CC BY
41
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 90-104
^ Механика =
УДК 533.6.013.42
Аэродинамическая устойчивость консольно защемленной косоугольной пластинки
Т.Н. Исаулова, И.М. Лавит
Аннотация. Изучается устойчивость тонкой косоугольной пластинки в потоке газа. Пластинка защемлена но одной из сторон. Взаимодействие потока с пластинкой описывается поршневой теорией. Решение задачи основано на использовании вариационного принципа Гамильтона и метода конечных элементов. Результаты расчетов сопоставляются с данными предшествующих исследований. Установлены параметры подобия задачи. Показано, что для практически значимых случаев она оказывается автомодельной но одному из параметров подобия. Это дает возможность существенно упростить исходную постановку задачи.
Ключевые снова: аэроуиругость, сверхзвуковой флаттер, стреловидное крыло, пластинка, колебания.
На рис. 1 изображена расчетная схема пластинки, деформирование которой происходит в соответствии с теорией тонких пластинок [1], основанной на гипотезах Кирхгофа. Жссткостные и инерционные параметры пластинки постоянны по площади. Деформирование пластинки описывается в декартовой системе координат х^, к = 1,2,3. Оси абсцисс и ординат лежат в плоскости пластинки (рис. 1). Геометрические характеристики пластинки в плоскости хі, Х2 определяются заданием линейных размеров а, Ь и углов стреловидности «і, 012-
Нагрузки в плоскости пластинки равны нулю. На граничных участках контура пластинки ВС, СИ и Б А отсутствуют внешние перерезывающие силы и изгибающие моменты (свободный край [1]). Вдоль участка граничного контура А В пластинка защемлена. Поперечные усилия, приводящие к изгибу и закручиванию пластинки, представляют собой сумму инерционных нагрузок и нагрузок, обусловленных воздействием воздушного потока, обтекающего пластинку по обеим плоскостям (верхней и нижней).
Работа выполнена при поддержке программы Минобразования РФ «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (грант №2010101032).
с
Рис. 1. Схема обтекания пластинки. Пластинка обтекается воздушным потоком, скорость которого на бесконечности направлена вдоль оси Охч и
равна V
Скорость потока на бесконечности равна постоянной величине V и направлена вдоль оси ординат (рис. 1). Скорость V предполагается сверхзвуковой, причем справедливо условие [2] М € (1.5, 3.5), где М = V/с — число Маха на бесконечности; с — скорость звука на бесконечности.
Важной особенностью рассматриваемой задачи является зависимость аэродинамической нагрузки, действующей на пластинку, от величины прогиба последней. Вследствие этого режим колебаний пластинки может претерпевать не только количественные, но и качественные изменения в зависимости от значения скорости набегающего потока V. Возможен режим колебаний с нарастающей амплитудой — флаттер пластинки, являющийся результатом динамической потери устойчивости [3]. Частным случаем рассматриваемого процесса является возрастание прогиба со временем при отсутствии колебаний (т.е. случай нулевой частоты колебаний) — так называемая дивергенция [3]. Задачей настоящего исследования является определение критической скорости набегающего воздушного потока, при превышении которой начинается флаттер или дивергенция.
Исходным соотношением математической модели является вариационное уравнение Гамильтона для деформируемого твердого тела при малых деформациях [4]
где t — время; 11, t-2 — произвольные моменты времени; Uk — вектор перемещений (к — 1, 2, 3); ро — плотность материала пластинки; Qt = Q/Qt — оператор дифференцирования по времени; атп — тензор напряжений; етп — тензор деформаций; О — объем тела; S — поверхность тела; рк — вектор поверхностной нагрузки; 8 — символ вариации. Выполним в первом слагаемом выражения (1) интегрирование по частям (по времени) и учтем, что в моменты времени 11, 12 вариации Suk равны нулю. Уравнение (1) преобразуется к
виду
Г>#2
Г г г
(И {родьдьик6ик + СГтпб£тп) <10.-1 рк5икй8 ** _«/ П л в
= 0. (2)
Введем обозначение: ш = щ — прогиб пластинки. В соответствии с гипотезами Кирхгофа [1]
и± = — хздгии; 112 = —Ж3Й2Ш; вц = —хздгдгьи;
£22 = -Ж3Й2Й2Ш; £12 = -Х-Ад\д2иО]
Е Е
011 = 1 _ (вц + Ь’£22) = ~ _ 2 Ж3 {д\д\т + 1*8262™); (3)
Е Е
,-------о \е22 + »ей) = —^,
1 — V*- 1 — V1
о\2 = 2(7^12 = — 'Юхфхд^т,
<У22 = ^---72 (в22 + ^еи) = -----2Жз (^2 #2^0 + Ь’Зхдхт) \
где = с)/с)хк — оператор дифференцирования по координате ж*.; Е — модуль Юнга; ь> — коэффициент Пуассона; С — модуль сдвига. Остальные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю. Прогиб пластинки не зависит от координаты х$. Кроме того, справедливо условие | ш | <С /г, где /1 — толщина пластинки.
После подстановки соотношений (3) в вариационное уравнение (2) и интегрирования по жз в пределах от —/г/2 до /г/2 уравнение (2) преобразуется к виду
/ {mdt.dt.wSw + И [(д\д\У) + {д\д\8т + d2д2Sw) —
♦/¡¿1 Л 5
— (1 — ь>) {d\d\wd2d2Sw + d2d2wd\d\8w — 2d\d2wd\d28w)\ — дбт} ¿8 = О,
(4)
где Б — цилиндрическая жесткость пластинки; т — интенсивность массы пластинки, <7 = рз — поверхностная нагрузка. Величины Б и т определяются формулами [1]
п [н!2 Ех\<1х-а ЕкА [к/2 ,
п = * • 2 = ТТп-------2Т; т = Ройх'А = Р°Ь-
У-Л/2 1~1/ 12 (1 — и1) ]-к/2
Аэродинамическая нагрузка с/, действующая на пластинку, определяется, согласно поршневой теории [2, 3], следующим выражением:
ц = _ 2^р ^ + уд2и]) = _.2рс ^ + уд2У1]) ^ (5)
где р, р — соответственно давление и плотность воздуха на бесконечности; 7 — показатель адиабаты. Множитель 2 учитывает, что пластинка обтекается
по обеим поверхностям. С учетом выражения (5) уравнение (4) принимает вид
Г Г
/ / \jjndtdtьз + 2рс6^) <5 го +
^ #1 ¿в
+ Б [{дхдухи + #2#2го) {д\д\8хи + #2#2<5го) —
— (1 — ь>) (#1 йхго#2#2го + 6262106161810 — 26\6^ 61628 XV)) + (6)
+'2рсУ62Ху8ху} ¿3 = 0.
Уравнение (6) представляет собой вариационное уравнение, решением которого является функция XV = хи (£, ж 1, ж2) ■ Она разыскивается в классе функций, удовлетворяющих условиям заделки — существенным граничным условиям [5] — на участке А В
XV = 0; 6^ = 0.
Математическое описание колебательного режима получается путем разделения переменных
/ #Г*Т \
(7)
/ ВСІ Л
XV = IV (жь Ж2) схр ( - , ,
V а /
где 5 — некоторый безразмерный параметр, определяемый в процессе решения задачи. Подстановка выражения (7) в уравнение (6) даст г2
(тв2 + 2рав) \V8\V + О [{ЬМУ + 6262\У) (6М\У + б2б28\¥) -
- (1 - и) (6161\У62628\У + 6262\¥61618\У - 26162\У61628\У)] + (8)
+2рсУ62\У8\У} с1Б = 0.
Для решения задачи выбранным методом необходимо, чтобы область интегрирования была прямоугольной. Непосредственной проверкой легко убедиться, что отображение
' Х\ = | (1 + 6).
Ж2= 2
0 + о (С2 + Сі)
¡3 + ^ (С2 - Сі)
+ 2 (с2 + сі) 6 + 6+2 (С2 С1) 66
(9)
¡3 = Ь/а; С1 = tgск1; C2=tga2; 6^ 6 ^ [-1; 1]
переводит квадрат, изображенный на рис. 2, в косоугольный четырехугольник АВСБ (рис. 1). Обратное отображение имеет вид
6 = 2x1/а - 1,
2жг/о - (сг + С1) Ж1/0 - ¡3 (Ю)
¡3 + (сг - Сі) х\/а
Рис. 2. Образ поверхности пластинки на плоскости £1^2
Введем в рассмотрение величины (здесь и ниже немые индексы, если не оговорено противное, принимают значения 1, 2)
‘Ртк = 1гппк = & дт,дп£,к\ 'Фrnnkj = (Рткфщ ■
Дифференцирование выражения (10) даст
<^22 =
Ч> и = 2; 9512 = -
2
¡3 + (сг - С\) Х\/а
?122 = 7212 =
2 [!3с\ + (С2 - С\) Ж2/0] [0 + (с2 - С1) х\/а]
2 ’
<^21 = 0;
_ 4 (С2 - С\) [¡Зс\ + (С2 - С\) Ж2/0] [/3 + (С2 - С1) XI/а}А
2 (С2 - С1)
[/3 + (С2 - С1) Ж1/а]2
Все остальные компоненты 7тпк равны нулю. Величины <ртк, 'Утпк, 'фтпкз ЯВЛЯЮТСЯ С уЧСТОМ раВСНСТВ (9) функциями переменных и не зависят от о. Приходим к выражению
д\\г д2\\г
дп'дт^' = дт 'ду)}А' = 2 ( 1тпк~ГГ; “Ь 'Фmnkj 777 Те""
\ аа 1 г"1нкзд^д^ '• (11)
Подставим соотношения (9), (11) в вариационное уравнение (8) и получим
аж ШУ д25\у д2\¥ &8\¥
А\к1 777-----------------ь ^2А:Н -ГГ- 777Г-77Г + 777—77 771 \ дь------------гЧк а£га^ а^а^----а£г
+ А
д2\у д25\у
д\у \
-«***) МММЬ-* <и>
где введены следующие обозначения:
= ШкЦИ + 722* 722/ + V (711*722/ + 722*711/) + 2(1 — 1/) 712*712/; ^2*Н = 111кФпИ + 122к4’22И + ^ (?11**/’22Н + 122кФии) + 2 (1 - и) 'УпкФш-п
АзкЩ = фищфии + Ф22к]Ф22И + ^ {ФищФ22И + Ф22щФии) +
+ 2(1-1/) ф12щф12И]
дхі дхі
(13)
ц = тс2а2/Б; г/= рс2аА/Б; А = - ((лз2 + 2ч]з) ; к = г}М.
Дифференциальное уравнение Эйлера для вариационного уравнения (12), очевидно, однородно; однородны также граничные условия. Значения Л находятся из условия существования нетривиальных решений. Таким образом, приходим к задаче о собственных значениях, которая решается с помощью метода конечных элементов [6]. Разобьем область, изображенную на рис. 2, на конечные элементы, выполним интегрирование в левой части уравнения
(12) в пределах каждого конечного элемента и результаты сложим. При этом вместо дифференциального уравнения Эйлера для вариационной задачи, определяемой уравнением (12), получается система алгебраических линейных уравнений. Конечные элементы в данном случае — прямоугольники с четырьмя узлами 1 (элементы Богнсра-Фокса-Шмита [6]). В локальных координатах каждый конечный элемент представляет собой квадрат (рис. 3). Глобальные координаты внутренних точек элемента определяются формулами
6 = °і + Мі; ^2 = 02+ ¿>2^2; ак = (£|2 + і\})/2] Ък = (£|2 - СІ1)/2-
Величины с верхними индексами — это глобальные координаты узлов; их значения известны.
Рис. 3. Конечный элемент в локальных координатах — квадрат. Узлы имеют двойную нумерацию: первый индекс определяет положение узла но оси абсцисс, второй — по оси ординат
Так как в уравнение (11) входят вторые производные по координатам, необходимо обеспечить межэлементную непрерывность не только функции \¥ (¿;к), но и се первых производных по координатам и £2- Кроме того,
(14)
-1
О
и
1 При равномерном разбиении, использованном при решении рассмотренных ниже примеров, конечные элементы представляют собой квадраты.
на границах элементов должна оставаться непрерывной также вторая смешанная производная. Это необходимо, чтобы получить правильное значение однородной деформации при уменьшении размеров элементов [6]. Поэтому узловыми неизвестными являются ЖД, К = 1... 4, где ] — значение IV в и -м узле,
= т,ш *2№'
и-дь’ "и~яьяь
— значения производных от IV в Ы-ом узле. Таким образом, каждый узел имеет 4 степени свободы. Введем в рассмотрение интерполяционные полиномы Эрмита [6]
Нх (г) = (2 - Зг + г3)/4; Я2 (г) = (2 + Зг - г3)/4;
Сх (г) = (1-г-г2 + г3)/4; С2 (г) = (-1 - г + г2 + г3)/4.
Выражение функции \¥ внутри элемента записывается в виде
Ж = Ф* (2ь гг) ЖД; Ф).] = Я7 (21) Н,, (г2); Ф2,; = Ь1СI Ы Н,, (г2);
Ф3и = Ъ2Н1 (21) С., (22); Ф|= Ь1Ь2С1 (Я1) С., (22), (15)
где Ьк определяются формулами (14).
Подставим соотношения (15) в вариационное уравнение (12). Тогда с учетом формул (14) слагаемое в левой части уравнения (12), представляющее собой вклад одного элемента, выразится следующим образом:
{В^икь + кБ21икь - ^въикь) ИфИ^, (16)
где обозначено
ШИ - А Г1 Г1 (Мы 9*й ^ л
и:
! \ ЬкЬ1 дгк дг1 ЬкЬ^ дгк
21кг г)2Ф% дФ%ь 1 Агкщ д2фМ д2Ф%ь
дгкдг,1 с)г1 дгкдг1
3
1 /*1 ЯгьМ
J\dzldz2^, (17)
оА-Ш _ си и [ [ Р2к ^^1.1 | т\ л л
В21.1КЬ ~ 26162 у у с)гк с1г!с1г2]
В^кь = 6162 £ £ Ф^Ф^ь И ¿г1(1г2.
Интегралы (17) легко находятся численно с использованием формул
(13) (15).
Переходя к одномерной глобальной нумерации узловых неизвестных и суммируя по всем элементам выражения (17) с учетом того, что один и тот же узел может входить в несколько элементов, получим
(Схгпп + кС2тп - АСзт») ит8ип = 0. (18)
Здесь ит — узловые неизвестные (в глобальной нумерации), индексы га, п изменяются в пределах от 1 до 4УУ, где N — общее число узлов. Так как вариации узловых неизвестных произвольны, уравнение (18) эквивалентно однородной системе 4N линейных алгебраических уравнений
Существенные граничные условия учитываются следующим образом: исключаются строки и столбцы, соответствующие узловым параметрам, которые, согласно граничным условиям, должны быть равны нулю. Отмстим, что матрицы Сц, Сз симметричны, а матрица С2 — несимметрична. Матричное уравнение (19) представляет собой математическую формулировку обобщенной задачи о собственных значениях [7]: при заданных матрицах Сц, С2, Сз и величине к требуется найти скаляр Л и матрицу-столбец (вектор) и. удовлетворяющие уравнению (19).
Обобщенную задачу о собственных значениях можно преобразовать к
Сз
получается в результате варьирования кинетической энергии в вариационном уравнении (1). В силу положительности кинетической энергии эта матрица положительно определена. Следовательно, обратная к ней матрица С31 всегда существует. Поэтому можно записать
где О — так же, как и С2, несимметричная матрица. Метод решения задачи о собственных значениях заимствован из работы [7]: используется ^Д-алгоритм с предварительным приведением матрицы О к форме Хессенберга [7].
При известном собственном значении Л из предпоследней формулы (13) можно определить §:
Если Лс з < 0, то амплитуда колебаний будет уменьшаться со временем (случай затухающих колебаний), если, наоборот, 11с 8 > 0, то амплитуда со временем будет возрастать (случай потери устойчивости). Выясним ограничения, которым должны подчиняться собственные значения Л для обеспечения устойчивости.
Так как матрица О несимметрична, ее собственные значения в общем случае комплексны [7]. Представим Л в виде Л = Ад + ¿А/, где Ад и А/ — действительные числа, г — мнимая единица. Основание степени в формуле
(20) запишется как
(Сі + «С2- АС3) и = 0.
(19)
БИ = АИ; Б = С31 (Сі + кС2),
г\2 — ц\ = г (соз в + г зіп в) ; г =
■\Д'//2-/іАя.)2 + /і2А|;
Отсюда следует, что
11с 81 = —
М
Так как Лс з2 < 0, для обеспечения устойчивости необходимо выполнение неравенства
Как следует из выражения (21), в координатах Ад, А/ область устойчивости ограничена параболой — так называемой параболой устойчивости 1.
Отметим, что при М = 0 матрица Б симметрична, все ее собственные значения действительны и, кроме того, положительны. При этом (см. формулу (21)) всегда будет выполняться условие устойчивости. Однако с ростом М могут появиться значения Л, не удовлетворяющие неравенству (21). Задачу об устойчивости пластинки можно, таким образом, сформулировать так: найти минимально возможное число М, называемое далее критическим числом Маха и обозначаемое как Мс, при котором нарушается неравенство (21). Критическому числу Маха соответствует (см. формулы (13)) критическое значение параметра к
То, что аргументами функции / являются величины а\, а2, (3, ь>, х, следует из рассмотрения выражений (9), (13), (21). Алгоритм решения задачи строится следующим образом. Вначале при заданных величинах «х, а2, 0, ь> вычисляются матрицы С^Сц, С^1С2, а далее ищется значение к = кс, при котором какое-либо собственное значение Л выходит на параболу устойчивости. При этом удобно использовать метод половинного деления. Задачу естественно конкретизировать, предположив, что вывод об устойчивости можно сделать, исследуя поведение только наименьшего по модулю собственного значения Аь Эта гипотеза опирается на известный экспериментальный факт быстрого затухания колебаний с ростом частоты. Поэтому ниже везде, когда говорится о собственном значении и не оговорено противное, имеется в виду именно Аь Отмстим, что если потеря устойчивости — дивергенция, ТО Ах действительно и меняет знак с положительного на отрицательный. Если же потеря устойчивости — флаттер, то Ах и Х2 имеют практически одинаковые действительные части (положительные) и одинаковые по модулю, но противоположные по знаку мнимые части.
Оказывается, что для многих практически важных случаев процесс потерн устойчивости оказывается автомодельным по параметру подобия ^ [9]. Это обусловлено поведением собственного значения после того, как его мнимая
1 понятие параболы устойчивости введено в работе Мовчана [8]
часть становится ненулевой. В качестве типичного примера рассмотрим квадратную пластинку (/3 = 1) из алюминиевого сплава (Е = 7 ■ Ю10 Па, V = 0.3, ро = 2700 кг/м3) при а/к = 100. Параметры воздуха: 7 = 1.4, р = 105Па, р = 1.29 кг/м3. При этом по формуле (22) получается х = 1-043. На рис. 4, 5 представлены графики рассчитанных зависимостей1 Ад (к) и А/(к), а также границы области устойчивости. Мнимая часть становится ненулевой при к = 29.0, а уже при к = 31.6 происходит потеря устойчивости вследствие быстрого нарастания (по модулю) функции А/ (к). Различие между приведенными значениями к менее 10%. Аналогичные результаты получаются при других величинах «х, а2, 0- Поэтому вполне допустимо, при том, что это допущение идет в запас устойчивости, считать при х ^ 1 процесс потери устойчивости автомодельным по параметру т.с. проводить расчет, полагая X = 0. А это то же самое, что пренебречь в формуле (5) первым слагаемым 2. Условие устойчивости в данном случае получается из первого неравенства
(21) при -// = 0:
Представленные ниже численные результаты получены в предположении справедливости критерия (23).
Рис. 4. Действительная и мнимая составляющие наименьшего по модулю собственного значения как функции параметра к: 1 — график функции А я (к); 2 — график функции Л/ (к); 3, 4 — графики границ области устой-
С08
в
2
(23)
х
О 5 10 15 20 25 30 К
чивости — функций 2^х^и (к) и ~%л/х^и (к)-
1 Все численные результаты получены с относительной погрешностью, не превышающей 10-3.
2 при этом оказывается возможным применение изложенного метода к исследованию устойчивости неоднородных пластинок
-30 -------1--------1--------1--------
28 29 30 31 к
Рис. -5. Фрагмент графиков, изображенных на рис. 4
Сопоставим результаты вычислений разработанным методом с данными других исследователей. Рассмотрим ромбовидную пластинку с «1 = «2 = ос = 30°, а = beos а. Коэффициент Пуассона полагался и = 0.3. В табл. 1 представлены значения первых пяти частот (безразмерных) свободных колебаний, определенных по формуле
О = \/Л = ша2\/т/D,
где ш — собственная частота (круговая). В третьей строке табл. 1 приведены результаты расчетов изложенным методом, в четвертой — результаты Сринивасана и Бабу [10], в пятой — результаты Аргириса [11]. Отмстим, что методы, использованыс в работах [10], [11], отличаются как друг от друга, так и от метода настоящего исследования. Можно отмстить удовлетворительное согласование результатов расчетов, приведенных в табл. 1.
Таблица 1. Собственные частоты О ромбовидной пластинки при а = 30°
Номер собственной частоты
1 2 3 4 5
2.947 7.059 18.97 19.45 31.00
2.898 7.042 18.45 19.24 30.77
2.848 7.123 19.05 19.88 31.50
Критическое значение к, найденное разработанным методом, равно кс = 13.02, приведенное в работе [10] — кс = 13.75. Расхождение результатов вполне приемлемо.
Сопоставим результаты расчетов изложенным методом с результатами Марченко и Филиппова [12]. Рассмотрим пластинку с прямоугольной задней кромкой («2 = 0) и сужением — отношением длины концевой хорды СИ к
длине корневой хорды А В (рис. 1) — определяемым как
Чаї
V = 1
0
Данные расчетов приведены в табл. 2: в верхней строчке — полученные в настоящем исследовании, в нижней — заимствованные из работы [12]х.
Таблица 2. Значения кс для пластинки с прямоугольной задней кромкой
р V
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5 129.3 107.1 89.93 76.67 67.16
130 109 89.5 76.0 67.0
1.0 64.94 50.46 39.37 32.08 28.98
65.0 50.5 39.4 31.9 28.1
2.0 32.25 23.33 17.47 14.31 19.77
32.1 23.1 17.8 15.6 18.9
Расхождение результатов лежит в пределах 10%. Иная картина для пластинки с прямоугольной передней кромкой («і = 0) и обратной стреловидностью задней кромки (а2 ^ 0). В данном случае сужение определяется выражением
V = 1
0
Результаты расчетов представлены в табл. 3, построенной аналогично табл. 2. Резкое уменьшение кс в левой части таблицы обусловлено дивергентной формой потери устойчивости. И здесь наблюдается заметное расхождение в результатах: при и = 0.2, 0 = 1 расчет изложенным методом показывает, что форма потерн устойчивости — флаттер, а расчет Марченко и Филиппова [12] — дивергенция.
Таблица 3. Значения кс для пластинки с прямоугольной передней кромкой
Р V
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.5 51.00 173.4 124.2 90.7 67.16
— 175 — — 67.0
1.0 135.8 82.71 54.46 38.45 28.98
44.0 82.5 56.0 38.5 28.1
2.0 55.94 32.07 21.97 18.03 19.77
54.5 31.8 21.8 19.0 18.9
1 Результаты работы [12] разделены на 2, так как они получены в предположении, что пластинка обтекается только по одной поверхности, что нереально
При проектировании обычно важно знать, как изменяется критическое число Маха в зависимости от удлинения [13]:
л _ 2а2 _ 4
“ Т “ 213 - ох + с2 ’
где 8 — площадь пластинки. Рис. 6 иллюстрирует возможности разработанного метода в решении этой задачи. Отмстим, что при малых значениях удлинения и угла стреловидности а флаттер наступает в результате появления ненулевых мнимых частей не у первых двух собственных значений. Так, при а = 0° и А = 0.5 ненулевые мнимые части появляются вначале у второго и третьего собственных значений, а при А = 0.6 — у третьего и четвертого. Далее, с ростом Л (уже при Л ^ 0.7) аномалия быстро исчезает, и потеря устойчивости происходит как обычно: вначале мнимые части появляются у
первого и второго собственных значений. При а = 30° и при А < 0.7 нену-
левые мнимые части появляются только у второго и третьего собственных значений; далее с ростом Л аномалия исчезает. При других значениях углов стреловидности аномальный режим потери устойчивости отсутствует даже при малых значениях А. Появлением упомянутой аномалии объясняется максимум на графике 1 и изменение знака кривизны линии 2 (см. рис. 6).
Рис. 6. Зависимости критического числа Маха от удлинения для ромбовидной пластинки («1 = «2 = а); Мс* = рс^ Мс = (Злкс: 1 — а = 0; 2 — а = 30°;
3 - а = 45°; 4 - а = 60°.
Подводя итог, можно отмстить, что изложенный метод позволяет провести и качественный, и количественный анализ влияния параметров пластинки и условий обтекания на критическую скорость набегающего потока.
Авторы благодарят Б.Ю. Кудрявцева (МАМИ), обратившего их внимание на исследования Г.А. Марченко и А.П. Филиппова.
Список литературы
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.
2. Смирнов А.И. Аэроупругая устойчивость летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1980. 231 с.
3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.
4. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
5. Михлин С.Г . Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.
6. Зенкевич О . Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
7. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.
8. Мовчан А. А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // ПММ. 1956. Т. 20, выи. 2. С. 211-222.
9. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.
10. Srinivasan R.S., Babu B.J.C. Flutter analysis of cantilevered quadrilateral plates // Journal of Sound and Vibration. 1985. V. 98, N 1. P. 45-53.
11. Argyris J.H. Matrix Methods in Structural Mechanics. Continua and discontinua // Proc. Conf. held at Wright Patterson Air Force Base. Ohio. N. AFFDL-TR-66-80. 1965. P. 11-189.
12. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.
13. Давыдов Ю.В., Злыгарев В.А. Геометрия крыла. Методы и алгоритмы проектирования несущих поверхностей. М.: Машиностроение, 1987. 136 с.
Поступило 30.03.2009
Исаулова Татьяна Николаевна (tat.isa@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Лавит Игорь Михайлович (IgorLavit@yandcx.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Aerodynamic stability of cantilever fasten oblique-angled plate
T.N. Isaulova, I.M. Lavit
Abstract. Stability of thin oblique-angled plate in gas flow is studied. One site of the plate is fastened. The interaction between the flow and plate is described by
piston theory. The problem solving is based on the Hamilton variational principle and finite clement method. The calculation results arc compared with data of previous investigations. Similarity parameters arc defined. It was found out that in practice the problem solution turns out to be automodeling in accordance with several similarity parameters. It takes significant possibility to simplify the initial problem formulation.
Keywords: acroclasticity, supersonic flutter, swept wing, plate, oscillations.
Isaidova Tatyana (tat.isa@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Lavit Igor' (IgorLavit@yandcx.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
