Об одном алгоритме решения интегро-дифференциальных уравнений задачи о колебаниях вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Б.А. ХУДАЯРОВ, д.т.н., Ташкентский институт ирригации и мелиорации, г. Ташкент, Республика Узбекистан,

З.У. ЮЛДАШЕВ, ст. преп. Ташкентский институт ирригации и мелиорации, г. Ташкент, Республика Узбекистан

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Исследуется задача о флаттере вязкоупругих пластин типа параллелограмма, обтекаемых потоком газа. Разработаны методика и алгоритм численного решения интегро-дифференциальных уравнений. Приведены результаты расчетов критичской скорости флаттера. Ил.: 4. Библиогр.: 9 назв.

Ключевые слова: флаттер, вязкоупругий элемент, алгоритм, интегро-

дифференциальное уравнение.

Постановка проблемы и анализ литературы. В последние годы большое внимание уделяется задаче о колебаниях пластин и оболочек, обтекаемых в сверхзвуковом потоке газа. Эти задачи представляют интерес в связи с вибрацией обшивки современных летательных аппаратов. Большинство работ было посвящено исследованию флаттера канонических элементов (прямоугольных пластин и панелей) летательного аппарата, обтекаемых в потоке газа. Однако, некоторые элементы обшивки летательных аппаратов имеют форму параллелограмма или трапеции. Теоретических исследований задачи о колебаниях пластин в форме параллелограмма или трапеции в потоке газа очень мало.

Проблемы алгоритмизации задачи механики сплошных сред изучены в работах А.Ф. Верланя [1, 2], Г.Е. Пухова [3], В.К. Кабулова [4], Ф. Бадалова и Х. Эшматова [5] и других. Вопросы разработки и реализации на ЭВМ алгоритмов решения нестационарных задач аэроупругости при дозвуковых скоростях полета рассмотрены в работе [6]. Разработаны экономичные алгоритмы приведения к нормальному виду и решения уравнений аэроупругости при учете большого количества форм собственных колебаний, полученных из уравнений динамики полета и колебаний упругой конструкции летательного аппарата в линейной постановке методом разложения по формам колебаний.

Однако, несмотря на имеющиеся в этой области исследования ряда авторов, до настоящего времени не было научных работ, где были бы разработаны методы и эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) динамических

задач вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций с сингулярными ядрами, а также не разработан комплекс прикладных программ.

Цель данной работы - разработать методы и численные алгоритмы для решения нелинейных задач о флаттере вязкоупругих элементов летательного аппарата. Для вычисления критической скорости флаттера предлагается численный метод и алгоритм решение нелинейных ИДУ с сингулярными ядрами. На основе разработанного вычислительного алгоритма создан комплекс прикладных программ.

Рассмотрим вязкоупругую пластину типа параллелограмма, обтекаемую в потоке газа со скоростью V. Аэродинамическое давление учитываем по поршневой теории А.А. Ильюшина [1]. Форма и размеры пластины показаны на рис. 1 а. Степень ее отклонения от прямоугольной пластины характеризуется углом у [2]. С помощью следующего преобразования

I = X, Ц = у - 0х, 0 = 1ёу

параллелограмм с областью О и границей Г на плоскости (х, у) отображается на прямоугольную область О0 с границей Г0 на плоскости (I, ц) (рис. 1 б). В дальнейшем параметр 0 примем в качестве параметра, характеризующего отклонение параллелограммной пластины от канонической прямоугольной.

Уравнения движения вязкоупругих пластин типа параллелограмма в потоке газа имеют вид

* \ д4 * д4 * т д4 *

Б(1 -Я)\^-40-—-— + 2(1 + 302) д *

15|4 д^3—^ д|2—^

т д4 — т т д4 — I д2 — д—

- 40(1 + 02)-------- + (1+ 02)2 —-1 + рИ —— + В— + (1)

( ) д^дп3 ( ) —V ] р —ґ2 —ґ к 1

д— д—

------0-----

—; д^

+ ВУ\ — -0— 1 + ВгУ/

= 0.

БИ 3

Здесь ^ =-------------— - жесткость при изгибе; И - толщина

12(1 - ц 2)

пластинки; Е - модуль упругости; д - коэффициент Пуассона; р -плотность материала; в = ^Е^, вх = ^(^+ О^ - показатель

политропы газа; рт ,УХ - соответственно давление и скорость звука в невозмущенном потоке газа.

Представим перемещение 1(|,ц,/) в виде разложения по функциям

Фпт(|, ц) , удовлетворяющим соответствующим граничным условиям

N Ь

*(1, Ц О = 22 1пт(/)Фпт(1, Ц , (2)

п=1 т=1

где 1пт = м>пт(1) - искомые функции времени.

Поставляя (2) в (1) и выполняя процедуру Бубнова-Галеркина для определения 1пт (/) получим систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра в виде

+ М ^ +^2 2 2 I ^ + 2(1 + 30 2)^ 2п 2т2 +(1 + 0 2)2 ^ 4т4 пкт1 +

п=1 т=1 ^

640Алт Г 2 о 2 21 | *

+----~2--[п + (1 + 0 )^ т \ У пкт1 К1 - К )*пт +

(3)

г*

+ ,.

4м *м ^ 22 (п Тпк8,т - т0^пк!т1) 1

т1 п=1 т=1

N Ь

+мм*22 2ГИпту^пт1,, = 0 п,1 т, ]=1

»„т (0) = 1»пт: <т(0) = Wonm, к = 1, N; 1 = 1Ь .

Рис 1. Г еометрия пластинки.

N Ь

=K\Mp ; > =a • = - ’ M 2 = p” ; Q p pV2

Ml = E . pvJ ; *.=a; b ? Я Я • 5nkml = 5nk5ml;

8 n1c ={0, если если n = к, n Ф к. к

Y nk = < к 2 — n 0 ,

8 ml = {0, если если m = l, m Ф l. l

Y ml = l2 — m 0 ,

M1 = K(K +1), 0 — -M 2; M 4 p

если (к + n) нечетно, если (к + n) четно. если (m +l) нечетно, если (m +l) четно.

Гкlnm,j = 16niTlkn, Y2lmj — “ K^5^52mjl + 16^ ^ " Y2kni Y1lm, ;

Уlkni = Yк—n+i + Yк+n—i + Yк—n—i + Yк+n+i;

Y2lm/ = Yl—m+ j + Yl+m—j Уl—m—j Yl+m+j ;

51ш'к = 5 n—i—к — 5 n—i+к + 5 n+i—к — 5 n+i+к;

52mjl = 5m—j+l + 5m+j—l 5m—j—l 5m+j+l;

Y2tni = Yк—n+i + Yк+n—i Yк—n—i Yк+n+i;

YUmj = Yl—m+ j + Yl+m—j + Yl—m—j + Yl+m+j ;

[1, при i = 0,

5i = Ь ■ /-! Y к =

10, при / Ф 0.

1 ,

—, если к — нечетное,

к

0, если к = 0 или четное.

Интегрируя систему (3) два раза по t, запишем ее в интегральной форме. Полагая затем t = tp, tp = pAt, p = 1, 2,... (At = const - шаг

интерполяции) и заменяя интегралы некоторыми квадратурными формулами, для вычисления wpnm = wnm(tp), получим рекуррентную

формулу

2

да

™рЫ =

р-1

,уак/

+ (Ц’ак! + М X! ™аЫ Хр-£ Аг | М X 1 + (^p - ^ )

И2 X

££| [п4 + 2(1 + 302)Х2т2п2 +(1 + 02)2X4т4]ьпЫ

п=1 т=1 ^

64 0Xпт\

+ ——-----------------[п2 + (1 + 0 2)Х 2т2 ]:

5=0

N Ь

+ 4М М х И<у пк^т/п - 0 т 5пкут/ V,

п=1 т=1

+ М1М* £ £Гк 1птЦ^гпт^гЦ

р = 1,2,..., к = 1,N; / = 1,Ь,

п,г=1т, 7=1

где Ар, В5 - коэффициенты квадратурной формулы трапеции; А -

параметр вязкости; а - параметр сингулярности, определяемый экспериментом; в - параметр затухания.

Благодаря предложенному подходу в алгоритме для численного решения задачи в формуле (4) множитель (р - /у при у = р принимает

нулевое значение, т.е. последнее слагаемое суммы равно нулю. Поэтому суммирование осуществляется от нуля до р - 1 (у = 0, р - 1).

Таким образом, согласно численного метода [3] относительно неизвестных получим систему линейных алгебраических уравнений. Для решения системы используется метод Гаусса.

В качестве критерия, определяющего критическую скорость флаттера, принимаем условие, что при этой скорости амплитуда колебаний изменяется по гармоническому закону (рис. 2).

Рис. 2. Зависимость прогиба пластины от времени Г при У=УЩ_

1

г=0

+

При скорости V > ¥кр происходит колебательное движение с интенсивно нарастающими амплитудами, которое может привести к разрушению конструкции (рис. 3). В случае, когда скорость потока меньше критической V < Vкр, амплитуда колебаний пластинки затухает (рис. 4) [4].

Рис. 3. Зависимость прогиба пластины от времени Г при >кр

Исследовалось влияние вязкоупругих свойств материала пластинки на критические значения скорости флаттера. Результаты вычислений, показывают, что решения упругих (А = 0) и вязкоупругих (А > 0) задач существенно различаются между собой. Например, при увеличении параметра А от нуля до значения 0,1 критическая скорость флаттера уменьшается на 45%.

Рис. 4. Зависимость прогиба пластины от времени Г при <кр

Далее исследовано влияние параметра сингулярности а на критическую скорость флаттера. С увеличением параметра а эта скорость возрастает. Далее изучено влияние параметра затухания р на критические скорости флаттера пластинки. Влияние параметра р ядра

наследственности на скорость флаттера пластинки по сравнению с влиянием параметра вязкости А и сингулярности а незначительно.

Выводы. На основании полученных результатов можно заключить, что учет вязкоупругих свойств материала пластинки приводит к уменьшению критической скорости флаттера Vkp, с которой начинается явление флаттера.

Отметим также, что при скорости потока меньшей, чем Vkp, влияние вязкоупругого свойства материала уменьшает амплитуду и частоту колебаний. Если же скорость потока превышает Vkp, то вязкоупругое свойство материала оказывает уже дестабилизирующее влияние.

Список литературы: 1. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы I А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - К.: Наукова думка, 1986. - 543 с. 2. Верлань А.Ф. Численное решение нелинейных задач динамики вязкоупругих систем IА.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б. Худаяров, Ш.П. Бобоназаров // Электронное моделирование. - 2004. - Т. 26. - № 3. - С. 3-14. 3. Пухов Г.Е. Приближенные методы математического моделирования, основанные на применение дифференциальных Т-преобразований I Г.Е. Пухов. - К.: Наукова думка, 1988. - 216 с. 4. Кабулов В.К. Проблемы алгоритмизации в теории вязкоупругости I В.К. Кабулов // Вопр. вычисл. и прикл. математики. - Ташкент. - 1996. -Вып. 102. - С. 4 - 1S. 5. Бадалов Ф.Б. О некоторых методах решения систем интегродифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости I Ф.Б. Бадалов, X. Эшматов, М. Юсупов // Прикладная математика и механика. - 19S7. -Т. 51. - № 5. - С. 867 - S71. 6. Буриев Т. О некоторых экономичных алгоритмах решения задач нестационарной аэроупругости I Т. Буриев // Вопр. вычисл. и прикл. математики. -1990. - № SS. - С. 32-4S. 7. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей I А.А. Ильюшин // Прикладная математика и механика. - 1956. -Т. 20. - Вып. 6. - С. 733 - 753. 8. Григолюк Э.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела I Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука, 1988. - 232 с. 9. ХудаяровБ.А. Математичне моделювання нелінійного флатера в’язкопружних елементів літального апарату в надзвуковому потоці газу: автореф. дис. на здобуття наук. степеня д-ра техн.наук: 01.05.02 "Математичне моделювання та обчислювальні методи" I Б.А. Худаяров. - Київ, 2008. - 36 с.

УДК 539.3

Про один алгоритм рішення інтегро-дифференційних рівнянь завдання про коливання в'язкопружних елементів тонкостінних конструкцій // Б.А. Худаяров, З.У. Юлдашев // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. -Харків: НТУ "ХПІ". - 2011. - № 36. - С. 1S9 - 196.

Досліджується завдання про флаттер в'язкопружних пластин типа паралелограма, обтічних потоком газу. Розроблені методика і алгоритм чисельного рішення інтегро-дифференційних рівнянь. Приведені результати розрахунків критичної швидкості флаттеру. Іл.: 4. Бібліогр. 9 назв.

Ключові слова: флаттер, в'язкопружний елемент, алгоритм, інтегро-дифференційне рівняння.

UDC 539.3

About one algorithm of solution integro-differential equations tasks about vibrations of viscoelastic elements thin-walled constructions / B.A. Khudayarov, Z.U. Yuldashev

// Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2011. - №. 36. - P. 189 - 196.

The flutter of viscoelastic plates streamlined by a gas current are investigated. The method and algorithm for the numerical solution of integro-differential equations. The results of the flutter critical speed calculation have been given. Figs: 4. Refs.: 9 titles.

Keyworts: flutter, visco-elastic elements, algorithm, integro-differential equations.

Поступила в редакцию 15.06.2011