Влияние периодической неравномерности потока на устойчивость аэроупругих колебаний крыла Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 1

УДК 534.1

ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОТОКА НА УСТОЙЧИВОСТЬ АЭРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА

В. Б. КУРЗИН, А. Ю. МАЗУТСКИЙ

Рассмотрено влияние периодической неравномерности потока, набегающего на крыло, на величину средней скорости, при которой может возникнуть неустойчивость собственных колебаний крыла. Для малой неравномерности потока дана теоретическая оценка этого влияния при выполнении условия возникновения параметрического резонанса на соотношение собственных частот колебаний крыла и частот возбуждающих сил, возникновение которых обусловлено неравномерностью потока.

Проведены соответствующие экспериментальные исследования, результаты которых качественно согласуются с теоретическими результатами.

Ключевые слова: неравномерность потока, параметрический резонанс, флаттер, аэродинамическая труба, динамически подобная модель.

ВВЕДЕНИЕ

Летательные аппараты достаточно часто совершают полет в условиях неравномерности потока, набегающего на элементы их конструкций. Иногда эта неравномерность содержит периодическую составляющую, которая является источником возникновения аэродинамических сил, возбуждающих вынужденные колебания элементов конструкций. Например, хвостовое оперение самолета может быть подвержено нестационарному воздействию, обусловленному периодической системой вихрей, сбегающих с кромок крыльев самолета.

В линейном приближении задача о колебаниях конструкций в периодически неравномерном потоке решается путем разложения функции, описывающей скорость набегающего потока, в ряд Фурье. Каждый член этого ряда определяет периодические аэродинамические силы, действующие на элементы конструкций. Вынужденные колебания конструкций, возникающие под действием этих сил, и случайно возникающие свободные их колебания, в свою очередь, вносят дополнительное возмущение в потоке. Так как давление потока зависит от квадрата скорости, то коэффициенты аэродинамических сил, действующие на элементы конструкции при свободных колебаниях, зависят от времени по периодическому закону. В результате при обтекании конструкций периодически неравномерным потоком возникают и параметрические колебания, которые при определенных условиях могут быть неустойчивыми, т. е. может

КУРЗИН Владимир Борисович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН

МАЗУТСКИЙ Андрей Юрьевич

кандидат технических

наук, заместитель начальника отделения СибНИА им. С. А. Чаплыгина

иметь место параметрический резонанс. Для случая обтекания решеток турбомашин, лопасти которых всегда обтекаются периодически неравномерным потоком, этот вопрос был рассмотрен теоретически в работе [1].

В настоящей работе проведены теоретические и экспериментальные исследования зависимости величины возможного снижения скорости, на которой колебания крыла теряют устойчивость в периодически неравномерном потоке по отношению к критической скорости флаттера в равномерном потоке, от степени его неравномерности.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим обтекание крыла периодически неравномерным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Представим скорость набегающего на крыло потока в виде ряда Фурье в декартовой системе координат (х, у, г), жестко связанной с крылом, направление оси х которой совпадает с направлением вектора средней скорости потока и0,

да

иДх, у, /) = и и„ (х, у, г)ехр(пю/), ю = Но/2лЬ, (1.1)

п=1

где Ь — период неравномерности потока вдоль оси х, который предполагается одинаковым для всех значений координаты г по размаху крыла; % — скорость движения неравномерности потока по направлению оси х, которая в общем случае может отличаться от проекции скорости основного потока иох на эту ось; г — временная мнимая единица.

В результате взаимодействия с неравномерным потоком упругое крыло будет совершать вынужденные колебания, которые могут быть представлены в виде разложения в ряд по собственным функциям

да

ъ( y, 2, 1 ) = г ( У, г) ()

г=1

где у г — форма колебаний крыла по г-й моде в пустоте; ¡г — соответствующая безразмерная обобщенная координата.

Для упрощения модели, описывающей возможность возникновения параметрического резонанса при аэроупругих колебаниях крыла в рассматриваемом случае, введем следующие предположения:

1) конструкционное демпфирование колебаний крыла отсутствует;

2) нестационарные аэродинамические силы, действующие на крыло при его колебаниях, малы по сравнению с упругими и инерционными силами;

3) значения собственных частот колебаний крыла в пустоте достаточно удалены от частот юп = пю.

С учетом первого предположения дифференциальные уравнения колебаний крыла, обусловленных его взаимодействием с периодически неравномерным потоком, могут быть представлены в нормальных обобщенных координатах в виде:

Мг(¿¡гп +ю^гп) = вгп, г = 1, 2, 3, ... да. (1.2)

Здесь Мг, Qгn — обобщенная масса крыла и нестационарная составляющая обобщенной аэродинамической силы, соответствующей п-й гармонике неравномерности потока (1.1), которые по гипотезе плоских сечений определяются в виде:

1о 10

Мг = |то (г)у2 (г)ёг, = {$Рп (5, г, 1 (5, г^ёг, (1.3)

о о ^

где — контур крыла в сечении г; рп — нестационарная составляющая аэродинамического давления, возникающая при взаимодействии крыла с п-й компонентой неравномерности набегающего потока; ¡0, т00 — размах и погонная масса крыла соответственно.

В рамках сделанных предположений возмущенная составляющая скорости течения, возникновение которой обусловлено взаимодействием потока с крылом, является потенциальной. Поэтому давление воздуха р, действующего на крыло, может быть определено с помощью интеграла Коши — Лагранжа:

Р = -Р

Ы 2

/

где ф — потенциал скорости движения воздуха, р — его плотность.

Для определения нестационарной составляющей давления представим вектор скорости движения потока в окрестности профиля крыла в сечении, перпендикулярном оси г, в виде суммы вектора скорости набегающего потока и вектора скорости возмущенной его составляющей:

и(х, у, X) = ию(х, у, X) + V(х, у, X), (1.4)

ТО

и„(х, у, X) = и Vп, vn = ип ^ 0П(ВХ),

п=1

V(х y, х) = ^ (x, у) + ^ vr (х y, + vrn ( у, х).

г=1

п=1 г=0

Здесь Vo = 'Уф0 — вектор стационарной составляющей возмущения скорости, которая возникает при взаимодействии крыла с потоком, набегающим со скоростью и 0. Остальные компоненты вектора V обозначают нестационарные составляющие возмущения скорости потока. Составляющие vrn = Vфrn обусловлены взаимодействием неподвижного крыла (г = 0) с компонентой заданного возмущения vn и вынужденными его колебаниями по г-й форме; составляющая V,. = Vфr обусловлена свободными колебаниями крыла.

Подставляя выражение (1.4) в интеграл Коши — Лагранжа, нестационарное давление целесообразно представить в виде суммы двух составляющих, которые в линейном приближении имеют вид:

Ргп = -Р

дх

- + (( +Vo )(п +Vгп )

(1.5)

(п)

рг --р

дфг

дх

■(и 0

(1.6)

Следует отметить, что составляющая давления (1.5) определяет взаимодействие крыла с неравномерным потоком при вынужденных его колебаниях, а составляющая (1.6) определяет аэродинамическую силу, действующую на крыло, возникновение которой обусловлено свободными его колебаниями. Особенность выражения (1.6) состоит в том, что коэффициент при скорости движения воздуха vr зависит от времени.

В рамках модели потенциального течения жидкости аэродинамические силы, действующие на крыло в нестационарном потоке, могут быть определены по хорошо развитой теории крыла

в нестационарном потоке, результаты которой содержатся, например, в книгах [2 — 5]. Для соответствующих компонент скорости потока имеют место оценки:

v0n = c0nun, vrn = crn<irn , c0n = O I1) , crn = O I1)- (17)

Согласно (1.3), (1.6) и (1.7) коэффициенты при обобщенных координатах в выражении для обобщенных аэродинамических сил, возникающих при свободных колебаниях крыла, будут зависеть от времени и схематически могут быть представлены в виде:

Qrn =ри0b2LCrn [и 0 +<?0nun cos )] 4r. (1-8)

Задача состоит в определении величины средней скорости обтекания крыла, на которой происходит потеря устойчивости параметрических колебаний крыла в потоке, в зависимости от степени его неравномерности.

2. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ МАЛОЙ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ПОТОКА ОТНОСИТЕЛЬНО СРЕДНЕЙ СКОРОСТИ НАБЕГАЮЩЕГО ПОТОКА НА КРИТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ

ФЛАТТЕРА КРЫЛА

Согласно второму предположению имеет место оценка:

Q

= O(ео), во << 1. (2.1)

При малой неравномерности потока, для обозначения которой введем малый параметр

и

в = —— << 1, (2.2)

и и о

согласно (1.7), (1.8) и (2.1) инкремент колебаний крыла на режиме параметрического резонанса будет иметь порядок малости О (вов) . На крейсерском режиме полета самолета коэффициент

аэродинамического демпфирования аэроупругих колебаний крыла имеет порядок малости О (во ). В этом случае возникновение параметрической неустойчивости крыла маловероятно. При увеличении скорости полета аэродинамическое демпфирование колебаний крыла падает так, что в некоторой окрестности критической скорости флаттера оно имеет порядок малости О (во).

При определенных условиях на соотношение частот возмущения набегающего потока и собственных частот колебаний крыла возникновение параметрического резонанса в этом случае становится возможным. Это явление, по существу, можно рассматривать как снижение критической скорости флаттера крыла, обусловленное влиянием неравномерности потока.

Проведем оценку величины возможного снижения критической скорости изгибно-крутиль-ного флаттера крыла, хорошо изученного для случая его обтекания равномерным потоком [4, 5]. В плоской постановке задачи соответствующие дифференциальные уравнения, описывающие колебания крыла на границе классического флаттера, имеют вид:

т0 У + т0 хаа + КуУ = Ру; (2.3)

т0 Хау + ^~аа +Каа=М; (2.4)

у = У0& ехр (mt), а = а0ехр (mt), (2.5)

где т00, Ja — масса и момент инерции сечения крыла относительно его упругой оси; К у, Ка — изгибная и крутильная жесткости крыла; Ру, М — подъемная сила и момент, приходящиеся на единицу размаха; ха — расстояние между центром масс сечения и упругой осью.

При обтекании крыла периодически неравномерным потоком аэродинамические силы и момент, согласно (1.8) и с учетом (2.1), могут быть представлены в виде:

Ру = + 8Су ^ (V)],

(2.6)

М = М (0)[1 + 8Ст ^ (юпх )], Су = О (1), Ст = о (1).

(2.7)

В равномерном потоке и в квазистационарном приближении подъемная сила и момент при свободных колебаниях определяются в виде [4]:

Р(0)=-РЕ1

у 2 ё а

Ь (3 х0

а

и0 I 4 Ь

а

1

и0

-у

(2.8)

(0) = Ри0ПЬ_аа -|х0 -4)р<о)

=

2 8

(2.9)

где Ь — средняя хорда крыла; х0 — расстояние упругой оси от передней кромки профиля крыла;

Су — коэффициент подъемной силы.

Подставляя (2.6) — (2.9) в (2.3) и (2.4), получим однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами относительно обобщенных координат у, а.

Рассмотрим случай, когда выполняется соотношение

ю,

= 2ю0/ , (/ = 1,2),

(2.10)

где з — частоты колебаний крыла при флаттере в равномерном потоке, который является

условием возникновения параметрического резонанса.

Согласно [6] для определения решения полученной системы дифференциальных уравнений при условии (2.10) представим его в виде:

то г п

у03)= £ |_А(/) sin ((/) + И21) ^((/)]

I=1,3,5

(2.11)

а

(/ ) =

= £ а(/) sin ((ю0/X ) + а2'1) cos ((ю0/X).

I=1,3,5

(2.12)

Подставляя (2.11), (2.12) в (2.3), (2.4) с учетом (2.6) — (2.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых sin(/ю0jt) и cos(/ю0jt) , получим бесконечную систему однородных алгебраических уравнений относительно h(/ ), hjj), a(j ), ajl ). Согласно (2.1) введем малый параметр

еп =

pb2 dCy 2m0 da

Тогда в матричной форме эта система может быть представлена в виде:

A, X, = 0, A, = D, + H,,

J J ' J J j -

(2.13)

где Xj ={Xji}, (( = 1,2,3,...), Xj ={hf/hj}, a(ja(2jDj, Hj — блочные матрицы:

JH( j )}

\Hlr Г

Dj = diagUD0iD(j) ,

kyl

= Sq£ j 2k jl2

к = ^ j U

v U 0 J

блоками которых являются квадратные матрицы четвертого порядка вида:

D

(J ) =

0l

ÍA(J) ly 0 _Y y 0

0 A(y) ly 0 _Y y

_Ya 0 Aia) 0

0 _Ya 0 Aíaá >

D

(J ) =

0 kj _1 kjxa

_ kJ 0 _kjxa _1

0 _P xbkj Pxb _P(xaxb + g )kj

P xbkj 0 P(xaxb + g )kj Pxb

H

(J ) =

0 _k C(J) kj y c( J) y k x C(J) ^j-^a^y

_k C( J) kj y 0 _k x C(j) "-J^a^y _cJ y

0 kfixbCi) ^bCm) kjP(g + xaxb )c

kjexbCm ) 0 kjP(g + xaxb ) ) P^}

где A(y) = l2 -®y/<, A(ca) = l2 _<»a/<,

P = m0bVJa , g = П 8 da, Y y = xalb, Ya=PY. Матрицы H(J удовлетворяют условию:

а у = Ky/m0,

®a = Kaí Ja

= 3 _ X0

X° = 4 b

x0 1

Xl =---

b4

H(r ) = 0, если r = l Ф1 и r Ф l ± 2 при l = 3,5,7,....

к = rab/U0,

(2.14)

Для существования нетривиального решения однородного уравнения (2.13) число Струхаля

к: должно удовлетворять характеристическому уравнению:

(А у ) = / (к: ) = 0.

(2.15)

Так как согласно (2.12), значение Юоу в выражении для искомой величины ку задано,

то неизвестной величиной в уравнении (2.15) фактически является средняя скорость набегающего потока и* на границе устойчивости колебаний крыла. Величина этой скорости отличается от критической скорости классического флаттера в равномерном потоке ио у . Полагая, что это отличие определяется уровнем неравномерности набегающего потока, представим ее в виде:

и* = и,

о у (1 + еП ),

(2.16)

где Пу — коэффициент влияния неравномерности потока на критическую скорость флаттера. Соответствующее значение ко у = ю уЪ/ио у удовлетворяет уравнению

/оу (коу ) = 1* во^-^О^у)

1о у

= о.

(2.17)

Из (2.17) следует

УуУа-л!.М?] = О (в о). (2.18)

С учетом (2.16), (2.17) характеристическое уравнение (2.15) может быть представлено в виде:

/у (ку ) = /оу (коу ) + Вов/1 у (пу ) = О (в02в).

С точностью до величин второго порядка малости решение этого уравнения с учетом (2.17) сводится к решению уравнения

/1 у (П у ) = 4Л 2 ЛаР ХъП у + Л у У у УаРХЪСт - У2 Уа ( 4П у + Су ) = ° которое, с учетом соотношения (2.18), преобразуется к виду:

4ЛуРХъПу + ЛуРХЪСт -Уа(4Пу + Су ) = О (во ). Отсюда получим приближенное выражение величины пу в виде:

1

П у =

Л уХЪ

ха ЛуХЪ

(( - ^т )

(2.19)

3. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Целью проведения экспериментальных исследований является определение величины возможного снижения критической скорости флаттера крыла в зависимости от уровня периодической неравномерности набегающего потока, которая была получена теоретически в виде соотношений (2.16), (2.19). Эти исследования были проведены в аэродинамической трубе Т-2о1 Новосибирского авиационного технического колледжа на динамически подобной модели крыла самолета. Одна из особенностей аэродинамических труб с открытой рабочей частью состоит в том, что

в ней могут иметь место акустические автоколебания, возникновение которых обусловлено вихревыми структурами, образующимися при истечении воздуха из трубы. На рис. 1 приведены амплитудно-частотные характеристики таких колебаний, свойственные данной трубе.

Рассматривая указанные колебания в качестве периодической неравномерности потока, соответствующая модель крыла была спроектирована так, чтобы ее наинизшая частота собственных упругих колебаний, согласно условию (2.10), была равной /1 « 0.5/0, где /0 « 8 Гц — частота одной из основных гармоник акустических колебаний в трубе, представленных на рис. 1.

Учитывая рекомендации работы [7], по программам АНТК им. А. Н. Туполева [8] и СибНИА им. С. А. Чаплыгина, предназначенным для расчета критической скорости изгибно-крутиль-ного флаттера крыла в равномерном потоке, были найдены геометрические параметры крыла.

Л

1

1 ( и \ /

0 10 20 30 40 ) ц 50

Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики акустических автоколебаний

в АДТ Т-201

Рис. 2. Схема экспериментальной установки

Расчетные значения критической скорости флаттера и0Л = 26 м/с с частотой / = 3.875 Гц созданной таким образом модели в виде полукрыла получили хорошее соответствие с экспериментальными их значениями, равными и0Л = 25 м/с, / « 4 Гц.

Это дает основание надеяться на то, что теоретическое решение поставленной задачи в квазистационарном приближении в данном случае определяется с достаточной степенью достоверности.

Расчетное значение коэффициента влияния неравномерности потока на критическую скорость ее флаттера, которое определяется по формуле (2.19), для данной модели равно гц ~ -0.75.

Для экспериментального определения влияния неравномерности набегающего потока на устойчивость колебаний крыла на выходе из трубы устанавливалась фанерная пластина высотой к = 20 см (рис. 2). При обтекании пластины неравномерным потоком с частотой акустических колебаний /в « 8 Гц, возникающим вследствие акустических автоколебаний в аэродинамических трубах [9], с ее кромок сбегает периодическая система вихрей, которая с той же частотой индуцирует вихревые колебания газа. Интенсивность этих вихрей сохраняется на достаточно большом расстоянии, в отличие от амплитуды акустических колебаний при их излучении из открытого конца трубы. Уровень неравномерности потока, создаваемого вихревыми колебаниями, варьировался путем изменения расстояния крыла от вихревого следа, сбегающего с пластины.

Рис. 3. Зависимость критической скорости флаттера крыла от уровня неравномерности набегающего потока

Это расстояние определялось величиной у — вертикальной проекцией расстояния верхней кромки пластины от крыла. При различных положениях модели крыла определялось значение скорости потока и*, выше которой возникали достаточно интенсивные, но ограниченные его колебания с частотой « 4 Гц. При этом следует отметить, что амплитуда вынужденных колебаний крыла с частотой /в « 8 Гц была на порядок меньше амплитуды колебания с его собственной частотой колебаний.

На рис. 3 представлена зависимость и* от величины

5 = 5*(у)-50 + ^1.6-к^, где 5*

параметр, характеризующий интенсивность неравномерности потока, 50 — значение этого параметра при максимальном значении величины у = 1.6к, варьируемой в эксперименте.

Полученные экспериментальные результаты качественно согласуются с теоретической зависимостью, определяемой соотношениями (2.16), (2.19).

Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проекта СО РАН № 40.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курзин В. Б. Математическая модель аэроупругих колебаний решеток лопастей осевых турбомашин, обусловленных окружной неравномерностью потока // ПМТФ. 2009. № 6, с. 134 — 145.

2. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке. — М. — Л: Изд. АН СССР, 1947, 260 с.

3. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа / М. Н., 1965.

4. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости / М. ФМЛ, 1959, 524 с.

5. Бисплингхоф Р. Л., Эшли Х., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. — М.: Изд. иностр. лит., 1958, 800 с.

6. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. — М.: Технико-теоретическая лит., 1956, 600 с.

7. Кузнецов О. А., Смыслов В. П. Опыт корректирования расчетной динамической схемы по результатам резонансных испытаний // Ученые записки ЦАГИ. 1979. Т. X, № 6, с. 99 — 112.

8. Швилкин В. А., Чудаев Б. Я., Башкин В. Н. Расчет частот и форм собственных колебаний самолета с крылом большого удлинения методом начальных параметров / Труды ЦАГИ. 1975, вып. 1662, с. 1 — 15.

9. Вишняков В. А., Прозоров А. Г. Исследование самовозбуждения колебаний в потоке в аэродинамической трубе и возможности его предотвращения // Ученые записки ЦАГИ. 1992. Т. XXIII, № 4, с. 64 — 69.

Рукопись поступила 23/Х12011 г.