < < {к-Nf А^ < Зи_1/6+й.

2щ ^ 2щ ^ 2щ ^ 2щ 2Hl

п - . - ^ __) ^ ¿2Arai ^ 1 .

_п-1/6+й ^ (k-N)2A2ni ^ l2^ ^ 2^ 1 ^ 2ni ^ 2^ ^ 2n

12А„1 /(к — Ж )2 А2 к2А2\ п-1/3

0 ^-^ ^ тах -----^ ^ -.

2п1 ^ 2т ' 2т ] 2

Аналогичные неравенства можно написать для I2А„1 /(2п2) и к2А2П1 /(2п2).

Разобьем сумму (7) на две части, соответствующие следующим диапазонам изменения к,1:

{(к, I) : —М + N < к < М, к — N < I < к — 1} и {(к, I) : —М < к < —М + Ж, —М < I < к — 1}. (8)

Оценим часть суммы (7) по первому из множеств (8) при щ,п2 ^

М к-1 / к2\2 12 а2

2 _ / !\Л к А„1 1 АП1

Е Е < ехр (-Л*(* - OAni - - ¿—2

к=_м+Ni=k_N v 2niCTl(h ) 2n2°2

2niaf(h*) 2u2a2(—h*)_ M .о ( k2Al ( 11 W e_h*N 1

(1+0(1)) JL exp v ^ {^m+^¡гй J J тз^

k=-M+N h* F V 2 Vni^2(h*) П2^2(—h*)

Заметим, что

M

An ( k2Al/ 1 1

E h* exP ( 2 1 Uiaf^*) + n2a22{-h*) 1 MA"l ( f2 ( 1 1

<

< h* I 6XP V 2 U*i№ + n2a2(-h*)] <

i fc2Anx ( 1 I_L_

¿o 6XP^ 2 n2a2(-h*)JJ'

Следовательно, в силу четности подынтегральной функции и представления

M

Am ( k2A2 ( 1 1

E^-Vi-l / ^ цга 1 / 1__|

Ь* 6ХР ~ 9 +

k=-M+N h* \ 2 \nia2(h*) n2a2(—h*)

= f V / fc2A2, / 1 1 \ г

^ fc* exp V 2 \ma2(h*) + n2a2(-h*) I / +

k=0

+ f 1 + 1

h* P V 2 \niaf(h*) n2a22{-h*) J J h*

верны неравенства

1 fMA"i ( t2 ( 1 1 Ani

h* J(-M+N)Ani 6XP I 2 U+ n2a2(-h*)))dt h* <

М

АП1 ( к2АП / 1 1

< * 6ХР I 2™1 \malm + п2а2(-Ь*)] ' <

1_ /'МА"1 ( ¿2 ( 1 1 \\ . Д*

т*

< Л* У(_м+М)АИ1 6ХР I 2 и*?(Л*) + п2аи-Ь*)))М + Л*''

Заметим, что при п1,п2 —

1 [МА"1 ( г2 ( 1 1 \\, 1 + о(1) / _+2

(-м+м)АП1^\ 2 \maKh*) + п2(т22{-}1*)))ЛЬ ь* / 1 + 1 У/

1 У „1^2(й*) П2а2(-Ь,*)

Таким образом, выражение, рассматриваемое в (9), допускает представление

Л АП1 ( к2А2П1 ( 1 1 ^ 1 + о(1) / 2ТГ ~

к=-М+М 4 \ 1 ^ V 2 2\ )// у „1^2 (й*) П2Я2(-Н*)

Оценим часть суммы (7) по второму из диапазонов (8):

А2 (

2 ^пкт^Л*) ' п^аЦ-Н*),

-М+М к-1 ( к2 А2 ( . .

Е Е < «р К» - о д., - ^ (-4ш+<

к=-М 1=-М

/ р / ! 1 \\ 1_е-Н*(к+М)АП1

<2 ь АщехР 9 („„^»ч + „п„2(_ ь*\11 Ь* Д.. <

к=-М ч 2 Vnla2(Н*) п2о22(—Н*))) Н*А„1

/ Й2/ 1 1 \\ .пУ3

к= М

где правая часть полученного выражения есть о (л/Щ) при п\,п2 +оо. Таким образом, для 11 верно представление

1 1 + 0(1) ътт Я2(-9( 1т

1 V V ы-дфт

*

х вхр J ^1(/(г)Н*+ п^ У 1п К2(—д(г)Н*п1,п2 —

Аналогичным образом оценивается 12, следовательно, Р = (1 + о(1))11 при п1,п2 — 2. Введем множество

В = {х > х* + п1/2+П{х>у}. Заметим, что при любых Н1,Н, удовлетворяющих неравенствам

_К_^^_К_ __^_4_

< < --т--, -*--- < Ъ2 <

тах«е[од] /(8) тах«е[од] /(зУ тах«е[од]д(8) тахзе[од]д(з)]

выполнено соотношение

Р(Б„1,1 > х* + п1/2+6,Б„1,1 > Б„2,2) = [[ Р(Б„1,1 € (1х)Р(Б„2,2 € (1у) <

= [п^ен}х+н2у ехр / 1пЕ1(/(^/г1)^ + п2У \п К2(д(г)}г2)(И^ , щ,п2 ^ + оо.

Покажем, что при некоторых Ь 1,Ь2 и и 1,и2 — I

ехр У 1п Е1(/(£)Л,1)сЙ + п2 ^ 1п К2(д(1)]г2)с11^ х

т{в ек1Х+к2У \ J0 ,]о

хехр^-щ^ 1п Е\($ (1)Ь*)сИ — п2 ^ 1п Е2(-д(г)1г*)сИ^ = о •

В силу выполнения условий (С), (О) при достаточно большом и1 возьмем Ь2 = —Ь*, Ь1 =

Ь* +

и-а, где а> 0. Заметим, что при х,у € В выполнены неравенства

еЬ,1Х+к2У = еН* (х-у)+пЦах ^ еп-ах ^ еп1а(х* +п1 + )

Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа найдется такой параметр Ь € [Ь*,Ь1], что для любого г € [0,1] верно равенство

1п Е1(/(г)Ь1) = 1п Е1(/(г)ь*) + /(г)т1 /(Щ Ь — ь*).

Полагая ж := и1 /(г)т1 /(г)Ь^ М, получаем соотношение

г 1 г 1

-и-" х* < -1/2+^

I < exp ^—и-а (х* + и1/2+6) + и1 У 1п Е1(/(г)Ь1)М — щ ^ 1п Е1 (/(г)Ь*)с^ = exp ^—и-а (х* + и1/2+6) + и- ^1 /(г)т1 /(г)Щ dt^ = exp (и-а (х — х* — и1/2^

В силу непрерывности функции т1 и равномерной ограниченности функции / верно

0 < ж — х* = и^! /(г)т1 /(г)Ь) а — ^ /(гт (/(г)ь*) dt^ < ию (Ь — ь*) < и1-ас,

где с — некоторая положительная константа.

Таким образом, при а = 1/2 и некотором 0 < 5 < 1/6

I ^ есе га1 = о ( —— ] , щ, п2 ->• +оо.

>л/йГ

3. Аналогичным образом положим

Е = {у < х* — и1/2+6} П{х>у}

Заметим, что при любых

Ь- , ь+ Ь- ь+ -< ^ <-^ГТ' ---ГТ < ^ <---ГТ

maxse[о,l] /(я) maxse[о,l] /(я) ^^[од] д(я) ^^[од] д(я) справедливы неравенства

Р(Бп2,2 < х* — и1!2^ ,Бп1,1 < х* + и1!2^, Бп-,,1 > Бт,2) <

< Г, < Т* _г)1/2+'5 С , С < _\_ГЛр/115П1,1+/125„2,2

Аналогично предыдущим рассуждениям можно показать, что при Ь1 = Ь*, Ь2 = —Ь* — и-1/2 и и1,и2 —

1

1

ЫЕ ек1 х+к2У \ 1 Л

exp ^и1 J 1п Е1(/(г)Ь1 )М + и2 ! 1п Е2(g(t)Ь2)d^j х

хехр^-щ^ 1п Е\(1 {Ь)}1*)(И — п2 ^ 1п Е2{-д{1)к*)(1^ = о

Теорема 2 доказана.

4. Модель сражения гладиаторов.

Замечание 1. Пусть X — случайная величина со стандартным экспоненциальным распределением. Тогда сопряженная величина Xимеет экспоненциальное распределение с параметром 1 — Н, где Н < 1,

К{К) = т(Ь) = 1

1 - h

Рассмотрим модель сражения двух команд гладиаторов, описанную К. Каминским, Е. Люксом и П. Нельсоном (см. [4]). Пусть есть две большие команды по Ui и гладиаторов. Каждый гладиатор обладает некоторым положительным вещественным параметром, который мы будем называть силой. Будем считать, что силы гладиаторов первой и второй команд задаются соотношениями

ai,ni = f (i/ui), i ^ ui; bj,n2 = g(j/u2), j < U2,

соответственно, где f и g — некоторые положительные дважды гладкие функции на отрезке [0,1]. Сражение команд состоит из отдельных боев, для каждого из которых команды выбирают по одному гладиатору и выставляют сражаться друг с другом. При этом считается, что в каждом бою вероятность победы гладиатора пропорциональна его силе. Победивший гладиатор возвращается в состав команды, сохраняя силу неизменной, а проигравший выбывает из состава команды. Сражение продолжается, пока в обеих командах есть хотя бы один гладиатор.

По теореме Каминского (см. [4]) вероятность победы первой команды имеет вид

ni П2

P I Е Чт X >J2b!

i=l j=l

где Хг, г = 1, ...,и\, У], ] = 1,...,и2, — независимые случайные величины со стандартным экспоненциальным распределением. В силу теоремы 2 и замечания 1 при стремлении и\,П2 к бесконечности, п\/(п\ + и2) — р € (0,1) и выполнении условий (С), (П) асимптотика вероятности победы первой команды имеет вид

х ехр^1п(1 — / (ЩсИ — П2 ! 1п(1+ д(1)К)йг

где

Н положительно, отделено от нуля, меньше 1/шах^рд] /($) и определяется соотношением

„, /' /(').д = вз /' ^Кж

Уо 1 — / (г)Н Уо 1 + д(г)Н

Автор приносит благодарность А. В. Шкляеву за постоянное внимание к работе, а также рецензенту за кропотливую работу, позволившую существенно улучшить текст настоящей статьи.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боровков А.А. Интегро-локальные и локальные теоремы о нормальных и больших уклонениях сумм раз-нораспределенных случайных величин в схеме серий // Теор. вероятн. и ее примен. 2009. 54, № 4. 625-644.

2. Book S. Large deviation probabilities for weighted sums // Ann. Math. Statist. 1972. 43, N 4. 1221-1234.

3. Соболев И.В., Шкляев А.В. Большие уклонения для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных величин с функционально заданными весами // Фунд. и прикл. матем. 2020. 23, № 1. 191-206.

4. Kaminsky K., Luks E., Nelson P. Strategy, nontransitive dominance and the exponential distribution // Austral. J. Statist. 1984. 26, N 2. 111-118.

Поступила в редакцию 10.05.2023

УДК 517

АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА МОДУЛЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ В ОЦЕНКЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ЧАСТИЧНОЙ СУММОЙ ЕЕ РЯДА ФУРЬЕ

Т. Ю. Семенова1

Приводится способ нахождения точного значения аргумента модуля непрерывности в оценках скорости сходимости ряда Фурье.

Ключевые слова: ряд Фурье, скорость сходимости, модуль непрерывности.

A method is given for finding the exact value of the argument of the modulus of continuity in estimates of the rate of convergence of Fourier series.

Key words: Fourier series, rate of convergence, modulus of continuity.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-2

1. Введение. Обозначим через С2п пространство непрерывных на R действительнозначных

2-^-периодических функций с нормой \\f У = max \f (x)\, а через w(f, y) = max \ f (x{) — f(x2)\

—п^х^п x1,x2 €R,

I xi—X2 К7

n

модуль непрерывности функции / e C2lT. Пусть Sn(f) = Sn(f, x) = Щ- + ^ (a.kcos(kx) +bksm(kx)),

k=i

n

n € M, — частичные суммы ряда Фурье функции /, Dn(t) = | + ^ cos(fci) — ядра Дирихле, а

k=i

п

Ln = ^ / \Dn(t)\dt — константы Лебега.

—п

Многие авторы (см., например, [1-4]) выводили оценки следующего вида:

\\f — Sn(f)\\ < Knu(f,Y), 4f e С2п. (1)

Обозначим

;C(7,= Sl,p ЫЖ.

fec'2n, u(f> Y)

f=const

Известно [5, 6], что K*(j) ^ (Ln + 1)/2 для любого y > 0. Возникает задача нахождения оптимального значения аргумента модуля непрерывности в неравенстве (1) c наилучшей константой Kn = (Ln + 1)/2, а именно величины

7,: = inf {7 > 0, K(Y) = ^^

1 Семенова Татьяна Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].

Semenova Tatiana Yuryevna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Mathematical Analysis; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

© Семенова. Т. Ю., 2024 © Semenova T. Yu., 2024

[ссП