Об устойчивости цилиндрической оболочки при кручении и комбинированном нагружении с кручением Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII 198 2

№ 2

УДК 629.7.015.4.023.2

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ КРУЧЕНИИ И КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ

С КРУЧЕНИЕМ

К. М. Иерусалимский

Дано решение линейной задачи устойчивости цилиндрической оболочки при кручении и при комбинированной нагрузке, включаю* щей кручение. Все краевые условия на торцах удовлетворяются точно. Задача сводится к отысканию нудя определителя системы однородных уравнений, описывающих краевые условия. Изложены некоторые приемы численной реализации метода: процедура нормирования н способ устранения ложных перемен знака определителя, возникающих при итерационном способе определения корней характеристического уравнения.

Приведены примеры расчетов гладкой и подкрепленпой оболочек.

Задача об устойчивости цилиндрической оболочки при кручении или при комбинированной нагрузке, включающей кручение, рассматривалась в ряде работ. Решения в них отличаются друг от друга в основном полнотой удовлетворения краевых условий на торцах. Имеются работы, в которых краевые условия на торцах игнорируются: они дают удовлетворительный результат для весьма длинных оболочек, у которых влияние условий закрепления тор-цев на критическую нагрузку пренебрежимо мало. Одно из первых решений такого рода было получено в [10] для гладкой оболочки. Аналогичное решение для подкрепленной оболочки имеется в [1, 7].

В работах [4—6] решение строится с учетом только одного условия, требующего равенства нулю радиальных перемещений на торцах.

Показано {1], что для оболочек средней длины упомянутое краевое условие является наиболее существенным.

В работах [8, 9] выполняется не только краевое условие относительно радиального перемещения, но и условия, накладываемые на первую или вторую производные от прогиба. Это позволило

оценить различие в критических нагрузках коротких оболочек, связанное с защемлением или свободным опиранием их торцов.

Метод решения задачи при точном удовлетворении всех граничных условий (в соответствии с порядком системы дифференциальных уравнений устойчивости на каждом торце следует удовлетворить четырем краевым условиям) изложен в [1, 9], однако решение не было получено в связи с рядом математических трудностей.

В предлагаемой работе на основе метода [1]дано точное решение линейной задачи устойчивости круговой цилиндрической обо-, лочки при кручении и комбинированной* нагрузке, включающей кручение. Рассмотрены различные варианты граничных условий, изложены некоторые особенности численной реализации и приведены примеры расчетов устойчивости гладкой и подкрепленной оболочек.

1. Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка длиной 2/, радиуса /? и связапная с ней ортогональная система координат х, s, z. Начало координат расположено на поверхности приведения в среднем сечении цилиндра, ось х направлена параллельно оси цилиндра, ось s— по дуге нормального сечения, ось z —вдоль внутренней нормали к поверхности приведения (рис. 1). Пусть и, v, w•—проекции перемещения произвольной точки поверхности, приведения на оси х, s, z соответственно (проекция v измеряется по касательной к оси s в соответствующей точке). Линейные уравнения устойчивости оболочки, гладкой или подкрепленной, находящейся в условиях однородного нагружения при безмомент-ном до критическом состоянии, можио записать в перемещениях в следующем виде:

\1\{U}=0, (1)

где |£| — матрица размером 3X3, элементами которой Li}(i, j = I,

2, 3) являются дифференциальные операторы уравнений устойчивости; {U) — вектор перемещения с компонентами и, v> w. Дифференциальные уравнения (1) имеют восьмой порядок.

В случае симметричных граничных условий на торцах оболочки х = + /, где / — половина длины цилиндра, частные решения уравнений (1) можно записать в виде:

и *= A cos (Хт х — (if),

V

w--

■BcosQ.mx~n<?), Csin(X_* — я?),

(2)

где л; --= х11г 9 ~ 5/#-

Внося (2) в (1), получим однородную линейную алгебраическую систему уравнений

|ЛЦ*} = 0, (3)

где | О \ — матрица размером 3X3, элементы которой с1и(I, у=1, 2, 3) являются полиномами параметров волнообразования, {X} — столбец неизвестных коэффициентов А, В, С.

Условие существования нетривиального решения системы (3) приводит к требованию

ае!| />1 = 0, (4)

а первые два уравнения из (3) позволяют выразить коэффициенты А и В через С

Л = С; (5)

где

<^1Я ^95 Г' <^13 <^21

<^32 *— ^13 ^2)

/"о

11 “22

*23 Ц)1

й?12 ^21

(6)

Для фиксированных значений п и параметров нагружения, условие (4) можно привести к алгебраическому уравнению восьмой степени относительно

(7)

Следовательно, существует только восемь значений Хт [корни уравнения (7)], дающих ненулевые значения неизвестным коэффициентам {X}.

Внося эти значения 1т(т^= 1, 2, . . . , 8) в (2) и суммируя частные решения, построим общее решение в виде:

и =2 Лтсо$(1тх- я?),

т~ 1 8

= Х ВтСЮ^тХ-Пу),

т — 1

£ Ст (Хт Л — Щ).

т = 1

(8)

Константы Лда, Вт и Ст при фиксированном значении п найдем из граничных условий. Для определения восьми постоянных Ст имеем восемь условий на торцах = (по четыре на каждом торце). Величины Ат и Вт определяются через Ст из соотношений (5), (6).

Рассматриваются следующие варианты граничных условий на торцах х = +/:

Г1: ча) = чяхх~ иг^.'о = 0; Г5: ии = тх = и = V = 0;

Г2: т=^ шхх==-Т1~^ — 0; Гб: ,1а) = т£)х~Т1=ю—§\

ТЪ‘. гш=='№хх — 11 —8 — Г7: т = тх~и — 8 = 0;

Г4: ни = тхх = Тх — 5 = 0; Г8: = = Тг = 5 = 0,

(9)

где нижний индекс х обозначает частную производную по соответствующей координате, Ти 5 — дополнительные продольное и касательное погонные усилия в торцевых сечениях.

Условия Г1-Г4 описывают различные способы шарнирного опирания, Г5—Г8 — различные способы защемления торцов оболочки.

Рассмотрим подробно дальнейший ход решения задачи для случая шарнирного опирания Г1. Решения с граничными условиями Г2 —Г8 проводятся аналогично.

Подставим выражения (В) в условия Г1 из (9). После преобразований и использования соотношений (5), (6) получим однородную линейную алгебраическую систему уравнений восьмого порядка относительно неизвестных констант Ст(т=1, 2, . . . , 8);

8 2 Ст sin Хт — 0; • 8 Cm CO® “ 0,

Л1=»1 m-\

8 6

^ sm 0, cos — 0;

m = l m = 1

8 8

Z ст ^«sin — 0; ^\m COS X/n = 0,

m=l m-1

8 8

Z! c*i^2mSinXm = 0; Z F2m cos Xm—0.

т—1

Нагрузка, при которой система (10) имеет нетривиальное решение, считается критической. Таким образом, задача определения критической нагрузки сводится к отысканию нуля определителя системы (10) по параметру нагрузки. Процедура решения задачи на ЭВМ состоит Из следующих этапов:

1. Задается значение параметра п..

2. Задается малое начальное значение параметра нагрузки.

3. Вычисляются коэффициенты полиномов (t, / —1, 2, 3), входящие в (3) и (6).

4. Вычисляются коэффициенты bt уравнения (7).

5. Определяются все корни уравнения (7) 2, . . . , 8).

6. Формируется матрица | Кп J коэффициентов системы уравнений (10) и вычисляется ее определитель.

7. Проверяется условие равенства нулю определителя матрицы

системы (10). Если определитель не равен нулю, то параметр нагружения увеличивается и вычисления повторяются, начиная с п. 3. (Практически процесс организуется так, что находится тот шаг по нагрузке, где впервые происходит смена знака определителя. Далее происходит уточнение нагрузки на найденном интервале). ,

8. Если определитель близок к нулю с заданной точностью, то значение нагрузки считается критическим при текущем значении я. Значение п увеличивается на единицу, и расчет повторяется, начиная с п. 2.

9. Сравниваются значения критических нагрузок, полученные при различных п. Минимальное значение нагрузки н соответствующее ей значение п являются решением задачи.

В случае граничных условий, отличных от Г1, изменяется вид

некоторых уравнений системы (10). Так, для граничных условий

8 8

Г5 вместо уравнений 2 SinXm = 0 И 21 Cm cos ХЛ « 0 в Си_

т-1

8 8

стеме (10) появятся уравнения £ Cmlmsinlm — 0 и Ст'ктсо&1т=0.

т~1 т=1

Изложенный метод позволяет решать задачи устойчивости цилиндрических оболочек, гладких и подкрепленных, нагруженных кручением, сжатием и боковым давлением, причем указанные нагрузки могут действовать как отдельно, так и в различных сочетаниях.

2. Рассмотрим некоторые особенности численной реализации метода.

Существенным этапом является решение алгебраического уравнения восьмого порядка (7). Для этого используется изложенный в [11] итерационный алгоритм поиска корней полинома (действительных и комплексных). Для получения всех корней с одинаковой точностью | еJ = 10 10 производится уточнение второго и всех последующих корней по коэффициентам исходного полинома.

Поскольку корни характеристического уравнения в общем случае комплексные, то комплексными являются и элементы матрицы \кп\. Вычисление ее определителя проводится методом Гаусса, при этом используется нормирование элементов, связанное со структурой матрицы и видом ее элементов.

Известно, что если lk — ak ibk, то

sin lk = ch bk (sin ak i cos ak th bk), ]

cos = ch bk (cos ah -j- i sin ak th bk). J ' '

Очевидно, что в (11) выражения, заключенные в скобки, по модулю не больше единицы. Внося (И) в определитель, устанавливаем, что каждый &-й столбец его будет иметь общий множитель ch bkt т. е.

' 8

det 1 j = П ch bk det [ Кп I, (12)

k=i

где \кп\ — матрица с нормированными элементами.

Поскольку ch^^l, то условие det | #Crt | = 0 эквивалентно условию,,

det|Cl = 0. (13)

Использование (13) обеспечивает устойчивый процесс вычисления определителя на ЭВМ без переполнения арифметического устройства.

Процедура определения критического значения нагрузок основана на решении уравнений (7), подсчете значения определителя |/Сл| на каждом шаге по параметру нагружения и отыскании интервала, в котором определитель (13) впервые ‘ меняет знак. После вычисления корней уравнения (7) на каждом шаге последним присваиваются номера с 1-го по 8-й и в соответствии с этими номерами формируются столбцы матрицы |/СЛ|. Наследующем шаге по нагрузке вновь решается уравнение (7), однако в связи с итерационным характером процедуры отыскания корней полинома порядок их вычисления может отличаться от порядка нумерации предыдущего шага. Такая перестановка в нумерации корней при-

t

ведет к перестановке столбцов в матрице ) Кп (, а это, в свою очередь, при нечетном количестве перестановок приведет к ложной перемене знака определителя. Для устранения возникающей ошибки предлагается следующий прием: строится определитель Вандермонда

^=п П Л-Ч

г=1 / = *‘+1

который обращается в нуль только при \ = и меняет знак при перестановке любой пары значений т. е. „синхронно* с лож-

ной сменой знака определителя \К„\.

Теперь, если вместо условия (13) использовать эквивалентное ему условие

sigп(W)detl^л|-0, (14)

то очевидно, что оно не будет иметь ложных перемен знака, связанных с возможной перенумерацией корней характеристического уравнения в итерационном процессе.

3. Рассмотрим задачу устойчивости гладкой оболочки, нагруженной погопными усилиями Д^. Выражения для диффе-

ренциальных операторов £г;- в уравнениях устойчивости (1) имеют в этом случае вид [3, 7]:

дх2

^•13 “ ^31 = А ^

I

<?$2 1 -

Рлл; —

11»

<ээ

'21

1 + у д»

2 дхдз

дхэ

дхдв*

д2

'23

дз*

дх --------Р 22у

'33

^23

^з,=*/гг(74 +

д3

I

Л*2 <?$

23?

Я4

+

1

Я3

-Р.,

В (15) обозначено:

Рц “ Р22 = Лз = ^

д2

+ 2А? *

N.

Я дх ’

Рй=тт( 2^

7* =

д.*4

+ 2-

Я V а*

__________дг Л,

ддгдз 5 да2

а _ а ^ + А

В

1 —.V2

12/?2

(15)

(16)

и £, V — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала, А— толщина стенки оболочки.

Подстановка решений (2) в уравнения (1), дифференциальные операторы которых определены в (15), дает после преобразований следующие выражения для полиномов йц

</„=(! -Л?,) й- 2(к + 1) — Л*;] ;

12

^21------~

1 + * Г

^13 = ^31 = кп? Х^, + /у

1 —V

=[~- (1+з*)- л/,] й - + (1 -л,),

^23 — ^32----------------

^33 = Ьп* х4т + (2Ь4-^я2Й -2Л/^2Хт+[1 -А(л>—1)*—Л,л*]. В (17) используется обозначение

(17)

(71

К

П I

(18)

В качестве примера проведен расчет гладкой круговой цилиндрической оболочки, имеющей следующие геометрические параметры:

# = 0,5 м; / = 0,5 м, Н ~ 0,001 м.

Оболочка изготовлена из' материала с модулем упругости Е = 7,05-1010 Па и коэффициентом Пуассона > = 0,33. Результаты решения представлены на рис. 2, где изображены границы устойчивости при нагружении усилиями Ых> Л^; Nx, МХ5; Л^> Ых5. Сплошные линии относятся к оболочке, имеющей на торцах граничные

условия Г1, а пунктирные линии — к оболочке страничными условиями Г2 нз (9). Видно, что различие в критических нагрузках для рассматриваемых вариантов граничных условий существенно только при наличии значительного внешнего давления.

8—.Ученые записки* № 2

ИЗ

Аналогично рассматривается задача устойчивости конструктивно анизотропной круговой цилиндрической оболочки. Выражения для дифференциальных операторов Ьц в этом случае имеют вид [7]:

І* її —

аз

дх}

^18 ^1 ^31 =

+ в-|г-р..;

'18

'21

в*

дз

аз

дх3

*И=Я«-І7'+Я.-ЗТ де3 од;3

^83

^33

---^32-------

а®

+

ддгдв2

“ р22» аз

а

дд:

ддгдбг

— Я,

а*2 да

а«

18>

29»

а*

дх*

+ 2 £?

д*

12

ад* ав*

+ *

+ д, (— + — — + -Ц + — - р3

V а^4 /?* аз /?* / я

(19)

Операторы Р|у- в (19) имеют вид (16), а коэффициенты В(, Аь £?* являются жесткостиыми параметрами конструктивно анизотропной оболочки. Формулы для их вычисления содержатся в [7].

Выражения для полиномов й1} (£, У = I, 2,3) в этом случае следующие:

<1п=(1 - лди - 2^и1я + (Ви - Я);

^12 “ ^21 = $8 ^я*>

^13 " ^31 ~ Я8 Ч~ № А^з Лал2) Хт;

^22= (5. - Лу а ~ 2ЛГлХж + (В, - Л^);

(20)

С?23— <*32 = — + 2ЛГ„ Хт — (Л2 п2 + В

йіг = Д я4 й + (2б12 Я4 — ЛГ, ц*) £ - п2 Хл + + £)2 (я2 — I)2 + В2 — я2.

В (20) использованы обозначения:

АУ;

-О,

ВіЯ

А

в,/?3

в.

(/=1,2,12); Л/І

«і

(г = 2, 3, й, ©).

(і~х, 5, д:5).

(21)

Проведен расчет устойчивости подкрепленной стрингерами и шпангоутами круговой* цилиндрической оболочки, имеющей радиус /? = 0,75 м, общую длину 2/= 0,75 м, толщину обшивки Л = 0,001 м, расстояние между стрингерами /с — 0,118 м, расстояние между шпангоутами /ш = 0,15 м. Материал имеет характеристики: Е = 7,05* 1010 Па, > = 0,33. Жесткостные параметры этой оболочки следующие:

В*= 1,63.10е Н/м; В2 = 0,647; ЯИ = В0 = 0,104;

£)і =1,2.10-

Я2 = 0,861 * 10~~5; £>12 = 0,613-10

— 5

Результаты решения представлены на рис. 3^ где показаны границы устойчивости при действии усилий Л/х, N/1 N„1

МХ5. Сплошные линии иа рис. 3 соответствуют граничным условиям Г1, пунктирные линии — условиям Г2 и штрихпунктирные — условиям Г5 из (9). На этом же рисунке сплошной линией с крестиками показаны границы устойчивости для оболочки, отличающейся от рассмотренной выше только общей длиной (21 — 2,1 м).

Испытания трех оболочек длиной 2,1 м на кручение были проведены Н. Н. Чистовым совместно с автором. Результаты испытаний, показанные на рис. 3 ромбиками, свидетельствуют о хорошем согласовании расчета с экспериментом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гр’иголюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек. Механика твердых деформируемых тел. М., ВИНИТИ, 1969.

2. Фын Ю а н ь-Ч жен, С е х л е р Е. Е. Неустойчивость тонких упругих оболочек. В сб. ,Упругие оболочки". М„ Изд. иностр. лит., 1962.

3. Флюгге В. Статика и динамика оболочек. М., Госстройнз-дат, 1961.

4. ДаревскийВ. М. Устойчивость цилиндрической оболочки при одновременном действии крутящих моментов и нормального давления. „Изв. АН СССР, ОТН*, 1957, № 11.

5. Даревский В. М., Куиуджанов С. Н. Устойчивость цилиндрической ортотропнрй оболочки при кручении и нормальном давлении. В сб. «Прочность цилиндрических оболочек”, № 29, М., Оборонгиз, 1959.

в. К ш н я к и и Р. И. Влияние осевой растягивающей силы на устойчивость цилиндрических оболочек при кручении и нри внешнем нормальном давлении. В сб. „Прочность цилиндрических оболочек*, № 29, М., Оборонгиз, 1959.

7. Рудых Г. Н. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек. Труды ЦАГИ, вып. 1114, 1969.

8. Иерусалимский К. М. Устойчивость круговой каркаси-роваииой оболочки при кручении. Труды ЦАГИ, вып. 1353, 1971.

9. Donnell L. Н. Stability of thin-walled tubes under torsion. NASA Rep. 479, 1933.

10. Schwerin E. Die torsionsstabilltat des dGnawandigen rohres. ZAMM, Band 5, 1925.

И. Дорбаид В., Котцауэр А., Кучке K.-X., Петрушка К., Вебер С. Программирование на Фортране. М., „Статистика", 1973.

Рукопись поступала 7\VIi 1980