CC BY
63
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 137-145 Механика
УДК 533.6.013.42
Автоколебания прямоугольной пластинки
*
в сверхзвуковом потоке газа *
И. М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг
Аннотация. Рассматривается метод решения задачи об автоколебаниях прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке газа. Деформирование пластинки описывается теорией Кармана, ее взаимодействие с потоком — поршневой теорией. Интегрирование по времени осуществляется по конечноразностной схеме Кранка-Николсон, по пространственной области — методом конечных элементов. Используются совместные конечные элементы Богнера-Фокса-Шмита. Нелинейность задачи учитывается методом последовательных приближений. Приведен пример расчета. Его результаты согласуются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: аэроупругость, пластинка Кармана,
автоколебания, нелинейный сверхзвуковой флаттер.
При небольшой скорости набегающего потока колебания пластинки в газе устойчивы: возмущения со временем затухают. Когда скорость обтекания достигает критической величины, устойчивый режим сменяется автоколебаниями, иначе называемыми флаттером. В зависимости от величины критической скорости говорят о дозвуковом и сверхзвуковом флаттере. Математическое моделирование флаттера можно проводить в линейной постановке (задачи линейного флаттера) и в нелинейной — формулировать и решать задачи нелинейного флаттера. Задачи линейного флаттера несоизмеримо проще, но они позволяют определить только критическую скорость потока. Этого часто бывает недостаточно, обычно когда есть основания предполагать, что амплитуды флаттерных колебаний невелики и усталостных разрушений можно избежать. Дополнительным стимулом изучения нелинейного флаттера является родственность проблем флаттера и турбулентности: там и там возникают автоколебания в механических системах с бесконечным числом степеней свободы.
Исследования нелинейного сверхзвукового флаттера пластинок были начаты в работах [1-5]. Для описания деформирования пластинки в них использована теория Кармана [6], а для моделирования взаимодействия
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-00134).
пластинки с газовым потоком — поршневая теория или теория полосы [7]. В дальнейших исследованиях рассматривались более сложные постановки задачи: либо уточненная теория взаимодействия пластинки с потоком ([8, 9] и др.), либо многослойные пластинки ([10] и др.). Во всех работах применялась теория Кармана. Решение получалось хорошо известным способом [11]: с помощью методов Галеркина или конечных элементов задача сводилась к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которая интегрировалась методом Рунге-Кутта. Метод, безусловно, прост, но его численная реализация легко может оказаться неустойчивой из-за нелинейности задачи, причем вероятность неустойчивости резко возрастает с увеличением порядка системы уравнений. Поэтому практически во всех исследованиях принимались те или иные упрощающие допущения или использовались схемы с малым числом варьируемых параметров ([12] и др.). Повышение точности решений актуально (в качестве примера сошлемся на недавнюю работу [13]). Ниже изложен метод, не ограниченный проблемами, связанными с устойчивостью вычислительного процесса, и следовательно, позволяющий получить решение для систем с большим числом неизвестных. Его суть в том, что вначале выполняется переход к конечноразностной схеме интегрирования по времени, а затем преобразованная таким образом система уравнений решается методом конечных элементов. К задачам аэроупругости, насколько известно, такой подход не применялся.
Рассмотрим отнесенную к декартовым координатам Xk, к = 1, 2, 3 прямоугольную пластинку, обтекаемую потоком газа (рис. 1), скорость которого на бесконечности равна V. Плоскость z = X3 = 0 является нейтральной плоскостью пластинки. Внешние нагрузки в плоскости пластинки отсутствуют. Поперечной нагрузкой является давление газа. Стороны пластинки могут быть защемлены, оперты или свободны. Перемещения точки пластинки обозначаются Uk, к = 1, 2, 3. Из компонент тензора деформаций ненулевыми являются £ц, £12, £22. Их связь с перемещениями определяется формулами
1 2 1 £11 = diUi + 2 (diw) , £12 = 2 (diU2 + d2Ui + diwd2w), (1)
1 2 d
£22 = d2U2 + - (d2w) , dk =
2 дхк
где и> (х1, Х2) = из — прогиб пластинки. Учет нелинейных членов в выражениях (1) при сохранении гипотез Кирхгофа [6] определяет теорию Кармана [6]. Перемещения и1, и2 выражаются в виде [6]
и1 = и10 — гд1,ш, и2 = и20 — гд2,ш, (2)
где и10 (х1, х2), и20 (х1, х2) — перемещения точек нейтральной плоскости. Подстановка формул (2) в выражения (1) дает
1 2
£ц = діиіо - ^ (діш) ,
£12 = 2 (д1и20 + д2ию — 2,гд1д2-ш + д1-шд2-ш), (3)
1 2
£22 = д2и20 — ^д2д2^ + 2 (д2^) .
Из компонент тензора напряжений отличны от нуля стц, 012, 022. Они определяются выражениями
Е Е Е
011 = -----2 (£11 + ^£22) , 0 12 = — £12, 022 = ----------2 (£22 + ^£11) , (4)
1 — V2 1+ V 1 — V2
где Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона.
Рис. 1. Схема обтекания пластинки
Численное решение задачи строится на основе принципа возможных перемещений:
У (родгдгикбик + ат1гбетп) ^0 = J ркбик^5, (5)
где 0 — объем пластинки, 5 — площадь ее поверхности, ро — плотность материала пластинки, і — время, рк — внешняя нагрузка.
В данном случае
Рі = 0; р2 = 0; рз = д.
Силами инерции в плоскости пластинки пренебрегаем. Следовательно,
діді ик бик = діді-шб-ш.
Выражение (5) преобразуется к виду
(6)
Аэродинамическая нагрузка определяется согласно поршневой теории [3] формулой
д = —рс (д^ш + Уд2ш)
(7)
где р, с — плотность газа и скорость звука на бесконечности. Если пластинка обтекается по обеим поверхностям, величину д нужно умножить на два.
Подстановка соотношений (1)—(5), (7) в уравнение (6) и интегрирование по толщине пластинки Н преобразуют (6) к виду
/ {рдД-ш£-ш+
+Є1
дійіо + 2 (ді^)Ч + ^д2и2о + 1 (д2ш)2
[д15и10 + д1шд1£ш] +
+Є1
д2^2о + 1 (д2^)Ч +^д1ию + 2 (д1^)'
[д2^и2о + д2адд2^ад] +
+е2 (д1и2о + д2ию + д1 -шд2-ш) (д1^и2о + дг^ию + д2адд1^ад + д1адд2^ад) +
+ (д1 д1ад + ^д2д2ад) д1д15ад + (д2д2-ш + ^д1д1ад) д2д2£-ш+
+ 2(1 — V) д1 д2адд1д2^ад + п (д*эд + Мд2-ш)] £-ш} ^5 = 0. (8)
Здесь и ниже все величины, имеющие размерность длины, отнесены к толщине пластинки, время — к величине Н/с. Введены обозначения: М = = V/с — число Маха на бесконечности,
12(1 — V2) рос2 12(1 — V2) рс2 12 6(1 ,
р = — -------^--------, П = —---------^—--, е1 = 12, е2 = 6(1 — V).
Е
Е
Если пластинка обтекается газом с обеих сторон, коэффициент п умножается на 2.
Для интегрирования по времени используется неявная конечноразностная схема Кранка-Николсон [14]. Представим уравнение (8) в виде
[(рд/Дш + пд^ш) + Ф] ^5 = 0,
(9)
где функция Ф не зависит от производных по времени. Пусть V = д*ш — скорость поперечных колебаний пластинки. Уравнение (9) эквивалентно при этом системе двух уравнений первого порядка по времени
( Г [(рд*-и + п^) + Ф] ^5 = 0,
д (10) [ = V.
Пусть, далее, Д£ — величина шага интегрирования по времени, п = = 1, 2,... — номер шага. Конечноразностное представление производной по времени на п-ом шаге имеет вид д*у ^ (уп — уп-1)/Д£, где у”, у”-1 — значения у на границах временного интеграла. Величины, не содержащие производных по времени, представляются на п-м шаге интегрирования по времени в виде у ~ 0.5 (уп + у”-1). В соответствии с этим конечноразностное представление системы (10) имеет вид
_р_ (Vя — Vй-1) + 2 (Vя + Vя-+2 (Фп + Фп-1^ ^ = 0,
1
А*
= 1 (Vя + Vя-1)
(11)
Величины с индексами п — 1 известны из решения для предыдущего шага. Из системы (11) определяются величины с индексами п. Выразим из второго уравнения системы (11) величину V” и подставим в первое уравнение. Получим
2
V” = -^ (шп — ад™-1) — Vй-1,
Д^ v ; ’
+ Фп
(12)
А ((р + п
Аі и Аі + 2
шп—1+ рvra-1
—Ф
П—1
Из второго уравнения (12) определяется ш”, затем из первого находится V™. Решение нелинейного уравнения (12) (второго) получается методом последовательных приближений. На каждом шаге итерационного процесса нелинейные члены известны и рассматриваются как массовые силы. При этом уравнение (12) (второе) распадается на два, так как в линейном приближении плоское деформирование и изгиб пластинки независимы. Перенеся нелинейные слагаемые в правые части, получим уравнение для прогиба в виде
Д ( Д + 2 ^ шп£ш + (д1д1 ш” + Vд2д2■w”') д1д1^ад+
+ (д2д2шп + ^д1д1шга) д2д2^ш + 2 (1 — V) д1д2шпд1 д2^ш + пМд2шга^ш] ^5 =
,/{/4^(( Д£ + Ю 1 + ^ ^ - (д1 Дад” 1 + ^д2<92-шга :) 01 д^ад—
— (д2д2адга 1 + ^д1д1адга ^ д2д2£ад — 2(1 — V) с^с^ад” 1д1д2^ад — пМд2
ад
” — 1
•М — I |в1 (д1<0 + 2 (^ад”)2) + V (ад + 1 (^ад”)2)
+е1
+ 1 (д2^га)Ч + V ^<91<0 + 2 (^ад”)2
д1адгад1£ад+ д2ад”д2£ад+
+е2 (д1иП0 + д2<0 + д1адгад2ад”) (д2адгад1£ад + д1адгад2^ад)} —
— I {е1 ^0 1 + 1 (д1адП 1)^ +V (д2и20 1+1 (д2™” 1)2^)
д1 ад” 1д1£ад+
5
+е1
д2иПП0 1 + 2 (д2^П 1)^ + ^д1и10 1 + 11 (д1^П 1)2
д2ад” 1 д2£ад+
+е2 (д1иЦ0 1 + д2иП0 1 + с^ад” 1д2адга ^ (д2ад” 1д15ад + д1адга ^^ад) } ^5, а уравнение для перемещений в нейтральной плоскости — в виде
[ [е1 (д1и”0 + vд2Uno) <91^10 + е1 (^и” + vдlUlгo) ^2^20 +
+е2 (д1и”0 + д2<0) (01^^20 + д2^ию)1 = — ^ [е1 (д1и”0 1 + Vд2■u50) 01^^10 +
+е1 (д2и”—1 + Vдlu1г— 1) 02^^20 + е2 (<91^”— 1 + д2<—' 1) (01^^20 + д2^ию)] —
,.”\2 I /'л 2) ^ _ | (^л_„ ,.”\2 I / а „..т 2)
2
^ ((д1^га)2 + V (^ад”)2) 91ЙИ10 + 2 ((^ад”)2 + V (91 ад”)2) №20+
+е2д1адгад2ад” (д^^+^ию)] dS—^ ц1 (^(^ад” 1)2 +v (^ад” 1)^ д1^ию+
+ "2 ((^2^” ^ + V (д!ад” д2^и20+е2д1ад” ^ад” 1 (д16«20+д2£«10)
1)2
г— 1) 2
dS.
Оба уравнения при известных правых частях представляют собой уравнения линейных задач: первое — для изгиба пластинки, второе — для плоской задачи. Оба решаются методом конечных элементов. Использованный вариант метода для решения первого уравнения описан в работе [15], второго — в работе [16].
Рассмотрим пример решения задачи. Квадратная пластинка, обтекаемая по одной поверхности, защемлена по сторонам АД и ВС и свободно оперта по сторонам АВ и СД. Отношение толщины пластинки к длине ее стороны
равно 2.25 ■ 10-3. Остальные исходные данные: V = 0.3, п = 5.50 ■ 10-6, р = 3.33 ■ 10-2. В экспериментах [17] получено критическое число Маха, при достижении которого затухающие колебания сменяются автоколебаниями, равное 1.7. На рис. 2, 3 приведены рассчитанные зависимости прогиба центра пластинки от времени (все величины — безразмерные). При проведении расчетов задавались шаг по времени Ді = 0.05, количество конечных элементов вдоль каждой из сторон — 10. При этом относительная погрешность расчетов не превышает 10-3. Для инициирования колебаний к центру пластинки прикладывается сосредоточенная нагрузка, которая возрастает в зависимости от времени по линейному закону от нуля до величины 2 ■ 10-3 при і < 10 и далее при 10 < і < 20 убывает до нуля по тому же закону.
•2 _______________■_____________■______________■_____________■______________
0 1 2 3 4 і 10-
Рис. 2. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при М = 1.65
> 1о
-2_______I______I_____I_______
О 3 6 9 * ДО-1
Рис. 3. Зависимость прогиба центра пластинки от времени при М = 1.75
При значении числа Маха, меньшем критического, колебания затухают, а при значении, большем критического, появляется характерный для автоколебаний предельный цикл — стационарные колебания [18]. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с эксперименталь-
ными данными [17], что свидетельствует об адекватности математической
модели.
Список литературы
1. Нелинейные задачи устойчивости плоских панелей при больших сверхзвуковых скоростях / В.В. Болотин [и др.] // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 3. С. 139-146.
2. Болотин В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек // Инж. сборник. 1960. Т. 28. С. 215-223.
3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.
4. Fung Y.C. On two-dimensional panel flutter // J. of the Aeronautical Sciences. 1958. V. 25. N 3. P. 145-160.
5. Ventres C.S., Dowell E.H. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates // AIAA J. 1970. V. 8. N 11. P. 2022-2030 (Рус. пер.: Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 11. С. 126-136).
6. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.
7. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006. 247 с.
8. Кудрявцев Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 2. С. 61-67.
9. Dowell E.H., Ilgamov M. Studies in nonlinear aeroelasticity. Springer-Verlag, 1988. 455 p.
10. Hai Z., Dengqing C. A study on the aero-elastic flutter of stiffened laminated composite panel in the supersonic flow // J. of Sound and Vibration. 2013. V. 332. N 19. P. 4668-4679.
11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.
12. Popescu B. Deteriorated geometrical stiffness for higher order finite elements with application to panel flutter // Nonlinear Dynamics. 1999. V. 18. № 1. P. 89-103.
13. DanX., MinX., Dowell E.H. Proper orthogonal decomposition reduced-order model for nonlinear aeroelastic oscillations // AIAA Journal. 2014. V. 52. N 2. P. 229-241.
14. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 418 с.
15. Исаулова Т.Н., Лавит И.М. Устойчивость консольно защемленной косоугольной неоднородной пластины в сверхзвуковом потоке газа // Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т. 52. № 4. С. 191-204.
16. Лавит И.М., Нгуен Вьет Чунг. Термоупругопластическое деформирование толстостенного цилиндра с радиальной трещиной // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 173-183.
17. Микишев Г.И. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 154-157.
18. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 913 с.
Лавит Игорь Михайлович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Нгуен Ван Чыонг ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Self-oscillations of rectangular plate in supersonic gas flow
I. M. Lavit, Nguyen Van Truong
Abstract. A method of solution for rectangular plate with supersonic gas flow self-oscillations problem is proposed. Plate deformation is simulated using the von Karman theory. An interaction between plate and flow is based on the piston flow theory. Time integration is executed with Crank-Nicholson finite-difference scheme. Space integration is executed with finite element method. Compatible Bogner-Fox-Schmitt finite elements are used. Nonlinearity of problem is adjudicated with iteration procedure. Example of calculations is presented. It’s results match with experimental data.
Keywords: aeroelasticity, von Karman plate, self-oscillations, non-linear supersonic flutter.
Lavit Igor ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Nguyen Van Truong ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 23.04-2014
