Алгоритм и программа расчета напряженно-деформированного состояния подкрепленных цилиндрических оболочек нерегулярного строения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м IX 197 8

№ 2

УДК 629.7.015.4.023.2

АЛГОРИТМ И ПРОГРАММА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НЕРЕГУЛЯРНОГО СТРОЕНИЯ

С. И. Галкин, Т. Е. Левицкая

Рассматривается подкрепленная оболочка нерегулярного строения. Предложенный алгоритм основывается на представлении такой оболочки как дискретно-континуальной системы, состоящей из без-моментной обшивки и упругих шпангоутов.

Приводятся блок-схема и описание программы, реализующей алгоритм. Результаты расчетов сравниваются с соответствующими значениями, полученными с помощью других методик, и с известными экспериментальными данными.

1. Для построения алгоритма используется методика, основанная на представлении подкрепленной оболочки как дискретно-континуальной системы, состоящей из тонкой безмоментной обшивки и упругих шпангоутов. Предполагается, что шпангоуты по контуру непрерывно связаны с обшивкой, а радиус нейтральной оси шпангоута совпадает с радиусом срединной поверхности обшивки. Шпангоуты имеют конечную жесткость на изгиб в своей плоскости и равные ну-.лю жесткости кручения и изгиба из своей плоскости, а нейтральная ось шпангоута при этом считается нерастяжимой. Нерегулярность геометрических и жест-жостных параметров как обшивки, так и шпангоутов учитывается только по продольной координате. Внешние нагрузки прилагаются к шпангоутам. Согласно |[1], напряженное и деформированное состояние такой оболочки находится из решения системы дифференциально-разностных уравнений

II

__ У . ^ ^ ЦТ | ГГ ^ О_______________

' * *-1 2/? <!<.Р * * вкЬк * \2ЮЕкЬк

иь

и„

- Ек + 1

1к+1 1

2Я

Ек Ь К V* + /?< (5*+1 - 5Л) + /?‘ [ь „ ■

и £ помощью соотношений

*3 к ІІ <р

= 0

(1)

тк +1 (°) — Ек+1 8*+1

и,

й + 1

иь

+

‘*+1

2/?

Тк(\)=Ек\

ик-ик_! Ік (1Эк

1ь 2/? <і<о '

здесь ик, У/г — продольные и касательные смещения 6-го шпангоута; 5* - потоки сдвигающих усилий в к-м пролете оболочки; ^^(О), (1) — погонные осе-

вые усилия в смежных сечениях соседних пролетов оболочки в окрестности А-го шпангоута; ^ — внешние погонные осевые, сдвигающие и радиальные усилия, нагружающие к-й шпангоут; 1к, Ьк — длина пролета и толщина об-

шивки в &-м пролете оболочки; Ек, Jk — модуль упругости и собственный момент инерции относительно горизонтальной оси £-го шпангоута (фиг. 1);

= — + 2 — + — . (3)

¥ Йф6 с/ф4

Фиг. 1

Решение задачи отыскивается в виде рядов Фурье. Искомые функции и заданные нагрузки представляются в виде:

00

V* (?) = Л* о + £ (Ля sin "ф + А{й cos П«р),

Я "1

СО

' ик (9) = Вк о + ]Г, cos n<p + sin ntp),

/1=1 • GO

sk (Ф) = Cft о + £ (C^l sin mp + cfn cos mp),

n=I

CO

тк (Ф) = Fk о + ^ (F^ cos ntp -f F%1 sin mp).

П=1

CO

^ 1 Х. cos щ sin и?)-

tjk —

(4)

(5)

л=1

/= I, 2, 3.

Подставляя (4), (5) в (1) и приравнивая коэффициенты при этиу и созлф соответственно, получаем системы уравнений относительно коэффициентов разложения (4). Выражая через АПРИ г = 2> приходим к разност-

ным системам

< ^1, „ + С УЙ + ЛЙ>У*»1 = Я !<*<*-!. (6)

где />£],

~ квадратные матрицы 2-го порядка, элементы которых имеют достаточно простой вид и являются функциями только порядкового номера гармоники, жесткостных и геометрических параметров оболочки; —дву-

членные векторы, отражающие характер нагружения оболочки; у^п =

id)

kn

М)

akn

— ис-

комый вектор перемещений 6-го шпангоута; т— число пролетов в рассматриваемой оболочке.

Полагая в (6) I = 0, получаем системы уравнений для определения коэффициентов перемещений, соответствующих нулевой гармонике п = 0, а полагая /=1, 2, получаем системы уравнений с соответствующими индексами для определения коэффициентов перемещений при и;>1.

Для расчета конкретной оболочки система (6) дополняется граничными условиями на ее торцах. В случае консольного закрепления, принятого в настоящей работе, они имеют вид:

УоI = 0 ПРИ к = °>

р(і) «(О , + о(0 у(і) = М при к = т ^ (7>

гтп'т—1,п''<тпУтп— Чтп К — т•

2. Рещение систем (6), (7) проводится численно, методом матричной прогонки [2]. Искомый вектор перемещений определяется по формуле:

^-^‘11..+*£ <8> где N^1 — прогоночные матрицы и векторы соответственно, определяемые из рекуррентных соотношений:

= - (ей + 0<к%, л)"1 Р&

4*1!, „)-* (*$ - „)•

Зная ,у^> находим коэффициенты для $&(?) и Тк (<р) в разложениях (4) по формулам:

1

(9)

С*о = -^^(Л*о-ЛА_1>0),

г( 1) -

—

Ок 5А

1 + 1

ок1

(10)

—

{Вк 0 1, о)’

(і) = „ (о) = (в% - в“1и с{&

^ Ю = я (0) = (42) - в^_и „) + с<2>.

їх — 12.

ї2

(П)

(12)

3. Чтобы иметь возможность использовать предложенный алгоритм при расчете оболочки на действие сосредоточенных усилий, представляем сосредоточенную нагрузку в виде известного разложения в ряд Фурье [1]:

І" I

і]к = 1 — + X (сое Л<р0 сое и? + віл лсро віп щ)

Л=1

(13)

здесь ф0—точка приложения нагрузки, у = 1, 2, 3.

В этом случае удобно пользоваться формулами (1) — (12) для определения напряженного состояния только от самоуравновешенной части нагрузки (и>2). Напряженное состояние, соответствующее п = 0,1, можно получить с помощью элементарных формул сопротивления материалов, так как эта часть нагрузки вызывает в оболочке напряжения, соответствующие чистому кручению и поперечному изгибу оболочки как балки. Для случаев действия на оболочку осевой, касательной и радиальной сосредоточенных нагрузок соответствующие расчетные формулы приводятся в [4].

4. Для расчета на прочность подкрепленных оболочек при действии на них сосредоточенных нагрузок по методике, ' изложенной выше, разработана программа, написанная на я-языке. Программа позволяет проводить расчет доста-

точно сложных в конструктивном смысле оболочек при комбинированном нагружении*. Блок-схема программы приводится на фиг. 2.

Исходная информрция, необходимая для расчета, задается в виде векторов различной длины. Так, геометрическую и жесткостную нерегулярность оболочки отражают компоненты векторов размерности т или т1:

/*//? — относительные длины пролетов,

8Й/К — относительные толщины обшивки в различных пролетах оболочки,

Ек — модули упругости обшивки,

— модули сдвига обшивки,

£7*//?4 — коэффициенты, характеризующие жесткость шпангоутов на изгиб в своей плоскости.

ддод исходных данных, отражающих геометрическую и ж ест-косгнунг нерегулярность

Задание начала отсчета; 1Г=7-с читается система нагрузок у отражающая однократное нагружение шпангоутов

Вдод исходных данных, характеризующих сист ему, нагружен

Подпрограмма расчета» нагрузка ” \Самоураднодеш4нная часть | Элементарные решения

х

Контрольный дыдод 'исходных данных

Услодие.\Гградняется тах числу нагрузок, приложенных к любому нагруженному шпангоуту

Подпрограмма расчета напряжений от самоурадно-деш^ннои части нагрузки

Насчет злементод мат-Р«Ц Ркяу4кп>Х*п

Насчет элементов дектород

Насчет прогоночных хозф фициснтод 2$ и

Вычисление дектород у%в при' решении разностной\ системы, насчет Гпк, сЩ ™ формулам

Насчет значении Т#(<р) и (<р) соотдетстдующих только самоураднобешен-нои часта нагрузки для дсех значений <р(0«р<ЛЛО и дсех значении X, запись полученных значений на дарадан

^=/7 •*■/; подго-. тодна подтор кого счета 1 Считыдание с дарадана окончательных значении %((р) и дЛ($) дыдод их на печать

Считыдание с ленты подпрограмм,, дыдод на графики.. дыдод 7% (<р) и Sf( (ц>)на графики

\ Оста нод \

Фиг. 2

Характер нагружения отражают следующие векторы размерности т: £], заполненный числами 1, 2, 3, 4, задает характер внешней нагрузки. Эти числа условно представляют следующую информацию: „1“ соответствует нагружению к-то шпангоута осевой сосредоточенной нагрузкой, „2‘— касательной сосредоточенной нагрузке, „3“—радиальной сосредоточенной нагрузке, „4“ соответствует случаю, когда к-й шпангоут не нагружен; задает угловую координату (ср0) точки приложения нагрузки**. Если к-й шпангоут не нагружен, то соответствующий элемент вектора £2 = 0; Ц задает величину прикладываемой нагрузки. Если шпангоут не нагружен, то соответствующий элемент вектора = 0. Кроме того, в программу введены: — двучленный вектор, задающий начальный угол от-

счета и шаг считывания напряженного состояния в оболочке по угловой координате; £ — трехчленный вектор, содержащий информацию о количестве членов ряда Фурье, удерживаемом в разложении внешней нагрузки количеством пролетов рассчитываемой оболочки и максимальным числом нагрузок, прилагаемых к шпангоутам.

В зависимости от величины последнего параметра осуществляется последовательный ввод заранее подготовленной информации для однократного нагружения шпангоутов, которую задают векторы 1^, 1.2, £7.

* В настоящей статье рассматриваются только примеры нагружения оболочки одиночными нагрузками.

** Во всех рассматриваемых примерах Фо = 0.

Программа оттранслирована применительно к машинам типа БЭСМ-4 для оболочки, состоящей из 40 пролетов при 15 членах ряда, удерживаемых в разложениях (4), (13). Эти значения можно рассматривать как максимальные при выборе возможных вариантов расчета оболочек. В рабочей программе, кроме оперативной памяти, используется магнитная .лента, два барабана и дополни^ тельное МОЗУ. Время счета программы существенно зависит от числа пролетов рассматриваемой оболочки. При максимальных значениях основных параметров и однократном нагружении шпангоутов программа работает 17 мин.

Окончательные значения для погонных осевых усилий и потоков

сдвигающих сил (у) выдаются на печать и на графики.

5. По предложенной программе был проведен расчет ряда конкретных оболочек. Исходная информация, составленная в соответствии с пояснениями п. 4, приводится в табл. 1 и 2.

Первые три оболочки — это оболочки регулярного строения, нагруженные осевой, касательной и радиальной сосредоточенными силами, приложенными к крайнему шпангоуту. Геометрические и жесткостные параметры для них соответствуют основному расчетному варианту работы [4].

Расчет проводился с целью опробования изложенных выше алгоритма и программы.

Необходимо отметить, что полученные здесь результаты расчета полностью совпадют с соответствующими значениями погонных осевых Тк(<е) и касательных усилий, вычисленных с помощью решений [3, 4] для тех же случаев

нагружения. Эти результаты приведены на соответствующих графиках работы |4] пунктирными кривыми.

Расчет консольно-закрепленных оболочек проводился нами для сравнения описанной выше методики с другими методами расчета подкрепленных оболочек и с известными экспериментальными данными. Одна из них, нагруженная по свободному краю радиальной сосредоточенной силой, состояла из пяти пролетов, подкрепленных шпангоутами и стрингерами. Эта оболочка была сконструирована и испытана в Королевском университете Белфаста (отделение авиационной техники). В работе [5] приведены экспериментальные данные, сопоставленные с результатами расчета оболочки, выполненного по теории Дж. Аргириса и С. Келси с помощью матричного метода сил.

Вторая из рассматриваемых оболочек была выполнена из стеклопластика (ОРК) со шпангоутами, изготовленными из стекловолокна путем намотки его окружности. В отличие от предыдущей эта оболочка представляет собой нерегулярную конструкцию как в жесткостном, так и в геометрическом отношении. Оболочка была сконструирована и испытана Н. Ори. Полученные им экспериментальные результаты сравнивались с расчетом по теории, использующей метод перемещений, построенной Р. Юрингом [6] для конструктивно-ортотропных цилиндрических оболочек.

Результаты расчетов вместе с соответствующими экспериментальными данными, характеризующими напряженное состояние каждого из трех пролетов, прилегающих к нагруженному шпангоуту двух типов рассмотренных оболочек, приведены на фиг. 3—6 соответственно.

Таблица 1

№ оболочки к /?/# т Е1/ЕЯ* £/0

1

2 Для всех к 400 0,4 10-’ 2,6

3

4 Для всех £ 447,5 0,623 0.1435-10-5 2,6

1 130 2,75

5 2 150 1.0 0,29-10-6 0,915

3 120 1.445

Таблица 2

№ Вектор №

оболочки 1 2 3 4 5 6 1 39 40

1 4 4 4 4 1

2 4 4 4 4 2

3 А 4 4 4 4 3

4 4 4 4 4 3 4 4 4

5 4 4 3 4 4 4 4 4

Для всех оболочек и 0 0 0 0 0

1

2 0 0 0 0 1

3 Ц

4 0 0 0 0 1 0 0 0

5 0 0 1 0 0 0 0

Для всех оболочек 2,5° 5*

40

£ 15 1

5

3

20 *О 60 вО 100 120 М160 <р Фиг. 3

На этих фигурах сплошными кривыми нанесены результаты расчета, вы-полненные по методике настоящей работы, пунктирными кривыми результаты расчетов, заимствованных из работ [5, 6], а точками — экспериментальные данные.

Анализ приведенных данных позволяет сделать следующие выводы.

1. Результаты расчетов, выполненные по методике настоящей работы, основанной на представлении подкрепленной оболочки как дискретно-континуаль-ной модели нерегулярного строения, хорошо согласуется с экспериментальными данными.

2. Результаты расчетов, заимствованных из работ [5, 6], как видно из фиг. 3—6, во многих случаях хорошо согласуются с соответствующими данными, полученными по методике настоящей работы. Некотоое исключение при этом имеет место в случае, приведенном на фиг. 5, для которого расхождение расчетных значений потоков касательных сил составляет 30%.

3. Произведенная оценка точности позволяет рекомендовать программу,

> 0 20 4-0 60 80 100 120 М 180 ф

Фиг. 5

Фиг. 6

разработанную на основе простого алгоритма, изложенного в настоящей работе, к расчету напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки нерегулярного строения типа фюзеляжа с учетом дискретно расположенных шпангоутов на действие произвольно распределенных усилий, включая и сосредоточенные силы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бал а бух Л. И. Прочность и устойчивость шпангоутов, связанных тонкой обшивкой. Труды ЦАГИ, № 681, 1949.

2. Березин С. И., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., Физматгиз, 1962.

3. Б а л а б у х Л. И., Галкин С. И. Приближенная теория основного напряженного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной упругими шпангоутами. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М., .Наука", 1966.

4. Галкин С. И., Левицкая Г. Е. Анализ напряженного состояния цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами.

п|эи_ нагружении сосредоточенными силами. Труды ЦАГИ, вып. 1675,

5. С h a h a m J. and Larkin J. Stresses in a fuselage model due concentrated radial loads. .Strain*, .Journal of the British Society for Strain Measurement', vol. 8, N 1, 1972.

6. U h r i n g R. Zur statischen Berechnung diinnwandiger Schalenge-bilden mit Hilfe von Steifigkeitsmatrizen, .Zeitschrift ftir Fiugwissenschaf-ten“, Heft 3, Marz 1968.

Рукопись поступила 8jXII 1976 г