Адсорбция сернистых соединений из трансформаторного масла на алюмосиликатах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 544.35.03:665.7 С. В. Анаников

АДСОРБЦИЯ СЕРНИСТЫХ СОЕДИНЕНИЙ ИЗ ТРАНСФОРМАТОРНОГО МАСЛА

НА АЛЮМОСИЛИКАТАХ

Ключевые слова: модель, адсорбция, нефтяные масла, массоперенос, преобразование Лапласа, энергоресурсосбережение.

В статье рассматриваются линейная, симметричная и ассиметричная модели адсорбции сернистых соединений на алюмосиликатах из трансформаторного масла при его производстве или регенерации без учета продольной диффузии. Решение получено методом преобразования Лапласа. Оно может быть распространено на аналогичные задачи при кусочно-линейной аппроксимации нелинейной изотермы адсорбции. Данное решение позволяет более точно рассчитать параметры процесса. Это дает возможность сэкономить затраты материальных и энергетических ресурсов, т.е. использовать энерго- и ресурсосберегающие технологии.

Keywords: model, adsorption, petroleum oil, masstransfer, transformation of Laplace, resource and energy-saving technologies.

In the article is described leniar, symmetrical, unsymmetrical models of adsorption of sulphurous compounds out of transformer oil when it produced or regenerated. It is taked into considerationl masstransfer without calculation longitudinal diffusion (masstransfer). Solution of the task was obtained by method transformation of Laplace and can be disseminate on analogy task at part-lineat approximation unlinear isotherm of adsorption. Presented solution do possible more precise calculate parameters of process and economize expenses material and energy resources, in another way use technologies of resource and energy-saving.

Описание процесса адсорбции в неподвижном слое базируется на уравнениях баланса массы целевого компонента (адсорбтива) для бесконечно малого элемента слоя, кинетики адсорбции, уравнении изотермы адсорбции. Поэтому при постановке и решении задач по динамике адсорбции приходится решать два дифференциальных уравнения в частных производных одновременно. При этом имеет существенное значение математическая форма записи изотермы адсорбции, которая может быть либо линейной, либо нелинейной (выпуклой или вогнутой). При нелинейной изотерме динамика адсорбции может быть описана в аналитической форме лишь приближенно [1-4] или численным способом [2]. При линейной форме изотермы адсорбции аналитическое решение рассматриваемой задачи было получено в работах [1, 2]. Однако при этом, форма изотермы была наиболее простой в виде прямой, исходящей из начала координат, что фактически означало принятие допущения о применимости закона Генри при малых изменениях концентрации абсортива, в потоке и адсорбенте (начальный участок изотермы адсорбции).

В настоящей работе аналитически решается задача динамики адсорбции с использованием линейной изотермы наиболее общего вида. Это позволит при кусочно-линейной аппроксимации нелинейной изотермы адсорбции выяснить физическую картину изучаемого процесса и без проблем описать любую часть изотермы сложной формы.

Для трансформаторного масла гидрокрекинга марки ГК экспериментальное уравнение изотермы адсорбции получено в виде [5]

Са = АСМ - B U ],

где См - концентрация серы в масле, равновесная со средним содержанием адсорбтива Са в слое; A и B -константы, имеющие разные численные значения при аппроксимации различных участков изотермы. При B = 0 уравнение аппроксимирует начальный участок изотермы. В частности, для диапазона изменения концентраций серы в масле от 1,82 до 9,1 кг/м3 значения констант соответственно равны: А = 0,825 ; B = 1,281.

Разрешая, представленное выше, уравнение относительно С*м можно дать общую систему уравнений, описывающих динамику адсорбции в одномерном потоке без учета продольной диффузии, т.е. с учетом только внешнего массопереноса [1-3]

дСм(х. т) + + W ас„(х, т)

дт

дса (х. т)

—^—- + k

дт

при краевых условиях

дт дх

х > 0. т > 0

C а (Х. Т)

0.

с„ (х. т)

A

A

(1)

(2)

х > 0. т > 0.

CJx,0)= 0, x > 0, (3)

Сa (х,0) = 0, x > 0, (4)

См I0, г) = С0 г> 0 (5)

Здесь Са (х, г) - количество адсорбированно-

го вещества единицей объема сорбента в сечении х в момент времени г ;

См (х, г )- концентрация сорбента в потоке на расстоянии х в момент времени г ;

B

W - скорость потока; к - коэффициент массообмена;

8 = ——— - коэффициент; е - доля свободного се-

е

чения адсорбента (постоянная по объему порозность неподвижного слоя).

Первые два слагаемых уравнения (1) представляют собой скорость изменения массы целевого компонента (сернистых соединений) в зазорах между частицами и внутри частиц соответственно. Третье слагаемое в уравнении (1) соответствует приращению количества компонента (сернистых соединений) за счет конвективного переноса со скоростью потока. Таким образом уравнение (1) представляет связь между концентрациями целевого компонента в дисперсной фазе в неподвижном слое и в потоке сплошной среды в любой момент времени и в любой точке неподвижного слоя.

Краевые условия задачи (3)-(5) выражают следующее. В начальном сечении колонки в произвольный момент времени т концентрация целевого компонента постоянна и равна Со ; в начальный момент времени т = 0 колонка свободна от адсорбируемого вещества: условия (3), (4).

Задачу (1)-(5) будем решать с использованием преобразования Лапласа (здесь приняты обозначения по работе [6]).

ь[См(х, т)] = Е(х, 5) = | См(х, т)е

т ёт,

(6)

1л;

ьСа(х, т)] = Ф(х, 5)= |Са(х, т)е-5тёт. (7)

Тогда уравнения (1), (2) приобретают вид

5^(х, 5) + 85Ф(х, 5) + W -^^(х,5) = 0,

дх

5Ф(х, 5) = к

Ф(х, 5) В 1

(8)

(9)

А А 5

При этом оставшееся граничное для уравнения (8) условие примет вид

Е(0, 5) = С0 5

Из (9) найдем Ф(х, 5)

Ф(х, 5) = г к . Е (х, 5) - кВ

1

к

5 + —

А

А

5 + А ' 5

(10)

(11)

и подставим его в (8). Тогда получим совместно с условием (10) задачу с начальным условием для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

ёЕ (х, 5)

ёх

+ А1Е(х, 5)-В1 = 0, (12)

С

Е(0, 5) = -°, (10)

5

где А, = —+ 1 W

8к5

w\s+А

В

кВ8

AW (5 + А

Значок 8 выполняет роль параметра. Решением (12) с условием (10) будет

1

В1 + ( А'-0 - В1 1 е-А1х

(13)

Подставив (13) в соотношение (11), получим

Ф(х, 5) = А- ( 1 л ( - е-А1х ) +

А0

к

5 + —

А

+ Д (4-0 е- А1х - т} (14)

Заменив в решениях (13), (14) константы А1, В1 их значениями из ранее записанных соотношений, получим выражения, разрешенные относительно параметра 8

кВ8

С0

^С^ + к (1 + 8А) 5

X е

8КБ W + w (Б + Ка

кВ 8

^[А^ + к (1 + 8А)

(15)

к 2 В8

С 2 + С(1 + 8 А)

к 2 В8

С 2 + С(1 + 8 А)

8 8КБ

_I__________х

W w( 8+А

к—

х е

0

к

5\ 5 + А

8 . 8КБ

w w(б+КА

кВ

X е

(16)

Приведем выражения (15), (16) к виду удобному для обратного преобразования Лапласа с помощью таблиц изображений. Для этого запишем (15), (16) в виде

\ л

х

X е

х

х

кБ8

8Кх5

С —5 Ш ( 5+К +1! е Ш е У А

у[А + к (і + 8 А)]

8Кх5 К

(15 а)

Ф(х, 5) = -

к2 Б8

у[Ау + к (і + 8А)]| 5 + — к2 Б8

у[Ау + к(і + 8А)| 5 + —

8Кх

8Кх5

кБ

кС

5,5 + А

. —Л.£ Ш| 5+-^

е Ш е У А

А5| 5 + А

(16 а)

Выполним также очевидную замену в (15 а),

(16 а)

8Кх

1

+ к ) -ШГ5+а) 8кх

= е 8к2хУ А' е~

Ш

(17)

Ввиду исключительной сложности обратного преобразования приведем с использованием (17) эти зависимости к следующему виду путем прибавления и вычитания к (15 а) дополнительных членов

Ш

кБ8

8Кх

5 у[Ау + к (1+ 8А)]

а к (16 а)

к2 Б8

у[Ау + к(1 + 8А)]| 5 + —

—8Кх е Ш е Ш

кС,

0

У- + А

—х? 8КХ

-е Ш е Ш .

х е " е

кБ8

+

у[Ау + к (1+ 8А)]

ш

х К х

е~ Ш5 е~~Ш —

кБ8

8Кх

у[Ау + к (1+ 8А)] Ф(х, 5) = -

-Л- 5

Ш е Ш

к2 Б8

(15 б)

у[Ау + к(1 + 8А)][ 5 + —

к2 Б8

у[Ау + к(1+ 8А)| 5 + —

х е

Ш -

АШ (5+К'| 8Кх

к 2 Б8

у[Ау + к(1 + 8А)][ у + —

8Кх Ш~ е Ш — _

к2 Б8

х е е

у[Ау + к(1 + 8А)| у + —

х 8 К х і

-х5 —— кС,

х_ 5+К

х е Ш е Ш +

о_____ “ Ш 5 е 8К 2 х У А

5,5 + А

8Кх

х 8Кх

Ш I к(с0 е Ш5 е ' Ш —

кБ

к

5| 5 + А

Ау| у + А

(16 б)

Выражения (15 б), (16 б) вновь преобразуем к

виду

кБ8

А

5 +

к (1 + 8 А)

А

8Кх

+ С0 е Ш X

кБ8

у[Ау + к (1+ 8А)] у

С —х5 С0 еш5

1

-АШ- Г 5+КА .

х е 8К 2х А . е Ш

+— е

5

п х п 8Кх

— — е ш5 е ~ —

кБ8

у[Ау + к (1 + 8А)]

х ---5

е ш

-АШ- ,5+—

Л*, У А

е 8Кх' - — 1

+ С0 е ш

8Кх -—5

е ш

к(1+ 8А) -Шт5

8Кх —--------------е Ш

Б8 —а

________е ш Л_______________________

(1 + 8 А)

5 +

к (1 + 8 А)

А

+

х

+

+

X

X

X

е

1

5

х

5

е

5

5

-1

Бд

(1 + дА)'

дкх

ж-

х * е w

5

- -

0 при 0 < т <

W'

1 при т > —.

W

(18)

к (1 + Ад) е- Ж5

А

s +

к (1 + 8А)

А

к2 Бд

А

к (1 + дА)

А

к(1+Ад) -Ж*

, дкх —----------е W

кБд —— а

_______ е W ________^3__________

(1 + дА)

1

к (1 + 8А)

А

к -Ж*

.А А

_е W

кБ

~А

-1

1

дкх

+ кС0 Є ~ х

Бкд (1 + д—)

дкх

к (1 + <—)„-х*

А

1

к (1 + дА)

А

(15 в)

к -х5

дкх а —е W + кС0 е А

к Г к

5І 5 + —

А

— W

И

-1

= к

AWт

х І

2к \д

AW

(19)

ґ

2к \д

' AW

- бесселева функция

мнимого аргумента первого рода первого порядка.

Ь-1

к (1 + 8—)- х*

А

к (1 + 8А)

А

х

0 при 0 <т<—,

W

-к(1+дА)Гт х

А { W

1 - е

прит>—. W

к (1 + д—

А

к

А —-т

к

5 + —

А

А

А2

к2 (1 + дА)

к (1+дА)

дк2

дк2 (1 + дА)

" 1 "

^ Г*+к 1

-1 А "н 2 к д . (16 в) Ь-1 1

Г к 1

I 5 +— 1

- - -1 А).

к

= е А Т

(20)

(21)

(22)

Теперь, после приведения отдельных частей выражений (15 в) и (16 в) к табличному виду выпишем соответствующие изображения и оригиналы, воспользовавшись известными справочниками [6-8]. Здесь как в [6] переход к оригиналу обозначен оператором Ь -1.

" к -"

— е w

А

Г к 1

5| 5 + — 1

- 1 — ).

0 при0 <т <

W*

1 - е

к— (т-х

А I W

к (1 + 8А)

А

_ к (1+дА)т

-1

к (1+дА)

А

А

к (1 + дА)

к (1 + дА) к (1 + 8А)

(17)

1

прит > —.

W

е А -1

к

—

А — -к т

=-----е А .

кк

(23)

х

дк 2 х

Ь

X

е

X

-1

Ь

е

е

х

X

1

х

е

х

1

-1

Ь

+

е

А

е

х

Ь

х

1

А

е

Ь

к

А

Т

-1

Ь

А

Поскольку в решениях (15 в), (16 в) имеет место произведение изображений, то для получения окончательного решения (в оригиналах) необходимо выполнить свертку соответствующих оригиналов.

Как известно свертка двух оригиналов может быть записана в форме [8]

^ * Е1. (25)

Или

Т Т

^ ^ ()^2 (г -I)<* = ^ ^2 ()^1 ( -1) (25а)

0 0

Рассмотрим последовательно свертку функций, которые необходимы для получения окончательных решений исходной системы дифференциальных уравнений.

Произведение изображений

т-1))

х_

w

х

w

2к I— (- і) йі - к I I дх ч:

уА^ ’ J^¡AW (-г)

х

W

к ( ) - к (1+дА)Г г 1

.. ~-к(т-і)) А \ Wl ..

Заметим, что

2к.| д- (т- г)

AW

йі.

е~1—(т-і)) е~ ( А )(г-W1 = е~к[тЛі+дА) е-дкі. (29)

х е

А W

-1

при 0 < т <

W

(26)

дает свертку функций равную нулю, что соответствует соотношению (18).

Свертка этих же функций, соответствующая произведению указанных изображений согласно (18),

Для 0 <т< — свертка (28) равна нулю.

Ж

Произведем некоторые операции над функцией ф(х, s), прежде чем перейти от нее в пространство оригиналов.

Выполним следующую свертку согласно выражениям (20), (22)

к (1+ 8Л)- X*

1

и

А

к (1 + 8А)

А

(19) для т >

т, дает

W

т.е. для другого интервала изменения

х „

- ж5

-А^- Г 5 + к—

—к 2 хЬ А

-1

= 1* Рг =

=к ц

х

w

дх - (т-г))

AW (т- і)

2к_1 (т- г)

AW

йі.

(27)

Здесь выполнена свертка с единицей и нижний предел интегрирования взят в соответствии с областью определения свертываемых функций.

Аналогично для произведения изображений

X

имеем согласно (19), (20) при т > -

к (1 + дА) - ±5

А

к (1 + 8А)

А

W

1

Г 5+к— —к 2 хЬ А

-1

т

| Р\(і )^2 (т- і )йі =

х

w

1 - е

- 4" (т-і))

йі =

Г к ( .) т к('+дА)Г х ^ к ( )

= 1 ^і ^1 “(^^т і ’* =

х

w

х

w

т __ к(x+дAX-Wт) т

= е А‘ І е^йі-е А1¥

х

w

I е-дкійі (30)

х

w

Здесь было учтено выражение (29). Вычисление интегралов в (30) дает

" к кх

I

х

w

—іЛ А еА йі = — к

I е-дкійі = — і дк

х

w

е— -еш

дкх е~-е-дкт

Т

Т

А

дк 2 х

е

е

х

х

е

Ь

г

е

г

Ь

В результате вместо (30) получим

" к(1 + 8А)X* 1 г к -Фг* — е Ф " 1 1 АФ [*, к 1

А = - = Ь-1 А - А "** 2 К 8

* * , к(1 + 8А) [ *+А1 1 к >\ *| * +— 1

- - А 1 А)] Ф [ 1 А)

= А (1 + ЗА)с-к [г-ф) +^_ е-Ф к 8к 8к

. (31)

Свертка этих же функций для интервала

X

0 <г< ф, как видно из (20), (22), равна нулю.

Найдем оригинал для следующего произведения изображений, используя только что полученное выражение (31)

Ь -1 ^

к (1 + 8А)е- 1 " 1 1 АФ [* , К1

А -1 А К

* '* + к(1 + ^А)" [ *+^ 1

- А 1 А)

г

= | Е1 ()^2 (- /) =

X

Ф

А (| + 8А) е-!А е

к 8к 8к

К(1 + 8А)[г- х

А I Ф

х\к

8х

АФ (-1)

^1

= А И

х

Ф

8х

АФ (г-1)

2к

\АФУ ’

- К |г-^| <е А ^ ф)х

=

х 11

2к 1-8х- (- /) \AФV ’

(1 + 8А) Д[г-Ф )|^ 8х

8

X

Ф

АФ (г- /)

х 11

г

I

X

Ф

2к_/ 8(г- / )

АФ

1 - К |г-МА)Ф

8х

АФ (г- /)

- 8К/ т

е 11

2К\ (- /)

АФ

Ж. (32)

Свертка оригиналов для произведения сле-

X

дующих изображений при г > — будет согласно (19)

Ф

(23) вычисляться следующим образом

гг

| Р1(/)Р2 (- /М = |

X

Ф

1-е

-К [ /-X А I Ф

8х

= к

АФ (г - /)

11 8х ]\АФ (- /)

е А 11

2к. I —— (г - /)

АФУ ’

Ж =

х

Ф

- к г I 8(х )

J "у АФ (г - /)

X

Ф

- К (г-/)

е А X

х Л

АФ

Л.

(33)

В интервале изменения времени г между 0 и

ФФ свертка этих функций также равна нулю.

Теперь, если подставить полученные результаты в виде выражений (17)-(33) в решения (15 в), (16 в), то будем иметь

При0 <г <—

Ф

Ь -1 [( *)] = См ( г) = См (г

А____________А

к (1 + 8 А) к (1 + 8 А)

кВ8

А '

К (1 + 8А)

В 8

К (1 + 8 А )

1 - е

1 + 8 А

Ь -1 [Ф^ .?)] = Са (x, г) ее Са () =

(34)

к2 В 8

А

А2

к2 (1 + 8 А) 8к2

К (1+8 А)

А

х е

АВ8 1 + 8 А

кВ

~А

- В е А +

8 к2 (1 + 8 А)

А А - -К--

-------е А

кк

В

К (1 + ЗА)

1 + 8 А

-К г АВ8 В

- В + Ве А =-------------1-------е

1 + 8А 1 + 8А

К (1+8 А)

- В = В<!

1

1 + 8 А

К (1+8 А)

А8 + е А

- Ц. (35)

Ь

х

Г

х

х

А - К г

х

А

е

А

При г >

Ж

Б8

1 + 8А

К (1+8А)

1 - Є А

Б8

1 + 8 А

К(1+8А)(т х

1 - Є

Ж

К 8 X

К 8 X

Є Ж + С0 Є Ж +

+ к

С0 — ч 0 1+8А ,

Ж

X I

2к I— (-і)

\АЖУ ’

И

X

Ж

АЖ (г- і)

Бк8

К 8 х

Ж +-----є Ж х

1 + 8 А

I

X

Ж

XЄ-К[т-“+8А'іХП -8^ Є-К X

АЖ (г- і)

2к I — (-і)

АЖ ’

Б8

1+8А

К8х

Ж = С0 є Ж +

К (1+8А)

1 - Є А

1 - Є

к(+8А)(т х А I Ж

К8х

Ж

+ к

С0 -

Б8

1+8А

К 8х і Г

т а

X

Ж

АЖ (г- і)

2к 18(г-і)

+ Бк8 є-К(г-X^

1 + 8 А

2 к

С I 8x J у АЖ (г- і)

X

Ж

[Щ~7)

\ АЖ }

є-8Кі х

И, наконец, после громоздких преобразований было получено

Ь-1[ф(x, 5 )] = Са (,г) = АСс

1 - Є

К (г-Ф

А I Ж

К 8 X

х є Ж - Б\1 + -

1

1 + 8А

К (1 + 8А) ( 1

г є'АЖ -1

( КАгЛ К (г X1 KX

-А8 1-є Ж -є А ^ Ж^є Ж >■ +

+ Ак

С0 -

Б8 1+ 8А

\ К 8x

К 8X ‘ Г

Ж і]/:

X

Ж

8:с

х Є

-К )7 11

2к_/8- (г- і )

АЖ

АЖ (г- і)

Ж - к(АС0 - Б)>

-К fт-^x 1 _K8X М 8x

х Є

А I Ж

Ж

V

X

Ж

АЖ (- і)

х Л

2к.|-8- (г- і)

АЖ

Ж —

кБ 1 + 8А

И

X

Ж

8x

АЖ (г- і)

2к 8(г-і) л1АЖУ ’

Ж.

(36)

Литература

1. Федоткин И.М. Математическое моделирование техноло-

гических процессов / И.М. Федоткин. - Киев: Выша шк., Головное изд-во, 1988. - 415 с.

2. Романков П.Г. Массообменные процессы химической технологии / П.Г. Романков, В.Ф. Фролов. - Л.: Химия, 1990. - 384 с.

3. Золотарев П.П. К кинетике адсорбции смеси двух веществ,

когда лимитирующая стадия - внешний массообмен / П.П. Золотарев // Изв. АН СССР, сер. хим. - 1971. - №9. - с. 2055.

4. Золотарев П.П. О приближенном решении задачи равно-

весной динамики сорбции с учетом продольной диффузии для нелинейной изотермы / П.П. Золотарев // Изв. АН СССР, сер. хим. - 1971. - №10. - с. 2403.

5. Гайнутдинова Л. Р. Регенерация и очистка трансформатор-

ных масел для электрических аппаратов высокого напряжения: дис... канд. техн. наук / Л.Р. Гайнутдинова. - Казань, 2004. - 172 с.

6. Лыков А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М.:

Высшая школа, 1967. - 600 с.

7. Диткин В.А. Справочник по операционному исчислению /

В.А. Диткин, П.И. Кузнецов. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. - 256 с.

8. ДЁЧ Г. Руководство к практическому применению преоб-

разования Лапласа / Г. ДЁЧ - М.: ГИФМЛ, 1958.

- 208 с.

Є

А

Є

8x -К(м

А

Є

Є

+

Є

Є

х

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.