О возможном явлении флаттера в экономике Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Менеджмент, экономика, финансы

№ 106

УДК (347.471.33.37)

О ВОЗМОЖНОМ ЯВЛЕНИИ ФЛАТТЕРА В ЭКОНОМИКЕ

Ю.А. ШУРИНОВ, Н А. РЫЖКОВА, Е.А. ЛИСТРОВ Статья представлена доктором экономических наук, профессором Фридляндом А. А.

Описываются флаттер пластинки и экономический флаттер.

Явление флаттера крыльев летательных аппаратов

Сопоставление экономических процессов со сходными явлениями в других областях знаний позволяет получить новые, порой неожиданные результаты [1,2]. Так, например, автором [1] ранее был предсказан дефолт в экономике благодаря установлению аналога в термодинамике сверхтекучей жидкости. Описание в экономике аналога флаттера поможет понять причины сложных экономических явлений во

время различных эпидемий, природных и техногенных катастроф.

В [3] рассмотрена простейшая аэроупругая модель классического флаттера, которая представляет собой пластинку, упруго закрепленную на пружинах с жесткостями с1 и с2.

Пластинка в горизонтальном положении обтекается горизонтальным потоком воздуха с постоянной скоростью v. Рассматривается случайное малое отклонение пластинки от ее равновесного горизонтального положения. Положение пластинки характеризуется двумя координатами - углом поворота ф и вертикальным перемещением у середины пластинки.

На рис. 1 показаны подъемная сила У и реакции упругих опор

К-іД2.

Рис. 1. Схема сил, действующих на отклоненную пластинку

йсУ г2 і і У=їх Ф~2Ы , Л=-(У+2Фс1, Л=Чу - Ф

(1)

где Ь- ширина, 1- длина, а- расстояние точки приложения подъемной силы У от переднего края кры-

ла;

йс

У

йа

> 0 - угловой коэффициент прямой, характеризующий изменение коэффициента подъемной

силы С

У

¿Су,

йа

а, а - малый угол атаки. Из уравнений движения пластинки

У + Л! + Л*2 = тЬ1

і2 у йі2 !

3 2

т^/Ь ч , , тЬ і й ф

У (- - а) + М =----------------------

2 ' 2 йі2

Ь Ь Ь Ь М = -( у + -ф)сЛ- + (у — ф)с21-2 1 2 2 2 2

(2)

следует система дифференциальных уравнений для определения у(1;)и ф(1;)

й2У а

—у + а11У + а12Ф = 0 йі

й Ф л

—2 + а21У + а22Ф = ° йі2

где

а

11

с1 + с2 тЬ

а

22

С + с2 -су ру2 (Ь — 2а)

тЬ

Ла 2 тЬ

а

12

:1 — С2 -су ру2 1

С Сп

2т

da 2 т

а21 =

Отметим, что кроме стационарного решения ф=0, у=0,система уравнений (3) имеет еще одно стационарное решение при заданном постоянном у

р =

а

21

а

У,

22

которое при упрощающем равенстве Ь=2а имеет вид

2(с2 С.)

ф = ——------— у.

(с2 + С1)Ь

Это решение возможно при выполнении двух условий

л

С 2 > С

V = V

кр

2

Лсу с ‘

р-а (1—-1)

Ла с2

(4)

где VК-р - так называемая критическая скорость дивергенции. Заметим, что в линейной постановке при V = V-р определяется лишь возможность стационарного решения. Само стационарное решение однозначно определяется при учете нелинейных эффектов.

Нестационарным решениям системы соответствует характеристическое уравнение

,2 = 3(с1 + с2) ± 4тЬ ^

9(с1 + с2)

1

16т2Ь 2

2т2Ь2

2 Лсу

4с1с2 + р (с1 — с2 )

-а

(5)

у = АеШ, р = ВеШ. Из (5) следуют выводы:

При V = 0 все четыре значения ю положительны. При любых положительных значениях с1 ф 0; с 2 Ф 0 горизонтальное положение пластинки устойчиво. (рис. 2а)

Рис. 2. Типы движений пластинки после начального отклонения: а) гармонические колебания (устойчивость); б) апериодическое увеличение отклонения у (апериодическая неустойчивость — дивергенция); в) колебания с возрастающими амплитудами (колебательная неустойчивость — флаттер)

с

1

При V Ф 0:

а) если с2 > с1 и V < Укр, то все четыре значения ю положительны, горизонтальное положение пластинки также устойчиво (рис. 2а).

Если же V > V-р , то два из четырех значений ю будут комплексно сопряженными, чисто мнимыми.

Горизонтальное положение пластинки становится неустойчивым, так как возникает апериодическое неограниченное возрастание малых случайных возмущений (рис.2б);

возникает флаттер - колебания с неограниченно возрастающей амплитудой. Горизонтальное положение пластинки становится неустойчивым (рис. 2в).

Следует иметь в виду, что рассмотренная в [3] простейшая модель, в которой крыло самолета изображается пластинкой и не учитываются многие аэрогидродинамические, аэроупругие и геометрические нелинейности позволяет лишь продемонстрировать возможность возникновения флаттера крыла летательного аппарата.

В [4] и [5] показано, что экономические системы, функционирование которых зависит от соотношения спроса и предложения на рынке, характеризуются наличием частоты собственных колебаний. Так, например, в [4] простейшая модель «склад - рыночная цена товара» описывает незатухающие гармонические колебания цены товара около его равновесного значения.

В [5] рассмотрен пример динамики цены товара, которая описывается затухающими гармоническими колебаниями при наступлении равенства спроса предложению.

На наш взгляд вполне возможно возникновение явления флаттера в определенной экономической ситуации. Например, примем следующую интерпретацию параметров рассмотренной модели [3] флаттера крыла летательного аппарата:

с - предложение товара на рынке, с2 - спрос на этот товар, ф>0 - прирост прибыли от продажи единицы товара при неравенстве спроса предложению, у>0 - прирост прибыли от продажи N единиц товара. В этой ситуации параметр V - некий объективно существующий экономический фактор, влияющий на разницу между спросом и предложением.

В экономической интерпретации выводы из уравнения (5) следующие:

а) если спрос с2 больше предложения с^ но некий объективный фактор V меньше ^кр, то прирост прибыли ф за период колебания будет равен нулю (рис 2а);

экономический флаттер - колебания ф и у с возрастающей амплитудой. Каждый следующий прирост прибыли сменяется все возрастающим убытком (рис. 2в).

Следует заметить, что реально ни при флаттере крыльев, ни при флаттере в экономике нет неограниченных по амплитуде колебаний, но значения амплитуды могут достигать опасных конечных размеров, что приводит к разрушению крыльев и банкротству конкретных экономических систем.

Отметим, что при с2 >01 объективно существующий фактор V отображает, например, влияние возникшей эпидемии на увеличение спроса на лекарства или соответствует возрастанию дефицита на стройматериалы после техногенной или природной катастрофы. В этом случае при V > V-р возрастание

параметра V ведет к приросту прибыли (рис. 2б).

Если спрос с2 меньше предложения сь то при V < V[р за один период ограниченных по амплитуде

колебаний прирост прибыли равен нулю (рис. 2а).

б) если С > С2 , то при V > Укр,

где

(6)

Возможность возникновения флаттера в экономике рынка

при v^0:

б) если с2 >с и числовое значение фактора V превысит величину V - , то прирост прибыли стремится апериодическим образом неограниченно возрастать (рис. 2б);

в) если спрос с2 меньше предложения сь т.е. в (5) имеем с^ — с2 > 0 , то при V > V(р возникает

Если же V > V(р и, например, с2 = — С , то в (5) последнее слагаемое справа имеет вид

2

2 dcy / \ 2 dcy 2 dcy 1

pV -------(Сі -c2) = p ---------- = P ------------ _C (7)

r da da 2 ^ da 2 1

Из (7) видно, что увеличение V в этой ситуации увеличивает как спрос с2, так и предложение 1 с .

2 1

Это и приводит к флаттеру (рис.2в).

Эффект экономического флаттера не всегда легко обнаружить в реальной обстановке, так как и спрос с2 и предложение с1 не остаются неизменными. На их величину одновременно реально воздействуют как несущественные, так и порой значительные факторы, комуфлирующие идеальное проявление флаттера.

В заключение особо отметим следующее:

как флаттер крыла, так и флаттер рассмотренной экономической системы возникает потому, что и крыло и экономическая система обладают, во-первых, собственной частотой колебаний и, во-вторых,

f тт d

и v

кр F кр

менить функционирование и крыла и экономической системы.

характеризуются критическими значениями V и V с^р параметра V, который способен кардинально из-

ЛИТЕРАТУРА

1. Маслов В.П. Квазистабильная экономика и ее связь с термодинамикой сверхтекучей жидкости. Дефолт как фазовый переход нулевого рода.1. / Обозрения прикладной и промышленной математики, 2004, т. 11.

2. Цирлин А.М. Методы оптимизации в необратимой термодинамике и микроэкономике.-М.:Физматлит,2003.

3. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1964.

4. Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. - М.: НВТ-Дизайн, 2002.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей / Учебник. -М.:ИНФРА-М, 1999 -(серия «Высшее образование»).

ABOUT THE POSSIBLE PHENOMENON OF «FLATTER» I N AN ECONOMY

Shurinov U.A., Ryzhkova N.A., Listrov E.A.

The article discribes plate flatter and economic “flatter”.

Сведения об авторах

Шуринов Юрий Алексеевич, 1941 г.р., окончил ВГУ (1961), кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор свыше 50 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование в теплофизике и экономике.

Рыжкова Наталья Адольфовна, окончила ВГУ ПММ (1995), преподаватель ВГИ МОСУ, автор более 20 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование в теплофизике и экономике.

Листров Евгений Адольфович, 1961 г.р., окончил ВГУ (1983), кандидат физико-математических наук, доцент ВГАУ, автор свыше 40 научных работ, область научных интересов - математическое моделирование в теплофизике и экономике.