CC BY
12
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА
УДК 631.872: 661.241.093.8
С. В. Анаников, Р. Т. Валеева, Е. А. Харитонов, М. С. Нурсубин, В. В. Галеева
ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУР В ГИДРОЛИЗЕРЕ ПРОТОЧНОГО ТИПА
Ключевые слова: гидролиз, поле температур, собственные значения, собственные функции.
В работе рассматривается задача о нестационарном поле температур в горизонтальном цилиндрическом гидролизере проточного типа. Решается уравнение теплопроводности в движущейся среде с источниковым членом. Учитываются теплопроводность в радиальном направлении и конвективный перенос в осевом направлении. Применяются методы расщепления и преобразования Лапласа, как по времени, так и по пространственной координате. В результате получены теоретические решения, позволяющие рассчитать поле температур в функции времени, осевой и радиальных координат.
Keywords: hydrolysis, field of temperature, own meaning, own functions.
In article is described task about unstable field of temperature into horizontal cylindrical hidrolyser where flow substance. Is used fundamental equation of heat conduction in moving environment with source member. It take into account heat conduction in radial coordinate and convection heat transfer along axial coordinate. In solution are used methods splitting and transformation of Laplace for time and along coordinate. In result was received theoretical solutions which allow account field of temperature in function of time, axial and radial coordinate.
В работе [1, 2] решалась задача оптимизации процесса высокотемпературного гидролиза растительного сырья разбавленной сернистой кислотой при различных температурах нагрева исходного сырья. Температурный фактор, как показали исследования, оказывает существенное влияние на процесс гидролиза. Потому расчет локальной температуры, подвергаемой гидролизу реагирующей смеси, в любой момент времени является актуальной. В то же время локальная температура реагирующей смеси, может быть определена лишь в процессе математического моделирования с использованием уравнения теплопроводности в движущейся среде с внутренним источником тепла. В той же работе было показано, что оптимальной конструкцией гидролизера является горизонтальный трубчатый гидролизер идеального вытеснения.
В настоящей работе решается задача о поле температур в гидролизере указанного типа.
Физическая постановка задачи
В реакторе идеального вытеснения (гидролизере) протекает процесс химического гидролиза растительного сырья в условиях нагрева наружной цилиндрической стенки при Tcm= const. Внутри реагирующей смеси имеется равномерно-распределенный источник тепла"Щт),возникающий за счет протекающей химической реакции. Температура поступающего сырья постоянна и равна Т0, расход сырья - Q м3/сек. При этом в уравнении энергии учитывается перенос тепла теплопроводностью только в направлении радиальной координаты, так как предполагается, что перенос тепла теплопроводностью в осевом направлении пренебрежимо мал по сравнению с конвективным теплопереносом. Требуется найти нестационарное поле температуры в
цилиндрической гидролизере при перемещении исходной смеси с температурой Т (r,z, т).
Математическая постановка задачи
ат(г, z,x)
ат
ат(г, z,x)
+ V-
az
a2T(r,z,x) + l 3T(r,z,x)
Эг2 r 9r т>0, 0< r<R,z>0, T(r, z,0) = T0, 0< r <R, z>0, T(R, z,r) = Tcm, z>0, т>0, t(0,z,t) Ф<х>, z> 0, r >0, T(r,0 ,t) = T0, 0<r<R, т>0
Здесь дополнительно обозначено:
+
Cp
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
а2 = коэффициент температуропроводности смеси;
Х,с, р - коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность смеси соответственно; V - средняя скорость перемещения реагирующей смеси вдоль координаты 7.
Индекс 7 здесь приидля упрощения записиопущен.
Задача (1) -(5) полностью неоднородна, поскольку неоднородно само уравнение и неоднородны начальные и граничные условия. Она будет расщепляться на две отдельные задачи, поскольку дифференциальное уравнения (1) линейно. После чего общее решение задачи (1) -(5) будет найдено при помощи суперпозиции полученных решений. Если положить
я
T(r,z,x)= Tt(r,z,T) + T2(r,z,x),
то можно получить две задачи
дТ1(г,г,т) дТ1(г,г,т)
= а2
Эх
а2т1(г,2,т)
+
дг
1 ЭТ1(г,г,т)'
Эг
аг2
т>0, 0< г<Я, z>0, Т (г, z,0) = Т0, 0< г z>0, Т^^т^Т^^О, х>0, Т (0,z,г) Фох>, z>0, т >0, Т1 (г,0 ,т) = Т0, 0<г<Я, т>0. д12{г,г,х) д12{г,г,х)
(7)
(8) (9)
(10) (11)
ат
= а
а2т.
2(Г,2,Х)
Эг2
+
дг
1 ЭТ2 (г, г, т)
Эг
+
рс ,
т>0, 0< г<Я, z>0, Т2 (г, z,0) = 0, 0< г z>0, Т2 (Я, z,т) = 0, z>0, т> 0, Т2 (0,z,г) фт, z>0, т >0, Т2 (г,0 ,т) =0, 0<г<Я, т>0.
Задача (12) - (16) неоднородность в самом уравнении и, следовательно,
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
имеет всего одну дифференциальном может быть решена
аналитически одним из известных приёмов или методов.
Рассматривается задача (7) - (11).
Сначала, с целью уменьшения числа неоднородностей в граничных условиях, вводится безмерная температура
Тгт-Т1(г,г,т)
в(г,г,т) =
Т0
(17)
Тогда (7) - (11) примет вид
90(г, г, т) ае(г,г,т)
ат
= л*
Э20(г, г, т)
+
дг
1 ав(г, г, т)
Эг
(18)
(19)
(20) (21) (22)
Эг2 г
0< г <К, z>0, т>0 0(г^,0) = 1, 0< г <К, z>0, в(й, z,т) = 0, z> 0, т >0, в(г,0,т) = 1,0<г <Д, т >0, в(0,г ,т) Ф-ю, z>0, т >0.
К (18) - (22) применяется одностороннее преобразование Лапласа, что позволяет исключить временную координату и уменьшить количество независимых переменных на единицу, то есть уменьшить размерность решаемой задачи
вь (г, г,8) = Ь [в (г, г, т)] =
= /0°° в(г, г, т) е_хт^т[3]. (23)
Здесь знак Ь означает операцию преобразования по Лапласу, 8- параметр. Применение преобразования (23) к задаче (18) - (22) дает
эе^г,^)
80ь(г,г, в) -1+-0--
дг
= я
2д2вь(г,г,8) а2двь(г,г,8)
■ +
Эг2 z>0, 0<г<Я ,
Эг
(24)
0ь(г,о,5) = -,0 < г < Я,
(26) (27)
Для решения задачи (24) - (27) подбирается функция
0Ь (г, г, в) = ^ (г, о (цтг), (28)
удовлетворяющая одновременно условиям (25), (27), если Дт- положительные корни уравнения
Э0&т) = 0. (29)
Известно, что все корни уравнения (29) являются действительными и положительными [4].
Здесь - бесселева функция
первого рода действительного аргумента нулевого порядка.
Теперь следует продифференцировать выражение (28) по г и ъ и подставить эти производные в (24) с тем, чтобы решить вновь полученное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно единственной координаты ъ.
В самом деле
дг
дХ(г^)
дг2 эеь(г,2,5) дг
Здесь первая и вторая производные по г от
функции 30 ^ получены на основании [4].
После подстановки вычисленных производных в (24) и некоторых преобразований с использованием условия (26), получена задача Коши
= FL(z,s)
Ртп ( Гч
\-y-R2 2 1
-VI
1 2
F(0,s) =
5 Цт^СЦт)'
(30)
(31)
Следует отметить, что появление в (30), (31)
2
комплекса- обусловлено необходимостью
использования известного разложения единицы в ряд по функциям Бесселя в (24), (26) (то есть представление тождественной единицы) в виде 1 _у230(^)
~ ¿а
т=1
без знака суммы, который, естественно, будет учтен в окончательном решении задачи. Причем определяется из того же уравнения (29).
Решение обыкновенного
дифференциального уравнения (30) относительно единственной переменной ъ (без правой части) имеет вид
= Се (32)
где С - произвольная постоянная.
Для решения неоднородного уравнения (30) (с правой частью) следует считать, что произвольная постоянная зависит от 7. То есть применить метод вариации произвольной постоянной
№5) = С'(г)е
(32а)
Если подставить FL(z, s) и FL(z, s)в (30), то после небольших преобразований, можно получить
С{г)е
V
откуда
С (г) =
£ 1 г ---I е
V™3! (Цт) ^
, ■ 5 17
1 г
Аг +
^и2
_ 2 е С! —---- —т-ч—ЪС-1
V /
Подстановка (33) в (32а) дает
^(г^) =------т^-- +
(33)
+ С!« V "
(34)
Использование условия (31) приводит к выражению
2 12 1
= _______
К2
Тогда (34) принимает вид
^,5) =
I И2
^И2 ,
+
И2
1
_1__е \
5
(35)
Подстановка (35) в (28) дает частное решение, задачи (24)-(27) в пространстве изображений
V«2 "
К2
I К2 +
+
в
V«2 '•
^оСМт^)-
(36)
Обратный переход от изображений в пространство оригинально выполняется с помощью известных таблиц преобразования Лапласа [3-7].
Первый член в правой части выражения (36) (в квадратных скобках) имеет табличное изображение
I и2
= е
и2
(37)
Здесь 1Г1 означает операцию обратного перехода по Лапласу, то есть от изображения к
оригиналу.
Прежде чем перейти к следующему оригиналу, необходимо преобразовать второй и третий члены, стоящие в квадратных скобках выражения (36)
г-1
VII2 V
I Я2
= е
-1
„--5
В V
V и2
Опри 0 <т< —, V
при т>—.
^е ^к2 хе ^к2
И, наконец, преобразуется третий член в правой части выражения (36)
(38)
хЬ"
1 _(£!ф+112
В V
= е
Опри 0 <т< —,
(39)
при т >
-0-
В результате на основании (17), (36)-(39)
можно получить, после небольших преобразований,
общее решение задачи (7)-(11). z
при 0 <т< —
Ь"1[0ь(г,2,5)] = е(г,т)=-
Т1(г,т)
= 1
и2
Нт^СНт)
(40)
при т > —
Ь"1[0ь(г,2,5)] = 0(г,2) =
Т1(г,г)
т= 1
(Цт)
(41)
Или в развернутом виде г
при 0 < т < —
V
Т1(г,т) = Тсот — (Т ст — Т0)^
I
Нт^СНт)
(40а)
при т > —
Тх(г, г) — Тст (Тст Т0)'
I
230
Нт^СНт)
е
(41а)
Задача (12) - (16) будет решатся методом преобразования Лапласа по координате ъ [3] ЦТ2(г,г,х)] = Т1.(г,р,т) =
/
= 1 T2(r,z,x)e"Pzdz,
(42)
где р - параметр.
Тогда после преобразований будет
dTL(r,p,r),
■ + *vpTL{r,p, т) =
дт
d2TL (г, р, т) 1 dTL (г, р, т) dr2 г дг w(r) рс ,
1
+ -
р
(43)
т>0,0<г<К,
Ть(г,р,0^ 0,0 < г<Я, (44)
Ть(Я,р,т^ 0,т> 0, (45)
Т!_(0,р,т) >0. (46)
Здесь вновь, как в предыдущей задаче, принимается
Ъ(г,р,т^(р,т)00(мт Ц), (47)
где положительные корни уравнения (29).
Замена (47) позволяет одновременно удовлетворить условиям (45), (46), а в уравнении (43) исключить переменную г. Если взять производные по г и Т от (47), подставить их в уравнение (43) и принять во внимание последнее условие (46), то можно прийти к задаче
1 w(x)
(48)
^(ОР Рс
FL(p,0)=0. (49)
Здесь также как и в (31) было использовано разложение единицы в ряд по функциям Бесселянулевого порядка (то есть представление тождественной единицы) без знака суммы. Однако здесь тождественная единица умножалась на последний член в правой части уравнения (43).
Решение неоднородного уравнения (48) при условии (49) (задача Коши) проводилось так же, как и в предыдущей задаче, методом вариации произвольной постоянной и имеет вид
Fl(P,t)=
Amj. e"( r2
■ x
fW)
JQ
; R2 dx.
(50)
TL(r,p,T)=-
Тогда на основе (47) будет e
pcpmJ1(pm) f w(x) e (±
Л
^^dx.
(51)
Если, наконец, к (51) применить оператор ¿_1, то получается в обобщенном виде сначала частное
T2(r,z,T)=
PCPrn^n
R2 X
XL
-I w(T) e (-i?I+"p)TdT
P Jo
(52)
а затем общее решение задачи (12)-(16) T2(r,z,x) = — > R "
XL
PC Hm^iOm)
m=l
e R2 dx
—vrp rT — Jo ^(X),
(53)
Таким образом, на основании (6), (40а), (41а) и (53) можно записать обобщенное решение исходной задачи (1)-(5) при 0<т< —
Т(г,г,х) = Тст - (Тст -Т0) х
~ 2^0 (цт , ± V 23° К Э „
„
т=1
хе
(Цт)
R2 ' +
г-1
—^рх гТ
P Jo
РС ^m^l(^m)
w(x)e
R2
Ч-р-р It
dx
(5 4)
при т> —
v
T(r,z,x) = Tcm - (Tc
2 2 vR2
m=l
+
2J
PC^-i ^m^l(^m)
R2 X
r„-^px rT „¿yt
(55)
Следует заметить, что задача (12) - (16) может быть решена с помощью преобразования Лапласа по временной переменной т, но решение будет более сложным в смысле перехода из пространства изображений в пространство оригиналов.
Если рассмотреть алгоритм перехода к оригиналу для изображения, стоящего в квадратных скобках выражения (53), то можно его представить в следующей последовательности:
- задать вид зависимости w(t);
- произвести интегрирование в интервале времени от 0 до Т;
е-«-рт
- если произведение изображения - на
Р
изображение, полученное в результате интегрирования, будет также табличным изображением, то необходимо непосредственно перейти в пространство оригиналов по z; В противном случае - найти оригиналы соответствующих табличных изображений и выполнить свертку оригиналов для получения окончательного решения.
Остается теперь применить решения (54), (55) для некоторых конкретных случаев w(t) и проверить выполнение условий (2) и (5).
Пусть, например, w(r) = ш = const. Тогда после интегрирования и преобразования вместо (53) будет получено
T2(r,z,x) =
pC^^i Pm^lOm)
m=l
to ^
XL
1
+ P
+ P
vR2
vR2
1 P
vR2
o-rp
vR2
+ P
e vr2
(56)
(57)
+ P
= e
R2 L
—vrp
P^+P).
(58)
В (58) для перехода к оригиналу следует рассмотреть один из вариантов произведения двух изображений, поскольку данное изображение не является табличным.
Здесь рассматриваются следующие два изображения
: Р
1
ЙЫ
= F1(i)=f° ПРИ0 1 w (1 при
<г< vx, при VT < z.
2 2
_
= F2(z) = e "R2
(59)
(60)
Для нахождения оригинала от (58) при^Т < г необходимо провести свертку функций ^(2) и
Тогда
■ , f2(P) =
fi(P) =
Поэтому L"1[f1(p)^f2(p)] =
vR2
+ P
-f
J0
1 •
vR2
- Щ-Ц-ъ )л~
„н^ ' Hi
dz = е ^r2
I е-*
'o
t2 Zdz =
(61)
Теперь остается, используя выражения (56)-(58) и (61), записать в окончательном виде оригинал для Т2 (г, z, т) в интервалахz <т и г > ы. Следует заметить, что в интервале 0<2<^твторой член в изображении (56) дает оригинал, согласно (59), равный нулю. Тогда при
ШК2 ^ 2^0 (^т 0
А Цт^От)
T2(r,z,x) =
peai
т=1
х (1- е ^R2
(62)
T2(r,z,x) =
wR2 pea2
при Z>VT ' 230
От)
1-е
2 2 ^R2 '
m=l
1-е"
2 2
(63)
Таким образом, при^ = const обобщенные решения (54), (55) приобретают на основе (62), (63) следующий вид
при 0<т <— (z> vt)
T(r,z,x) = Tcm - (Tc A ^m^l(^m)
r2
T0)x r +
+
m=l
WR2 pea2
1-
y^KD
A Prn^lCPrn)
1-е vr2
(64)
(65)
при т> - (0<г < -ут) Т(г,г,т) = Тст - (Тст -Т0) х
-А—^е + -?х
„ Цт^СЦт) РСЯ2
т=1
/ _
х > -я\ *( х( 1-е Ч
т=1 4 '
Решения (64), (65) удовлетворяют дифференциальному уравнению (1) и в соответствующемдиапазоне изменения тусловиям (2) - (5).
Пусть теперь источник имеет экспоненциальную зависимость от времени: ш(т) == ш0е~кт, где -ш-0и к - константы.
Опуская все промежуточные выкладки, проведенные по ранее представленному алгоритму, можно записать окончательное решение для данного варианта^(т)в виде при 0<т< —
Т(г,г,т) = Тст - (Тст -Т0) х
2^0 (^т") Д2^тТ Ш0 ^ 2^0 (и™")
„
ЙМ
(Цт) 1-е
W0
рс Zj
(Цт)
x I e
-kx
R2
(66)
при t> — (0 < z < -wt) T(r, z,t) = Tcm - (Tcm -T0) x v у 230 (Ц„, +Woy 23»
.A ^m^l(^m) " PC Li ^m^l(^m)
m=l
m=l
1-е
-kx
(67)
Решения (66), (67) также удовлетворяют дифференциальному уравнению (1) и в соответствующих интервалах изменения тусловиям (2) - (5).
Итак, имея обобщенные решения (54), (55) можно получить из них решения при любом законе изменения^(т).В частности, если положить -ш^т) = 0,то есть в отсутствие источника, то температура определяется по достаточно простым выражениям (40а) и (41а).
Литература
1. И.В.Логинова, В.М. Емельянов, Р.Т. Валеева, С.Г. Мухачев, Вестник Каз. технол. ун-та, 15, 12, 102 - 104, (2012).
2. Р.Т. Валеева, Р.М. Нуртдинов, С.Г. Мухачев, В.М. Емельянов, И.В. Логинова, Вестник Каз. технол. ун-та, 15, 11, 133 - 134, (2012).
3. Г. Дёч, Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, ГИФМЛ, Москва-Ленинград, 1958, 208с.
4. А.В. Лыков, Теория теплопроводности, Высшая школа, Москва, 1967, 600с.
5. В.А. Диткин, П.И. Кузнецов, Справочник по операционному исчислению, ГИГГЛ, Москва-Ленинград, 1951, 256с.
6. М.И. Конторович, Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических целях, ГИГГИ, Москва, 1955, 228с.
7. А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах, Высшая школа, Москва, 2001, 445с.
© С. В. Анаников - д.т.н., проф. каф. химической кибернетики КНИТУ; Р. Т. Валеева - канд. техн. наук, доцент той же кафедры, valrt2008@rambler.ru; Е. А. Харитонов - канд. техн. наук, доцент той же кафедры; М. С. Нурсубин - канд. техн. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ; В. В. Галеева - студ. каф. химической кибернетики КНИТУ.
© S. V. Ananikov - Ph.D., Professor of Department of Chemical Cybernetics, KNRTU; R. T. Valeeva - candidate of technicalsciences, associate professor; department of chemical cybernetics KNRTU, valrt2008@rambler.ru; Y. A. Kharitonov -candidate of technical sciences, associate professor; department of chemical cybernetics, KNRTU; M. S. Nursubin - candidate of technical sciences, associate professor, department of computer science and applied mathematics KNRTU; V. V. Galeeva - student, Department of Chemical Cybernetics KNRTU.
