CC BY
50
УДК 533.6.013.42
ПРИМЕНЕНИЕ РАСШИРЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ ГАРМОНИЧНОСТИ ДЛЯ РАСЧЕТА ФЛАТТЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК САМОЛЕТА
В.В. ОВЧИННИКОВ, В.М. ПОПОВ, С.В. ФИЛИМОНОВ
В работе рассматривается методика расчета критической скорости флаттера самолета, позволяющая учесть влияние частоты колебаний конструкции и сжимаемости воздуха.
Ключевые слова: методика расчета, гипотеза, самолет, матрицы.
Введение. Одной из важнейших задач аэроупругости является определение критической скорости флаттера летательных аппаратов (ЛА) с учетом нестационарного обтекания их сжимаемым потоком газа. В настоящее время при определении флаттерных характеристик ЛА часто применяется гипотеза квазистационарности. Для большинства случаев она дает вполне приемлемые результаты, однако из-за неучета реальных частот колебаний конструкции ЛА, возникающих в полете, приводит к ошибкам, из-за чего не соблюдается массовое совершенство конструкции ЛА. Влияние частоты колебаний конструкции ЛА позволяет учесть использование расширенной гипотезы гармоничности. Для её применения необходимо точно определять реакцию самолета на гармонические возмущения, т.е. аэродинамические передаточные функции. Вычислить передаточные функции можно через аппроксимацию импульсной части переходных функций на бесконечности либо непосредственным расчетом, дающим более достоверные результаты [1].
Для ЛА в целом исследование аэроупругой устойчивости проводится на основе уравнений его возмущенного движения [2]. Уравнения возмущенного движения при использовании метода собственных форм и расширенной гипотезы гармоничности [1] в матричном виде записываются так
т( (& + 2хю<& + ю2<) = С<< + (С4 + С? )<& + С <<, (1)
где ц - безразмерная матрица инерции и обобщенных масс; % - диагональная матрица коэффициентов демпфирования; ю - матрица безразмерных собственных частот; < - вектор-столбец параметров движения ЛА как твердого тела и по собственным формам; << - вектор-столбец скорости изменения параметров движения; , С<& - матрицы коэффициентов аэродинамических производных (матрицы передаточных функций) ЛА, зависящих от чисел Маха М ¥ =
а„
* Ь
и Струхаля р = ю- (где ада - скорость звука; У¥ - скорость невозмущенного потока; Ь - харак-
У
терный линейный размер). Дифференцирование ведется по безразмерному времени т = —^ 1.
Ь
Матрицы С5, С5, С?, С5 рассчитываются при помощи прямого метода расчета аэродинамических передаточных функций согласно методике, изложенной в [3]. Вычисленные коэффициенты являются исходными данными для расчета критической скорости флаттера упругого ЛА.
Необходимо отметить, что существуют различные способы определения критической скорости флаттера. Однако для систем большой размерности наиболее удобным и простым в вычислительном плане является итерационный метод [2]. Суть его заключается в следующем. Матричное уравнение (1) записывается в нормальной форме Коши
.1 * I * *, *
у + = Б у + , Б = Б ( М ¥, р , V),
где у +т = {4 ,4 }т - вектор фазовых координат; /=1^К4, К4 — количество рассматриваемых
форм. После чего непосредственно исследуется поведение собственных значений матрицы Б при изменении скорости полета V.
Для представления уравнения (1) в нормальной форме Коши преобразуем его к виду
(т - С)? + С? - С4 )? + (|тю2 - с4)? = 0
(2)
и приведем его к системе дифференциальных уравнений первого порядка, произведя замену:
У1 = ^ У2 = у 1 = 4.
Тогда (2) сводится к системе
У1 = У 2
(т - с? )-1 [(с? + с? - 2тх«)у2 + (с4 - тю2 )у, ].
(3)
у
Таким образом, для случая симметричного флаттера жестко защемленного в центре масс самолета матрица Б приобретает следующую структуру
Б*
0 I
А-1С А-1В
(4)
где I - единичная матрица; С, В, А - квадратные матрицы размерности К? х К?, имеющие вид:
С = С?-ЦЮ2
СЛ -<т„
2
С1
42
С1
41
С1
42
С1
41
С 41 С 2?2 Ю22Ц 22 ...
С2?1
... С1?1 11
в=с?+с? - 2тх«=
С^1 + С*1?1 - 2X0^1 ......
4 1
р -о-Р 41
С2 "г С*2
Р -1-Р 41 С1 "г С*1
Р 41 л- Р 41
С1 "г С*1
Г 4 1
С2 "г С*2
...... С1?1 + С*1?1 - 2хюцти
а = (т-с4 )-1 =
М-11 - С1
41
С1
42
С2 1 т22 С2 2
- С1<11
- С1412
С1
41
_С 41 С2
... ти -С141
Задавая начальные значения параметров М¥ и р , определяем аэродинамические характеристики ЛА с4,с4,с?,с41. Затем, изменяя скорость с некоторым шагом, исследуем систему (3) на устойчивость. Собственные значения матрицы Б* при изменении скорости описывают на комплексной плоскости (Яе—, 1т—) годографы. Точка первого пересечения одного из годографов собственных значений матрицы Б с мнимой осью соответствует началу незатухающих гармонических колебаний.
Итак, алгоритм определения критической скорости флаттера на основе итерационного процесса состоит из следующих пунктов:
1) задать начальные значения чисел р* и М¥ ¡, при которых предполагается наличие флаттера (при отсутствии дополнительной информации берутся величины, близкие к нулю);
2) определить аэродинамические характеристики ЛА СЧ,СЧ,С?,СЧ при выбранных числах
*
р* и М ^ ;
3) увеличивая скорость полета от нуля с некоторым небольшим шагом, для каждого ее значения сформировать матрицу Б (4) и найти ее собственные значения;
4) если при некоторой скорости Уд действительная часть решений матрицы Б положительна, а мнимая не равна нулю, т.е. Яе^О и 1ш!#0, то считается, что критическая скорость флаттера в первом приближении найдена. Если при положительной действительной части равна нулю мнимая 1тЯт=0, то наблюдается дивергенция [3] (колебания отсутствуют, но деформации соответствующего элемента ЛА по 1-й форме неограниченно растут);
5) определить новые значения числа Маха полета М¥ м=Ун/а (где а - скорость звука на соответствующей высоте) и числа Струхаля р*+1 =(Йа'Ь)/Уа. По этим величинам пересчитать аэродинамические характеристики летательного аппарата СЧ,СЧ,СЧ,СЧ и перейти на шаг 3.
Итерационный процесс продолжается, пока изменения критической скорости флаттера не станут меньше заданной величины.
Описанный метод может применяться и при изучении антисимметричного флаттера, для которого необходимые соотношения выглядят аналогично.
Произведем расчет критической скорости флаттера на примере учебно-боевого самолета (УБС) Як-130. Согласно разработанной в [3] методике, рассчитываются матрицы коэффициентов аэродинамических производных СЧ,СЧ,СЧ,СЧ уравнения (1), которые зависят от числа
М ¥ полета и числа Струхаля р*.
На рис. 1, 2 представлены соответственно зависимости коэффициентов обобщенных и суммарных сил от чисел М ¥ =0^0,8 и р* =0,0001^2,0 для первого тона колебаний крыла УБС Як-130. Зависимости производных коэффициента подъемной силы УБС Як-130 от чисел М ¥ =0^0,8 и р* =0,0001^4,0 по углу атаки С^, СУ& и угловой скорости вращения относительно оси Ог С У2, С™2 представлены на рис. 3. Выбор диапазона изменения чисел Струхаля
(р* =0,0001^2,0) связан со значениями низших собственных частот колебаний конструкции ЛА, оказывающих наибольшее влияние на аэроупругие характеристики ЛА. Анализируя приведенные рисунки, можно сделать выводы:
1. Для разных чисел Струхаля р* зависимости аэроупругих характеристик от чисел Маха не одинаковы. При малых частотах колебаний (р* ^0) наибольшее изменение коэффициентов аэродинамических производных происходит в диапазоне скоростей, близких к критическим (М¥ =0,7^0,95), но с ростом чисел Струхаля эти коэффициенты изменяются значительнее.
Например, при М¥ =0,8 и р* =0,0001 значение коэффициента производной подъемной силы по углу атаки СУ=4,25, а при М ¥ =0,8 и р* =2 С?=9,46, т.е. отличаются в 2,23 раза (рис. 3).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
2. Производные С?, С ?, С &, С Уz заметно зависят от числа Струхаля в области умерен-
ных чисел p* =0,0001^2,0, которые соответствуют эксплуатационным режимам полета. При p* коэффициенты без точек (С?, С&2, m?) стремятся к некоторым конечным значениям, а коэффициенты с точками - к нулю.
Сложный характер протекания зависимостей коэффициентов Cq,Cq,Cq,Cq от чисел
M ¥ ,p* свидетельствует о существенном влиянии последних на аэроупругие характеристики крыла. Поэтому учет конечной частоты колебаний конструкции необходим при расчете аэроупругих характеристик ЛА.
Далее рассчитывалась критическая скорость флаттера Vf крыла УБС Як-130 итерационным способом, для чего на основании найденных коэффициентов обобщенных сил составлялась матрица F . Рассчитывались ее собственные значения, которые при изменении скорости описывают на комплексной плоскости (ReA¿ Im^) годографы. На рис. 4 представлены годографы
собственных значений матрицы Б* крыла УБС Як-130, построенные в диапазоне изменения скорости У=1400^1825 км/ч с шагом дискретности по скорости 25 км/ч. Нумерация годографов соответствует порядковому номеру тона упругих колебаний. Как видно из характера протекания годографов, аэроупругая неустойчивость наблюдается по 6 тону колебаний. Определив новые значения чисел Маха и Струхаля, были пересчитаны коэффициенты обобщенных сил и снова сформирована матрица Б . Итерационный процесс продолжался, пока изменения критической скорости флаттера не стали меньше заданной величины.
1т Лй, А7) 1т Хи 1=\,4
ОСП__■Ш1Л
В.е Ь, ¿=14
I-
Ее (Аз, Ае, Хт) 60
-50
-40
-30 -20
Рис. 4
-10
10
20
Согласно действующим требованиям по обеспечению безопасности полетов ЛА по условиям аэроупругой устойчивости, максимально допустимая индикаторная скорость полета ЛА определяется как У =У^1,2. По частотам колебаний крыла УБС Як-130 вычислены числа тах доп 1 ' ^
Струхаля р*, соответствующие максимально допустимой скорости полета, которые существенно отличаются от нуля (табл. 1), что подтверждает необходимость учета конечных р* при расчетах аэроупругих характеристик.
Таблица 1
№ тона 1 2 3 4 5 6 7
Частота колебаний, -1 мин. 601,7 1911,6 2162,4 4161,9 5650,7 6744,0 9754,0
Число Струхаля р* 0,1299 0,4129 0,4671 0,8989 1,2206 1,4568 2,1069
Для исследуемого крыла УБС Як-130 проводился анализ изменения величины критической скорости флаттера в зависимости от числа Струхаля р* =0,0001^2,0. Данные расчетов представлены на рис. 5, где Уг ГК - отношение значений скорости флаттера, рассчитанной по какой-либо
из гипотез учета нестационарности обтекания к вычисленной по гипотезе квазистационарности, не учитывающей влияние колебаний конструкции.
1.2 1.4 1.6 1.3 2
Рис. 5
Цель исследования состояла в том, чтобы показать насколько отличаются величины критической скорости флаттера крыла Як-130, рассчитанные с учетом гипотез квазистационарности (прямая 1) и гармоничности (прямая 2), а также расширенной гипотезы гармоничности (прямая 4) при изменении числа Струхаля. Также на рисунке представлено значение скорости флаттера, вычисленное по гипотезе гармоничности (прямая 3), учитывающей коэффициенты «с точками»
С? Ф 0,С? Ф 0 [1; 3].
Как видим, значения V/ крыла УБС Як-130, полученные по стационарной (реализующей гипотезу квазистационарности) и предлагаемой методикам, отличаются на 11,92 % при
р* =0,0001 и на 21,25 % при р* =2,0.
Следовательно, применение расширенной гипотезы гармоничности, учитывающей влияние сжимаемости потока и конечности частоты колебаний конструкции элементов ЛА на его аэроупругие характеристики, позволяет расширить диапазон максимально допустимой скорости полета, определяемой из соображений обеспечения безопасности полетов ЛА по условиям аэроупругой устойчивости.
Таким образом, в ходе исследований по методике, на примере крыла УБС Як-130, выявлено существенное влияние параметров, определяющих нестационарность обтекания ЛА - чисел Струхаля и Маха, на аэроупругие характеристики элементов ЛА. Поэтому, в связи с необходимостью учета этих параметров, разработанную методику целесообразно использовать при проектировании перспективных боевых ЛА в целях обеспечения массового совершенства конструкции ЛА.
ЛИТЕРАТУРА
1. Математическое моделирование при формировании облика летательного аппарата / под ред. В. А. Подобедова. - М.: Машиностроение, 2005.
2. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. - М.: Физматлит, 1995.
3. Гуляев В.В., Овчинников В.В., Попов В.М., Филимонов С.В. Расчет аэроупругих передаточных функций элементов летательного аппарата при колебаниях в сжимаемом потоке. - М.: Изд. РАН, 2009.
APPLICATION OF THE EXTENDED HYPOTHESIS OF HARMONICITY FOR THE CALCULATION OF FLUTTER CHARACTERISTICS OF THE AIRCRAFT
Ovchinnicov V.V., Popov V.M., Filimonov S.V.
In this paper use the method of calculation of the critical flutter velocity of the aircraft, which allowing to take into account the influence of the frequency of vibrations of the construction and compressibility of the air.
Key words: calculation methodology, hypothesis, a plane, a matrix.
Сведения об авторах
Овчинников Валерий Валерьевич, 1970 г.р., окончил МИФИ (1993), доктор технических наук, профессор, начальник кафедры строительной механики ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор более 60 научных работ, область научных интересов - аэроупругость и прочность летательных аппаратов.
Попов Виктор Михайлович, 1962 г.р., окончил МФТИ (1986), ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1988), доцент ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», доктор технических наук, автор более 100 научных работ, область научных интересов - аэродинамика летательных аппаратов.
Филимонов Сергей Владимирович, 1979 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (2001), кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор 22 научных работ, область научных интересов - аэроупругость и прочность летательных аппаратов.
