Устойчивость цилиндрической оболочки переменной толщины при переменном внешнем давлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м VI

197 5

№ 4

УДК 624.074.4

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ

Предлагается метод решения задачи устойчивости цилиндрической оболочки с переменной толщиной обшивки при внешнем давлении. Проведено численное исследование влияния граничных условий на критическую нагрузку. Приводятся примеры расчета оптимальных оболочек, обеспечивающих наибольшие значения критической нагрузки при одном и том же весе. Дано сравнение результатов расчета с экспериментом.

1. В работе Л. И. Балабуха, С. И. Галкина показана применимость безмоментной теории к задаче устойчивости подкрепленной шпангоутами круговой цилиндрической оболочки при внешнем давлении*. Подкрепленная оболочка в этом случае представляется в виде системы колец, связанных безмоментной обшивкой. При этом предполагается, что кольца имеют ' конечную приведенную жесткость на изгиб в своей плоскости, включающую и жесткость прилегающих к ним полупролетов обшивки, и равную нулю жесткость на изгиб из своей плоскости. Обшивка непрерывно связана с кольцами, нейтральная ось которых принимается нерастяжимой. Внешнее давление разносится по кольцам по правилу рычага. Методика, построенная на этих допущениях, как показано в названной работе, существенно упрощает задачу устойчивости подкрепленной оболочки при внешнем давлении и обеспечивает достаточную точность в широком диапазоне геометрических параметров.

2. В настоящей статье упомянутая методика обобщается на неподкрепленные оболочки с переменной толщиной при действии переменного внешнего давления и позволяет, как показано ниже, решать задачу оптимального проектирования. В этом случае оболочка представляется системой приведенных колец, связанных т пролетами безмоментной обшивки переменной толщины (фиг. 1).

Изгибная жесткость приведенного го кольца в своей плоскости принимается равной изгибной жесткости прилегающих полупролетов обшивки:

* Балабух Л. И., Галкин С. И. Применение безмоментной теории к расчету на устойчивость подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки при внешнем давлении. В сб. „Расчеты на прочность", вып. 15. М., „Машиностроение”, 1971.

Ю. И. Бадрухин, С. И. Галкин

к

1к+1/2

*-1кП

0

4—Ученые записки № 4

49

Здесь ^==^"> Я и £ — радиус и длина оболочки; Ь = (фиг. 1).

Толщина /г-го пролета оболочки 8Й в общем случае может быть функцией продольной £ и окружной ср безразмерных координат. Погонная радиальная нагрузка приведенного кольца определяется как

'к 1к+1/2 _ '

.‘*/2

Как видно, в принятой расчетной схеме предполагается диф-ференция несущих способностей оболочки. Приведенные кольца воспринимают только изгибающие моменты, а пролеты — погонные усилия, действующие в плоскости, касательной к контуру оболочки.

Л

ггГг

р(Х)

9(Х)

~Х'

Фиг, 1

1 1 / 11 ' ' • X

€_ Л; К К+1 т

к-1 к н+1

т

Дифференциально-разностные уравнения устойчивости обсуждаемой модели цилиндрической оболочки с переменными толщиной обшивки и внешним давлением, полученные путем, заимствованным из работы [1], имеют вид

&р3

ё1ь-(£-л-АЛ 1 д. А Г ЕЛ (— л- АЛ 1

з ' ^ )г'к \ + жр [£/?* (лр» + )Ч)к\

+

ак+1 (ик+1 -ил)+^ - ак (и* - Ий_0 + = 0;

&р

£ й<р

— г>А_1 +

Жо

(„, Л,+4-^-(с,**) _ 0;

где

г

’

(1)

А

&к — 1к

—продольные и касательные смещения го пролета,

— потоки сдвигающих сил й-го пролета. Здесь принимается модуль сдвига обшивки б оо.

К системе уравнений (1) необходимо присоединить граничные условия, в качестве которых используются условия сопряжения

краев безмоментной обшивки с упругими шпангоутами, на которые по предположению опираются края оболочки. Эти условия имеют вид

ЕЬ <Р I/Р . ,\2 , £?г атз- / & , . «г+1 п

Ёф а(р2 + 1) Х>1 + ЕЯ Йср2 (а<р2 т 1 ] г'< “Г £ — О,

пт + А-_ Е1 (г а3и1 \ - о- (2)

^ й<?2 + /? «Туз у 1 ‘ (^г й(<р2 и’

РТ (—Л_I. ^3) + 01 (^2Ч‘ |_^ “А I /?2У* _о-

здесь (Е1,)1=Л1 т ) . „

' | — жесткость торцевых шпангоутов на изгиб в своей

{Е1\ 1)1=0, т ) и из своей плоскостей;

(С/р;)г—о./п — жесткость торцевых шпангоутов на кручение; (?/)*=о, т — углы закручивания торцевых шпангоутов;

{и(),=о, т, (‘»/)<=о, т — смещения шпангоутов из своей и в своей плоскостях соответственно;

(Ти)1=0,т—погонные продольные усилия, действующие на торцевые шпангоуты со стороны обшивки первого и т-то пролетов оболочки.

Первое условие (2) представляет собой уравнение равновесия торцевых шпангоутов при изгибе в своей плоскости при их нагружении радиальной нагрузкой (д1)1= о,т и потоками касательных усилий и Яд,. Второе и третье выражения — уравнения равновесия кручения и изгиба шпангоутов из своей плоскости при их нагружении продольными погонными усилиями (7’и)г=о, я».

^ В дальнейшем рассматриваются осесимметричные оболочки, нагруженные осесимметричным давлением. В этом случае решение уравнений (1) при условиях (2) можно найти в виде

ик = ик сое пг, *ок = V* 8ш иср; = 5* Е в1п пг, 6 = 0, 1,..., т\ п— -2,3, ...,оо,

(3)

где ик, Ук, вк — произвольные постоянные, а Е — модуль нормальной упругости обшивки.

Преобразуя уравнения (1) с помощью выражений (3), исключая при этом Бк, получаем:

Акщ-г + ВкУ1к-{-СкУ1к+1 = 0] & = 1, 2,..., т— 1, (4)

и„

где векторы щ суть: щ-вид соответственно:

, а элементы матриц Ак, Вк, Ск имеют

Преобразуя таким же образом граничные условия (2) с помощью выражений (3), исключая при этом (т[г)г=о, т и выражая. (Тц)1=о,т через перемещения обшивки [2], получаем:

Вй Щ + с0 Ъ = 0; і = 0;

Ат'Пт-1+Вт'Г\т=‘Ъ\ * = т\

здесь элементы матриц (£*)і=о, т, (Сг)/_о, т имеют ВИД

/ Ь\ \

Ь 11,0 = І ----- Ь ^0 Ь ^12,0 = Й21.Г, #21,0 = &12,о;

(6>

Ыо = »2 (я2 - 1)-1)-Щ -- ап,и

6ц, яг = — ат + :--------------\-е„

Ь\1,т — — «21, т; &21,т = -

'12, т,

&22, т = Л3 (П2

1)[Й

Eh.m

Eh

еп =

1,0

(W2------1)2

— ^22, т', («2 — 1)2

£/?« 1 + EIX filGIp о И2 -

~В& 1 +Еіитіаі п* •

(7>

Элементы матриц С0, аналогичны элементам матриц Ск, Ак: при & = 0 и &==тп соответственно.

Таким образом, выражения (4) и (6) представляют собой систему линейных матричных алгебраических уравнений относительно неизвестных щ, нетривиальность решения которой обеспечивается при равенстве нулю определителя.

Д =

Во С0

Ах Ві С,

АьВьСъ

Лт—1 Вт— 1 0(71—1

Пользуясь методом исключения, этот определитель можно при-

т '

вести к виду Д = П \Мк\. Здесь Mk = Bk — CkMkl1Ak+u Мт = Вт.

k=0

Таким образом, перебирая с помощью ЭЦВМ ряд величин параметра внешнего давления, отыскиваем такие его значения, при которых удовлетворяется условие Д = 0 при разных п. Минимальное из них является критическим.

3. Физически очевидно, что при 1к 0, т -+ оо, и L = const принятая расчетная модель оболочки переходит в полубезмоментную. Для оболочки постоянной толщины это утверждение легко доказывается. Так, если в системе уравнений (1) положить 5ft = const,, то получаем для свободно опертой оболочки следующее выражение критического давления

\2(\ — cosJ^-Y р EI и2 — 1 | V т )

~Е ””......

ER*

I

AR

п*(п? — 1)Г 5 (2 -J- cos я jm)

(8>

совпадающее с выражением (19) работы Л. И. Балабуха, С. И. Галкина, если|принять 0 -> оо. Преобразуем выражение (8) к виду

(1У СиЗ _ 1 \ _|_ 48 8 бш4 л/2от

Е 12 V / ' и_Г п* («2— 1) я;! 3-2 л/2 т '

Осуществляя здесь указанный предельный переход с последующей минимизацией по п, получаем с учетом упрощений, принятых для оболочек средней длины, известную формулу Папко-вича при коэффициенте Пуассона v = 0

/>/£=» 0,856/?/1(8/Яр, (9)

которая, как известно, может быть получена с помощью уравнений полубезмоментной теории оболочек.

Интересно, что эту формулу можно также получить из выражения (8) без предельного перехода, положив в ней /га = 2.

Таким образом, для оболочки постоянной толщины принятая расчетная модель практически эквивалентна полубезмоментной расчетной модели оболочки. В связи с этим можно ожидать, что в случае оболочек переменной толщины, нагруженных переменным давлением, эта расчетная модель должна дать практически тот же результат, что и полубезмоментная теория. Но в нашем случае задача существенно проще по сравнению с задачей интегрирования системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, следующей из полубезмоментной теории.

4. Ниже приводятся некоторые результаты расчета устойчивости оболочек, нагруженных внешним давлением. На фиг. 2 приведены кривые, характеризующие влияние изгибной жесткости из своей плоскости и жесткости на кручение торцевых шпангоутов на критическое давление оболочки постоянной толщины. При этом

принято = 1. По оси ординат отложено критическое дав-

\£/<*/» = 0;/п

ление, отнесенное к аналогичной величине, подсчитанной по формуле Паиковича. Как видно из этой фигуры, существует такой диапазон изгибных жесткостей торцевых шпангоутов из своей плоскости, в пределах которого резко возрастает критическое давление. Этот результат подтверждается экспериментом. На этой фигуре точками нанесены соответствующие экспериментальные значения критических давлений, полученных при испытаниях оболочек в барокамере.

Геометрические характеристики испытанных оболочек приведены на фиг. 3, а и в табл. 1, в которой приведены также расчетные (р) и экспериментальные (рэ) значения критических давлений. В скобках указаны числа волн, при которых реализуется потеря устойчивости оболочки. Во втором столбце табл. 1 приведены пределы изменения толщин испытанных оболочек (расчет проводился при /? = 88 мм, 8=0,9 мм). Оболочки вытачивались на токарном станке из материала Д16Т (Е = 7,2-106 кг/см2). Все оболочки теряли устойчивость хлопком. Критическое давление определялось визуально по манометру.

5. Полученное решение позволило относительно просто подобрать оптимальное распределение толщины оболочек равного веса, при котором реализуется наибольшая критическая нагрузка. При этом максимизация критического давления осуществлялась с по-

1.4

1.2

1,0

О,В

~Я/$=98 • -ия-г

/?=А \ « ^800

0 #>

у-

< и

А

О 1(Г5 10 10 10 е

Фиг. 2

а)

175

/1=87,5

Л*7

ю

Фиг. 3

Ж

К-87,5

12

мощью алгоритма циклического координатного спуска по параметрам 8*/80 (& = 0,..., т) при условии постоянства веса всей оболочки. Здесь 8Й — толщина оболочки на £-м стыке (случай I) или в &-м пролете (случай II); = при А = 0.

В табл. 2 для оболочки постоянной толщины, определяемой параметром /?/8, приведены расчетные значения критического давления р)Е, вычисленные для семи различных случаев граничных условий и двух эпюр внешнего давления — прямоугольной (варианты

1 — 9) и трапецеидальной = —0,28-Ю-7 ^ (вариант 10).

В табл. 3 для этих же вариантов оболочек приведены относительные значения критических давлений р0/р оптимальной оболочки.

Таблица 1

В, мм мм £], мм Л, мм р-10 5Па р-10 бпа

1 0,75—0,91 352 5 10 1,62 (4) 1,70 (4)

2 0,82-0,91 352 5 10 1,86(3) 1,70(4)

3 0,83-0,87 352 5 10 1,35(4) 1,70 (4)

4 0,67—0,88 352 12 12 1,70(4) 2,00(5)

5 0,71—0,87 352 12 12 1.82(4) 2,00(5)

6 0,86-0,89 352 12 12 2,03 (4) 2,00(5)

7 0,82-0,9 352 38,5 12 2,34(5) 2,40 (5)

8 0,86-0,9 352 38,5 12 2,10(5) 2,40 (5)

9 0,87-0,89 352 38,5 12 2,14(5) 2,40(5>

10 0,86-0,89 176 5 5 3,70(5) 3,24(6)

11 0,88-0,91 176 5 5 3,52(5) 3,24(6)

12 0,78-0,89 176 5 5 3,15(5) 3,24(6)

13 0,84-0,9 176 9 9 4,00 (5) 3,88 (7)

14 0,79-0,92 176 9 9 4,22 (6) 3,88(7)

15 0,88 176 9 9 4,12(6) 3,88(7)

16 0,88-0,9 176 18 12 4,78(6) 4,68(7)

17 0,87-0,9 176 18 12 4,64 (6) 4,68(7>

Варианты оболочек

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ця 2 2 2 2 2 10 10 2 2 2

Я1Ъ 800 800 800 800 800 800 100 100 100 800

т* 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 10-5 Ю-з 10-з 10-5

10-5 10-5 10-в 0 0 10-5 10-5 Ю-з 0 10-5

е0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0

ет 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

р/Е- 107 0,238 0,334 0,292 0,131 0,0049 0,0467 0,065 42,8 2,5 0,503

(10) (13) (12) (8) (2) (5) (5) (6) (2) (И)

Относительные распределения толщин обшивки по длине оптимальной оболочки, приведенные в этой же таблице, определялись из условий линейного закона изменения толщины обшивки внутри к-то пролета без скачков при переходе через приведенные кольца, ограничивающие А-й пролет (случай I), и скачкообразного изменения толщины обшивки при переходе через приведенное кольцо в соседний пролет, в пределах которого толщина обшивки сохраняется постоянной (случай II).

Из приведенных данных видно, что за счет рационального-распределения толщины обшивки по длине оболочки удается значительно повысить несущую способность оболочки: в 1,78—1,86 (случай I, табл. 3) и в 1,72—1,75 (случай II,табл. 3) раза по сравнению с оболочкой равного веса постоянной толщины для наиболее распространенных случаев граничных условий (варианты 1—3) и в 26—28 раз для граничных условий пятого варианта. В последнем случае оболочка постоянной толщины имеет очень малое критическое давление, которое удается существенно повысить благодаря более рациональному распределению толщины обшивки. Вместе с тем следует отметить, что если оптимальную оболочку, полученную, например, для варианта 1, нагрузить переменным давлением, имеющим форму трапеции (вариант 10), то критическое давление такой оболочки окажется на 8% ниже критического давления оболочки равного веса постоянной толщины.

Таким образом, оболочка, оптимальная для одной нагрузки,, может оказаться нерациональной для другой. Отметим также, что в процессе оптимизации по мере приближения к оптимальной конструкции появляются некоторые трудности при определении критического параметра волнообразования. Вблизи оптимального распределения толщины обшивки незначительное перераспределение толщины приводит к большому изменению параметра волнообразования пкр. Это явление, по-видимому, может быть объяснена взаимодействием местных форм потери устойчивости между собой и каждой из них с общей формой потери устойчивости.

Относительное распределение толщины оптимальной оболочки вА+1/В0

Вариант оболочки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

£ 1591 1575 1430 925 893 1560 1585 200 89 1520

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1,3 1,3 1.3 1 0,4 1,3 1.3 1,3 0,4 1,7

2 1,9 1.9 1,6 0,51 0,6 1,9 1,9 1.9 0,5 2,1

>8 3 2,7 2,6 1,8 1,1 1 2,55 2,7 2,65 1 2,8

ЙГ 4 3,1 3,1 3 1,1 0,9 3,1 3 3,2 0,9 3,2

а 5 2,7 2,6 2,35 1,1 0,6 2,55 2,7 2,65 0,6 2,6

6 1,9 1,9 1,9 1,21 0,3 1,9 1,9 1.9 0,3 1,3

7 1,3 1,3 1,3 1,3 1,1 1.3 1,3 1,3 0.8 1,1

8 1 1 1 2,46 7 1 1 1 4,3 1

Ро/Р 1,78 1,86 1,74 2,12 26,7 1,86 1,83 1,78 12,5 1,42

(10) (17) (21) (12) (2) (4; (5) (10) (2) (10)

к 1210 1226 1290 686 860 1180 1270 149 107 1000

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1,2 1.2 1,4 0,4 0,4 1,2 1,2 1,2 0,4 1

3 1,9 1.9 1,6 0,7 1,1 1,8 2,1 1,8 1.1 1,6

л э* 4 2,4 2,5 2,5 1 0,7 2,3 2,5 2,4 0,7 1,8

>» 5 1,9 1,9 2,2 0,9 0,5 1,8 2,1 1,8 0,5 1

6 1,2 1,2 1,6 0,4 0.5 1,2 1,2 1,2 0,5 0,8

7 1 1 1 1,6 3.3 1 1 1 3,3 0,5

Ро1Р 1,72 (17) 1,73 (17) 1,75 (П) 2,34 (20) 28,7 (22) 1,78 (7) 1,94 (7) 1,72 (10) 10,1 (13) 1,41 (10)

На фиг. 3, б и в табл. 4 приведены геометрические характеристики оболочек, близких к оптимальным, и критические давления, полученные при их испытаниях на устойчивость (столбцы 1, 2, 3 табл. 4). Эти оболочки испытывались при граничных условиях, близких к заделке. В четвертом столбце этой таблицы приведены размеры оболочки, которые использовались для вычисления критического давления испытанных образцов. В последнем столбце приведены параметры и расчетное критическое давление оптимальной оболочки. Параметры равновесной оболочки постоянной толщины определены в строках 16 и 17 табл.1, критическое давление которой равно 4,64-10~5-*-4,73-1СП5 Па.

Как видно из табл. 4, экспериментально удалось реализовать значительное увеличение критического давления за счет более

Геометрические параметры оболочек

Испытанные Расчетная Оптималь- ная

1 2 3

мм 88 ___ _

Вг, мм 0,63-0,65 0,58-0,65 0,63 0,623 0,6

В2, мм 0,79-0,8 0,76-0,81 0,79—0,8 0,79 0,72

В3, мм 1,09—1,1 1,07-1,1 1,09 1,09 1,13

54, мм 1,29-1,31 1,29 1,28 1,28 1,38

86, мм 1,05-1.15 1,08 1,09 1,09 1,13

86, мм 0,74-0,81 0,78-0,79 0,79 0,79 0,72

87, мм 0,61-0,64 0,62-0,65 0,53—0,63 0,623 0,6

/VI 0-Л Па 6,86 (6) 6,28 (6) 6,38 — -

/?о-Ю-5, Па — — — 7,36 (7) 8,00 (7)

рационального распределения толщины обшивки по сравнению с равновесными оболочками постоянной толщины. При этом соответствие экспериментальных и расчетных значений критического давления по всем испытанным образцам получилось вполне удовлетворительное.

Рукопись поступила 27/VI 1974 г.