Метод совместного расчета подконструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VII 197 6

М I

УДК 624.04

МЕТОД СОВМЕСТНОГО РАСЧЕТА ПОДКОНСТРУКЦИЙ

Ю. И. Иванов

Предложена новая схема реализации идеи редуцирования общей системы уравнений равновесия в задаче расчета напряженно-дефрр-мированного состояния сложной конструкции, расчлененной на под-конструкции. Описан способ формирования редуцированной системы уравнений, основанный на рассмотрении для каждой подконструкции состояний с единичными перемещениями узлов связи. Приводится пример расчета двух оболочек, соединенных в плоскости стыка в четырех узлах.

1. Теория сопряжения подконструкции в рамках метода перемещений изложена в работе [1]. Отличия предложенного в настоящей заметке от работы [1] заключаются в следующем:

а) дается иной способ реализации идеи редуцирования, основанный на использовании алгоритма Гаусса и не требующий выделения с самого начала компонентов решения, соответствующих „закреплению11 и последующему „освобождению" границ между подконструкциями (ПК), что упрощает решение задачи;

б) введено понятие узла связи конструкции, что позволяет включить в формулировку задачи силы взаимодействия между ПК, являющиеся одними из основных искомых величин, и дать формулу для их вычисления. Использование понятия узла связи упрощает также процедуру схематизации в сложных случаях кинематического взаимодействия ПК;

в) дано обоснование вычислительной схемы построения редуцированной системы уравнений равновесия, основанной на рассмотрении состояний с единичными перемещениями узлов связи.

2. Конструкция составлена из т подконструкций, имеющих Номера I = 1,..., т. Для расчета ПК используется метод конечного элемента в перемещениях. Наряду с ПК вводится понятие узла связи как недеформируемого элемента конструкции, посредством которого осуществляется взаимодействие граничных узлов ПК. Вводятся определения: гс — матрица-столбец перемещений узлов связи; г1 — матрица-столбец внутренних перемещений ПК I, для которых отсутствует непосредственная кинематическая связь

с гс\ гР — матрица-столбец граничных перемещений ПК г; /?с — матрица-столбец внешних сил в узлах связи; /?г — матрица-столбец внешних сил в узлах Г1К I по направлению /*,; ЯР— матрица-столбец сил в граничных узлах ПК I, приложенных по направлению

гР со стороны узлов связи (силы взаимодействия).

Имеют место следующие соотношения:

— кинематические условия связи для ПК г:

Нг) = а<‘Ч; (1)

— уравнения равновесия ПК г:

КиГ^КигР-Ъ, (2)

, Ке1г^ К{Ре гР = яР- . (3)

— уравнения равновесия узлов связи (фиг. 1):

(5)

Штрих означает операцию транспонирования.

Систему уравнений для конструкции в целом на основании (2)—(4) запишем как

КиГі + КісГс = 8і (і= 1,..., от),

т

2 Ксі Гі + Ксс ГС — Ко ( = 1

где

К1с = Ки.аР, Ксі = Кіс

т т

Ксс^ аР' КРаР =

г=1 і=і

3. Применяя к системе (5) алгоритм Гаусса для исключения ги придем к системе уравнений, редуцированной к перемещениям гс>

Кссгс-Пс, (6)

где

ксс=2 (кіс - ксі Ки кіс)=2 кРс,

і~ 1 і=1

т ___ т _

ксі кїї1 Ні = яс - 2 яР*-1=1 і=і

(7)

При этом

г 1 — Кй1 (/?г - Ки.гс). (8)

Пользоваться непосредственно формулами (7) на практике неудобно ввиду необходимости обращать матрицы Кц> порядки которых являются достаточно высокими. Ниже для целей формирования системы (6) предлагается вычислительная схема, основанная на рассмотрении состояний с единичными перемещениями узлов связи.

4. Состояние единичного перемещения узла связи, обозначаемое как гс./, определим следующим образом: 1) /-й компонент матрицы г с,] равен единице, а остальные компоненты — нулю; 2) внешние силы /?г равны нулю. Силы взаимодействия для ПК / в состоянии гс.у обозначим как /?*'/ .

Для ПК I в состоянии гс,/ на основании (6), (7) будем иметь

Таким образом, матрица Ксс может быть построена из столбцов /?с?у, вычисленных для всех состояний Гс,]. Порядок вычислений может быть следующим: из (8) находим

Матрицу М0*, входящую в выражение для /?с (7), можно вычислить следующим образом. Рассматривая состояние гс = 0 (узлы связи закреплены), из решения уравнения (2) найдем

После подстановки в (3) с учетом (4) непосредственно получим

т. е. Яс1) — усилия, действующие на ПК I со стороны закрепленных связей взаимодействия от сил /?г.

После определения гс из уравнения (6) перемещения вычисляются в соответствии с (8). Силы взаимодействия можно найти непосредственно по формуле (3).

5. В качестве иллюстрации приведем результаты расчета конструкции, составленной из двух одинаковых цилиндрических оболочек 1 и 2, соединенных в плоскости стыка в узлах 1, 2, 3, 4 по перемещениям и, V, т (фиг. 2). Геометрические и жесткостные характеристики каждой оболочки соответствуют данным опытной оболочки, описанной в работе [2]. Оболочка 1 консольно закреплена. Рассмотрены два случая нагружения: изгиб сосредоточенной силой 2Р и кручение парой сосредоточенных сил Р. В обоих случаях нагрузка приложена в плоскости стыка к шпангоуту оболочки 1. Для расчета оболочек используется метод, описанный в работе [3].

Матрица перемещений узлов связи имеет вид

Матрицами кинематических 'условий связи являются единичные матрицы, т. е.

Фиг. 1

а<Л) = аМ=:Е (6Х6)_

Поэтому

Кроме того,

/?с = 0 и /?<*>="

Некоторые данные о напряженно-деформированном состоянии оболочек приведены на фиг. 2—4 (пунктир — случай изгиба, пунктир с кружочками — кручение). Для сравнения даются также результаты расчета для случая жесткого соединения оболочек 1 и 2 по всему контуру (сплошные кривые). На фиг. 2 для случая изгиба приведены графики изгибающих: моментов в стыковочных шпангоутах оболочек 1 и 2 (Мх и М2) и в объединенном шпангоуте

=_ <Г ” я/ггМ

7 гЛ 2Р

> \

Ч N

с \

ч ч к > ч /

ч ■<

ч ч а

0/ ’Ж: х>- %

/ г.

А о С1 /

/

\ \ /

£ Г

Фиг. 3

жестко соединенных оболочек (М). Здесь же даны графики потоков касательных сил в обшивке пролетов, примыкающих к плоскости стыка и <7„). Графики осевых напряжений о в продольном волокне, проходящем через узел /, приведены на фиг. 3. Картина

Таблица 1 Таблица 2

№ 1 2 3 4 Кг 1 2 3 4

А/Р 0 0 0 0 А/Р -0,446 0,446 0,446 —0,446

ВІР 0,125 — 1,22 -0,125 1,22 ВІР 0 0 0 0

УУ/Я —0,163 0,47 —0,163 0,47 ЩР 0,099 - 0,099 -0,099 0,099

перемещений в плоскости стыка показана на фиг. 4. Усилия в узлах стыка приведены в табл. 1 (изгиб) и в табл. 2 (кручение). Положительные направления для перемещений и усилий в плоскости стыка указаны на фиг. 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пржеминицкцй Д. С. Матричный метод исследования конструкций на основе кнализа подструктур. Ракетная техника и космонавтика, т. 1, № 1, 1963.

2. Вопросы прочности цилиндрических оболочек. Сборник переводов под ред. Даревского В. М., Оборонгиз, 1960.

3. Иванов Ю. И. Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций методом конечного элемента. .Ученые записки ЦАГИ“, т. III, №1,1972.

Рукопись поступила 2ЩІХ 1974 г.